TERMINOS HOMOGENEOS:

TERMINOS HOMOGENEOS:
Son los que tienen el mismo grado absoluto, son homogéneos porque
ambos son de quinto grado absoluto.
4xy y 6xy.
Hallando la suma de los exponentes:
4+1=5
2+3=5
TERMINOS HETEROGENEOS:
Son los que tienen distinto grado absoluto.
4xy y 6xy
Hallando la suma de los exponentes:
4+1=5
2+1=3
ORDENAR UN POLINOMIO:
Se refiere a escribir sus términos de modo que los exponentes de una letra
escogida, como letra ordenatriz, queden en orden ascendente o descendente.
-5x + x – 3x + x – x + 6
Forma ascendente:
-3x – x – 5x + x + x + 6
Con relación a “X” se escribirá así:
Forma descendente:
x + x – 5x – x – 3x + 6
TERMINOS SEMEJANTES:
1
Dos o más términos son semejantes, cuando tienen la misma parte literal,
o sea cuando tienen iguales letras, afectadas de iguales exponentes.
DE DOS O MAS TERMINOS SEMEJANTES DEL MISMO SIGNO:
Se halla la suma de los coeficientes, escribiendo delante de esta el mismo
signo que tienen todos y luego se copia la parte literal.
-
9xy – 13xy = - 22xy
41ab + 6ab = 47ab
DE DOS TERMINOS SEMEJANTES DE DISTINTO SIGNO:
Se halla la diferencia de los coeficientes y se debe de escribir el signo del
mayor, luego se escribe la parte literal.
29r + 17r = - 12r
18wz – 12wz = 6 wz
DE MAS DE DOS TERMINOS SEMEJANTES DE SIGNOS DISTINTOS:
Se reducen a un solo término todos los positivos y también se reduce a un
solo término todos los negativos, al resultado obtenido se aplica la regla anterior.
-7abc + 32abc – 23abc + 20abc =
- 30abc + 52 abc = 22abc
LA SUMA O ADICION:
2
Es una operación que tiene por objeto reunir dos o más expresiones
algebraicas (sumandos), en una sola expresión algebraica (suma).
Para hallar la suma debe aplicarse la siguiente regla general: Se escriben
unas a continuación de las otras, con sus propios signos y se reducen los términos
semejantes, si los hay.
LA RESTA O SUSTRACCION:
Es la operación que tiene por objeto, dada una suma de dos sumandos
(minuendo) y uno de ellos (sustraendo), hallar el otro sumando (resta o diferencia).
Para hallar la resta o diferencia, se aplica la siguiente regla: Se escribe el
minuendo con sus propios signos y a continuación el sustraendo con los signos
cambiados y se reducen los términos semejantes, si los hay.
LA MULTIPLICACION:
3
Es la operación que tiene por objeto, dadas dos cantidades llamadas
multiplicando y multiplicador, debe hallarse una tercera cantidad llamada producto,
que sea respecto del multiplicando, en valor absoluto y signo, lo que el
multiplicador es respecto de la unidad positiva.
REGLA:
EN MULTIPLICACION DE MONOMIOS: Se multiplican los coeficientes y
a continuación se escriben las letras de los factores en orden alfabético,
poniéndole a cada letra un exponente igual a la suma de los exponentes, que
tenga en los factores, el signo del producto está dado por la ley de signos.
EN MULTIPLICACION DE POLINOMIO POR MONOMIO: Se multiplica el
monomio por cada uno de los términos del polinomio, teniendo en cuenta en cada
caso la ley de los signos y se separan los productos parciales con sus propios
signos.
EN MULTIPLICACION DE DOS POLINOMIOS: Se multiplican todos los
términos del multiplicando por cada una de los términos del multiplicador, teniendo
en cuenta la ley de signos y deberán reducirse los términos semejantes.
LA DIVISION:
4
Se ordenan el dividendo y el divisor con relación a una misma letra, se
divide el primer termino del dividendo entre el primero del divisor y así tendremos
el primer termino del cociente.
Este primer término del cociente se multiplica por todo el divisor y el
producto se resta de todo el dividendo, para la cual se lo cambia el signo
escribiendo cada termino debajo de sus semejantes. Si algún término de este
producto no tiene termino semejante el dividendo se escribe en el lugar que le
corresponda, de acuerdo con la ordenación del dividendo y el divisor.
PROPIEDAD ASOCIATIVA:
Esta propiedad consiste en asociar o agrupar los sumandos, utilizando
signos de agrupación tales como paréntesis (), corchetes
, llaves
, para
5
realizar la operación por partes, primero se efectúan las operaciones de los
sumandos agrupados y por ultimo estos resultados.
(5 + 7) + 3 = 5 + (7 + 3)
12 + 3 = 5 + 10
15
=
15
PROPIEDAD DE ASOCIATIVIDAD:
Asociar es agrupar números utilizando signos de agrupación, tales como
llaves, corchetes, paréntesis y barras. Y no importa como agrupemos los números
pues el resultado es el mismo.
(5 * 3) 9 = 5 (3 * 9)
15 * 9 = 5 * 27
135
=
135
SUMA Y RESTA DE NUMEROS RACIONALES:
Que las fracciones tengan igual denominador.
Para efectuar una suma o resta de este tipo basta con copiar al
denominador y sumar o restar los numeradores.
3
5
4
4
3–5
=
4
1 + 2+ 4
3
3
3
-2
-1
2*2
1+2+4
=
3
=
2
1
2
2
=
-
2
7
=
3
EL CUADRADO DE LA SUMA DE DOS CANTIDADES:
REGLA: El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado
de la primera cantidad, mas el duplo de la primera cantidad por la segunda, mas el
cuadrado de la segunda cantidad.
6
EJEMPLO:
(M+3)= (m)+2(m) (3)+ (3)= m+6m+9
(5+x)= (5)+2(5) (x)+(x)= 25+10x+x
EL CUADRADO DE LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES:
REGLA: El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al
cuadrado de la primera cantidad, menos el duplo de la primera cantidad por la
segunda, mas el cuadrado de la segunda cantidad.
EJEMPLO:
(a-3)= (a)-2(a) (3)+ (3)=a-6a+9
(x-7)= (x)-2(x) (7)+ (7)= x-14x+49
PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES:
REGLA: La suma de dos cantidades multiplica por su diferencia es igual al
cuadrado del minuendo, menos el cuadrado del sustraendo.
EJEMPLO:
(x + y) (x - y) = x – y
(x + a) (x – a) = x - a
CUBO DE UN BINOMIO:
REGLA: El cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de la
primera cantidad, mas el triplo del cuadrado de la primera por la segunda, mas el
triplo de la primera por el cuadrado de la segunda, mas el cubo de la segunda
cantidad.
7
EJEMPLO:
(A + 1) = (a) + 3(a) (1) + 3 (a) (1) + (1) = a + 3a + 3a + 1
(4n + 3) = (4n) + 3(4n) (3) + 3(4n) (3) + (3) = 64n + 144n + 108n + 27
Y al elevar (a – b) al cubo tenemos:
REGLA: El cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al cubo de la
primera cantidad, menos el triplo del cuadrado de la primera por la segunda, mas
el triplo de la primera por el cuadrado de la segunda, menos el cubo de segunda
cantidad.
EJEMPLO:
(n – 4) = (n) – 3(n) (4) + 3(n) (4) – (4) = n -12n + 48n – 64
(a – 2b) = (a) – 3(a) (2b) + 3(a) (2b) – (2b) = a – 6ab + 12ab – 8b
PRODUCTO DE DOS BINOMIOS DE LA FORMA (x + a) (x + b):
REGLAS: El primer término del producto es el producto de los primeros
términos de los binomios.
El coeficiente del segundo término del producto es la suma algebraica de
los segundos términos de los binomios y en este término la x esta elevada a un
exponente que es la mitad del que tiene esta letra en el primer termino del
producto.
El tercer término del producto es el producto de los segundos términos de
los binomios.
EJEMPLO:
(a + 1) (a + 2) = a +3 a + 2
(x + 5) (x – 2) = x + 3x – 10
COCIENTES NOTABLES:
COCIENTE DE LA DIFERENCIA DE LOS CUADRADOS DE DOS
CANTIDADES ENTRE LA SUMA O LA DIFERENCIA DE LAS CANTIDADES:
8
REGLAS: La diferencia de los cuadrados de dos cantidades dividida entre
la suma de las cantidades, es igual a la diferencia de las cantidades.
La diferencia de los cuadrados de dos cantidades dividida entre la
diferencia de las cantidades, es igual a la suma de las cantidades.
EJEMPLO:
9x – y
y–x
3x + y
= 3x – y
y–x
=y+x
COCIENTE DE LA SUMA O DIFERENCIA DE LOS CUBOS DE DOS
CANTIDADES, ENTRE LA SUMA O DIFERENCIA DE LAS CANTIDADES:
REGLAS: La suma de los cubos de dos cantidades dividida por la suma
de las cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos el producto
de la primera por la segunda, mas el cuadrado de la segunda cantidad.
La diferencia de los cubos de dos cantidades dividida por la diferencia de
las cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, mas el producto de la
primera por la segunda, mas el cuadrado de la segunda cantidad.
EJEMPLO:
1+a
1+a
=
(1) – (1) (a) + (a) =
1–a+a
8a–1
2a–1 =
(8 a) + (8 a) (1) + (1) =
64 a + 8 a + 1
COCIENTE DE LA SUMA O DIFERENCIA DE POTENCIAS IGUALES DE DOS
CANTIDADES ENTRE LA SUMA O DIFERENCIA DE LAS CANTIDADES:
REGLAS:
La diferencia de potencias iguales, ya sean pares o impares, es siempre
divisible por la diferencia de las bases.
9
La diferencia de potencias iguales pares es siempre divisible por la suma
de las bases.
La suma de potencias iguales impares es siempre divisible por la suma de
las bases.
La suma de potencias iguales pares nunca es divisible por la suma ni por
la diferencia de las cantidades.
DESCOMPOSICION FACTORIAL:
FACTOR COMUN:
FACTOR COMUN MONOMIO: El factor que sea común, se escribe como
coeficiente de un paréntesis.
Adentro del paréntesis se escriben los coeficientes de dividir cada uno de
los términos de la expresión algebraica entre el factor común.
10
EJEMPLO:
a + 2 a = a(a + 2)
10b – 30ab = 10b (1 – 3ab)
FACTOR COMUN POLINOMIO: En la expresión algebraica se busca el
factor común polinomio y se escribe adentro de un paréntesis, como coeficiente
del otro paréntesis.
En el otro paréntesis, se escriben los coeficientes de dividir los términos
de la expresión dada, entre el factor común polinomio.
EJEMPLO:
X (a + b) + m (a + b) = (a + b) (x + m)
2x (a – 1) – y (a – 1) = (a – 1) (2x – y)
FACTOR COMUN POR AGRUPACION DE TERMINOS: Agrupar los
términos de la expresión dada, adentro del paréntesis, siempre que tengan algún
factor común monomio.
Antes de escribir el segundo paréntesis, deberá escribirse el signo del
primer término. Si es positivo no se cambian los signos de los términos, pero si es
negativo, deberán cambiarse los signos de dichos términos.
Luego se trabaja cada paréntesis como un factor común monomio.
Por último, aplicar lo del factor común polinomio.
ax + bx + ay + by = (ax + bx) + (ay + by)
= x (a+ b) + y (a + b)
= (a + b) (x + y)
DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS:
REGLA: Se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo. Luego
se multiplican la suma de estas raíces cuadradas por la diferencia de la raíz
cuadrada del minuendo y la del sustraendo.
EJEMPLO:
16x – 25y = (4x + 5y) (4x – 5y)
4x – 81y = (2x + 9y) (2x – 9y)
11
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO:
REGLA: Se dice que un trinomio es cuadrado perfecto, con relación a
una letra, cuando el primero y tercer término tienen raíz cuadrada exacta y
positivos, el segundo término es el doble producto de las raíces cuadradas.
EJEMPLO:
4x – 20xy + 25y =
(2x – 5y)
a + 18 a + 81
(a + 9)
=
TRINOMIO DE LA FORMA X + BX + C:
REGLA: El trinomio se descompone de dos factores binomios, cuya
primera cantidad es la raíz cuadrada del primer término.
En el primer factor después de la primera cantidad se escribe el signo del
segundo término. En el segundo factor después de la primera cantidad se escribe
el signo que resulte de multiplicar los signos del 1 y 2 términos del trinomio.
Si en los dos factores los signos escritos después de la primera cantidad
son iguales, se buscan dos números cuya suma sea el valor absoluto del
coeficiente del 2 termino y cuyo producto sea el valor absoluto del coeficiente del 3
termino.
Si en los dos factores los signos escritos después de la primera cantidad
son distintos se buscan dos números cuya diferencia sea el valor absoluto del
coeficiente del 2 termino y cuyo producto sea el valor absoluto del coeficiente del 3
termino. El mayor de estos números es la segunda cantidad del 1 factor binomio y
el menor, es la segunda cantidad del segundo factor binomio.
EJEMPLO:
a – 2 a – 15
=
(a – 5) (a + 3)
x – 7x + 12
=
(x – 4) (x – 3)
TRINOMIO DE LA FORMA ax + bx + c:
12
REGLA: Se multiplica el trinomio por el coeficiente del primer término y se
deja indicado el producto por el segundo término.
Se aplica la regla del caso anterior y se buscan los dos números.
Como al principio multiplicábamos el trinomio por el 1 termino, ahora lo
dividimos por el mismo y lo descomponemos.
EJEMPLO:
6x – 7x – 3 =
=
36x – 6(7x) - 18
=
(6x) – 7 (6x) – 18
=
(6x – 9) (6x + 2)
3
=
x
2
(2x – 3) (3x + 1)
CUBO PERFECTOS DE BINOMIOS:
REGLA: Tener cuatro términos.
Que el 1 y el 4 término sean cubos perfectos
Que el 2 término sea más o menos el triplo del cuadrado de la raíz cubica
del 1 término, multiplicado por la raíz cubica del cuarto término.
EJEMPLO:
8x + 12x + 6x + 1
=
(2x + 1)
SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS:
13
REGLAS: La suma de dos cubos perfecto se descomponen en dos
factores: la suma de sus raíces cubicas, como primer factor. El cuadrado de la
primera raíz, menos el producto de las dos raíces, mas el cuadrado de la segunda
raíz, como segundo factor.
La diferencia de dos cubos perfectos se descomponen en dos factores: la
diferencia de sus raíces cubicas, como primer factor. El cuadrado de la primera
raíz, mas el producto de las dos raíces, mas el cuadrado de la segunda raíz, como
segundo factor.
EJEMPLO:
8x + 729 = (2x + 9) (4x – 18x + 81)
216 – 125 x =
(6 – 5x) (36 + 30x + 25x)
SUMA O DIFERENCIA DE DOS POTENCIAS IGUALES:
REGLA:
a – b es divisible entre a – b, cuando n es par o impar.
a + b es divisible entre a + b, siempre que n sea par.
a – b es divisible entre a + b, cuando n es par.
a + b nunca es divisible entre a – b.
m+n
m+n
=
m – mn + mn – mn + n
ECUACIONES:
ECUACIONES DE PRIMER GRADO: Una ecuación de primer grado con
una incógnita es una expresión de igualdad con una sola variable, que puede
representarse con la letra X, elevada al exponente 1, este numero indica el grado
de la variable y por ello se dice que es una ecuación de primer grado y solo hay un
valor numérico que satisface la igualdad.
EJEMPLO:
5x + 2x – 9x = 2x + 8
5x + 2x – 9x – 2x = 8
14
- 4x = 8
X=8
-4
X=-2
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO:
Es un polinomio de segundo grado igualada a cero y resolverla consiste
en hallar dos valores numéricos que cumplan con dicha igualdad, ya que esta es
de segundo grado.
EJEMPLO:
X – 4x + 4 = 0
X – 4x + 4 = (x – 2) (x – 2)
(x – 2) (x – 2) = 0
X-2=0
X=0
USAR LA FORMULA:
En donde “a” es el coeficiente del primer término, “b” es el coeficiente del
segundo término y “c” el coeficiente del término independiente.
EJEMPLO:
15
ECUACIONES SIMULTÁNEAS DE PRIMER GRADO:
SISTEMA DE ECUACION: Es la reunión de dos o más ecuaciones con
dos o más incógnitas.
EJEMPLO:
7x + 4y = 13
5x – 2y = 19
X= 13 – 4y
7
X= 19 + 2y
5
16
=13 – 4y
= 19 + 2y
7
5
5(13 – 4y) = 7 (19 + 2y)
65 – 20y = 133 + 14y
-
20y – 14y = 133 – 65
-
34y = 68
Y=-2
Sustituyendo el valor de “y” en cualquiera de las dos ecuaciones:
7x + 4(-2) = 13
7x – 8 = 13
7x = 21
X=3
PROBLEMAS QUE SE RESUELVEN USANDO LAS ECUACIONES DE PRIMER
GRADO:
EJEMPLO:
La suma de tres números consecutivos es igual a 78.
números:
X = número menor
Hallar esos
x + x+1 + x+2 = 78
X + 1 = numero intermedio
3x = 78 - 3
X + 2 = número mayor
x = 75/3
25
X = 25
17
X + 1 = 25 + 1 = 26 = 78
X + 2 = 25 + 2 = 27
FUNCIONES:
Las funciones generalmente se escriben f(x). En el ejemplo que hemos
venido trabajando se escribirá: f (x) = x/2 + 2 y para desarrollarla se elaborara una
tabla, a dos columnas, asignando valores a “X”, para encontrar los resultados o
imagen. Estos son pares de valores que pueden localizarse en un plano
cartesiano.
FUNCIONES CONSTANTES:
Son aquellas en donde “Y” es igual es siempre igual a un numero
determinado. En esta grafica y = 3. El hecho que no aparezca “X” se entiende que
“Y” siempre valdrá 3.
18
FUNCIONES LINEALES:
Es la función en donde “Y” es igual a un numero multiplicado por X. Por
ejemplo: f(x) = 2x.
FUNCIONES DE PRIMER GRADO:
Estas se expresan como y = ax + b, en donde tanto a como b son valores
numéricos fijos.
Y = 2x + 3
19
FUNCION DE SEGUNDO GRADO:
Están dadas por expresiones de la forma: ax + bx + c, con a = 0. A la
figura resultante se le llama parábola.
20