Definición intuitiva de límite F(x) x

Definición intuitiva de límite
Se dice que el límite de F(x) cuando x tiende a k es igual a L, y escribiremos
, si podemos acercar de manera arbitraria los valores de F(x) a L es decir, tanto como queramos, al tomar los
valores de x lo bastante cerca de k pero sin hacerla igual a k.
NOTA: De manera similar se definen los límites laterales, pero tomando los valores de x cercanos a k y
mayores para
mientras que en el caso de
se deben tomar los valores de x cercanos a k y menores.
Teorema sobre límites laterales
¡Sustitur o no sustituir, he allí el problema !
El proceso del cálculo del límite
, en general no consiste en sustituir x = k en F(x) esto es, hay ocasiones en las cuales
pero hay otras en que
.
Algunos de los casos para los cuales la igualdad
es valida son los siguientes:
• Si F(x) es un polinomio es decir, una función del tipo:
.con a,b, ... ,c,d constantes, siendo n un entero mayor o igual a cero (
).
• Si F(x) es una función racional es decir, si
siendo P(x) y Q(x) polinomios, siempre y cuando
entiéndase, si
.
• Si F(x) es una función trigonométrica y
.
• Si F(x) es una función exponencial.
• Si F(x) es una función logarítmica y
.
• Si
con n entero positivo y G(x) es una función de alguno de los tipos antes planteados.
• Si
con n entero e impar y G(x) es una función de alguno de los tipos antes planteados.
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• Si
con n entero par y G(x) es una función de alguno de los tipos antes planteados, siempre y cuando
. En el caso
se hace necesario un análisis lateral. Y en el caso
, el límite no existe.
• Si
siendo G(x) una función de alguno de los tipos antes planteados.
• Si F(x) está dada por una combinación de sumas, restas, multiplicaciones o divisiones de funciones de los
tipos antes planteados y
El bendito problema de la división por cero
Sea
con G(x) y H(x) funciones de los tipos antes planteados. Si al aplicar sustitución para el cálculo del límite
se produce una expresión de la forma
, distinguiremos dos casos:
• Si k = 0 ( 0 / 0) diremos que este resultado representa una indeterminación, con lo cual no habremos
calculado el límite y procederemos a realizar algún otro proceso algebraico que permita eliminar tal
situación y llegar a una conclusión. Algunos de tales procesos son factorización por el método de
Ruffini, multiplicación por conjugados, etc.
• Si k " 0 el límite no existe, presentándose las llamadas tendencias infinitas.. En tales casos se
considerarán:
Definición intuitiva de límite infinito
Se dice que el límite de F(x) cuando x tiende a k es igual a +", y escribiremos
, si podemos hacer arbitrariamente grandes los valores de F(x) es decir, tan grandes como queramos, al tomar
los valores de x lo bastante cerca de k pero sin hacerla igual a k.
NOTA: De manera similar se definen los límites
y
pero señalando las acotaciones del caso.
Definición de Asíntota Vertical
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Se dice que la recta x = k es una Asíntota Vertical de F(x) si se cumple alguno de los siguientes límites:
Algunos límites notables
•
•
•
•
El límite de una desigualdad
Si
para todo
excepto posiblemente en
y además existen los límites
y
, entonces:
Teorema del Sándwich
Si para toda x en (a,b), excepto posiblemente en
, se cumple que
y además
,
entonces:
Definición de continuidad en un punto
Una función F(x) se dice que es continua en x = k si cumple las siguientes condiciones:
• F(k) está definido
•
•
existe
Si alguna de estas condiciones deja de cumplirse, se dice que F(x) es no es continua o bien que F(x) es
discontinua en x = k.
Definición de continuidad lateral
• Una función F(x) se dice que es continua por la derecha de x = k si y sólo si
• Una función F(x) se dice que es continua por la izquierda de x = k si y sólo si
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NOTA
Si x = k es un punto extremo del dominio de F(x), la continuidad en dicho punto será considerada sólo
por la derecha o sólo por la izquierda según sea el caso, sin aclararlo.
Tipos de discontinuidad
Sea F(x) discontinua en x = k, entonces consideraremos los siguientes tipos de discontinuidad:
• Removible
Si el límite
existe. Falla (1) y/o (3) pero se cumple (2).
• De salto
Si el límite
no existe, pero los límites laterales
y
existen. Falla (2).
• Infinita
Si el límite
y/o
. Falla (2).
Definición de continuidad en intervalos
• Una función F(x) se dice que es continua en (a,b) si es continua en todo punto del intervalo.
• Una función F(x) se dice que es continua en [a,b) si es continua en (a,b) y continua a la derecha de x = a.
• Una función F(x) se dice que es continua en (a,b] si es continua en (a,b) y continua a la izquierda de x = b.
• Una función F(x) se dice que es continua en [a,b] si es continua en (a,b), continua a la derecha de x = a y
continua a la izquierda de x = b..
Teorema 1
Si F(x) es: un polinomio, una función racional, una función exponencial, una función logarítmica, una función
trigonométrica o una función trigonométrica inversa, entonces F(x) es continua en todo punto de su dominio y
discontinua en puntos fuera del dominio.
Teorema 2
Sean F(x) y G(x) funciones continuas en x = k y sea C una constante, entonces las siguientes funciones
también son continuas en x = k:
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•
•
•
•
•
•
si y sólo si G(a) " 0
para n entero positivo impar.
con n entero positivo par, si x = k no es un punto extremo del DF.
con n entero positivo par, si x = k es un punto extremo del DF en cuyo caso sólo habrá continuidad por la
derecha o por la izquierda según corresponda.
si F(x) es continua en G(a).
Teorema sobre el cálculo del límite de una función compuesta
Si F(x) es continua en x = L y
, entonces
Teorema del Valor Intermedio
Sea F(x) continua en el intervalo cerrado [a,b] y sea W un valor comprendido entre f(a) y F(b) entonces:
existe al menos un k " (a,b) tal que F(k) = W.
Teorema de Bolzano
Si F(x) es continua en el intervalo cerrado [a,b] y F(a) y F(b) tienen signos opuestos, entonces existe al
menos un valor x = k en el intervalo abierto (a,b) para el cual F(k) = 0.
Indeterminaciones
Son indeterminaciones, es decir, expresiones no concluyentes, los resultados que siguen:
•
•
•
También son indeterminaciones, aún cuando no serán estudiadas acá, los resultados que siguen: :
•
•
•
•
Se presentan a continuación una serie de teoremas que permiten calcular de manera rápida los límites
al infinito de algunos tipos de funciones de frecuente aparición.
Polinomios
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• Para calcular
se extrae factor común el término de mayor grado y luego se evalúa.
• De lo anterior se desprende el siguiente teorema:
Exponenciales (Ver Resumen # 5)
•
•
Logarítmicas (Ver Resumen # 7)
Trigonométricas inversas
•
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•
•
•
•
•
•
Polinomios Vs. Polinomios
El límite
con P(x) y Q(x) polinomios lleva a la indeterminación
, la cual es resuelta dividiendo el numerador y el denominador por xk donde k es el grado del polinomio del
denominador.
Logaritmos Vs. Polinomios
••
•
Polinomios Vs. Exponenciales
• si a > 1
• si a " (0,1)
••
• si a " (0,1)
• si a > 1
••
Logaritmos Vs. Exponenciales
••
La regla E > P > L
•
Una alternativa para calcular los límites al infinito en los últimos tres casos considerados consiste en
aplicar la tendencia al infinito de forma directa a la función y en caso de producirse una
indeterminación se aplica la siguiente regla mnemotécnica:
Exponencial > Polinomio > Logaritmo
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En caso de presentarse incertidumbre relativa a signos, téngase en cuenta que el signo de la
indeterminación se conserva.
Significado Geométrico de los límites al infinito y definición de Asíntotas Horizontales
• Si y L " !, entonces la recta y = L es una Asíntota horizontal en el extremo derecho del sistema de
coordenadas.
• Si y L " !, entonces la recta y = L es una Asíntota horizontal en el extremo izquierdo del sistema de
coordenadas.
• Si , entonces la gráfica de F(x) se fuga por la esquina superior derecha del sistema de coordenadas.
Diremos en tal caso que F(x) no tiene asíntota horizontal en el extremo derecho.
• Si , entonces la gráfica de F(x) se fuga por la esquina inferior derecha del sistema de coordenadas.
Diremos en tal caso que F(x) no tiene asíntota horizontal en el extremo derecho.
• Si
, entonces la gráfica de F(x) se fuga por la esquina inferior izquierda del sistema de coordenadas.
Diremos en tal caso que F(x) no tiene asíntota horizontal en el extremo izquierdo.
• Si
, entonces la gráfica de F(x) se fuga por la esquina superior izquierda del sistema de coordenadas.
Diremos en tal caso que F(x) no tiene asíntota horizontal en el extremo izquierdo.
Operaciones con infinitos
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si a > 1
si a "(0,1)
• arc−tan(+") = /2
• arc−tan(−") = −/2
• arc−sec(+") = /2
• arc−sec(−") =3/2
si a > 1
si a "(0,1)
• arc−cot(+")
• arc−cot(−") =
=0
• arc−csc(+")
• arc−csc(−") =
=0
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