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Bases Matemáticas I - Pagina 1 de 20
Tema 2: Bases Matemáticas I.
2.1.- Números utilizados en los sistemas digitales.
2.1.1 Introducción.
El sistema de numeración decimal es familiar a todo el mundo. Este sistema utiliza los
símbolos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. El sistema decimal es posicional. Veamos porqué;
consideremos el número decimal 1997. El 7 está en la posición o lugar de las unidades.
El 9 está en la posición de las decenas, y por lo tanto agrega nueve decenas al número
final o sean 90 unidades. Otro 9 está en la posición de las centenas, o sea nueve
centenas, y por ello agrega 900 unidades. Por último el 1 está en la posición de las
unidades de mil y representa una unidad de mil o sean 1000 unidades.
Sumando 1000 + 900 + 90 + 7 = 1997 se obtiene finalmente el número decimal.
La Figura 1 ilustra este procedimiento.
S is t e m a d e N u m e r a c ió n
D e c im a l
x 1000
1
x 100
9
x 10
9
x 1
7
1000 + 900 + 90 + 7 = 1997
Figura 1.
Podríamos decir que cada dígito, debido a su posición, tiene un “peso” distinto en la
formación del número. Estos “pesos”, comenzando con el de la derecha (el de menor
peso), son: 1, 10, 100, 1.000, 10.000, ...,etc. Podemos ver que el “peso” de una posición
se obtiene multiplicando por 10 el anterior.
El sistema de numeración decimal también se llama sistema de base 10. Se denomina
de base 10 porque tiene 10 símbolos diferentes.
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2.1.2 Numeración Binaria.
En los sistemas digitales, por razones tecnológicas, se usan los números binarios (base
2). Este sistema utiliza solo dos símbolos (0, 1). Cada dígito binario se denomina bit.
También el sistema de base 2 es un sistema posicional. En la Figura 2 se muestra como
son las reglas
x 8
1
x 4
1
x 2
0
x 1
1
8 + 4 + 1 = 13
Figura 2.
Note que ahora los “pesos” de las posiciones son 1, 2, 4, 8, 16,... etc. Es decir si
aparece un 1 en la posición que está más a la derecha se debe agregar 1 a la cuenta. Si
aparece un 1 en la que sigue se debe agregar 2 y así sucesivamente. Observe también
que los “pesos” se obtienen multiplicando por dos el “peso” anterior.
DECIMAL
16
8
BINARIO
4
2
1
0
0
1
1
2
1
0
Al igual que con los números
3
1
1
decimales se puede contar en
4
1
0
0
binario. Aquí está la tabla de
5
1
0
1
los 21 primeros números.
6
1
1
0
7
1
1
1
8
1
0
0
0
9
1
0
0
1
10
1
0
1
0
11
1
0
1
1
12
1
1
0
0
13
1
1
0
1
Figura 3.
14
1
1
1
0
15
1
1
1
1
16
1
0
0
0
0
17
1
0
0
0
1
18
1
0
0
1
0
19
1
0
0
1
1
20
1
0
1
0
0
Consultando la tabla de la Figura 3, veamos como se forma por ejemplo el número 18. Así
resulta:
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18 ⇒ 10010 ⇒ 0 x 1 + 1 x 2 + 0 x 4 + 0 x 8 + 1 x 16 = 2 + 16 = 18.
Tomemos un ejemplo un poco más complicado, ver Figura 4. Qué número representa el
binario 110011011, en numeración decimal?.
Empezando por el bit de la derecha tenemos:
Q u é n ú m e ro re p re s e n ta ?
110011011
1 x 1 =
1
(p e s o ig u a l a 1 )
1 x 2 =
2
(p e s o ig u a l a 2 )
0 x 4 =
0
(p e s o ig u a l a 4 )
1 x 8 =
8
(p e s o ig u a l a 8 )
1 x 16 =
16
(p e s o ig u a l a 1 6 )
0 x 32 =
0
(p e s o ig u a l a 3 2 )
0 x 64 =
0
(p e s o ig u a l a 6 4 )
1 x 1 2 8 = 1 2 8 (p e s o ig u a l a 1 2 8 )
1 x 2 5 6 = 2 5 6 (p e s o ig u a l a 2 5 6 )
110011011 = 411
Figura 4.
Vamos ahora a mostrar cómo pasar de decimal a binario. Para ello nos planteamos el
siguiente problema. Cuál es el número binario que corresponde a 57?. La Figura 5, nos
muestra un método adecuado.
57 / 2 = 28
resto
1
28 / 2 = 14
resto
0
14 / 2 = 7
resto
0
7 / 2 =3
resto
1
3 / 2 =1
resto
1
1 / 2 =0
resto
1
1
1
Figura 5.
1
0
0
1
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Dejamos al lector verificar que el número 111001 corresponde al 57.
2.1.3 Aritmética binaria.
Sumar números binarios es una tarea muy simple a poco que adquiramos práctica. En
realidad sumar dos números binarios es similar a sumar dos números decimales.
Las reglas (tabla de sumar) para la suma binaria se muestran en la Figura 6. Las tres
primeras reglas son obvias. La regla 4 dice que, en binario, 1 + 1 = 10 (decimal 2). El 1 de
la suma debe ser arrastrado (me llevo) a la siguiente columna, como en la suma decimal
que conocemos.
Suma
Regla 1
0+0= 0
Regla 2
0+1= 1
Regla 3
1+0= 1
Regla 4
1+1= 0
Arrastre
= 10
1
Figura 6.
Para comprender mejor tratemos de realizar las siguientes sumas binarias:
1 0 0
+
4
+
1 0 0 1 1 0
+
38
+
0 1 1
3
1 1 0 0 1 1
51
1 1 1
7
1 0 1 1 0 0 1
89
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Para restar números binarios usamos un procedimiento similar. También como en la
resta de dos números decimales, aparece un “pido”, esto se manifiesta en la 2ª regla. En
la Figura 7 se muestran las reglas para restar.
Resta
Regla 1
0-0= 0
Regla 2
0-1= 1
Regla 3
1-0= 1
Regla 4
1-1= 0
Pido
1
Figura 7
Apliquemos estas reglas para restar dos números binarios:
1 0 1
-
5
-
1 1 0 1 1 0
-
54
-
0 0 1
1
1 0 0 1 1 1
39
1 0 0
4
0 0 1 1 1 1
15
Las reglas para multiplicar con binarios son muy simples. Compare el lector y recuerde
lo engorroso que fue aprender las tablas de multiplicar cuando cursó la escuela primaria.
La tabla de multiplicar números binarios se muestra en la Figura 8:
Producto
Regla 1
0x0= 0
Regla 2
0x1= 0
Regla 3
1x0= 0
Regla 4
1x1= 1
Figura 8.
Tomemos como ejemplo las siguientes multiplicaciones.
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1 1 0
1 0 1 1 0
X
X
1 1 1
1 0 1
11 0
1 1 0
1 1 0
1 0 1 10
1 0 1 1 0
1 1 0 1 1 1 0
1 0 1 0 1 0
6
22
X
X
7
5
42
110
2.1.4 Códigos.
Existen otras formas de representar los números en los sistemas digitales. Es lo que se
conoce bajo el nombre de códigos.
Un código muy usado es el código BCD (decimal codificado en binario). En este código,
cada dígito decimal es reemplazado por su equivalente en binario. La Figura 9 es muy
ilustrativa para comprender este código.
1
9
9
7
0001 1001 1001 0111
Figura 9
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Otro código que es de uso corriente es el código siete barras o siete segmentos. Es útil
cuando se quiere presentar un número, que está en BCD, en un visor para que lo
interprete un ser humano. En la Figura 10 se muestran las reglas.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
a
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
b
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
c
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
d
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
e
1
0
1
0
0
0
1
0
1
0
f
1
0
0
0
1
1
1
0
1
1
g
0
0
1
1
1
1
1
0
1
1
a
b
f
g
=0
=1
e
c
d
Figura 10 .
A menudo se requiere representar además de números, también letras en los sistemas
digitales. En este caso se emplean los códigos alfanuméricos. El código ASCII
(American Standard Code for Information Interchange) es el código más usado (se
pronuncia “as-ki”). Se trata de un código de 7 bits y en él existe una representación binaria
para cada tecla de un teclado normal de máquina de escribir. Algunas equivalencias se
muestran a continuación:
$
(
0
1
2
3
9
A
B
C
Z
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
0100100
0101000
0110000
0110001
0110010
0110011
0111001
1000001
1000010
1000011
1011010
Por ejemplo si desea expresar un monto de $193 en código ASCII resultaría:
0100100 0110001 0111001 0110011
$
1
9
3
Y el mensaje ABC sería:
1000001 1000010 1000011
A
B
C
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2.2..- Algebra de Boole.
2.2.1 Introducción.
En los sistemas digitales es usual que los elementos que los constituyen tomen solo dos
valores posibles. Por ejemplo:
La lámpara L puede estar encendida o apagada (encendida o no encendida).
El motor M puede estar funcionando o parado (funcionando o no funcionando).
El fin de carrera F puede estar accionado o no accionado.
Una válvula V puede estar abierta o cerrada (deja pasar o no deja pasar).
En todos los casos los elementos L, M, F, V sólo pueden estar en dos estados bien
definidos. A estos estados podemos asignarles por comodidad valores numéricos
también definidos. Por ejemplo podemos convenir que:
Si la lámpara L está encendida entonces diremos L = 1; si no está encendida L = 0.
Si el motor M está funcionando entonces M = 1; si no está funcionando M = 0.
Si el fin de carrera F está accionado entonces F = 1; si no está accionando F = 0.
Si la válvula V está abierta entonces V = 1; si no está abierta V = 0.
Podríamos haber convenido los valores 1 y 0 al revés, pero se acostumbra por simplicidad
dejar el valor 0 para expresar el estado natural o normal (sin conectar, sin activar, etc.).
Una parte del álgebra que contempla estos casos es el Algebra de Boole.
2.2.2 Principios.
Cuando asignamos una letra a un elemento (en el párrafo anterior por ejemplo las letras
L, M, F, V) en álgebra se dice que se le ha asignado una variable. El nombre es
adecuado por que su valor no es fijo sino que puede, como vimos antes, tomar distintos
valores.
El álgebra de Boole usa únicamente variables que puedan tomar solo dos valores, o sea
variables binarias. En todo este curso estos valores van a ser 0 y 1.
En el álgebra de Boole existen solo tres operaciones:
La operación O que la vamos a representar con el símbolo + (no confundir con la suma!).
La operación Y que la vamos a representar con el símbolo ..
La operación NO o inversión que la vamos a representar ‘.
Como muchos de estos temas o en los manuales que seguramente acompañan a los
automatismos, están en inglés, estas operaciones traducidas son OR, AND, NOT.
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2.2.3 Operación O (OR).
La operación O también se denomina la operación “cualquiera o todos”. El esquema de
la Figura 11 muestra la idea de la operación O.
A
A+B
B
+
L
_
Figura 11.
La lámpara L se encenderá (L = 1) cuando A o B estén cerradas (A = 1 o B = 1) y
también cuando ambos estén cerrados. Esta relación entre ambas llaves y la lámpara
podemos expresarla con la operación O del álgebra de Boole:
L=A+B
Podemos poner en forma de tabla todas las posibles combinaciones de las llaves A y B, y
el estado resultante de la lámpara L (Figura 12). Esta forma tabular se llama la Tabla de
Verdad de la operación.
Llaves
Lámpara
A
B
abierta
abierta
cerrada
cerrada
abierta
cerrada
abierta
cerrada
Figura 12
no encendida
encendida
encendida
encendida
Si en la tabla anterior realizamos los siguientes reemplazos:
abierta = 0 ;
cerrada = 1 ;
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no encendida = 0 ;
encendida = 1
Llegamos a la Tabla de Verdad de la operación O que se muestra en la Figura 13.
A
B
L=A+B
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
Figura 13
Existen otras formas de indicar que las variables A y B están ligadas por la operación O.
Una, muy usada por los electrónicos, es con “compuertas”. El símbolo para la
compuerta O se muestra en la Figura 14.
A
L=A+B
B
Figura 14.
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2.2.4 La operación Y (AND).
La operación Y también se denomina la operación “todo o nada”. El circuito con llaves
de la Figura 15, explica la operación Y.
A
B
L=A.B
Figura 15.
La lámpara L se encenderá (L = 1) cuando A y B estén cerradas (A = 1 y B = 1). Esta
relación entre ambas llaves y la lámpara podemos expresarla con la operación Y del
álgebra de Boole:
L=A.B
Siguiendo un procedimiento similar al realizado para la operación O, podemos poner en
forma de tabla (Figura 16), todas las posibles combinaciones de las llaves A y B y el
estado resultante de la lámpara L.
Llaves
Lámpara
A
B
abierta
abierta
cerrada
cerrada
abierta
cerrada
abierta
cerrada
no encendida
no encendida
no encendida
encendida
Figura 16.
Si en la tabla anterior realizamos los mismos reemplazos:
abierta = 0 ;
cerrada = 1 ;
no encendida = 0 ;
encendida = 1
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Llegamos a la Tabla de Verdad de la operación Y que se muestra en la Figura 17.
A
B
L = A .B
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
0
1
Figura 17.
El símbolo para la compuerta Y se muestra en la Figura 18
A
L=A.B
B
Figura 18.
2.2.5 La operación NO (NOT).
La operación NO también se denomina “inversión o complemento”. Es distinta a las
anteriores por que se aplica sobre una sola variable. La Figura 19 muestra el símbolo
lógico y la Tabla de Verdad de la operación NO.
A
A’
Figura 19.
A
A’
0
1
1
0
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Un ejemplo con llaves de esta operación se muestra en el esquema de la Figura 20. La
lámpara L se encenderá cuando no esté accionada la llave A.
A
L = A’
Figura 20.
2.3.- Funciones de Boole.
En la práctica se usan conexiones más complejas de, por ejemplo, contactos de fines de
carrera con contactos auxiliares de contactores, con pulsadores, con sensores ópticos,
etc.
Esta interconexión final da como resultado una acción sobre una salida. Por ejemplo:
activar la bobina de una contactor para hacer funcionar un motor; alimentar una
electroválvula para que un cilindro hidráulico se desplace, etc.
En todos los casos anteriores podemos establecer una relación entre el estado de los
sensores (entrada) y la acción sobre los actuadores (salida). Esta relación la podemos
expresar usando los operadores del álgebra de Boole. Entonces decimos que la salida es
función de las entradas. Lo expresamos así:
salida = Función (entradas)
Tomemos el ejemplo mostrado en la figura 21. Note que la llave A es una llave que tiene
un contacto normal abierto (A) y otro normal cerrado (A’).
A
C
B
A’
Figura 21.
L
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Vemos que el encendido o no de L depende de cuáles de las llaves están accionadas.
Habíamos visto que contactos en serie producen operaciones Y, y contactos en paralelo
operaciones O. Aplicando ésto podemos expresar el circuito de anterior como:
L es función de A, B, y C;
o simplemente escribir abreviado: L = F(A, B, C)
con las operaciones de Boole: L = A . B + C . A’
Esta expresión nos dice que L estará encendida (L=1) cuando A y B están accionadas
(A=1 y B=1), o cuando, C está accionada y A no está accionada (C=1 y A=0).
Usando los símbolos lógicos o compuertas, resulta el esquema de la Figura 22.
A.B
B
L = AB + CA'
C
C . A'
A
Figura 22.
Por último la Tabla de Verdad de la función L será la de la Figura 23.
A
B
C
A’
AB
C A’
L
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
0
0
1
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
1
0
0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
Columnas
para ayuda.
Se ve que la
lámpara se
enciende en
las filas 2, 3,
7, y 8 (L=1).
Figura 23.
Bases Matemáticas I - Pagina 15 de 20
Hemos visto en este ejemplo distintas formas de expresar lo mismo. Son herramientas
que nos serán de utilidad para plantear automatismos.
Trataremos ahora de aplicar estas herramientas a un caso concreto. Miremos el esquema
de la Figura 24.
A
Cinta X
B
M
Cinta Y
C
Figura 24.
El esquema muestra la vista superior de dos cintas transportadoras. La cadena Y alimenta
con cajones a la cadena X.
En la cadena X se cumple un proceso. Cuando el proceso termina se desactiva el fin de
carrera A. En ese momento el motor M, debe arrancar para alimentar con un nuevo cajón
al proceso.
Los cajones en espera son colocados sobre la cadena Y por autoelevadores. Para evitar
que el cajón sea colocado con la cadena en movimiento, el sensor C se activa con la
presencia de un autoelevador y debe detener al motor M.
Para aumentar la velocidad del conjunto, el motor M también debe funcionar, aunque no
haya finalizado el proceso, hasta colocar un cajón en posición de ser tomado por la
cadena X. Para ello se ha colocado el fin de carrera B, que se activa cuando un cajón está
en esa posición.
Se desea encontrar la función que gobierna el funcionamiento del motor M. Para ello
debemos transformar la “descripción verbal”, anterior, a una “descripción formal”.
Vamos a clasificar las variables de entrada en creadoras y anuladoras.
•
Las entradas creadoras son aquellas que activan la salida.
•
Las entradas anuladoras son aquellas que desactivan la salida.
Para el ejemplo en cuestión el enunciado dice que el motor debe funcionar por efecto de
las entradas A y B, por lo tanto estas variables son creadoras.
También dice que el motor se debe parar por causa de la entrada C, por lo tanto ésta es
anuladora.
Bases Matemáticas I - Pagina 16 de 20
Un teorema del automatismo (receta) dice que:
La función de excitación será igual a la operación Y entre las situaciones creadoras
con la NEGACION de las situaciones anuladoras.
Puesto este teorema formalmente establece:
FUNCION = (creadoras) . (anuladoras)’
Reemplazando resulta:
El motor debe
arrancar
cuando:
M (A,B,C) = ( A’ + B’ ) . C’
No esté activada A.
Por lo tanto cuando
NO A
Y debe
pararse
cuando esté
activada C.
Por lo tanto Y
NO C
O no esté
activada B.
Por lo tanto
NO B
Es fácil ahora pasar al diagrama de contactos y también podemos dibujar la Tabla de
Verdad para verificar el funcionamiento de nuestro diseño.
A
C
NC
NC
NC
B
Contactor
Motor M
Figura 25.
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A
B
C
M
Observaciones
0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
1
0
1
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
No hay bines, no está el autoelevador.
Debe parar porque entra autoelevador.
Hay cajón en espera, pero falta en proceso.
Idem pero entra autoelevador.
Hay cajón en proceso, pero falta en espera.
Hay cajón en proceso y en espera.
Entra autoelevador.
La representación con símbolos lógicos resulta (Figura 26)
A
B
M
C
:
Figura 26.
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2.4.- Ejercicios propuestos.
2.4.1Escribir en numeración decimal los siguientes números binarios:
11010; 011011; 1101011
2.4.2 A un conjunto de 8 bits se lo denomina un byte (se pronuncia bait) Cuál es el mayor
número que puedo escribir con un byte?
2.4.3 Cuál es el mayor número que puedo escribir con 8 dígitos decimales? Compare su
respuesta con la del ejercicio anterior. Qué conclusiones saca?
2.4.4 Obtenga el resultado de las siguientes operaciones con números binarios. Luego
compruebe su resultado operando en decimal.
10111 + 1010 =
11001 + 10101 =
10101 + 10001 =
10110 - 1001 =
11001 - 10110 =
101101 - 1010 =
1011 x 1010 =
1001 x 101 =
10011010 x 10 =
2.4.5 Cuál sería la regla para multiplicar rápidamente un número binario por 2 (10)?.
Cómo podría asegurar que un número binario es par?
2.4.6 Cuántos bits tiene como máximo la suma de dos números de cuatro bits?
2.4.7 Convertir los siguientes números codificados en BCD a su equivalente decimal:
1010001101011000 ; 0011100001011001 ; 100110011100
2.4.8 Convertir a código BCD los siguientes números decimales:
4656 ; 120 ; 1239 ; 920
2.4.9 Cuántos bits se necesita para codificar en BCD un número decimal de 5 dígitos ?.
2.4.10 La siguiente tabla corresponde al código ASCII para los números, las letras y el
espacio (e). Escriba su nombre y edad en código ASCII
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
1000001
1000010
1000011
1000100
1000101
1000110
1000111
1001000
1001001
1001010
1001011
1001100
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
1001101
1001110
1001111
1010000
1010001
1010010
1010011
1010100
1010101
1010110
1010111
1011000
Y
Z
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1011001
1011010
0110000
0110001
0110010
0110011
0110100
0110101
0110110
0110111
0111000
0111001
e
0100000
2.4.11 Lo siguiente es un mensaje en código ASCII, qué dice?
Bases Matemáticas I - Pagina 19 de 20
1001000 1001111 1001100 1000001
2.4.12 Dibuje con contactos y una lámpara (L) la siguiente expresión con operaciones de
Boole:
L =A + B + C
Mirando el funcionamiento del circuito construya la Tabla de Verdad. Qué podría decir de
una operación de O de más variables?.
2.4.13 Dibuje el símbolo lógico de una compuerta O de cuatro entradas.
2.4.14 Analizando los diagramas de contactos equivalentes y la Tabla de Verdad de la
operación, podría decir a qué son igual las siguientes expresiones?
A + A = ?;
A + 0 = ?;
A + A = ?;
A + A’ = ?
A + B + A =?
2.4.15 Con la ayuda de un esquema con contactos, construya la Tabla de Verdad y dibuje
una compuerta Y de cuatro entradas. Qué podría decir de una operación Y de más
variables?.
2.4.16 Analizando los diagramas de contactos equivalentes y la Tabla de Verdad de la
operación, podría decir a qué son igual las siguientes expresiones?
A . A = ? ;
A . 0 = ?;
A . A = ?;
A . A’ = ?
A . B . A =?
2.4.17 Analice el diagrama de la figura siguiente:
A
B
(1)
(2)
Si A = 0 cuánto vale la salida (2)? y la B?
Si A = 1 cuánto vale la salida (3)? Y la B?
Que podría de decir acerca de la expresión:
(3)
(A’)’ = ?
Bases Matemáticas I - Pagina 20 de 20
2.4.18 Dibuje el diagrama de contactos de las siguientes funciones:
F(A,B,C) = AB + AC + BC
; F(A,B,C,D) = (A + B) (B + C) (A + D’)
2.4.19 Dibuje el diagrama de contactos del siguiente esquema con símbolos lógicos.
A
C
B
D
Qué valor tiene la salida si: A = 1; B = 0; C = 1 ?.
2.4.20 Escribir la función que describe el funcionamiento de la alarma de un automóvil y
dibujar el diagrama de contactos.
La alarma debe sonar si:
• los faros están encendidos, no estando la llave de contacto puesta.
• la puerta está abierta, estando la llave de contacto puesta.
2.4.21 La alarma por mal funcionamiento de un ascensor debe activarse si:
• el ascensor se mueve sin que lo llamen y está vacío.
• el ascensor se mueve con la puerta abierta
Dibujar esquema lógico y Tabla de Verdad.
2.4.22 Invente un problema que pueda solucionarse aplicando el Algebra de Boole.