MATEMÁTICAS ESPECIALES II EJERCICIOS CHURCHILL Probar que:

MATEMÁTICAS ESPECIALES II
EJERCICIOS CHURCHILL
Probar que:
a) Log ( −ei) = 1 − /2i;
Por propiedades de logaritmos:
Pero:
Entonces:
Se sabe que por la definición de la función logaritmo:
Entonces:
Por lo tanto:
b) Log (1−i ) = ½ Log 2 − /4i
Como se dijo en anteriormente:
Entonces:
1
Por Lo tanto:
Y por propiedades del logaritmo:
2. Probar que cuando n = 0, ±1, ±2,
• log e = 1 + 2ni
Por propiedades de la función exponencial:
Entonces:
Por lo tanto:
• log i = (2n + ½)i
Tenemos que i = 0+i, o en coordenadas polares:
Pero:
2
Entonces:
c)
En notación polar:
Con:
Entonces:
Por lo tanto:
3. Probar que Log[(1+i)2] = 2 Log (1+i) pero Log[(−1+i)2]"2 Log(−1+i)
3
Usando la definición del logaritmo principal:
Nótese que se utiliza el argumento principal el cual se define como:
Entonces analizando los argumentos de ambas expresiones:
Entonces:
Pero:
Entonces se concluye que
4. Probar que:
a) Si log z = Log r + i con /4 < < 9/4, entonces log (i2) = 2 log i
b) Si log z = Log r + i con 3/4 < < 11/4, entonces log (i2) " 2 log i
En este ejercicio se toma como el ángulo del número complejo operado por el logaritmo sea este i2 o i.
•
Para esta parte el ángulo de i2 es que está dentro del rango y para i es /2 que también está incluido.
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Por otro lado:
•
En la segunda parte, el ángulo de i2 es debido a la condición de intervalo; para i, el ángulo es de 5/2
para quedar dentro del intervalo.
Además:
• Probar que a) el conjunto de valores de log(i1/2)=(n + 1/4)i y es igual al de (1/2)log(i); b) el conjunto de
log(i2) NO es igual al de 2 log(i).
a)
b)
• Hallar las raíces de la ecuación:
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•
Dada la determinación log z = log r + i , de log z que es analítica en cada punto de su dominio, probar que
su derivada en cada punto es 1/z .Demostrarlo derivando ambos miembros de la ecuación siguiente:
• Si el punto z = x + iy está en la banda horizontal < < +2, probar que cuando se usa la determinación:
de la función logaritmo, entonces log (ez) = z
Se usa la restricción para hacer n = 0 y poder escribir el último paso.
9. y 10. Probar que para todo par de números complejos no nulos z1 y z2
además que cuando Re(z1), Re(z2).
El signo de la parte real de los dos complejos puede ser igual(a) o no(b), si es igual:
−<a,b< y ,2=a,b respectivamente; por el contrario, si difiere ,2=a,b2n, teniendo a −<a,b<
siempre.
• Con signos iguales en Re(z) =a y =b
• Con signos diferentes =a y =b2
11. Dado que Arg. (z1/z2) = Arg. z1 − Arg. z2, comprobar para log(z1/z2) que:
• Tomando dos valores concretos no nulos de z1 y z2, probar que la propiedad [6], sección 26, no es siempre
válida si log es sustituído por Log.
Se hace z1 = −1 − i
Y z2 = i
Entonces:
Como se dijo anteriormente:
6
Y además cuando
arg(z) = Arg(z), entonces:
Analizando los dos argumentos:
y
Entonces:
Por lo tanto:
13. Comprobar que:
14. Probar que en los puntos z = x + iy, la función:
Tomando z = x + iy
R = (x2 + y2)1/2
= tan−1 (y/x)
15. Probar que:
a) La función Log(z − i) es analítica en todo el plano salvo sobre la semirrecta y =1(x"0)
f(z) es analítica si tiene derivada en todos los puntos de una región.
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Por definición la derivada de la función logaritmo es:
Entonces
donde
Realizando las derivadas parciales y comprobando las ecuaciones diferenciales de Cauchy−Riemman
Por lo tanto:
Y f'(z) es analítica en todo el plano excepto en cualquier punto de la semirrecta y =1(x"0).
• La función es analítica en todo el plano salvo en los puntos y sobre la parte x " −4 del eje real.
Expandiendo:
Por lo tanto es analítica en todo el plano menos en los puntos z =
y sobre la parte x " −4 del eje real.
17. Probar que:
18. Demostrar que [8], sección 36, también cumple cuando n es un entero negativo.
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