Perímetro y área del círculo y superficies

PERÍMETRO Y ÁREA DEL CÍRCULO Y SUPERFICIES RELACIONADAS
Ejemplos
1. Un sector circular está determinado por un ángulo central que mide 70 y
175
cm2 . Calcular la longitud del arco que subtiene.
tiene un área de
36
Solución
A
B
Se calcula la longitud del radio usando el
área y el ángulo central.
175 r2  70

36
360
r 5
Se calcula la longitud del arco que subtiene.
175 5  s

36
2
35
s
18
C
El arco mide
35
cm .
18
10
cm y otra circunferencia,
7
6
concéntrica con la primera, tiene una longitud de
cm . Calcular el área
5
del anillo circular que forman.
2. La longitud de una circunferencia es
Solución
A
Se calcula el radio de la primera
circunferencia.
10
 2r1
7
5
  r1
7
B
Se calcula el radio de la segunda
circunferencia.
C
Se calcula el área del anillo
circular.
D
6
 2r2
5
3
  r2
5
  5 2  3 2 
A        
 7 
 5  

184
A
1225
184
Por lo tanto, el área del anillo circular es
cm2 .
1225
3. En un círculo con radio de 4 cm se tiene un segmento circular determinado
por un ángulo central que mide 90 . Calcular el área del segmento circular.
Solución
A
Se calcula primero el área del
sector circular.
B
Como el ángulo central mide 90
entonces el triángulo que se forma
es rectángulo y se calcula su área.
  42  90
360
 A1  4
A1 
44
2
 A2  8
A2 
C
D
Finalmente se calcula el área del
Asegmento  4  8
segmento circular.
Por lo tanto, el área del segmento circular mide  4  8 cm2 .
Ejercicios
1. Dos circunferencias son concéntricas y el radio de la mayor es el doble del
radio de la menor. Si la suma de sus radios es 12 cm y ambas determinan
un trapecio circular con área 2 cm2 , calcule la medida del ángulo central
que determina el trapecio.
2. Calcule el área del segmento circular con radio de 10 cm y ángulo central
de 60 .
3. Un sector circular con una longitud de arco de 6 cm tiene un área de
24 cm2 . Calcule el área y el perímetro del círculo correspondiente.
Soluciones
1.
A
B
El radio de la circunferencia mayor
mide el doble del radio de la
circunferencia menor.
Se calculan las longitudes de los
radios.
R  2r
12  R  r
 12  2r  r
4r
8R
C
D
Ahora se busca la medida del
ángulo central.
2 


 82  42 
360
 15  
Por lo tanto, el ángulo central que determina el trapecio
circular mide 15 .
2.
A
Se calcula primero el área del
sector circular.
B
Como el ángulo central mide
60 entonces el triángulo que se
forma es equilátero y se calcula
su área.
  102  60
360
50
 A1 
3
A1 
102 3
A2 
4
 A2  25 3
C
Finalmente se calcula el área
del segmento circular.
D
Por lo tanto, el área
 50

2
 3  25 3  cm .


Asegmento 
del
segmento
50
 25 3
3
circular
mide
3.
A
Se calcula el
circunferencia.
radio
de
la
24 
r 6
2
8r
B
Se calcula el área del círculo.
C
Ahora se calcula el perímetro del
círculo, que corresponde a la
longitud de la circunferencia.
D
A    82
 A  64
C  2  8
 C  16
Por lo tanto, el área del círculo mide 64 cm2 y su perímetro
mide 16 cm .