RECUERDA: una distancia nunca puede ser negativa

UNIVERSIDAD NACIONAL DE ITAPÚA
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y ADMINISTRATIVAS
Ingeniería Comercial
Matemática II
Clase Nº 4
Geometría analítica
Estudia las figuras geométricas utilizando un sistema de coordenadas y resuelve
los
problemas geométricos por métodos algebraicos; las coordenadas se
representan por grupos numéricos y las figuras por ecuaciones
Distancia de un punto a una recta.
La recta:
|
y el punto P (x1 ; y1)
RECUERDA: una distancia nunca
puede ser negativa
|
√
LA CIRCUNFERENCIA
La circunferencia como lugar geométrico. La circunferencia es el lugar geométrico de
todos los puntos de un plano que equidistan de otro llamado centro. La distancia del
centro a un punto cualquiera de la circunferencia es el radio
Ecuación general de la circunferencia
Si tomamos un punto cualquiera de la
circunferencia P (x1 ; y1) y el centro como otro
punto C (h ; k), podemos hallar la distancia
entre ambos, con lo que tenemos:
(
)
(
)
Siendo la distancia dPC = igual al radio de la circunferencia podemos escribir,
)
(
) , por tanto la ecuación general de la circunferencia es:
𝑟
(𝑥
)
(𝑦
𝑘)
María Teresa Szostak
(
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Matemática II
Clase Nº 4
Si desarrollamos la ecuación se tiene:
; generalizando
Igualando a cero se tiene:
de estas formulas se pueden hallar las
coordenadas del vértice y el radio.
Ejemplo
A) Halla la ecuación de la circunferencia concéntrica con la ecuación
que sea tangente a la recta 3x – 4y + 7 = 0
Para
hallar
la
circunferencia
RECUERDA: circunferencias concéntricas
son aquellas que tienen el mismo centro
ecuación
debemos
de
tener
una
las
coordenadas de su centro y su radio;
por tanto buscaremos las coordenadas
del centro.
(
)
(
)
C (2 ; -3) ahora debemos buscar el radio, para ello tenemos el centro y una recta
tangente a la circunferencia, entonces basta con encontrar la distancia entre un punto y
una recta y nos dará el radio.
Reemplacemos los datos en la fórmula:
|
|
√
|
(
)(
)
√
(
)
|
= 5 unidades de medida
la fórmula para hallar la ecuación de la circunferencia es
(
)
(
(
))
(
desarrollando se obtiene:
𝒙𝟐
𝒚𝟐
𝟒𝒙
𝟔𝒚
𝟏𝟐
𝟎
)
(
)
María Teresa Szostak
Ahora estamos en condiciones de hallar la ecuación de la circunferencia. Recordemos que
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B) Halla la ecuación de la circunferencia que es tangente a los ejes coordenados y su
centro está situado en la recta
Recordemos que para hallar la ecuación de una circunferencia debemos tener el radio y
las coordenadas de su centro, además si la circunferencia es tangente a los ejes
coordenados, el radio es igual a la abscisa (h) y ordenada (k) del centro:
El centro de la circunferencia pedida es C = (h ; K), sus coordenadas verifican la
ecuación
por tanto podemos escribir:
reemplazar,
de donde el valor de k = 4, por tanto el valor de h = 4 y su
radio también es 4.
(
)
, entonces podemos
(
Entonces: C (4 ; 4) y radio = 4 podemos hallar la ecuación:
) desarrollando se obtiene:
𝒙𝟐
𝒚𝟐
𝟖𝒙
𝟖𝒚
𝟏𝟔
𝟎
Ejercicios
1)
Halla la ecuación de la circunferencia de centro (3; 1) y es tangente a la recta
3x – 4y +15=0
2)
halla la ecuación de la circunferencia de centro ( -2; 0 ) y que pasa por el punto
E ( -2; 3)
3)
Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (0; 3) y (4 ;0) y el
centro está situado sobre la recta x + 2y = 0
4)
Halla la ecuación de la circunferencia, sabiendo que uno de sus diámetros tiene por
5)
Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (7 ; 2) y su centro está
situado en la intersección de las rectas 2x – y = 0 ;
6)
3x + y – 14 =0
Halla la ecuación de la circunferencia de centro el punto ( 1; 3) y pasa por la
intersección de las rectas x – y – 2 = 0
;
2x + y – 13 = 0
María Teresa Szostak
extremos los puntos (4, 2) y (8, 6).
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Matemática II
7)
Clase Nº 4
En cada uno de los problemas siguientes halla la ecuación de la circunferencia
determinada por las condiciones dadas
a)
Los extremos de un diámetro son los puntos (4, 2) y
(8, 6)
b)
C (2, 3) y es tangente a la recta
8)
Hallar la ecuación general, el centro y el radio de la circunferencia que pasa por los
puntos P (11, 11), Q (-3, 9) y S (13, -3).
9)
Hallar el centro y el radio de la circunferencia cuya ecuación general es:
10) Halla la ecuación de la circunferencia de radio 5 y sea concéntrica con
11) Halla la ecuación de la circunferencia de centro (3 ; -1) y tangente al eje Y.
12) Encuentra la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en la recta
y pasa por los puntos (1 ; 3) y (5 ; -3)
13) Halla la ecuación de la circunferencia concéntrica con la ecuación:
María Teresa Szostak
, y que pasa por el punto (-3 ; 4.
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