REVISADA EN JUNIO 2006 Vigencia : Julio de 2008 INTRODUCCIÓN:

REVISADA EN JUNIO 2006
Vigencia : Julio de 2008
INTRODUCCIÓN:
En el siglo XVII se elaboraron métodos que conectaron el Álgebra con la Geometría. Surgiendo así la
Geometría Analítica basada en la idea de los Sistemas de Coordenadas para representar puntos en el
espacio mediante números. La Geometría Analítica esta asociada al nombre de Descartes porque él fue
quien precisó los dos objetivos fundamentales de la nueva ciencia. El primero basado en el ya mencionado
concepto de las coordenadas.
El segundo se basa en tratar una ecuación algebraica con dos incógnitas como una curva del plano cuyos
puntos representan todas las soluciones de aquella.
Ubicación de la Materia:
• Ubicación Teórica: Se imparte en el tercer semestre. Materia Básica.
Materias Paralelas: Física II, Matemáticas II, Química II, Biología II.
Materias subsecuentes: Matemáticas IV.
• Ubicación Práctica: Tipo de alumnos: Jóvenes de 15−17 años, con trabajo estudiantil (30%), clase media,
ambos sexos. Grupos de 30−45 alumnos. Horario:
Matutino y Vespertino. Recursos: Cuadernillo de ejercicios, Televisión, retroproyector, reproductor de CD´s,
pizarrón, Computadora Lap Top, Cañón, Calculadora graficadora, departamento de artes gráficas, salón
ventilado, limpio e iluminado, l.
Presentación y objetivo de la guía:
OBJETIVOS INFORMATIVOS:
Conocer: Conceptos, fórmulas, equivalencias, conversiones y métodos para la resolución de problemas.
Comprender: Conceptos, fórmulas, equivalencias, conversiones y métodos para la resolución de problemas
Aplicar: Conceptos, fórmulas, equivalencias, conversiones y métodos para la resolución de problemas.
OBJETIVOS FORMATIVOS:
Intelectual: El alumno comprenderá los conceptos y los aplicará mediante la resolución de problemas de
aplicación a la vida cotidiana. Se fomentará la observación y el estudio de los fenómenos de la naturaleza
donde se aplican los conceptos que se estudiaran durante el desarrollo del programa.
Humano: El alumno elaborará apuntes limpios, ordenados y completos durante el semestre; contribuirá a la
integración y respeto entre los miembros del grupo y hacia el profesor; se le persuadirá a ser responsable,
honesto y limpio en sus trabajos y exámenes.
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Social: El alumno trabajará en equipo en la clase.
Profesional: Investigará en el periódico, revistas u otro medio, información reciente sobre la Geometría
analítica para ser expuesta en la clase. Se Proporcionará artículos recientes de aplicaciones de la materia para
fomentar el análisis de lecturas en los alumnos.
Presentación de las Unidades:
CONTENIDO TEMÁTICO:
MATEMÁTICAS III
Unidad I.
Sistema de coordenadas rectangulares
• Ejes coordenados
• Coordenadas de un punto
abscisa
ordenada
• Representación de figuras planas
• Distancia entre dos puntos
• Punto medio de un segmento
• Pendiente de una recta
• Ángulo de inclinación de una recta
• Ángulo entre dos rectas
Unidad II. Línea recta
2.1. Ecuaciones
2.1.1. Ordinaria
2.1.2. Canónica
2.1.3. Simétrica
2.2. Ecuación general
2.2.1. Intersección con los ejes coordenados
2.2.2. Intersección de dos rectas
2.2.3. Punto de intersección
2.2.4. Ángulo entre dos rectas
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2.2.5. Condiciones de paralelismo y perpendicularidad
Unidad III. Circunferencia
3.1. Ecuación ordinaria
3.1.1. Elementos:
radio
centro
3.1..2. Recta tangente
3.2. Ecuación general
3.2.1. Condiciones en la ecuación que corresponde a una circunferencia
3.2.2. Casos particulares
dados tres puntos
punto de tangencia
Unidad IV Parábola
4.1. Ecuación ordinaria
4.1.1. Elementos
4.1.2. Representación Gráfica (Vertical, Horizontal).
Unidad V Elipse
5.1. Ecuación ordinaria
5.1.1. Elementos
5.1.2. Representación Gráfica (Vertical, Horizontal).
Unidad VI Hipérbola
6.1. Ecuación ordinaria
6.1.1. Elementos
6.1.2. Representación Gráfica (Vertical, Horizontal)
a) Presentación de la Unidad:
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• La unidad uno estudia lo que es un plano cartesiano, sus características que es una coordenada, que es
una relación biunívoca, como representar un punto con dos números, como representar figuras planas,
como calcular l distancia entre dos puntos y los grados de inclinación de una recta y como calcular el
ángulo de intersección entre dos rectas
• La unidad dos estudia la Línea Recta sus propiedades, sus diferentes ecuaciones, y formas de determinar
sus componentes así como sus características.
• La unidad tres se refiere en si a la Circunferencia, como se determinan sus componentes, sus ecuaciones
algebraicas y el paso de una a otra ecuación
• La unidad cuatro estudia a la Parábola sus ecuaciones algebraicas, su representación gráfica, sus
componentes y como se relacionan entre si las diferentes ecuaciones
• La unidad cinco estudia a la Elipse sus ecuaciones algebraicas, su representación gráfica, sus
componentes y como se relacionan entre si las diferentes ecuaciones
• La unidad seis estudia a la Hipérbola sus ecuaciones algebraicas, su representación gráfica, sus
componentes y como se relacionan entre si las diferentes ecuaciones
b) Objetivos:
Al estudiar esta materia el alumno:
• Comprenderá los conceptos, definiciones, de las diferentes líneas y cónicas
• Identificará las fórmulas y su aplicación en las diferentes curvas.
• Mencionará las diferentes cónicas que se estudian.
• Demostrará su habilidad para resolver ejercicios de las diferentes líneas
• Aplicará los métodos aprendidos para resolver problemas
c) Ejercicios:
UNIDAD 1 Sistema de Coordenadas Rectangulares
Tema 1: Ejes Coordenados
• Localiza los puntos Indicados por las coordenadas A(3,4), B(0,1), C(−2,−2), D(0,−3), E(2,−4), F(−5,−5),
G(−4,2), H(−3,0)
• Identifica las Coordenadas de los puntos:
a=
b=
c=
d=
e=
f=
g=
h=
4
i=
j=
k=
l=
• Escribe en que cuadrante se encuentra se localiza cada uno de los siguientes puntos.
A(1,3)
B(4,−3)
C(5,−5)
D(−1,−4)
E(10,2)
F(−3,4)
G(−4,5)
H(5,−1)
I(1,1)
J(−1,−2)
•
• Localiza los puntos indicados por las coordenadas: A(−5,−2); B(−3,8); C(0,−1); D(5,0); E(12, 24);
F(−2,−2); G(A,½ ); H(−5,−2); I(3/2,1/5); J(−7,3); K(1/2,−2/3); L(5/4,−1/3 ); M(0,−1); N(10,0).
• Identifica las coordenadas de los puntos:
A=B=C=D=E=F=
G=H=I=
• Escribe en qué cuadrante se localiza cada uno de los siguientes puntos:
A(−1, ½ ) B(3,−3) C(4,−5)
D(−5,−10) E(5,5.7) F(1/3, −1/3)
G(−4,−5) H(3, ½ ) I(−3,7)
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J(8,−5)
Tema 2: Distancia entre dos puntos
• Calcula la distancia que existe entre el punto A(−3,2) y el punto B(3,−2)
• Calcula el perímetro y la distancia que existe entre los puntos A(−3,3), B(3,1), C(−2,−2) los cuales
forman un triangulo
• Dibuje el triangulo que tiene los vértices A(−2,−3), B(4,3), C(−3,4) y demuestre que el triángulo es
Isósceles
• Dibuje el Triángulo con los vértices A(5,−2), B(1,1), C(7,9). Demuestre que el triángulo es rectángulo,
Esto es: El cuadrado del lado mas largo es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados (Teorema
de Pitágoras) Calcule también el perímetro y el área del triangulo.
• Demuestre que los puntos A(−2,0), B(2,0), C( 0, ) son vértices de un mismo triángulo equilátero. Calcule
también el perímetro del mismo.
• Demuestre que los puntos A(1,−1), B(5,2), C(2,6) y D(−2,3) Son los lados iguales del cuadrilátero ABCD
. Calcule también su perímetro y su área
• En cada uno de los siguientes ejercicios, marca la parejas de puntos en un eje coordenado y encuentra la
distancia entre ellos:
a) (3,1); (7,4) b) (6,3); (−1,−1)
c) (2,3); (−1,0) d) (−3,−3);(2,2)
e) (0,4); (−3,0) f) (4,−3); (−8,2)
• Para cada uno de los siguientes ejercicios traza el triángulo con los vértices dados; encuentra la distancia
entre los puntos y el perímetro.
• A(−1,1); B(−1,4); C(3,4)
• A(2,−1); B(4,2); C(5,0)
• A(0,0); B(5,−2); C(−3,3)
• A(0,−3); B(3,0); C(0,−4)
• A(6,2); B(2,−3); C(−2,2)
• Dibuja los triángulos que tienen los vértices A, B y C y demuestra que cada uno es isósceles:
• A(5,4); B(2,0); C(−2,3)
• A(−2,3); B(4,3); C(−3,4)
• A(6,2); B(−2,2); C(2,−3)
• Dibuja los triángulos con vértices A, B y C. Demuestra que cada uno es rectángulo, calcula el perímetro y
área del triángulo.
• A(1,3); B(10,5); C(2,1)
• A(−1,1); B(6,−2); C(4,3)
• A(0,3); B(−3,−3); C(2,2)
• Determina si cada uno de los puntos de los ejercicios siguientes están sobre una línea recta ( son
colineales):
• A(3,3); B(0,1); C(9,1)
• A(3,1); B(0,2); C(6,0)
• A(−3,1); B(1,3); C(10,8)
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• Demuestra que los puntos (0,1);(3,5);(7,2);(4,−2) son los vértices de un cuadrado y calcula su perímetro y
área.
• Demuestra que los puntos (1,1);(3,5);(11,6);(9,2) son los vértices de un paralelogramo y calcula su
perímetro.
Tema 3: Punto medio de un segmento de Recta.
• Calcula las coordenadas del punto medio de la recta formada por A(−3,2) y B(4,−1), así como la
distancia de un extremo al punto medio.
• Calcula la distancia y las coordenadas del punto medio de cada una de las parejas de puntos: 1) A(−3,2),
B(2,5) 2) C(−3,1), D(5,2) 3) E(−2,−1), F(4,−2)
• En cada uno de los siguientes ejercicios, A y B son los extremos de un segmento de recta y M es el punto
medio; Calcular el elemento faltante
a) A(?,?), B(−2,4), M(−3,0) b) A(−1,1), B(?,?), M(1.5,3) c) A( −2,−2), B(3,−3), M(?,?)
• Calcula las coordenadas del punto medio de las rectas formadas por A y B; así como la distancia de un
extremo al punto medio.
• A(7,8); B(5,4) M(¿,?)
• A(−5,−3); B(4,−1) M(¿,?)
• A(3,−8); B(−3,7) M(¿,?)
• A(7,3); B(−2,−5) M(¿,?)
• A(11/3,−7/5); B(7/3,−3/5) M(¿,?)
• Calcula la distancia y las coordenadas del punto medio de cada una de las parejas de puntos.
• A(3,8); B(5,2) M(¿,?)
• A(7,11); B(4,7) M(¿,?)
• A(7,8); B(−5,10) M(¿,?)
• A(12,8); B(0,2) M(¿,?)
• A(4,−12); B(−3,−5) M(¿,?)
• En cada uno de los siguientes ejercicios, A y B son los extremos de un segmento de recta y M es el punto
medio; calcular el elemento faltante.
• A(5,7); B(¿,−3) M(6,2)
• A(−3,?); B(−11,−5) M(−7,−7/2)
• A(8,2); B(7,?) M(7.5,3.5)
• A(¿,−3); B(8,−3) M(8,−3)
• A(−2,0.5); B(8,?) M(5,4)
Tema 4: Inclinación y pendiente de una recta.
• Dados los siguientes ángulos de inclinación de una línea recta, obtener la pendiente respectiva:
a) = 24° = 123°50´ 32 = 88° 20' 7''
• Dadas las siguientes pendientes de una línea recta, obtener el ángulo de inclinación respectivo:
m = 0.323 m = 4/3 m = −3.7
• Calcular la pendiente y el ángulo de inclinación de cada una de las rectas que pasan por cada uno de los
siguientes pares de puntos.
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1) (−2,3) (1,1) 2) (−2,1) (2,−1) 3) (−2,−2) (3,1)
• Calcular la coordenada faltante en cada una de las siguientes rectas:
1) A(?, 4) B(4,−1) m = −5/7
2) A(−4,?) B(4,3) m = ½
3) A( −2,−2) B(?, 4) m = 2
• Trazar la recta que pasa por el punto A y su pendiente es m, en los siguientes casos
1) (1,3) m = 0.84 2) (−3,1) m = −0.62 3) (−1,−2) m = 0.58
• Dados los siguientes ángulos de inclinación de una línea recta, obtener la pendiente respectiva.
a) = 30° b) = 25° 52' 12 c) = 130°40'
d) = 150° e) = 78°21' 18 f) = 43° 03'
• Dadas las siguientes pendientes de una línea recta, obtener el ángulo de inclinación respectivo.
a) m = −3/4 b) m = 5.25 c) m = 2/5
d) m = −5.2530 e) m = 7/5 d) m = 0.5420
• Calcula la pendiente y el ángulo de inclinación de cada una de las rectas que pasan por cada uno de los
siguientes pares de puntos.
a) (2,−5); (−3,8) b) (0,2);(5,0) c) (−3,−7), (−2,−6)
d) (8,3); (5,10) e) (− ½ ,3/2);(5/2,9/2) f)(3/7, −1/5); (8/7,−3/5)
• Calcula la coordenada faltante en cada una de las siguientes rectas.
• A( ¿,8); B(−3,11) m = − ½
• A( 3,−15); B(¿,10) m = − 5/7
• A(8,?); B(7,3) m = 2
• A( 7,3); B(9,?) m = − 3/2
• A( ¿,8); B(−3,−5) m = 13/15
• Trazar la recta que pasa por el punto A y su pendiente es m, en los siguientes casos:
a) (3,−7) m = 3/7 b) (0,2) m = −1/3 c) (−4,−2) m = 5
d) (5/4, −2) m = 2/3 e) (−6, −1/3) m = 2 f) (8, 5) m = 7/11
Tema 5: Rectas paralelas y perpendiculares.
• Demostrar que cada uno de los puntos son vértices del Paralelogramo ABCD:
A(3,0), B(7,0), C(5,3), D(1,3)
• Demostrar que los cuatro puntos son vértices del rectángulo ABCD
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A(2,2), B(7,−3) C(10,0) D(5,5)
• Verificar que el triángulo formado con los puntos dados como vértices es un triángulo rectángulo,
puesto que la pendiente de un lado es la recíproca negativa de la pendiente del otro lado
A(7,1), B(0,−2), C(5,−4)
• En cada uno de los ejercicios, hallar las pendientes de las rectas que pasan por lo dos pares de puntos.
Luego decidir si las rectas son paralelas, perpendiculares o si se intersectan oblicuamente
1) A(1,−1),(−5,−5) B(1,−2), (7,2)
2) A(1,8),(−3,4) B(−1,8), (0,10)
3) A(6,5),(11,9) B(2,5), (12,9)
4) A(1,−1),(−4,−4) B(1,1), (4,−4)
5) A(2,−3),(0,2) B(1,0), (6,2)
6) A(−6,−4),(22,8) B(−5,7), (7,−8)
Tema 6: Ángulo entre dos rectas.
• La recta que pasa por los puntos (3,4) y (−5,0) Intersecta la recta que pasa por Los puntos (0,0) y (−5,0) .
Determinar los ángulos de intersección
• Hallar las tangentes de los ángulos en el Triángulo ABC
A (1,1) B 5,2) C (3,5)
UNIDAD 2 Línea Recta
Tema 1: Ecuación Punto pendiente:
• Conociendo el punto P (2,7) y m = 1 Obtener la ecuación de la recta
• Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (4,−1) y tiene un ángulo de inclinación de 135°
• Usando la forma punto pendiente deduce la ecuación de la recta con los siguientes datos y trazar la
gráfica. P (−9,−7) m = −2/3
Tema 2: Ecuación pendiente ordenada al origen:
• Hallar la ecuación de la recta usando la forma pendiente ordenada al origen para los siguientes datos:
a) m = −3, b = −2 b) m = −2 Intersección eje Y= −4
c) m = 3, P(0,7) d) P1 (0,9), P2 (7,3)
• Trazar la gráfica usando los siguientes datos:
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a) b = 3; m = 1 b) y = 2x −1
Tema 3: Ecuación de la recta que pasa por dos puntos:
• Obtener la ecuación de la recta usando la ecuación de dos puntos conociendo los siguientes datos y
dibujar sus gráficas.
a) P1(3,4) P2 (−1,8) b) P1(2,−1) P2 (4,4)
c) Deduce las ecuaciones de los tres lados del triángulo, cuyos vértices están en:
(1,4), (3,0) y ( −1,−2)
Tema 4: Forma Simétrica de la ecuación de la recta:
• Deducir las ecuaciones de la recta con los siguientes datos y trazar su gráfica
a) a = 6 ; b = −1 b) P1(3,0) P2 (0,−4)
c) Los segmentos de una recta determinada sobre los ejes X y Y son 2 y −3 respectivamente. Hallar su
ecuación.
Tema 5: Forma General de la ecuación de la recta:
La ecuación de una recta cualquiera, en el plano cartesiano es de la forma lineal:
Ax +By +C = 0
Donde A ó B deben ser diferentes de cero y C puede ser o no igual a cero
EJERCICIOS:
• Transformar las siguientes ecuaciones a la forma pendiente ordenada al origen.
2x −5y +4 = 0
x +3y −7 = 0
• Transformar la siguiente ecuación a la forma simétrica
2x −5y −10 = 0
Usando la forma Punto pendiente Deduce la Ecuación General de la línea recta que tiene los siguientes
datos:
• Punto (4, −1) m = −2
• Punto (−1, −5) m = 5
• Punto (0, 4) m = − 2/3
• m = −12 b = −3/4
•m=1b=9
• m = 21 (0, 7)
• m = 9/8 (0, 16
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Usando la forma Simétrica deduce la ecuación general de la línea recta
• a = 5 b = −3
• a = −8 b = 1
• (9, 0) (0, −5)
Usando la forma Punto pendiente Deduce la Ecuación General de la línea recta que tiene los siguientes
datos:
• A (5,2) B (−1, 4)
• A( 7.5, −2.2) B(4.8, −5.6)
Encuentra los puntos de intersección de la recta con cada uno de los ejes coordenados X y Y
• 2x +4y+ −8 =0
• x −y −5 = 0
Encuentra el punto de Intersección de las rectas dadas
• a) 5x −4y −7 = 0 b) 3x −2y −4 = 0
Calcula el ángulo que forman entre si cada una de las rectas l1 y l2 que pasan por los puntos indicados
• l1 (2, 5) (−3, −10)
l2 (−1, −3) (3, 3)
• l1 2x −3y −8 = 0
l2 2x −3y −4 = 0
UNIDAD 3 Circunferencia
I.− En cada uno de los siguientes ejercicios encuentre las ecuaciones:
Canónica x2 +y2 = r2 ; Ordinaria (x −h)2 + (y −k)2 = r2 ó General x2 +y2 +Dx +Ey +F = 0 de la
circunferencia de acuerdo a las condiciones enunciadas y trace la gráfica correspondiente.
•
• Centro en el origen y radio igual a 8
• C(2,1),
• C(−3, −5), r = 7
• C(−4,−1),
•
II.− Encuentre el centro y el radio de las siguientes circunferencias y trace su gráfica.
•
•
11
III.− Los puntos dados son los extremos de un diámetro, obtenga las coordenadas del centro, la longitud
del radio, la ecuación ordinaria y la ecuación general de la Circunferencia.
•
• A (2, 3) B (−4, 5)
• A (−4,−6) B (2, 2)
• A (0, 0) B (4, 3)
• A (1, 2) B (−5, −2)
• A (−1,1) B (7, 7)
IV.− Hallar la ecuación general de la circunferencia dadas las siguientes condiciones. Determine la
longitud del radio por medio de la distancia entre dos puntos
• C(7,−6) y pasa por el punto A(2, 2)
• C(−2,−3) y pasa por el punto A(2, 4)
• C(3,−1) y pasa por el punto A(7, 2)
• C(−4,4) y pasa por el punto A(0, 4)
• C(0, 0) y pasa por el punto A(−2,−5)
V.− Si se tiene el centro o el radio y la Circunferencia es tangente a una recta. Encuentre el dato faltante y
escriba la ecuación ordinaria correspondiente
• C(2,−4) y es tangente al eje de las Y
• C(−1,−6) y es tangente al eje de las X
• C(1,0) y es tangente al eje de las Y
• C(−3,8) y es tangente al eje de las X
• C(3,−1) y es tangente a la Línea recta y = 5x−1
VI.− El centro de la Circunferencia se localiza en la intersección de las rectas, cuyas ecuaciones se dan a
continuación; Con estos datos determine la ecuación general de la Circunferencia
• 3x −2y −24 = 0 ; 2x +7y +9 = 0 r = 5
• 7x −9y −10 = 0 ; 2x −5y +2 = 0
• 2x +5y −2 = 0 ; x −2y +8 = 0
• 3x +2y −7 = 0 : 6x −2y +2 = 0
• 2x +y = 0 ; −3x +y −5 = 0
VII.− Expresa las ecuaciones en la forma ordinaria, determina el centro y el radio en cada una de ellas.
• 2x2 +2y2 −10x +6y −15 = 0
• 36x2 +36y2 +48x−108y+97 = 0
• x2 +y2 −8x +6y +29 = 0
• x2 +y2 +4x +6y+9 = 0
• 4x2 +4y2 −4x +16y −19 = 0
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UNIDAD 4 Parábola
I.− En los siguientes ejercicios encuentre: el Vértice, Foco , Lado recto, Ecuación de la directriz y trace la
gráfica correspondiente
•
• y2 = 8x
• x2 = −10y
• y2 +4x = 0
• x2 +6 = 6y
• y2 −8 −8x = 0
II.− Encuentre la ecuación de la Parábola y los demás elementos que satisfacen las condiciones dadas:
• V (0,0) y F(4,0)
• V(0,0) y Directriz x −8 = 0
• F(0,2) y Directriz y +2 = 0
• V(0,0) Eje de la Parábola el lado (+) de las X y pasa por el punto (2,1)
III.− Obtenga los elementos de la parábola, La ecuación general y grafique
• (y +3)2 = 8 (x −2)
• (x +1)2 = −6 (y −4)
• (x +4)2 = 4 (y +1)
IV.− Hallar las ecuaciones ordinaria y general de la parábola a partir de los siguientes datos:
• F(5, −1) y Directriz x −1 = 0
• V(−4, 3) y F(−2, 3)
• V(4, −3) lado recto = 8 y abre hacia abajo
• V(4, 3) Pasa por el punto (3, 5) y abre a la Izquierda
V.− Reduzca la ecuación a la forma ordinaria y determine los elementos más importantes
• x2 −6x +5y −1 = 0
• 3y2 +6y +x +3 = 0
• y2 −4y +6x −8 = 0
• x2 −4x −6y +13 = 0
VI.− Deduzca los demás elementos de la parábola, escriba las ecuaciones ordinaria y general y grafique
• V(2, 3) LR = 4 y abre hacia arriba
• V(4, −5) Cuyo LR es el segmento que une los puntos (2, −1) (2, 1)
• F(2, 3) y Directriz y = 9
UNIDAD 5 Elipse
• Si una Elipse tiene sus vértices en V(0,5) y V'(0,−5) y sus focos en F(0,4) y F'(0,−4), Determina:
•
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• Las Coordenadas del centro
• Los valores de a y b
• Eje mayor 2a
• Eje menor 2b
• Lado recto
• Excentricidad
• Ecuación ordinaria
• Ecuación general
• Extremos del eje menor
• Una Elipse tiene sus vértices en V(4,0) y V' (−4,0) y su excentricidad es e = ¾ Obtén:
•
• Los valores de a y b
• Las Coordenadas del centro
• La ubicación de los focos
• Lado recto
• Extremos del eje menor
• Ecuación ordinaria
• Ecuación general
• La ecuación de la una Elipse es 4x2 +9y2 −36 = 0 Determina:
•
• Ecuación ordinaria
• Las Coordenadas del centro
• Los valores de a, b y c
• Vértices
• Focos
• Extremos del eje menor
• Eje Mayor
• Eje menor
• Lado recto
• Excentricidad
• Encuentra los elementos de la Elipse cuyos vértices son V(6,4) y V'(−2,4) y cuyos focos son F(5,4) y
F'(−1,4).
•
• Las Coordenadas del centro
• Los valores de a, b y c
• Eje Mayor
• Eje menor
• Extremos del eje menor
• Ecuación ordinaria
• Ecuación general
•
14
• Para la Elipse cuya ecuación es:
Determina:
•
• Las Coordenadas del centro
• Los valores de a, b y c
• Eje Mayor
• Eje menor
• Vértices
• Focos
• Extremos del eje menor
• Lado recto
• Excentricidad
• Ecuación general
• La Ecuación general de una Elipse es 9x2 +5y2 −18x −40y +44 = 0
Obtener:
•
• Ecuación ordinaria
• Las Coordenadas del centro
• Los valores de a, b y c
• Vértices
• Focos
• Extremos del eje menor
• Eje Mayor
• Eje menor
• Lado recto
• Excentricidad
• Si la ecuación general de una Elipse es 9x2 +25y2 +36x −200y +211 = 0
Obtener:
•
• Ecuación ordinaria
• Las Coordenadas del centro
• Los valores de a, b y c
• Vértices
• Focos
• Eje Mayor
• Eje menor
15
• Lado recto
• Excentricidad
• Una Elipse tiene su centro en C(−5,8), La longitud del eje mayor es igual a 12 la longitud del eje menor
es 8 y el eje mayor es paralelo al eje Y
Determinar:
•
• Vértices
• Los valores de a, b y c
• Focos
• Excentricidad
• Lado recto
• Ecuación ordinaria
• Ecuación general
• Si la ecuación ordinaria de una Elipse es:
Determinar:
•
• El centro
• Los valores de a, b y c
• Vértices
• Focos
• Eje Mayor
• Lado recto
• Ecuación general
UNIDAD 6 Hipérbola
• Una hipérbola tiene sus vértices en V(3,0) y V'(−3,0) y sus focos en F(5,0) y F'(−5,0)
Determinar:
•
• El centro
• Los valores de a, b y c
• Extremos del eje conjugado
• Eje transverso
• Eje Conjugado
• Lado recto
• Excentricidad
16
• Ecuación ordinaria
• Ecuación general
• Ec. azíntotas
• Si la ecuación de la Hipérbola es:
Determinar:
•
• El centro
• Los valores de a, b y c
• Vértices
• Focos
• Eje Transverso
• Eje Conjugado
• Extremos del eje conjugado
• Lado recto
• Excentricidad
• Ecuación general
• Ec. azíntotas
• Para la Hipérbola cuyos vértices son V(0,2) y V'(0,−2) y el valor de la excentricidad es e = 3/2
Determinar:
•
• El centro
• Los valores de a, b y c
• Focos
• Eje Transverso
• Eje Conjugado
• Extremos del eje conjugado
• Lado recto
• Ecuación ordinaria
• Ecuación general
• Ec. azíntotas
• Determina los elementos de la hipérbola cuyos vértices son V(2,3) y V'(−4,3) y cuyos focos son F(3,3) y
F' (−5,3)
• El centro
• Los valores de a, b y c
• Extremos del eje conjugado
• Eje Conjugado
17
• Eje Transverso
• Lado recto
• Excentricidad
• Ecuación ordinaria
• Ecuación general
• Ec. azíntotas
• Calcula los elementos de la Hipérbola si su ecuación es:
Determinar:
•
• El centro
• Los valores de a, b y c
• Extremos del eje conjugado
• Vértices
• Focos
• Eje Conjugado
• Eje Transverso
• Lado recto
• Excentricidad
• Ecuación general
• Ec. azíntotas
• Una hipérbola tiene su centro en C(−1,2), eje focal el Eje X, el eje transverso mide 10 y el eje conjugado
12
Determinar:
•
• Los valores de a, b y c
• Extremos del eje conjugado
• Focos
• Vértices
• Excentricidad
• Lado recto
• Ecuación Ordinaria
• Ecuación general
• Ec. azíntotas
• Si la ecuación de una Hipérbola es
Determinar:
•
18
• El centro
• Los valores de a, b y c
• Extremos del eje conjugado
• Extremos del eje transverso
• Focos
• Eje Transverso
• Eje conjugado
• Lado recto
• Excentricidad
• Ec. Azíntotas
• Ecuación general
• Una Elipse tiene su centro en (4,−5), el eje focal es paralelo al eje de las x, el lado recto es igual a 8 y el
eje transverso es igual a 2
Determinar:
• Los valores de a, b y c
• Vértices
• Focos
• Extremos del eje conjugado
• Excentricidad
• Eje conjugado
• Ec. Azíntotas Lado recto
• Ecuación ordinaria
• Ecuación general
FORMULARIO:
UNIDAD 1
Plano cartesiano
Distancia:
Punto medio;
Pm (xm, ym)
Pendiente:
m = Tan
= Tan−1m
19
UNIDAD 2
Línea Recta
Punto pendiente:
Dos puntos
Ecuación :
Pendiente ordenada
al origen
Simétrica
General
Ax +By +C = 0
Distancia de un punto a
una recta
UNIDAD 3
Circunferencia
Ec. Canónica:
x2 +y2 = r2
Ec. Ordinaria:
(x−h)2 + (y−k)2 = r2
Ec. General:
Ax2+Ay2+Dx+Ey+F =0
Con A " 0
UNIDAD 4
La Parábola
Ec. Canónica
y2 = 4px Derecha
y2 = −4px Izquierda
20
x2 = 4py Arriba
x2 = −4py Abajo
Ec. Ordinaria
(y−k)2 = 4p(x−h) Derecha
(y−k)2 = −4p(x−h) Izquierda
(x−h)2 = 4p(y−k) Arriba
(x−h)2 = −4p(y−k) Abajo
Ec. General
Paralela al eje X
y2 +Dx +Ey +F = 0
Paralela al eje Y
x2 +Dx +Ey +F = 0
UNIDAD 5
La Elipse
Ec. Canónica
Horizontal a2 > b2
Vertical a2 > b2
Ec. Ordinaria
Horizontal a2 > b2
Vertical a2 > b2
Ec. General
Ax2 +Cy2 +Dx +Ey +F = 0
UNIDAD 6
La Hipérbola
Ec. Canónica
Horizontal
21
Vertical
Ec. Ordinaria
Horizontal
Vertical
Ec. General
Ax2 +Cy2 +Dx +Ey +F = 0
Bibliografía:
◊ Fuller Gordon . Geometría Analítica, CECSA, México,1995.
◊ Guerra Tejada Manuel, et.al., Geometría Analítica, Mc Graw Hill, México 1992
◊ Guzmán Herrera Abelardo, Cien problemas de Geometría Analítica, Pub. Cultural
1995
◊ Kindle, Joseph, Geometría Analítica, México, McGraw Hill, 1995
◊ Lehmann,Charles. Geometría Analítica, México, Limusa,1994
◊ López Quiles Antonio et.al. Relaciones y geometría Analítica, Alambra, México,
1997
◊ Ortiz Campos, Matemáticas con Geometría Analítica, México, Publicaciones
Cultural, 1996
◊ Riddle, Douglas F., Geometría Analítica, México, Thompson Editores, 1997
◊ Steen, Frederick. Geometría Analítica. Publicaciones Cultural, S.A. de C.V., México,
1995
◊ Swokowski, Earl W. Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica, Grupo
Editorial Iberoamérica, México,1998
MAPA CONCEPTUAL DE LA UNIDAD DOS LÍNEA RECTA
RESPUESTAS
UNIDAD 1 Sistema de Coordenadas Rectangulares
Tema 1: Ejes Coordenados
• Cada punto del eje coordenado se asocia con un par de números llamados coordenadas tomando en
cuenta: Que la línea horizontal se le denomina Eje de las Abscisas, y la línea vertical Eje de las
ordenadas, el punto en donde se cruzan los dos ejes se le llama Origen y a partir del origen hacia la
derecha y hacia arriba se considera a los números como (+), Hacia la izquierda y hacia abajo como (−).
Notarás que se forman cuatro cuadrantes a partir del cuadrante superior derecho se contará como I y a
partir de ahí contando en sentido contrario a las manecillas del reloj se cuentan los otros cuadrantes.
22
• Identifica las Coordenadas de los puntos: Lo mismo que el anterior
• Escribe en que cuadrante se encuentra se localiza cada uno de los siguientes puntos.A(1,3) I
B(4,−3) IV
C(5,−5) IV
D(−1,−4) III
E(10,2) I
F(−3,4) II
G(−4,5) II
H(5,−1) IV
I(1,1) I
J(−1,−2) III
Tema 2: Distancia entre dos puntos
• d = 7.21
• AB = 6.32, BC =5.83 y CA = 5.099 ; P = 17.249
• AB = 8.48, BC = 7.07, CA = 7.07 (Isósceles)
• AB = 5.0, BC = 10, CA = 11.18
CA > AB y BC (Hipotenusa c)
AB = a, BC = b
Teorema de Pitágoras
c2 = a2 +b2
11.182 = 52 +102 El Triángulo es rectángulo
P = 16.18
A = 25
• AB = 4.0, BC = 4.0, CA = 4.0 (Equilátero)
P = 12
23
• AB = 5.0, BC = 5.0, CD = 5.0, DA = 5
P = 20 A = 25
Tema 3: Punto medio de un segmento de Recta.
• Xm = 0.5 Ym = 0.5 Pm (0.5,0.5) d = 7.61 Distancia al punto medio = 3.805
• 1) Pm ( −0.5,3.5) d = 2.915
2) Pm ( 1,1.5) d = 4.0
3) Pm (1,−1.5) d = 3.04
•
a) A(−4,−4), B(−2,4), M(−3,0) b) A(−1,1), B(4,5), M(1.5,3) c) A( −2,−2), B(3,−3), M(0.5,−2.5)
Tema 4: Inclinación y pendiente de una recta.
• = 24° m = 0.455 = 123°50´ 32 m = −1.49 = 88° 20' 7''; m = 34.41
• m = 0.323 = 17°.9 m = 4/3 = 53°.13 m = −3.7 = −74°.87
• 1) (−2,3) (1,1) 2) (−2,1) (2,−1) 3) (−2,−2) (3,1)
m = −2/3, = 146°.31 m = −2/4, = 153°.46 m = 3/5, = 30°.96
• 1) A(−3, 4) B(4,−1) m = −5/7
2) A(−4,−1) B(4,3) m = ½
3) A( −2,−2) B(1, 4) m = 2
• Trazar la recta que pasa por el punto A y su pendiente es m, en los siguientes casos
1) (1,3) m = 0.84 2) (−3,1) m = −0.62 3) (−1,−2) m = 0.58
Tema 5: Rectas paralelas y perpendiculares.
• Demostrar que cada uno de los puntos son vértices del Paralelogramo ABCD:
A(3,0), B(7,0), C(5,3), D(1,3)
m AD = mBC = −3/2 Paralelas
m AD = mBC = 0 Paralelas
• Demostrar que los cuatro puntos son vértices del rectángulo ABCD
A(2,2), B(7,−3) C(10,0) D(5,5)
mAB = mCD = −1 Paralelas
24
mAD = mBC = 1 Paralelas
mAB " mBC = Perpendiculares
mAD " mBC = Perpendiculares
1 " −1 son recíprocos negativos
• Verificar que el triángulo formado con los puntos dados como vértices es un triángulo rectángulo,
puesto que la pendiente de un lado es la recíproca negativa de la pendiente del otro lado
A(7,1), B(0,−2), C(5,−4)
mBC " mAC = Perpendiculares
−2/5 " 5/2 Recíprocas Negativas
•
1) A(1,−1),(−5,−5) B(1,−2), (7,2) mA = 2/3 mB = 2/3 Paralelas
2) A(1,8),(−3,4) B(−1,8), (0,10) mA = 3 mB = 2 Oblicuas
3) A(6,5),(11,9) B(2,5), (12,9) mA = 4/5 mB = 2/5 Oblicuas
4) A(1,−1),(−4,−4) B(1,1), (4,−4) mA = 3/5 mB = −5/3 Perpendicular
5) A(2,−3),(0,2) B(1,0), (6,2) mA = −5/2 mB = 2/5 Perpendicular
6) A(−6,−4),(22,8) B(−5,7), (7,−8) mA = 3/4 mB = −5/4 Oblicuas
Tema 6: Ángulo entre dos rectas.
•
m1 = 1/2 Tg = −1/2
m2 = 0 = 153°.4
• Hallar las tangentes de los ángulos en el Triángulo ABC
A (1,1) B (5,2) C (3,5)
mAB = 1/4 AC CB = 60°.25
mBC = −3/2 AB CB = −70°.35 =109°.65
mAC = 2 AB AC = 49°.4
UNIDAD 2 Línea Recta
Tema 1: Ecuación Punto pendiente:
• Conociendo el punto P (2,7) y m = 1 Obtener la ecuación de la recta
25
Pendiente ordenada al origen Y = X +5 General :X −Y +5 = 0
• Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (4,−1) y tiene un ángulo de inclinación de 135°
m135° = −1 Pendiente ordenada al origen Y = −X +3 General :X +Y −3 = 0
• Usando la forma punto pendiente deduce la ecuación de la recta con los siguientes datos y trazar la
gráfica. P (−9,−7) m = −2/3
Pendiente ordenada al origen Y = −2/3X −13 General :2X +3Y +39 = 0
Tema 2: Ecuación pendiente ordenada al origen:
• Hallar la ecuación de la recta usando la forma pendiente ordenada al origen para los siguientes datos:
a) m = −3, b = −2 b) m = −2 Intersección eje Y= −4
Y = −3X −2; 3X +Y +2 Y = −2X −4 ; 2X +Y +4
c) m = 3, P(0,7) d) P1 (0,9), P2 (7,3)
Y = 3X +7; 3X −Y +7 Y = −6/7X +9; 6X +7Y −63 = 0
• Trazar la gráfica usando los siguientes datos:
a) b = 3; m = 1 = 45°
b) y = 2x −1
m = 2; = 63.43°
Tema 3: Ecuación de la recta que pasa por dos puntos:
• Obtener la ecuación de la recta usando la ecuación de dos puntos conociendo los siguientes datos y
dibujar sus gráficas.
a) P1(3,4) P2 (−1,8) Y = X +1 X −Y +1 = 0
b) P1(2,−1) P2 (4,4) Y = 5/2 X −12/5 5X −2Y −12 = 0
c) Deduce las ecuaciones de los tres lados del triángulo, cuyos vértices están en:
(1,4), (3,0) y ( −1,−2)
L1 (1,4) (3,0) Y = −2X +6 2X +Y −6 = 0
L2 (3,0) (−1, −2) Y = 1/2X −3 2X −4Y −6 = 0
L3 (−1, −2) (1, 4) Y = 3X +1 3X −Y +1 = 0
Tema 4: Forma Simétrica de la ecuación de la recta:
26
• Deducir las ecuaciones de la recta con los siguientes datos y trazar su gráfica
a) a = 6 ; b = −1 Y = 1/6X −1 X −6Y −6 = 0
b) P1(3,0) P2 (0,−4) Y = 4/3X −3 4X −3Y −12 = 0
c) Los segmentos de una recta determinada sobre los ejes X y Y son 2 y −3 respectivamente. Hallar su
ecuación.
Y = 2/3X +3 2X −3Y +6 = 0
Tema 5: Forma General de la ecuación de la recta:
La ecuación de una recta cualquiera, en el plano cartesiano es de la forma lineal:
Ax +By +C = 0
Donde A ó B deben ser diferentes de cero y C puede ser o no igual a cero
EJERCICIOS:
• Transformar las siguientes ecuaciones a la forma pendiente ordenada al origen.
2x −5y +4 = 0 y = 2/5x +4/5
x +3y −7 = 0 y = −1/3x+7/3
• Transformar la siguiente ecuación a la forma simétrica
2x −5y −10 = 0
Usando la forma Punto pendiente Deduce la Ecuación General de la línea recta que tiene los siguientes
datos:
• Punto (4, −1) m = −2 2x +y −7 = 0
• Punto (−1, −5) m = 5 5x −y = 0
• Punto (0, 4) m = − 2/3 2x +3y −12 = 0
• m = −12 b = −3/4 48x +4y +3 = 0
• m = 1 b = 9 x −y +9 = 0
• m = 21 (0, 7) 21x −y +7 = 0
• m = 9/8 (0, 16 9x −8y +128 = 0
Usando la forma Simétrica deduce la ecuación general de la línea recta
• a = 5 b = −3 3x −5y −15 = 0
• a = −8 b = 1 x −8y +8 = 0
• (9, 0) (0, −5) 5x −9y −45 = 0
Usando la forma Punto pendiente Deduce la Ecuación General de la línea recta que tiene los siguientes
datos:
• A (5,2) B (−1, 4) 2x +6y −27 = 0
27
• A( 7.5, −2.2) B(4.8, −5.6) 1.37x −y −12.18 = 0
Encuentra los puntos de intersección de la recta con cada uno de los ejes coordenados X y Y
• 2x +4y+ −8 =0 (4, 0) (0, 2)
• x −y −5 = 0 (5, 0) (0, −5)
Encuentra el punto de Intersección de las rectas dadas
• a) 5x −4y −7 = 0 b) 3x −2y −4 = 0 (1, −1/2 )
Calcula el ángulo que forman entre si cada una de las rectas l1 y l2 que pasan por los puntos indicados
• l1 (2, 5) (−3, −10) = 15° 15´ 13.19
l2 (−1, −3) (3, 3)
• l1 2x −3y −8 = 0 = 67° 22´ 48.49
l2 2x −3y −4 = 0
UNIDAD 3
Circunferencia
• Centro en el origen y radio igual a 8 (X −0)2 + (Y −0)2 = 64
X2 +Y2 −64 = 0
• C(2,1), (X −2)2 + (Y −1)2 = 10
X2 +Y2 −4X −2Y −5 = 0
•
X2 +Y2 +5X −4Y +8 = 0
• C(−3, −5), r = 7
X2 +Y2 +6X +10Y −15 = 0
• C(−4,−1),
X2 +Y2 +8X +2Y −3 = 0
•
9X2 +9Y2 −36X +6Y −44 = 0
II.− Encuentre el centro y el radio de las siguientes circunferencias y trace su gráfica
• C (0,0) r = 3
• C (2,0) r = 6
• C (0,−4) r =
•
28
III.− Los puntos dados son los extremos de un diámetro, obtenga las coordenadas del centro, la longitud
del radio, la ecuación ordinaria y la ecuación general de la Circunferencia.
• A (2, 3) B (−4, 5)
X2 +Y2 +2X −8Y +7 = 0
• A (−4,−6) B (2, 2)
X2 +Y2 +2X +4Y −20 = 0
• A (0, 0) B (4, 3)
X2 +Y2 −4X −3Y = 0
• A (1, 2) B (−5, −2)
X2 +Y2 +4X −9 = 0
• A (−1,1) B (7, 7)
X2 +Y2 −6X −8Y = 0
IV.− Hallar la ecuación general de la circunferencia dadas las siguientes condiciones. Determine la
longitud del radio por medio de la distancia entre dos puntos
• C(7,−6) y pasa por el punto A(2, 2)
X2 +Y2 −14X +12Y −4 = 0
• C(−2,−3) y pasa por el punto A(2, 4)
X2 +Y2 +4X +6Y −52 = 0
• C(3,−1) y pasa por el punto A(7, 2)
X2 +Y2 −6X +2Y −15 = 0
• C(−4,4) y pasa por el punto A(0, 4)
X2 +Y2 +8X −8Y +16 = 0
• C(0, 0) y pasa por el punto A(−2,−5)
X2 +Y2 −24 = 0
V.− Si se tiene el centro o el radio y la Circunferencia es tangente a una recta. Encuentre el dato faltante y
escriba la ecuación ordinaria correspondiente
• C(2,−4) y es tangente al eje de las Y
X2 +Y2 −4X +8Y +16 = 0
29
• C(−1,−6) y es tangente al eje de las X
X2 +Y2 +2X +12Y +1 = 0
• C(1,0) y es tangente al eje de las Y
X2 +Y2 −2X = 0
• C(−3,8) y es tangente al eje de las X
X2 +Y2 +6X −16Y +9 = 0
• C(3,−1) y es tangente a la Línea recta y = 5x−1
X2 +Y2 −6X +2Y+1 = 0
VI.− El centro de la Circunferencia se localiza en la intersección de las rectas, cuyas ecuaciones se dan a
continuación; Con estos datos determine la ecuación general de la Circunferencia
• 3x −2y −24 = 0 ; 2x +7y +9 = 0 r = 5
X2 +Y2 −12 +6Y +20 = 0
• 7x −9y −10 = 0 ; 2x −5y +2 = 0
X2 +Y2 −8X −4Y −38 = 0
• 2x +5y −2 = 0 ; x −2y +8 = 0
X2 +Y2 +8X −4Y −17 = 0
• 3x +2y −7 = 0 : 6x −2y +2 = 0
9X2 +9Y2 −10X −48Y+66 = 0
• 2x +y = 0 ; −3x +y −5 = 0
X2 +Y2 +2X −4Y −9 = 0
VII.− Expresa las ecuaciones en la forma ordinaria, determina el centro y el radio en cada una de ellas.
• 2x2 +2y2 −10x +6y −15 = 0 C(5/2,−3/2) r = 4
• 36x2 +36y2 +48x−108y+97 = 0 C(−2/3,3/2) r = 0
• x2 +y2 −8x +6y +29 = 0 No es una circunf.
• x2 +y2 +4x +6y+9 = 0 C(−2,−3) r = 2
• 4x2 +4y2 −4x +16y −19 = 0 C(1/2,−2) r = 3
UNIDAD 4 Parábola
I.− En los siguientes ejercicios encuentre: el Vértice, Foco , Lado recto, Ecuación de la directriz y trace la
gráfica correspondiente
30
• y2 = 8x V(0,0) F(2,0) LR = 8 Dir. X = −2
• x2 = −10y V(0,0) F(0,−5/2) LR = 10 Dir. Y = 5/2
• y2 +4x = 0 V(0,0) F(−1,0) LR = 4 Dir. X = 1
• x2 +6 = 6y V(0,1) F(0,5/2) LR = 6 Dir. Y = −1/2
• y2 −8 −8x = 0 V(−1,0) F(1,0) LR = 8 Dir. X = −3
II.− Encuentre la ecuación de la Parábola y los demás elementos que satisfacen las condiciones dadas:
• V (0,0) y F(4,0) Y2=16X LR= 16 Dir. X=−4
• V(0,0) y Directriz x −8 = 0 Y2=−32X LR= 32 F(−8,0)
• F(0,2) y Directriz y +2 = 0 X2=8X LR= 8 V(0,0)
• V(0,0) Eje de la Parábola el lado (+) de las X y pasa por el punto (2,1)
Y2=1/2X LR= 1/2 F(1/8,0) DIR X=−1/8
III.− Obtenga los elementos de la parábola, La ecuación general y grafique
• (y +3)2 = 8 (x −2) V(2,−3) F(4,−3) LR = 8 Dir. X = 0
Y2 −8X +6Y +25 = 0
• (x +1)2 = −6 (y −4) V(−1,4) F(1,5/2) LR = 6 Dir. Y = 11/2
X2 +2X +6Y −23 = 0
• (x +4)2 = 4 (y +1) V(−4,−1) F(−4,0) LR = 4 Dir. Y = −2
X2 +8X −4Y +12 = 0
IV.− Hallar las ecuaciones ordinaria y general de la parábola a partir de los siguientes datos:
• F(5, −1) y Directriz x −1 = 0 (y+1)2=8(X−3) Y2−8X+2Y+25 =0
• V(−4, 3) y F(−2, 3) (y−3)2=8(X+4) Y2−8X−6Y+23 =0
• V(4, −3) lado recto = 8 y abre hacia abajo (X−4)2=−8(Y+3) X2−8X+8Y+40 =0
• V(4, 3) Pasa por el punto (3, 5) y abre a la Izquierda (y−3)2=−4(X−4)
Y2+4X−6Y−7 =0
V.− Reduzca la ecuación a la forma ordinaria y determine los elementos más importantes
• x2 −6x +5y −1 = 0 (X−3)2=−5(Y−2) V(3,2) F(3,3/4) LR = 5 Dir. Y = 13/4
• 3y2 +6y +x +3 = 0 (Y+1)2=−1/3X V(0,−1); F(−1/12,−1) LR =1/3 Dir. X = 1/12
• y2 −4y +6x −8 = 0 (Y−2)2=−6(X−2) V(2,2); F(1/2,2) LR = 6 Dir. X = 7/2
• x2 −4x −6y +13 = 0 (X−2)2=6(Y−3/2) V(2,3/2); F(2,3) LR = 6 Dir. Y = 0
VI.− Deduzca los demás elementos de la parábola, escriba las ecuaciones ordinaria y general y grafique
• V(2, 3) LR = 4 y abre hacia arriba (X−2)2= 4(Y−3); F(2,4); DIR Y=2;
X2 −4X −4Y +16
• V(4, −5) Cuyo LR es el segmento que une los puntos (2, −1) (2, 1)
31
(Y+5)2= −8(X−4); F(2,−5); Dir. X = 6 Y2 +8X +10Y −7 = 0
• F(2, 3) y Directriz y = 9 (X−2)2= −12(Y−6); V(2,6); LR =12
X2 −4X +12Y −68 = 0
UNIDAD 5 Elipse
• Si una Elipse tiene sus vértices en V(0,5) y V'(0,−5) y sus focos en F(0,4) y F'(0,−4), Determina:
• Las Coordenadas del centro C(0,0)
• Los valores de a y b a = 5, b = 3
• Eje mayor 2a 2a = 10
• Eje menor 2b 2b = 6
• Lado recto LR = 3.6
• Excentricidad e = 0.8
• Ecuación ordinaria
• Ecuación general 25X2 +9Y2 −225 = 0
• Extremos del eje menor (3,0), (−3,0)
• Una Elipse tiene sus vértices en V(4,0) y V'( −4,0) y su excentricidad es e = ¾ Obtén:
• Los valores de a y b a = 4 b = "7
• Las Coordenadas del centro C(0,0)
• La ubicación de los focos F(−3,0), F'(3,0)
• Lado recto LR = 3.5
• Extremos del eje menor B(0,2.6) B'(0,−2.6)
• Ecuación ordinaria
• Ecuación general 7X2 +16Y2 −112 = 0
• La ecuación de la una Elipse es 4x2 +9y2 −36 = 0 Determina:
• Ecuación ordinaria
• Las Coordenadas del centro C(0,0)
• Los valores de a, b y c a=3; b=2; c=5
• Vértices V(3,0) V'(−3,0)
• Focos F(2.23,0) F'(−2.23,0)
• Extremos del eje menor B(0,2) B'(0,−2)
• Eje Mayor 2a = 6
• Eje menor 2b = 4
• Lado recto LR = 2.66
• Excentricidad e = 0.74
• Encuentra los elementos de la Elipse cuyos vértices son V(6,4) y V'(−2,4) y cuyos focos son F(5,4) y
F'(−1,4).
• Las Coordenadas del centro C(2,4)
• Los valores de a, b y c a=4; b=2.64, c=3
• Eje Mayor 2a = 8
• Eje menor 2b = 5.28
• Extremos del eje menor B(2,6.64) B'(2,1.35)
• Ecuación ordinaria
• Ecuación general 7X2 +16Y2 −28X−128Y +172 = 0
• Para la Elipse cuya ecuación es:
Determina:
32
• Las Coordenadas del centro C(3,−1)
• Los valores de a, b y c a=2; b=1; c= 1.73
• Eje Mayor 2a = 4
• Eje menor 2b = 2
• Vértices V(1,−1) V'(5,−1)
• Focos F(1.26,−1) F'(4.73,−1)
• Extremos del eje menor B(3,0) B'(3,−2)
• Lado recto LR = 1
• Excentricidad e = 0.86
• Ecuación general X2 +4Y2 −6X +8Y +9 = 0
• La Ecuación general de una Elipse es 9x2 +5y2 −18x −40y +44 = 0
Obtener:
• Ecuación ordinaria
• Las Coordenadas del centro C(1,4)
• Los valores de a, b y c a=3, b=2.2; c=2
• Vértices V(1,7) V'(1,1)
• Focos F(1,6) F'(1,2)
• Extremos del eje menor B(3.23,4) B'(−1.23,4)
• Eje Mayor 2a = 6
• Eje menor 2b = 4.4
• Lado recto LR = 3.3
• Excentricidad e = 0.66
• Si la ecuación general de una Elipse es 9x2 +25y2 +36x −200y +211 = 0
Obtener:
• Ecuación ordinaria
• Las Coordenadas del centro C(−2,4)
• Los valores de a, b y c a=5; b=3; c=4
• Vértices V(−7,4) V'(3,4)
• Focos F(−6,4) F'(2,4)
• Eje Mayor 2a = 10
• Eje menor 2b = 6
• Lado recto LR = 3.6
• Excentricidad e = 0.08
• Una Elipse tiene su centro en C(−5,8), La longitud del eje mayor es igual a 12 la longitud del eje menor
es 8 y el eje mayor es paralelo al eje Y
Determinar:
• Vértices V(−5,14) V'(−5,2)
• Los valores de a, b y c a=6; b=4; c=4.4
• Focos F(−5,12.4) F'(−5,3.6)
• Excentricidad e = 0.73
• Lado recto LR = 5.3
• Ecuación ordinaria
• Ecuación general 36X2 +16Y2 +360X −256Y +1384 = 0
33
• Si la ecuación ordinaria de una Elipse es:
Determinar:
• El centro C(1,−4)
• Los valores de a, b y c a=10; b=8; c=6
• Vértices V(1,6) V'(1,−14)
• Focos F(1,2) F'(1,−10)
• Eje Mayor 2a =20
• Lado recto LR = 12.8
• Ecuación general 100X2 +64Y2 −200X +512Y −5276 = 0
UNIDAD 6 Hipérbola
• Una hipérbola tiene sus vértices en V(3,0) y V'(−3,0) y sus focos en F(5,0) y F'(−5,0)
Determinar:
• El centro C(0,0)
• Los valores de a, b y c a=3; b=4; c=25
• Extremos del eje conjugado B(0,4) B'(0,−4)
• Eje transverso 2a = 6
• Eje Conjugado 2b = 8
• Lado recto Lr = 10.66
• Excentricidad e = 1.66
• Ecuación ordinaria
• Ecuación general 16X2 −9Y2 −144 = 0
• Ec. Azíntotas
• Si la ecuación de la Hipérbola es:
Determinar:
• El centro C(0,0)
• Los valores de a, b y c a=3; b=4; c= 5
• Vértices V(0,3) V'(0,−5)
• Focos F(0,5) F'(0,−5)
• Eje Transverso 2a = 6
• Eje Conjugado 2b= 8
• Extremos del eje conjugado B(4,0),B'(−4,0)
• Lado recto Lr = 10.66
• Excentricidad e = 1.66
• Ecuación general 16Y2 −9X2 −144 = 0
• Ec. Azíntotas
• Para la Hipérbola cuyos vértices son V(0,2) y V'(0,−2) y el valor de la excentricidad es e = 3/2
Determinar:
• El centro C(0,0)
• Los valores de a, b y c a=2; b= 2.24; c=3
• Focos F(0,3) F'(0,−3)
• Eje Transverso 2a = 4
34
• Eje Conjugado 2b = 4.46
• Extremos del eje conjugado B(2.23,0) B'(−2.23,0)
• Lado recto Lr = 5
• Ecuación ordinaria
• Ecuación general 4X2 −5Y2 +20 = 0
• Ec. Azíntotas
• Determina los elementos de la hipérbola cuyos vértices son V(2,3) y V'(−4,3) y cuyos focos son F(3,3) y
F' (−5,3)
• El centro C(−1,3)
• Los valores de a, b y c a=3; b=2.65; c=4
• Extremos del eje conjugado B(−1,5.64) B'(−1,0.35)
• Eje Conjugado 2b = 5.2
• Eje Transverso 2a = 6
• Lado recto Lr = 4.66
• Excentricidad e = 1.33
• Ecuación ordinaria
• Ecuación general 7X2 −9Y2 +14x +54y −137 = 0
• Ec. Azíntotas
• Calcula los elementos de la Hipérbola si su ecuación es:
Determinar:
• El centro
• Los valores de a, b y c
• Extremos del eje conjugado
• Vértices
• Focos
• Eje Conjugado
• Eje Transverso
• Lado recto
• Excentricidad
• Ecuación general
• Ec. azíntotas
• Una hipérbola tiene su centro en C(−1,2), eje focal el Eje X, el eje transverso mide 10 y el eje conjugado
12
Determinar:
• Los valores de a, b y c
• Extremos del eje conjugado
• Focos
• Vértices
• Excentricidad
• Lado recto
• Ecuación Ordinaria
• Ecuación general
• Ec. azíntotas
35
• Si la ecuación de una Hipérbola es
Determinar:
• El centro
• Los valores de a, b y c
• Extremos del eje conjugado
• Extremos del eje transverso
• Focos
• Eje Transverso
• Eje conjugado
• Lado recto
• Excentricidad
• Ec. Azíntotas
• Ecuación general
• Una Elipse tiene su centro en (4,−5), el eje focal es paralelo al eje de las x, el lado recto es igual a 8 y el
eje transverso es igual a 2
Determinar:
• Los valores de a, b y c
• Vértices
• Focos
• Extremos del eje conjugado
• Excentricidad
3
.C
III
I
.B
II
IV
.B
.c
.d
.e
.i
.j
36
.g
.h
.b
MULTIPLICO POR EL COMÚN DENOMINADOR , IGUALO A CERO Y OBTENGO
Dos Puntos
Punto pendiente
Ax +By +C =0
Ecuación
General
Ecuaciones
Simultaneas
Punto de
Intersección
Ángulo entre dos rectas
Graficar
ME LLEVA
ENCUENTRO
C
O
M
P
A
R
O
P
E
37
N
D
I
E
N
T
E
S
y = mx + b
Ecuación
Ordinaria
.f
.k
.l
.C
.B
.A
II
.C
.B
.A
II
.A
.A
II
.C
38
.C
.a
ME LLEVA
ME LLEVA
ME LLEVA
IGUALO A CERO
DESPEJO Y
UTILIZO
UTILIZO
UTILIZO
ME LLEVAN
PUEDO
PUEDO
HAGO
ENCUENTRO
UTILIZO
UTILIZO
UTILIZO
63.43°
45°
C
B
A
D
C
B
39
A
D
C
B
A
P
30°.11
148°.2
P
P
40°.03
•
40