Matemáticas de las Operaciones Financieras

TEMARIO
PRIMERA PARTE
TEMA I: CONCEPTOS BÁSICOS
1.1. − Fenómeno financiero. Concepto de capital financiero.
1.2. − Comparación de capitales financieros.
1.3. − Ley financiera.
1.4. − Capitalización simple.
1.4.1. − Definición. Fórmula general.
1.4.2. − Magnitudes derivadas.
1.4.3. − Cálculo del montante, del valor actual, del interés, del tiempo y del tanto.
1.4.4. − Expresiones reducidas del interés simple.
1.4.5. − Unificación de capitales en base al sistema de capitalización simple. (Vencimiento común
y vencimiento medio, sustitución de capitales y prorroga de vencimientos).
TEMA II: CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
2.1. − Definición. Fórmula general.
2.2. − Magnitudes derivadas.
2.3. − Cálculo del montante, del valor actual, del interés, del tiempo y del tanto.
2.4. − Capitalización compuesta para periodos fraccionarios.
2.5. − Tantos equivalentes en capitalización compuesta.
2.6. − Unificación de capitales en base al sistema de capitalización compuesta. (Vencimiento común y
vencimiento medio, sustitución de capitales y prorroga de vencimientos).
TEMA III: SISTEMAS FINANCIEROS DE DESCUENTO
3.1. − Introducción.
3.2. − Sistema financiero de descuento simple comercial.
3.2.1. − Magnitudes derivadas.
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3.2.2. − Cálculo del valor actual, del tiempo y del tanto.
3.2.3. − Cálculo del descuento simple comercial. Métodos de cálculo.
3.2.4. − Unificación de capitales.
3.3. − Sistema financiero de descuento simple racional.
3.4. − Comparación de los sistemas financieros de descuento simple comercial y racional.
3.5. − Sistema financiero de descuento compuesto.
3.5.1. − Magnitudes derivadas.
3.5.2. − Cálculo del valor actual, del tiempo, del tanto y del descuento.
3.5.3. − Unificación de capitales.
SEGUNDA PARTE
TEMA IV: ESTUDIO DE LAS OPERACIONES ACTIVAS A CORTO PLAZO.
4.1. − Descuento bancario en el mercado. Definición.
4.2. − Obtención del efectivo. Réditos y tantos efectivos.
4.3. − Límite de descuento
4.4. − Descuento de una remesa de efectos.
4.5. − La T.A.E. en las operaciones de descuento.
4.6. − Descuento de letras persiana.
4.7. − Efectos impagados. Letras de resaca.
TEMA V: ESTUDIO DE LAS OPERACIONES PASIVAS A CORTO PLAZO.
5.1. − Cuentas corriente: Definición y características.
5.2. − Clasificación de las cuentas corrientes.
5.3. − Métodos de liquidación de cuentas corrientes.
5.3.1. − Método directo.
5.3.2. − Método escalar o hamburgués.
5.4. − Análisis de las cuentas corrientes altamente remuneradas. Determinación de la rentabilidad.
5.5. − Cuentas corrientes de crédito. Determinación de la T.A.E.
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TERCERA PARTE
TEMA VI: INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE RENTAS
6.1. − Concepto de renta.
6.2. − Valor capital o financiero de una renta.
6.3. − Clasificación de las rentas.
TEMA VII: RENTAS DISCRETAS CONSTANTES
7.1. − Renta inmediata, constante y temporal con rédito periodal constante.
7.1.1. − Postpagable.
7.1.2. − Prepagable.
7.2. − Renta inmediata, constantes y perpetua.
7.3. − Renta diferida h períodos.
7.4. − Renta anticipada p períodos.
TEMA VIII: RENTAS DISCRETAS VARIABLES
8.1. − Rentas variables en progresión aritmética.
8.1.1. − Rentas variables en progresión aritmética postpagable.
8.1.2. − Rentas variables en progresión aritmética prepagables.
8.1.3. − Rentas variables en progresión aritmética perpetuas.
8.1.4. − Rentas variables en progresión aritmética diferida h períodos.
8.1.5. − Rentas variables en progresión aritmética anticipada p períodos.
8.2. − Rentas variables en progresión geométrica.
8.2.1. − Rentas variables en progresión geométrica postpagables.
8.2.2. − Rentas variables en progresión geométrica prepagables.
8.2.3. − Rentas variables en progresión geométrica perpetuas.
8.2.4. − Rentas variables en progresión geométrica diferidas.
8.2.5. − Rentas variables en progresión geométrica anticipadas.
8.3. − Rentas variables en general.
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8.3.1. − Rentas variables sin seguir una ley conocida.
8.3.2. − Rentas variables en tanto de valoración.
TEMA IX: RENTAS FRACCIONADAS
9.1. − Introducción.
9.2. − Término anual y tanto de frecuencia.
9.3. − Término de frecuencia y tanto anual.
9.4. − Rentas variables en progresión aritmética fraccionadas.
9.4.1. − Término de frecuencia (cuantía y razón) y tanto anual.
9.4.2. − Término de frecuencia y razón y tanto anual.
9.5. − Rentas variables en progresión geométrica fraccionadas.
9.5.1. − Término de frecuencia (cuantía y razón) y tanto anual.
9.5.2. − Término de frecuencia y razón y tanto anual.
TEMA X: RENTAS CONTINUAS
10.1. − Concepto de renta continua.
10.2. − Valor financiero de una renta continua.
CUARTA PARTE
TEMA XI: OPERACIONES FINANCIERAS DE AMORTIZACIÓN ( I ).
11.1. − Definición.
11.2. − Planteamiento general de las operaciones de amortización.
TEMA XII: OPERACIONES FINANCIERAS DE AMORTIZACIÓN ( II ).
12.1. − Método americano simple.
12.2. − Método americano con fondos (Sinking fund).
12.3. − Método francés o progresivo.
12.4. − Préstamos hipotecarios.
TEMA XIII: OPERACIONES FINANCIERAS DE AMORTIZACIÓN ( III ).
13.1. − Amortización con periodos de carencia.
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13.2. − Préstamos que se valoran con más de un tanto.
13.3. − Préstamos indiciados.
13.4. − Amortización anticipada.
13.4.1. − Amortización parcial anticipada.
13.4.2. − Amortización total o cancelación anticipada.
13.5. − Tantos efectivos.
PRIMERA PARTE
TEMA I: CONCEPTOS BÁSICOS
1.1. − FENÓMENO FINANCIERO. CONCEPTO DE CAPITAL FINANCIERO
Cuando se dispone de una cantidad de dinero (capital) se puede destinar, o bien a gastarlo − satisfaciendo
alguna necesidad −, o bien a invertirlo para recuperarlo en un futuro más o menos próximo, según se acuerde.
De la misma manera que estamos dispuestos a gastarlo para satisfacer una necesidad, estaremos dispuestos a
invertir siempre y cuando la compensación económica nos resulte suficiente. En este sentido el principio
básico de la preferencia de liquidez establece que a igualdad de cantidad los bienes más cercanos en el
tiempo son preferidos a los disponibles en momentos más lejanos. La razón es el sacrificio del consumo.
Este aprecio de la liquidez es subjetivo pero el mercado de dinero le asigna un valor objetivo fijando un precio
por la financiación que se llama interés. El interés se puede definir como la retribución por el aplazamiento en
el tiempo del consumo, esto es, el precio por el alquiler o uso del dinero durante un período de tiempo.
Esta compensación económica se exige, entre otras, por tres razones básicas:
Por el riesgo que se asume.
Por la falta de disponibilidad que supone desprenderse del capital durante un tiempo.
Por la depreciación del valor del dinero en el tiempo.
La cuantificación de esa compensación económica, de los intereses, depende de tres variables, a saber:
La cuantía del capital invertido,
El tiempo que dura la operación, y
El tanto de interés al que se acuerda la operación.
1.2. − COMPARACIÓN DE CAPITALES FINANCIEROS
Cuando se habla de capital financiero (C; t) nos referimos a una cuantía (C) de unidades monetarias asociada
a un momento determinado de tiempo (t).
Finalmente, en una operación financiera no tiene sentido hablar de capitales iguales (aquellos en los que
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coinciden cuantías y vencimientos), sino que siempre estaremos refiriéndonos a capitales equivalentes, cuya
definición se dará más adelante, si bien se adelanta la idea de que hay equivalencia entre dos capitales cuando
a su propietario le resulta indiferente una situación u otra. Es decir, si a usted le resulta indiferente cobrar hoy
1.000 euros a cobrar 1.050 euros dentro de un año, entonces diremos que ambos capitales (1.000; 0) y (1.050;
1) son equivalentes.
De una manera más general, dos capitales cualesquiera, C1 con vencimiento en t1 y C2 con vencimiento en
t2, son equivalentes cuando se está de acuerdo en intercambiar uno por otro.
El concepto de equivalencia no significa que no haya ganancia o coste en la operación. Todo lo contrario, la
equivalencia permite cuantificar ese beneficio o pérdida que estamos dispuestos a asumir en una operación
concreta.
1.3. − LEY FINANCIERA
Para que una operación financiera se realice es necesario que a los sujetos intervinientes las cuantías que dan y
reciben les resulten equivalentes. Es necesario que deudor y acreedor se pongan de acuerdo en cuantificar los
capitales de los que se parte y a los que finalmente se llega. Esto implica elegir un método matemático que
permita dicha sustitución: una ley financiera. La ley financiera se define como un modelo matemático (una
fórmula) para cuantificar los intereses por el aplazamiento y/o anticipación de un capital en el tiempo.
Conociendo las diferentes leyes financieras que existen y cómo funcionan se podrán sustituir unos capitales
por otros, pudiéndose formalizar las diferentes operaciones financieras.
• OPERACIÓN FINANCIERA
a) CONCEPTO
Se entiende por operación financiera la sustitución de uno o más capitales por otro u otros equivalentes en
distintos momentos de tiempo, mediante la aplicación de una ley financiera.
En definitiva, cualquier operación financiera se reduce a un conjunto de flujos de caja (cobros y pagos) de
signo opuesto y distintas cuantías que se suceden en el tiempo. Así, por ejemplo, la concesión de un préstamo
por parte de una entidad bancaria a un cliente supone para este último un cobro inicial (el importe del
préstamo) y unos pagos periódicos (las cuotas) durante el tiempo que dure la operación. Por parte del banco,
la operación implica un pago inicial único y unos cobros periódicos.
La realización de una operación financiera implica, por tanto, que se cumplan tres puntos:
1.º Sustitución de capitales. Ha de existir un intercambio de un(os) capital(es) por otro(s).
2.º Equivalencia. Los capitales han de ser equivalentes, es decir, debe resultar de la aplicación de una ley
financiera.
3.º Aplicación de una ley financiera. Debe existir acuerdo sobre la forma de determinar el importe de todos y
cada uno de los capitales que compongan la operación, resultado de la consideración de los intereses
generados.
b) ELEMENTOS
− Personales
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En una operación financiera básica interviene un sujeto (acreedor) que pone a disposición de otra (deudor)
uno o más capitales y que posteriormente recuperará, incrementados en el importe de los intereses.
La acción de entregar por parte del acreedor y de recibir por parte del deudor se considerará la prestación de
la operación financiera. La operación concluirá cuando el deudor termine de entregar al acreedor el capital
(más los intereses); a esta actuación por ambas partes se le denomina la contraprestación de la
operación financiera.
En toda operación financiera las cantidades entregadas y recibidas por cada una de las partes no coinciden. El
aplazamiento (o adelantamiento) de un capital en el tiempo supone la producción de intereses que formarán
parte de la operación y que habrá que considerar y cuantificar. Por tanto, prestación y contraprestación nunca
son aritméticamente iguales. No obstante, habrá una ley financiera que haga que resulten financieramente
equivalentes, es decir, que si valorásemos prestación y contraprestación en el mismo momento, con la misma
ley y con el mismo tanto, entonces sí se produciría la igualdad numérica entre ambas.
Tanto la prestación como la contraprestación pueden estar formadas por más de un capital que incluso se
pueden solapar en el tiempo.
− Temporales
Al momento de tiempo donde comienza la prestación de la operación financiera se le denomina origen de la
operación financiera. Donde concluye la contraprestación de la operación financiera se le llama final de la
operación financiera. Al intervalo de tiempo que transcurre entre ambas fechas se le denomina duración de la
operación financiera, durante el cual se generan los intereses.
− Objetivos
La realización de la operación financiera exige un acuerdo sobre aspectos tales como: la cuantía del capital de
partida, la ley financiera que se va a emplear y, finalmente, el tanto de interés (coste/ganancia) unitario
acordado.
c) CLASES
− Según la duración:
A corto plazo: la duración de la operación no supera el año.
A largo plazo: aquellas con una duración superior al año.
− Según la ley financiera que opera:
Según la generación de intereses:
• En régimen de simple: los intereses generados en el pasado no se acumulan y, por tanto, no generan, a su
vez, intereses en el futuro.
• En régimen de compuesta: los intereses generados en el pasado sí se acumulan al capital de partida y
generan, a su vez, intereses en el futuro.
Según el sentido en el que se aplica la ley financiera:
• De capitalización: sustituye un capital presente por otro capital futuro.
• De actualización o descuento: sustituye un capital futuro por otro capital presente.
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− Según el número de capitales de que consta:
Simples: constan de un solo capital en la prestación y en la contraprestación.
Complejas (o compuestas): cuando constan de más de un capital en la prestación y/o en la contraprestación.
• RÉDITO Y TANTO DE INTERÉS
Se entiende por rédito (r) el rendimiento generado por un capital.
Se puede expresar en tanto por cien (%), o en tanto por uno.
Si en el momento t1 disponemos de un capital C1 y éste se convierte en un capital C2 en un determinado
momento t2, el rédito de la operación será:
Sin embargo, aunque se consideran las cuantías de los capitales inicial y final, no se tiene en cuenta el aspecto
temporal, es decir, en cuánto tiempo se ha generado ese rendimiento. Surge la necesidad de una medida que
tenga en cuenta el tiempo: el tanto de interés (i).
Se define el tipo de interés (i) como el rédito por unidad de tiempo, es decir:
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Rédito y tanto coincidirán cuando el intervalo de tiempo es la unidad.
Ejemplo 1
Un capital de 1.000 euros se sustituye hoy por otro de 1.100 disponible dentro de un año. ¿Cuál es el rédito de
la operación? ¿Y el tanto de interés anual?
9
Por lo tanto, el rédito permanece constante ante variaciones del horizonte temporal, no ocurriendo lo mismo
con el tipo de interés que es, permaneciendo invariable el resto de elementos, inversamente proporcional al
plazo de la operación.
1.4. − CAPITALIZACIÓN SIMPLE
Las operaciones en régimen de simple se caracterizan porque los intereses a medida que se van generando no
se acumulan y no generan intereses en períodos siguientes (no son productivos). De esta forma los intereses
que se producen en cada período se calculan siempre sobre el mismo capital −el inicial−, al tipo de interés
vigente en cada período.
Este régimen financiero es propio de operaciones a corto plazo (menos de un año).
• CAPITALIZACIÓN SIMPLE
CONCEPTO
Operación financiera cuyo objeto es la sustitución de un capital presente por otro equivalente con vencimiento
posterior, mediante la aplicación de la ley financiera en régimen de simple.
DESCRIPCIÓN DE LA OPERACIÓN
Partiendo de un capital (C0) del que se dispone inicialmente −capital inicial−, se trata de determinar la cuantía
final (Cn) que se recuperará en el futuro sabiendo las condiciones en las que la operación se contrata (tiempo
−n− y tipo de interés −i−).
Este capital final o montante se irá formando por la acumulación al capital inicial de los intereses que genera
la operación periódicamente y que, al no disponerse de ellos hasta el final de la operación, se añaden
finalmente al capital inicial.
CARACTERÍSTICAS DE LA OPERACIÓN
Los intereses no son productivos, lo que significa que:
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A medida que se generan no se acumulan al capital inicial para producir nuevos intereses en el futuro y, por
tanto
Los intereses de cualquier período siempre los genera el capital inicial, al tanto de interés vigente en dicho
período.
Gráficamente para una operación de tres períodos:
DESARROLLO DE LA OPERACIÓN
El capital al final de cada período es el resultado de añadir al capital existente al inicio del mismo los intereses
generados durante dicho período. De esta forma, la evolución del montante conseguido en cada momento es el
siguiente:
Momento 0: C0
Momento 1: C1 = C0 + I1 = C0 + C0 i = C0 x (1 + i)
Momento 2: C2 = C0 + I1 + I2 = C0 + C0 i + C0 i = C0 x (1 + 2 i)
Momento 3: C3 = C0 + I1 + I2 + I3 = C0 + C0 i + C0 i + C0 i = C0 x (1 + 3 i)
Momento n: Cn = C0 + I1 + I2 + + In = C0 + C0 i + + C0 i = C0 + C0 x n x i
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Expresión aplicable cuando el tipo de interés de la operación se mantiene constante todos los períodos.
A partir de la expresión anterior (denominada fórmula fundamental de la capitalización simple) no solamente
se pueden calcular montantes sino que, conocidos tres datos cualesquiera, se podría despejar el cuarto restante.
Finalmente, hay que tener en cuenta que «n» lo que indica es el número de veces que se han generado (y
acumulado) intereses al capital inicial, por tanto, esa variable siempre ha de estar en la misma unidad de
tiempo que el tipo de interés (no importando cuál sea).
Ejemplo 1
Calcular el montante obtenido al invertir 2.000 euros al 8% anual durante 4 años en régimen de
capitalización simple.
C4 = 2.000 x (1 + 4 x 0,08 ) = 2.640 €
Ejemplo 2
12
Se quiere conocer qué capital podremos retirar dentro de 3 años si hoy colocamos 1.000 euros al 5% de
interés anual para el primer año y cada año nos suben el tipo de interés un punto porcentual.
En este caso la fórmula general de la capitalización simple no es aplicable al ser diferente el tipo de
interés en cada período. El montante será, igualmente, el resultado de añadir al capital inicial los
intereses de cada período, calculados siempre sobre el capital inicial pero al tipo vigente en el período de
que se trate.
C3 = C0 + I1 + I2 + I3 = 1.000 + 1.000 x 0,05 + 1.000 x 0,06 + 1.000 x 0,07 = 1.180 €
CÁLCULO DEL CAPITAL INICIAL
Partiendo de la fórmula de cálculo del capital final o montante y conocidos éste, la duración de la operación y
el tanto de interés, bastará con despejar de la misma:
Cn = C0 x (1 + n x i)
despejando C0 resulta:
Ejemplo 3
¿Cuánto deberé invertir hoy si quiero disponer dentro de 2 años de 1.500 euros para comprarme un
coche, si me aseguran un 6% de interés anual para ese plazo?
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CÁLCULO DE LOS INTERESES TOTALES
Bastará con calcular los intereses de cada período, que siempre los genera el capital inicial y sumarlos.
Intereses totales = I1 + I2 +
Si i1 = i2 =
+ In = C0 i1 + C0 i2 +
+ C0 in
= in = i se cumple:
Intereses totales = I1 + I2 +
+ In = C0 i + C0 i +
+ C0 i
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Conocidos los capitales inicial y final, se obtendrá por diferencias entre ambos:
Ejemplo 4
¿Qué intereses producirán 300 euros invertidos 4 años al 7% simple anual?
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Por suma de los intereses de cada período:
Intereses totales = I1 + I2 + I3 + I4 = C0 i + C0 i + C0 i + C0 i =
= C0 x i x 4 = 300 x 0,07 x 4 = 84 €
También se puede obtener por diferencias entre el capital final y el inicial:
C4 = 300 x (1 + 0,07 x 4) = 384
In = 384 − 300 = 84 €
Ejemplo 5
¿Qué interés producirán 6.000 euros invertidos 8 meses al 1% simple mensual?
In = C0 x i x n = 6.000 x 0,01 x 8 = 480 €
UNIFICACIÓN DE CAPITALES EN BASE AL SISTEMA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE
(VENCIMIENTO COMÚN Y VENCIMIENTO MEDIO, SUSTITUCIÓN DE CAPITALES Y PRÓRROGA
DE VENCIMIENTOS)
Si se conocen el resto de elementos de la operación: capital inicial, capital final y duración, basta con tener en
cuenta la fórmula general de la capitalización simple y despejar la variable desconocida.
Cn = C0 x (1 + n x i)
Los pasos a seguir son los siguientes:
Pasar el C0 al primer miembro:
16
Pasar el 1 al primer miembro (restar 1 en los dos miembros):
Despejar el tipo de interés, dividiendo por n la expresión anterior:
17
Ejemplo 6
Determinar el tanto de interés anual a que deben invertirse 1.000 euros para que en 5 años se obtenga un
montante de 1.500 euros.
Cuando se dispone de varios capitales de diferentes cuantías y situados en diferentes momentos de tiempo
puede resultar conveniente saber cuál de ellos es más interesante desde el punto de vista financiero (porque
valga más o menos que los demás). Para decidir habría que compararlos, pero no basta con fijarse solamente
en las cuan-tías, se tendría que considerar, a la vez, el momento de tiempo donde se encuentran situados.
Además, la comparación debería ser homogénea, es decir, tendrían que llevarse todos los capitales a un
mismo momento y ahí efectuar la comparación.
Comprobar la equivalencia financiera entre capitales consiste en comparar dos o más capitales situados en
distintos momentos y, para un tipo dado, observando si tienen el mismo valor en el momento en que se
comparan. Para igualar los capitales en un momento determinado se utilizará la capitalización o el descuento.
− PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA DE CAPITALES: CONCEPTO
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Dos capitales, C1 y C2, que vencen en los momentos t1 y t2 respectivamente, son equivalentes cuando,
valorados en un mismo momento de tiempo t, tienen la misma cuantía.
Esta definición se cumple cualquiera que sea el número de capitales que intervengan en la operación.
Si dos o más capitales se dice que son equivalentes resultará indiferente cualquiera de ellos, no habiendo
preferencia por ninguno en particular. Por el contrario, si no se cumple la equivalencia habrá uno sobre el que
tendremos preferencia y, en consecuencia, lo elegiremos.
Si el principio de equivalencia se cumple en un momento de tiempo concreto, no tiene por qué cumplirse en
otro momento cualquiera (siendo lo normal que no se cumpla en ningún otro momento). Consecuencia de esta
circunstancia será que la elección de la fecha donde se haga el estudio comparativo afectará y condicionará el
resultado.
− APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
La sustitución de un(os) capital(es) por otro u otros de vencimientos y/o cuan-tías diferentes a las anteriores,
sólo se podrá llevar a cabo si financieramente resultan ambas alternativas equivalentes.
Para ver si dos alternativas son financieramente equivalentes se tendrán que valorar en un mismo momento de
tiempo y obligar a que tengan las mismas cuantías. A este momento de tiempo donde se realiza la valoración
se le denomina época o fecha focal o, simplemente, fecha de estudio.
Para plantear una sustitución de capitales el acreedor y el deudor han de estar de acuerdo en las siguientes
condiciones fundamentales:
Momento de tiempo a partir del cual se computan los vencimientos.
Momento en el cual se realiza la equivalencia, teniendo en cuenta que al variar este dato varía el resultado del
problema.
Tanto de valoración de la operación.
Decidir si se utiliza la capitalización o el descuento.
Casos posibles:
a) Determinación del capital común.
b) Determinación del vencimiento común.
c) Determinación del vencimiento medio.
− DETERMINACIÓN DEL CAPITAL COMUN
Es la cuantía C de un capital único que vence en el momento t, conocido, y que sustituye a varios capitales
C1, C2, , Cn, con vencimientos en t1, t2, , tn, respectivamente, todos ellos conocidos en cuantías y tiempos.
Para su cálculo se valorarán en un mismo momento al tanto elegido, por una parte, los capitales de los que se
parte y, por otra, el capital único desconocido que los va a sustituir.
Si la equivalencia se plantea en 0:
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Realizando la valoración con tipo de interés (i):
de donde se despejará C.
Realizando la valoración a tipo de descuento (d):
C1 x (1 − t1 x d) + C2 x (1 − t2 x d) +
+ Cn x (1 − tn x d) = C x (1 − t x d)
despejando finalmente C, queda:
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Si el estudio se realiza en el momento t, habrá que tener en cuenta que aquellos capitales que tengan un
vencimiento inferior a t habrá que capitalizarlos (empleando un tipo de interés i), mientras que aquellos
capitales con vencimientos superiores habrá que descontarlos, pudiéndose emplear bien un tipo de interés o
bien de descuento.
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Realizando la valoración con tipo de interés (i):
Se despejará C, pues todo lo demás se conoce.
Ejemplo 7
Un señor tiene tres deudas de 2.000, 4.000 y 5.000 euros con vencimientos a los 6, 8 y 10 meses,
respectivamente.
Propone sustituir las tres deudas por una sola a pagar a los 9 meses.
Calcular el importe a pagar si la operación se concierta al 8% de interés simple anual.
1.er caso: fecha de estudio en 0:
22
C=11.032,53 €
2.o caso: fecha de estudio en 9:
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C=11.033,56€
− DETERMINACIÓN DEL VENCIMIENTO MEDIO
Es el momento de tiempo t en que vence un capital único C, conocido, que sustituye a varios capitales C1, C2,
, Cn, con vencimientos en t1, t2, ,tn, respectivamente, todos ellos conocidos.
Se tiene que cumplir:
C = C1 + C2 +
+ Cn
El cálculo es idéntico al vencimiento común, lo único que varía es la cuantía del capital único que sustituye al
conjunto de capitales de los que se parte, que ahora debe ser igual a la suma aritmética de las cuantías a las
que sustituye.
Realizando el estudio de equivalencia en el origen y empleando un tipo de descuento d, quedaría así:
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C1 x (1 − t1 x d) + C2 x (1 − t2 x d) +
+ Cn x (1 − tn x d) = C x (1 − t x d)
quitando los paréntesis:
C1 − C1 x t1 x d + C2 − C2 x t2 x d + + Cn − Cn x tn x d = C − C x t x d
reordenando en el primer miembro:
dividiendo la ecuación por − d:
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En definitiva, el vencimiento medio resulta ser una media aritmética ponderada de los vencimientos de los
capitales de partida, siendo el importe de dichos capitales los factores de ponderación.
Ejemplo 8
Un señor tiene tres deudas de 2.000, 4.000 y 5.000 euros con vencimientos a los 6, 8 y 10 meses,
respectivamente.
De acuerdo con el acreedor acuerdan hoy sustituir las tres deudas por una sola de 11.000 euros.
Calcular el momento de pago si la operación se concierta al 8% de descuento simple anual. La fecha de
estudio es el momento cero.
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t=8,55 meses
De otra Forma:
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2.1. − DEFINICIÓN. FÓRMULA GENERAL
Las operaciones en régimen de compuesta se caracterizan porque los intereses, a diferencia de lo que ocurre
en régimen de simple, a medida que se van generando pasan a formar parte del capital de partida, se van
acumulando, y producen a su vez intereses en períodos siguientes (son productivos). En definitiva, lo que
tiene lugar es una capitalización periódica de los intereses. De esta forma los intereses generados en cada
período se calculan sobre capitales distintos (cada vez mayores ya que incorporan los intereses de períodos
anteriores).
• CARACTERÍSTICAS DE LA OPERACIÓN
Los intereses son productivos, lo que significa que:
A medida que se generan se acumulan al capital inicial para producir nuevos intereses en los períodos
siguientes.
Los intereses de cualquier período siempre los genera el capital existente al inicio de dicho período.
Gráficamente para una operación de tres períodos:
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• DESARROLLO DE LA OPERACIÓN
El capital al final de cada período es el resultado de añadir al capital existente al inicio del mismo los intereses
generados durante dicho período. De esta forma, la evolución del montante conseguido en cada momento es el
siguiente:
Momento 0: C0
Momento 1: C1 = C0 + I1 = C0 + C0 i = C0 x (1 + i)
Momento 2: C2 = C1 + I2 = C1 + C1 i = C1 x (1 + i) = C0 x (1 + i) x (1 + i) = C0 x (1 + i)2
Momento 3: C3 = C2 + I3 = C2 + C2 i = C2 x (1 + i) = C0 x (1 + i)2 x (1 + i) = C0 x (1 +
i)3
Momento n: Cn = C0 x ( 1 + i)n
Esta expresión:
• Permite calcular el capital final o montante (Cn) en régimen de compuesta, conocidos el capital inicial
(C0), el tipo de interés (i) y la duración (n) de la operación.
• Es aplicable cuando el tipo de interés de la operación no varía. En caso contrario habrá que trabajar
con el tipo vigente en cada período.
A partir de la expresión anterior (denominada fórmula fundamental de la capitalización compuesta) además de
calcular montantes, podremos, conocidos tres datos cualesquiera, despejar el cuarto restante.
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Ejemplo 9
Calcular el montante obtenido al invertir 200 euros al 5% anual durante 10 años en régimen de
capitalización compuesta.
C10 = 200 x (1 + 0,05 )10 = 325,78 €
Si se hubiese calculado en simple:
C10 = 200 x (1 + 0,05 x 10) = 300 €
La diferencia entre los dos montantes (25,78 €) son los intereses producidos por los intereses generados
y acumulados hasta el final.
• CÁLCULO DEL CAPITAL INICIAL
Partiendo de la fórmula de cálculo del capital final o montante y conocidos éste, la duración de la operación y
el tanto de interés, bastará con despejar de la misma:
Cn = C0 x (1 + i)n
de donde se despeja C0:
30
Ejemplo 10
¿Cuánto deberé invertir hoy si quiero disponer dentro de 2 años de 1.500 euros para comprarme un
coche, si me aseguran un 6% de interés anual compuesto para ese plazo?
2.2. − CÁLCULO DEL INTERÉS, DEL TIEMPO Y DEL TANTO
• CÁLCULO DE LOS INTERESES TOTALES
Conocidos los capitales inicial y final, se obtendrá por diferencia entre ambos:
31
Ejemplo 11
¿Qué intereses producirán 300 euros invertidos 4 años al 7% compuesto anual?
C4 = 300 (1 + 0,07)4 = 393,24 €
In = 393,24 − 300 = 93,24 €
• CÁLCULO DEL TIPO DE INTERÉS
Si se conoce el resto de elementos de la operación: capital inicial, capital final y duración, basta con tener en
cuenta la fórmula general de la capitalización compuesta y despejar la variable desconocida.
Cn = C0 x (1 + i)n
32
Los pasos a seguir son los siguientes:
Pasar el C0 al primer miembro:
Quitar la potencia (extrayendo raíz n a los dos miembros):
Despejar el tipo de interés:
33
Ejemplo 12
Determinar el tanto de interés anual a que deben invertirse 1.000 euros para que en 12 años se obtenga
un montante de 1.601,03 euros.
• CÁLCULO DE LA DURACIÓN
Conocidos los demás componentes de la operación: capital inicial, capital final y tipo de interés, basta con
tener en cuenta la fórmula general de la capitalización compuesta y despejar la variable desconocida.
Punto de partida:
Cn = C0 x (1 + i)n
Pasar el C0 al primer miembro:
34
Extraemos logaritmos a ambos miembros:
Aplicamos propiedades de los logaritmos:
log Cn − log C0 = n x log (1 + i)
Despejar la duración:
35
Ejemplo 13
Un capital de 2.000 euros colocado a interés compuesto al 4% anual asciende a 3.202 euros. Determinar
el tiempo que estuvo impuesto.
36
2.3. − TANTOS EQUIVALENTES EN CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
La definición de tantos equivalentes es la misma que la vista en régimen de simple, esto es, dos tantos
cualesquiera, expresados en distintas unidades de tiempo, son tantos equivalentes cuando aplicados a un
mismo capital inicial y durante un mismo pe-ríodo de tiempo producen el mismo interés o generan el mismo
capital final o montante.
Como ya se comentó cuando se hablaba del interés simple, la variación en la frecuencia del cálculo (y abono)
de los intereses suponía cambiar el tipo de interés a aplicar para que la operación no se viera afectada
finalmente. Entonces se comprobó que los tantos de interés equivalentes en simple son proporcionales, es
decir, cumplen la siguiente expresión:
i = ik x k
Sin embargo, esta relación de proporcionalidad no va a ser válida en régimen de compuesta, ya que al irse
acumulando los intereses generados al capital de partida, el cálculo de intereses se hace sobre una base cada
vez más grande; por tanto, cuanto mayor sea la frecuencia de capitalización antes se acumularán los intereses
y antes generarán nuevos intereses, por lo que existirán diferencias en función de la frecuencia de
acumulación de los mismos al capital para un tanto de interés dado.
Este carácter acumulativo de los intereses se ha de compensar con una aplicación de un tipo más pequeño que
el proporcional en función de la frecuencia de cómputo de intereses. Todo esto se puede apreciar en el
siguiente ejemplo, consistente en determinar el montante resultante de invertir 1.000 euros durante 1 año en
las siguientes -condiciones:
a) Interés anual del 12%
Cn = 1.000 x (1 + 0,12)1 = 1.120,00
b) Interés semestral del 6%
Cn = 1.000 x (1 + 0,06)2 = 1.123,60
c) Interés trimestral del 3%
37
Cn = 1.000 x (1 + 0,03)4 = 1.125,51
Los resultados no son los mismos, debido a que la capitalización de los intereses se está realizando con
diferentes frecuencias manteniendo la proporcionalidad en los diferentes tipos aplicados.
Para conseguir que, cualquiera que sea la frecuencia de capitalización, el montante final siga siendo el mismo
es necesario cambiar la ley de equivalencia de los tantos.
• RELACIÓN DE TANTOS EQUIVALENTES EN COMPUESTA
Los tantos en compuesta para que resulten equivalentes han de guardar la siguiente relación:
1 + i = (1 + ik )k
donde k es la frecuencia de capitalización, que indica:
• El número de partes iguales en las que se divide el período de referencia que se tome (habitualmente
el año).
• Cada cuánto tiempo se hacen productivos los intereses, esto es, cada cuánto tiempo se acumulan los
intereses, dentro del período, al capital para producir nuevos intereses.
Esta relación se obtiene a partir de la definición de equivalencia vista anteriormente, obligando a que un
capital (C0) colocado un determinado período de tiempo (n años) genere el mismo montante (Cn) con
independencia de la frecuencia de acumulación de intereses (i o ik).
Utilizando el tanto anual i, el montante obtenido será:
Utilizando el tanto k−esimal ik, el montante obtenido será:
38
Si queremos que el montante sea el mismo en los dos casos, se tiene que producir la igualdad entre los
resultados de ambas operaciones, esto es, dado que la operación es la misma −ya que lo único que ha
cambiado es la frecuencia de cálculo de los intereses−, se debe conseguir el mismo capital final en ambos
casos, por tanto, obligando a que se cumpla esa igualdad de montantes:
C0 x (1 + i)n = C0 x (1 + ik)nk
Simplificando la igualdad, eliminando C0 y la potencia n:
Quedando finalmente:
39
Expresión que indica la relación en la que han de estar los tantos, i e ik, para que produzcan el mismo efecto,
es decir, para que sean equivalentes.
El valor de i en función de ik será:
El valor de ik en función de i será:
40
Ejemplo 14
Determinar el montante resultante de invertir 1.000 euros durante 1 año a un tanto del 12% efectivo
anual, suponiendo:
a) Devengo anual de intereses:
i = 0,12
Cn = 1.000 x (1 + 0,12)1 = 1.120,00 €
b) Devengo semestral de intereses:
Puesto que el tipo que se conoce es anual y ahora la frecuencia de cálcu-lo es semestral, habrá que
calcular previamente el tanto semestral equivalente al anual de partida, para después calcular el
montante.
i2 = (1 + 0,12)1/2 − 1 = 0,05830
Cn = 1.000 x (1 + 0,05830)2 = 1.120,00 €
c) Devengo trimestral de intereses:
Igual que en el caso anterior, habrá que calcular el tanto trimestral equivalente al anual conocido.
i4 = (1 + 0,12)1/4 − 1 = 0,028737
Cn = 1.000 x (1 + 0,028737)4 = 1.120,00 €
Los resultados son los mismos, debido a la utilización de intereses equivalentes.
2.4. − UNIFICACIÓN DE CAPITALES EN BASE AL SISTEMA DE CAPITALIZACIÓN
COMPUESTA (VENCIMIENTO COMUN Y MEDIO Y SUSTITUCIÓN DE CAPITALES)
41
Para comprobar si dos o más capitales resultan indiferentes (equivalentes) deben tener el mismo valor en el
momento en que se comparan: principio de equivalencia de capitales.
El principio de equivalencia financiera nos permite determinar si dos o más capitales situados en distintos
momentos resultan indiferentes o, por el contrario, hay preferencia por uno de ellos.
Ya vimos en las operaciones en simple la definición y utilidad de la equivalencia de capitales. El principio de
equivalencia de capitales y sus aplicaciones siguen siendo válidos. La diferencia fundamental viene dada
porque en régimen de compuesta la fecha donde se realice la equivalencia no afecta al resultado final de la
operación, por tanto, si la equivalencia se cumple en un momento dado, se cumple en cualquier punto y, si no
se cumple en un momento determinado, no se cumple nunca.
• APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES
La sustitución de unos capitales por otro u otros de vencimientos y/o cuantías diferentes a las anteriores sólo
se podrá llevar a cabo si financieramente resultan ambas alternativas equivalentes.
Para ver si dos alternativas son financieramente equivalentes se tendrán que valorar en un mismo momento de
tiempo y obligar a que tengan el mismo valor, pudiéndose plantear los siguientes casos posibles:
− Determinación del capital común
Es la cuantía C de un capital único que vence en t, conocido, y que sustituye a varios capitales C1, C2, ... , Cn,
con vencimientos en t1, t2, ... ,tn, respectivamente, todos ellos conocidos.
− Determinación del vencimiento común
Es el momento de tiempo t en que vence un capital único C, conocido, que sustituye a varios capitales C1, C2,
... , Cn, con vencimientos en t1, t2, ... ,tn, respectivamente, todos ellos conocidos.
Se tiene que cumplir:
C ¤ C1 + C2 +
+ Cn
− Determinación del vencimiento medio
Es el momento de tiempo t en que vence un capital único C, conocido, que sustituye a varios capitales C1, C2,
... , Cn, con vencimientos en t1, t2, ... ,tn, respectivamente, todos ellos conocidos.
Se tiene que cumplir:
C = C1 + C2 +
+ Cn
Ejemplo 15
Un señor tiene tres deudas de 2.000, 4.000 y 5.000 euros con vencimientos a los 6, 8 y 10 años,
respectivamente, llegando al acuerdo con el acreedor de sustituir las tres deudas por una sola a pagar a
los 9 años.
Calcular el importe a pagar en ese momento si la operación se concierta al 8% de interés compuesto
anual.
42
1er caso: fecha de estudio en 0:
resultando:
C = 11.469,05 €
2º caso: fecha de estudio en 9:
43
resultando:
C = 11.469,05 €
Ejemplo 16
Un señor tiene dos cobros pendientes de 5.000 y 8.000 euros con vencimientos a 3 y 5 años,
respectivamente. Si quisiera sustituir ambos capitales por uno sólo, acordándose la operación a un tipo
de interés del 6%, calcular el momento del cobro único en los siguientes supuestos:
1.º La cuantía a recibir fuera de 12.000 euros.
2.º La cuantía a recibir fuera de 13.000 euros.
44
1.er caso: vencimiento común
2.º caso: vencimiento medio
45
Nota. En compuesta no se puede aplicar la fórmula vista en régimen de simple para el cálculo del
vencimiento medio:
46
3.1. − INTRODUCCIÓN
Las operaciones de descuento de descapitalización son operaciones financieras en las que se cambia un capital
futuro por un capital presente, es decir, se anticipa un capital (Cn,tn) hasta Co. Al capital que figura en el
documento o capital futuro se le denomina capital nominal.
El capital en el momento presente, se le llama valor actual, valor efectivo o valor descontado es el capital Co.
La diferencia entre el valor nominal y el valor efectivo es el descuento.
Cn
D
Co
to tn
Vamos a estudiar tres sistemas financieros de descuento:
• Sistema financiero de descuento simple comercial
• Sistema financiero de descuento simple racional
• Sistema financiero de descuento compuesto.
• − Sistema financiero de descuento simple comercial.
La ley financiera de descuento simple comercial, se define como aquella en la que los descuentos de un
periodo cualquiera son proporcionales a la duración del periodo y al capital nominal.
Siendo d el factor de proporcionalidad expresado en tanto por ciento y que representa el descuento producido
por una unidad monetaria en una unidad de tiempo.
• Formula general de la ley de descuento simple comercial.
Dc: Descuento comercial
1
47
Dc
Co
to z tn
Dc=1d (tn−to) A(z)>0
A(to,tn)=1−Dc=1−d(tn−to) 0<z< 1/d 0<d<1/z
• Utilidad del sistema financiero de descuento simple comercial(SFDSC)
En el trafico mercantil es frecuente la venta a crédito de tal manera que el comprador no hace efectivo un
importe hasta la fecha estipulada. La acumulación de estos créditos, suele ocasionar problemas de tesorería. El
vendedor para eliminar estos problemas puede acudir al banco para obtener el valor actualizado de estos
créditos. Para ello el vendedor que es el librador gira una letra contra el comprador que es el librado y la
descuenta en una entidad financiera que será el tomador.
• Representación gráfica de la ley del descuento simple comercial.
A(z)
A(z)=1−dz
Z(o)=A(z)=1
1 z=1/d A(z)=0
1/d
3.2.1 Magnitudes derivadas.
Factor de descuento: Es un numero asociado al intervalo (t1,t2) que multiplicado por la cuantía del capital
disponible en t2 es decir C2 nos proporción la cuantía del capital equivalente en un momento anterior. Lo
denotamos por V(t1,t2):
A(t1,t2)=1−d(t2−t1)
C1=c2 a(t1,t2)
C1/C2=A(t1.t2)=1−(t2−t1)
C1=C2 V(t1,t2)
V(t1,t2)=C1/C2= 1−d(t2−t1)
Z=t2−t1 V(z)=1−dz V(z)<1 C1<C2
Factor de contradescuento: Es un numero asociado a un intervalo (t1,t2) que multiplicado por la cuantía C1
nos proporciona la cuantía de un capital C2 disponible en un momento posterior. Es por tanto el inverso del
descuento. Lo denotamos por V*(t1,t2).
48
C2=C1 V*(t1,t2)
V*(t2,t1) = C2 = 1 = 1 .
C1 V(t1,t2) 1−d(t2−t1)
V*(z)= 1 .
1−dz
Rédito de descuento: Es el complemento a la unidad del factor de descuento, es decir el decremento de
capital por unidad de capital que se produce al adelantar un capital de t2 a t1.
d(t1,t2)=1−V(t1,t2)=1−(1−d(t2−t1))
d(z)=dz
Rédito de contradescuento: Es el exceso sobre la unidad del factor de contradescuento.
d*(t1,t2) = V* (t1,t2) − 1 = 1 − 1 = d(t2−t1) .
1− d(t2−t1) 1−d(t2−t1)
d*(z)= dz .
1−dz
Tanto ordinario de descuento: Es el decremento de capital por unidad de capital y por unidad de tiempo. Es
decir el rédito de descuento partido por la amplitud del intervalo:
(t1,t2)= d(t1,t2) . = d(t2−t1) = d
t2−t1 t2−t1
Tanto ordinario de contradescuento: Es el rédito de contradescuento partido por la amplitud del intervalo:
D(t2−t1) .
*(t1,t2) = d*(t1,t2) = 1 −d(t2−t1) . = d .
t2−t1 t2−t1 1−d(t2−t1)
3.2.2 Calculo del valor actual, del tiempo y del tanto.
• Calculo del valor actual.
Co = Cn V (to,tn)
Co = Cn (1−d (tn−to))
• Calculo del tiempo.
49
Co = Cn−Cndn
Dn = Cn−Co .
Cn
• Calculo del descuento.
3.2.3 Calculo del descuento simple comercial. Métodos de calculo.
Denotamos al descuento simple comercial por Dc y es la diferencia entre el valor nominal y el valor efectivo:
Dc=Cn−Co
Dc=Cn−Cn(1−dn)
• Método del multiplicador fijo:
N=Cn.t Dc=N.M
M=d/360
• Método del divisor fijo:
N=Cn.t Dc=N/D
D=360/d
3.3 El sistema financiero simple racional.
El descuento racional numericamente equivale a los intereses producidos por el valor efectivo o descontado
desde la negociación al vencimiento. Es decir el descuento racional es proporcional a la amplitud del periodo
y al capital efectivo o actual. Siendo el factor de proporcionalidad el tanto de interés en una ley de
capitalización pero considerado como descuento. La diferencia entre el descuento racional y el comercial: el
racional se calculo sobre el valor efectivo y el comercial sobre el valor nominal.
Dr=Coin Dr i n=Cnin−Coin
Dr=Cn−Co
Dr+Drin=Cnin
Conocido el descuento racional vamos a obtener la formula general de la ley:
Cn=1 A(z)=1−Dr= 1− iz . = 1 .
1+iz 1+iz
• Representación gráfica:
A(z)
50
A'(z)<0
1 A(z)>0
Lim A(z) 0
z"
z
Esta ley de descuento tiene muy poca utilidad practica ya que para operaciones a corto plazo se utiliza la ley
de descuento simple comercial y para las operaciones a largo plazo la ley de descuento compuesto.
3.4 Comparación de los sistemas financieros de descuento simple comercial y descuento simple racional.
Vamos a establecer dos hipótesis de comparación:
• d=i
A1(z)=A2(z)= 1 . − (1−iz)= i2z2 . >0
1+iz 1+iz 1
A2(z)>A1(z) A1 A2
Tres consecuencias se deducen de esto:
• A1(z)=1−Dc
A2(z)=1−Dr
1−Dc>1−Dr Dc>Dr
• El valor efectivo obtenido en el sistema financiero de descuento simple comercial es menor al obtenido
aplicando el sistema financiero de descuento simple racional.
• Las entidades financieras utilizan el descuento comercial porque le es más rentable.
II Dc=Dr
Esta proposición nos permite obtener la relación de equivalencia entre el tanto de descuento de una ley de
descuento simple y el tanto de interés de una ley de capitalización simple.
Dc=Cndn Cndn= Cnin .
1+in
Dr= Cnin .
1+in
Esta relación de equivalencia no es única depende de duración del periodo.
51
3.5 Sistema financiero de descuento compuesto.
Co
to t1 t2 tn−2 tn−1 t n
Sea Cn el nominal de un efecto que vence dentro de n años el cual se presenta para su negociación en el día de
hoy a un tanto de descuento d por ciento anual que consideramos que es constante en toda la operación. El
valor efectivo descontado será:
tn;Cn
tn−1;Cn−1=Cn−Cnd=Cn (1−d)
tn−2;Cn−2=Cn−1−Cn−1d=Cn−1 (1−d)=Cn(1−di)2
tn−3;Cn−3=Cn−3−Cn−3d=Cn−3 (1−d)=C(1−d)3
to;C0=C1−C1d=C1 (1−d)=Cn(1−d)n
Obtenemos ahora la formula general de la ley de descuento compuesto:
Cn=1 A(z)= (1−d)z
Todo sistema de descuento compuesto lleva asociado un sistema de capitalización compuesta cuyos
parámetros están en la siguiente relación de equivalencia:
DC; Co=Cn(1−d)n
Cn(1−d)n = Cn(1+i)−n
CC; Co=Cn(1+i)−n
En este caso la equivalencia es única, no depende de la duración de la operación.
3.5.1 Magnitudes derivadas
• Factor de descuento
C1=C2 V(t1,t2)
V(t1,t2)=C1/C2
A(t1,t2)= (1−d)t2−t1
C1=C2 A(t1,t2)
C1/C2=A(t1,t2)= (1−d)t2−t1
V(z)= (1−d)z = (1+i)−z = U*(z)
• Factor de contra descuento
52
C2=C1 V*(t1,t2)
V*(t1,t2)=C2/C1
• Rédito de descuento
d(t1,t2)=1−V(t1,t2)=1−(1−d)t2−t1
d(z)=1−V(z)=1−(1−d)z =1−(1+i)−z
Si z=1 1−(1−d)=1−(1/1+i) d= i/1+i
• Rédito de contradescuento
d*(t1,t2)=V*(t1,t2)−1=(1−d)−(t2−t1)−1
d*(z)=V*(z)−1=(1−d)−z −1=(1+i)−z−1
Si z=1 (1−d)−1−1=(1+i)−1 i= d/1−d
• Tanto ordinario de descuento
(t1,t2)= d(t1,t2) = 1− (1−d)t2−t1
t2−t1 t2−t1
(z)= 1− (1−d)z
z
• Tanto ordinario de contradescuento.
ð(t1,t2)= d*(t1,t2) = (1−d)−(t2−t1)−1
t2−t1 t2−t1
ð(z)= (1−d)−z−1
z
3.5.2 Calculo del valor actual, del tiempo, del tanto y del descuento.
• Valor actual, efectivo o descontado
Co= Cn V(to,tn)
Co= Cn(1−d)tn−to
• Tanto de descuento
• Tiempo
53
• Descuento compuesto(D.C)
D=Cn−Co=Cn−Cn (1−d)n
3.5.3. −Unificación de capitales
• SISTEMA FINANCIERO DE DESCUENTO SIMPLE COMERCIAL.
(C1,t1),(C2,t2).....(Cn,tn) " (C,z)
C""Cs Vto común
C="Cs Vto medio
C1(1+it1)+C2(1+it2)+......+Cn(1+itn)= C(1+iz)
Cs(1+its)=C(1+iz): Equivalencia financiera
• Vencimiento común
C=Cs(1−dts) z=Cs(1−dts)
1−dz dC
• Vencimiento medio
C=Cs z = Cs −Cs(1−dts) = Cs ts Media aritmética de los vtos.
dCs Cs ponderada con la cuantia de los
capitales(tº en días)
• Sustitución de capitales.
(C1,t1) (C2,t2) " (C,z) consideramos Vto medio
C1 +C2=C
C1(1−dt1) + C2(1−dt2) = C(1−dz)
C1+dC1t1+C2−dC2t2=C+dCz
d(C1t1−C2t2) =dCz
C1t1 − C2t2=Cz
C1 + C2=C
• Prorroga de vencimientos
P= t2−z
54
C1+C2=C
t2 = Cz−C1t1 P= t2−z
C1t1+C2t2=Cz C2
• LEY DE DESCUENTO COMPUESTO
(C1,t1),(C2,t2).....(Cn,tn) " (C,z)
C""Cs Vto común
C="Cs Vto medio
C1(1−d )t1 + C2(1−d )t2+...........+ Cn(1−d )tn = C(1−d )z
" Cs(1−d )ts = C(1−d)z
• Vencimiento común:
C= " Cs(1−d )ts =" Cs(1−d )ts−z
(1−d )z
z= −Ln " Cs(1−d )ts −Ln C
Ln(1−d)
• Vencimiento medio:
C="Cs
• Sustitución de capitales:
(C,z)"(C1,t1),(C2,t2) / C1+C2=C
C1(1−d )t1 + C2(1−d )t2 = C(1−d )z C1 y C2 son las incógnitas obtener.
C1+C2=C
• Prorroga de vencimiento:
C1+C2=C
P=t2−z
C1+C2=C Debemos obtener t2.
C1(1−d )t1 + C2(1−d )t2 = C(1−d )z
SEGUNDA PARTE
55
4.1. − DESCUENTO BANCARIO EN EL MERCADO. DEFINICIÓN.
El descuento bancario es una operación de activo para las entidades financieras y uno de los servicios
bancarios de financiación a corto plazo más utilizados por las empresas. La operación consiste en que la
entidad financiera adelanta al acreedor (librador) que emite el efecto o al tenedor, el importe de un título de
crédito no vencido, descontando los intereses que corresponden por el tiempo que media entre la fecha del
anticipo y la fecha de vencimiento del crédito, las comisiones y demás gastos.
Las figuras que aparecen en la operación son: librador es la persona que emite el documento, tenedor o
tomador es la persona legitimada para cobrarlo y librado es la persona obligada al pago.
En términos financieros, la entidad anticipa al cliente, el valor actual descontado de un efecto comercial, y a
vencimiento, el banco obtendrá el nominal. Se denomina genéricamente efecto comercial a todo tipo de
documento que evidencie que existe un crédito a favor de la persona que lo posee, como consecuencia de la
práctica habitual de la empresa, contra otra que ha contraído dicha obligación o deuda.
Existen dos modalidades de descuento bancario:
• Descuento financiero: Es una operación en la que las entidades financieras conceden un
préstamo, documentándolo en una letra de cambio. El banco o caja presta el dinero a su cliente,
abonando el efectivo resultante de descontar al nominal de la operación los intereses pactados, la
comisión de apertura del crédito, la cuantía del timbre de la letra de cambio y demás gastos que
graven la operación, entre otros, la de un fedatario público, pues normalmente, este tipo de
contrato se ratifica ante un corredor de comercio.
El banco, prestamista figura como librador y el cliente, prestatario, firma como librado aceptando la deuda
que pagará a vencimiento.
• Descuento comercial: El descuento comercial es el originado por operaciones mercantiles, es decir,
existen relaciones comerciales entre el cliente y el proveedor. El proveedor o acreedor adopta la figura
de librador del documento, esto es, el que gira el efecto contra su cliente, el deudor o librado
concediéndole aplazamiento en el pago. Si el acreedor decide negociar y descontar el efecto
comercial, tendrá que endosar ese documento de crédito, a favor de la entidad cediéndole el derecho
de cobro, frente al tercero deudor. Así, el librador o cualquier otro tenedor legítimo que lleve a cabo
esta operación, cobra anticipadamente en la fecha del descuento, el efectivo procedente de restar al
nominal los intereses y gastos, y la entidad financiera recibirá el nominal del efecto comercial en la
fecha de vencimiento.
4.2. − OBTENCIÓN DEL EFECTIVO. RÉDITOS Y TANTOS EFECTIVOS
El importe anticipado por la entidad al cliente se denomina efectivo o líquido, y se obtiene restando del
importe de la letra (nominal) el importe de todos los costes originados por el descuento (intereses, comisiones
y otros gastos).
Intereses: cantidad cobrada por la anticipación del importe de la letra. Se calcula en función del nominal
descontado, el tiempo que se anticipa su vencimiento y el tipo de interés aplicado por la entidad financiera.
56
siendo:
N: Nominal del efecto.
t: Número de días que el banco anticipa el dinero.
i: Tipo de descuento anual, en tanto por uno.
Comisiones: también denominado quebranto o daño, es la cantidad cobrada por la gestión del cobro de la letra
que realiza el banco.
Se obtiene tomando la mayor de las siguientes cantidades:
Un porcentaje sobre el nominal.
Una cantidad fija (mínimo).
Otros gastos: son los denominados suplidos, donde se pueden incluir los siguientes conceptos: el timbre,
correspondiente al IAJD y el correo, según la tarifa postal.
Ejemplo 18
Se desea descontar una letra de 3.250 euros cuando aún faltan 60 días para su vencimiento en las
siguientes condiciones.
Tipo de descuento: 14% anual.
Comisión: 3 (mínimo 5 euros).
Otros gastos: 2 euros.
57
4.3. − DESCUENTO DE UNA REMESA DE EFECTOS
En ocasiones no se descuentan los efectos de uno en uno, sino que se acude al banco con un conjunto de ellos,
una remesa de efectos, agrupados por períodos temporales, para descontarlos conjuntamente en las mismas
condiciones generales.
El documento en el que se liquida el descuento de la remesa se denomina factura de negociación.
Proceso de liquidación:
Confeccionar la factura con todos los efectos que componen la remesa.
Sumar cada una de las tres siguientes columnas:
− Importe nominal.
− Importe intereses.
− Importe comisiones.
Si han existido gastos (correo, timbres, etc.) sus importes se consignarán aparte.
El importe líquido resultante de la negociación se obtendrá restando del nominal total de la remesa el
montante de todos los gastos habidos.
Ejemplo 18
Se presenta a descuento la siguiente remesa de efectos:
Las condiciones del descuento son:
Tipo descuento: 12%.
58
Comisión: 5 (mínimo 90 euros).
Correo: 6 euros/efecto.
Se pide:
Descontar la remesa anterior.
Solución:
59
4.4. − LA T.A.E. EN LAS OPERACIONES DE DESCUENTO
En toda operación financiera se produce un intercambio de prestaciones dinerarias: una parte anticipa un
capital y recibe a cambio pagos futuros. A lo largo de la vida de la operación, en diversos momentos pueden
darse movimientos de capital en una u otra dirección.
El tipo de interés efectivo de una operación es aquel que iguala el valor actual de las prestaciones y de las
contraprestaciones.
Si se actualiza al momento inicial, por una parte los pagos y por otra parte los cobros, el tipo de interés
efectivo es aquel que iguala estos dos valores iniciales.
El Banco de España establece que en toda operación financiera, la entidad de crédito tiene que comunicar el
tipo TAE (Tasa Anual Equivalente).
El TAE es el tipo de interés efectivo, expresado en tasa anual, pospagable.
Es decir, para calcular el TAE:
a) Se calcula el tipo de interés efectivo de la operación
b) Conocido este tipo efectivo, se calcula el tipo anual, pospagable (TAE) equivalente
El tipo TAE, al venir siempre expresado como tasa anual, pospagable, permite comparar el coste real o
rendimiento real de diversas operaciones, en aquellos casos en que sus tipos de interés nominales no son
directamente comparable:
Por ejemplo: si el tipo de interés de un crédito viene expresado en tasa trimestral, y el de otro crédito en tasa
semestral, estos tipos no son directamente comparables. Pero si calculamos sus TAEs, ya sí se pueden
comparar.
Cuando la entidad financiera calcula el TAE de una operación, en la parte de ingresos incluye no sólo los
derivados del tipo de interés, sino también los ingresos por comisiones y cualquier otro tipo de ingreso
derivado de la operación.
60
EJEMPLO 19
Se solicita un crédito de 1.000.000 ptas. que hay que devolver en 2 pagos semestrales de 550.000 ptas.
Calcular el TAE:
Los flujos de capital son los siguientes:
x
Meses
Flujo
0
+1.000.0000
6
−500.000
12
−500.000
x
6
Se analiza la operación desde el punto de vista del cliente. Los importes que recibe van
con signos positivo, y los que paga van con signos negativo. Se podría haber realizado
desde el punto de vista del banco, cambiando los signos
1.− Se calcula el tipo de interés efectivo
Luego, 1.000.000 = 550.000 * (i + i2)^−1 + 550.000* (i + i2)^−2
Luego, i2 = 6,596 % (i2 es el tipo de interés efectivo semestral)
2.− Calculado el tipo de interés efectivo, se calcula su equivalente TAE:
Se aplica la fórmula, (1 + i) = (1 + i2)^2 (donde i es el tipo TAE)
Luego, (1 + i) = (1 + 0,06596)^2
Luego, i = 13,628%
Por lo tanto, la tasa TAE de esta operación es el 13,628%
4.5. − EFECTOS IMPAGADOS. LETRAS DE RESACA
Los efectos impagados son aquellos que se devuelven al cedente al no ser atendido su pago a su vencimiento
por parte del librado. Si la letra había sido descontada previamente, el banco se la cargará en cuenta del
cliente, junto con los gastos originados por el impago. Estos gastos pueden resumirse en los siguientes:
Gastos de devolución:
− Comisión de devolución.
− Correo.
Gastos de protesto:
− Comisión de protesto.
− Coste del protesto.
Intereses: Cuando el banco cobre con posterioridad a la fecha de vencimiento de la letra devuelta por
impagada. Se calcularán sobre la suma del nominal de la letra impagada más el importe de todos los gastos
originados por el impago, por el período transcurrido entre vencimiento y cargo.
Ejemplo 20
61
Llegado el vencimiento de la letra del ejemplo 1, ésta es devuelta por impagada, cargándose en la cuenta del
cedente por los siguientes conceptos:
Comisión de devolución: 1.
Comisión de protesto: 2.
Correo: 2,50 euros.
• LETRA DE RESACA
Se designa así a aquella que se emite para recuperar otra anterior que ha sido devuelta, junto con los gastos
que originó su devolución.
Se trata de determinar cuál ha de ser el nominal de esta nueva letra de forma tal que todos los gastos se le
repercutan a quien los originó (el librado).
Para su cálculo se tratará como una letra que se emite y descuenta en unas condiciones normales, con la
particularidad de que ahora el efectivo es conocido (la cantidad que se desea recuperar −nominal impagado
más los gastos de la devolución más los gastos del giro y descuento de la nueva letra−) y el nominal es
desconocido (que hay que calcular).
5.1. − CUENTAS CORRIENTES: DEFINICIÓN Y CARACTERÍSTICAS
Un contrato de cuenta corriente es un acuerdo entre dos partes con relaciones comerciales frecuentes, por el
que ambas se comprometen a ir anotando el importe de las operaciones que hagan entre ellas para liquidarlas
todas juntas en la fecha que señalen. Pueden pactarse estas cuentas corrientes entre empresas o particulares,
pero donde más se usan es en las relaciones entre los bancos y sus clientes.
Las cuentas corrientes bancarias, a su vez, pueden ser de dos tipos: de depósito y de crédito.
Una cuenta corriente de depósito es un contrato bancario por el que el titular puede ingresar fondos en una
cuenta de un banco, o retirarlos total o parcialmente sin previo aviso.
En la cuenta corriente de crédito es el banco quien concede al cliente (acreditado) la posibilidad de obtener
financiación hasta una cuantía establecida de antemano (límite del crédito).
Comenzaremos estudiando las primeras, que si bien es cierto que se trata más de un instrumento de gestión en
virtud del cual el banco se compromete a realizar, por cuenta de su cliente, cuantas operaciones son inherentes
al «servicio de caja», pueden llegar a convertirse en una fuente de financiación (descubierto bancario).
5.2. − CLASIFICACIÓN DE LAS CUENTAS CORRIENTES
Las cuentas corrientes de depósito se pueden clasificar según diversos criterios.
I. Según sus titulares:
• Individual: Abierta a nombre de un solo titular.
• Conjunta: Cuando hay dos o más titulares, exigiéndose que cualquier acto deba ser realizado
conjuntamente por todos los titulares, exigiendo la entidad la firma de todos ellos.
• Indistinta: Cuando hay dos o más titulares, pudiendo disponer cualquiera de ellos de los fondos utilizando
únicamente su firma.
62
II. Según el devengo de interés:
• Cuentas corrientes sin interés: son aquellas en las que no se paga ningún tanto por el aplazamiento de los
capitales. Para hallar la liquidación bastará calcular la diferencia entre el Debe y el Haber de dicha cuenta.
• Cuentas corrientes con interés: en este caso los capitales producen interés por el período que media entre
la fecha valor de la operación y la fecha de liquidación de la cuenta.
En las cuentas corrientes con interés, éste puede ser:
• Recíproco: cuando a los capitales deudores y a los acreedores se les aplica el mismo tanto de interés.
• No recíproco: cuando el tanto aplicado a los capitales deudores no es el mismo que el aplicado a los
capitales acreedores. Para liquidar estas cuentas no bastará con calcular la diferencia entre las sumas del
Debe y del Haber sino que deberemos hallar también el interés.
5.3. − MÉTODOS DE LIQUIDACIÓN DE CUENTAS CORRIENTES
Conocidos los capitales y el tanto de interés, que se fija de antemano, sólo falta hallar el tiempo durante el
cual produce intereses cada capital. Para ello se pueden seguir dos métodos: directo y escalar o hamburgués.
5.3.1. − MÉTODO DIRECTO
Considera que cada capital, deudor o acreedor, devenga intereses durante los días que median desde la fecha
de su vencimiento hasta el momento de liquidación.
5.3.2. − MÉTODO ESCALAR O HAMBURGUÉS
Este método recibe el nombre de hamburgués porque se usó por primera vez en Hamburgo. Y de saldos
porque los números comerciales se calculan en base a los saldos que van apareciendo en la cuenta (y no en
función de los capitales).
Los pasos a seguir para liquidar la cuenta por este método son los siguientes:
• Se ordenan las operaciones según fecha−valor.
• Se halla la columna de saldos como diferencia entre el Debe y el Haber de capitales. Cada vez que hagamos
una anotación cambiará el saldo de la cuenta.
• Hallar los días, que se cuentan de vencimiento a vencimiento, y del último vencimiento a la fecha de cierre.
• Se calculan los números comerciales multiplicando los saldos por los días y se colocan en el Debe si el
saldo es deudor, o en el Haber si el saldo es acreedor.
A partir de aquí terminaremos la liquidación del siguiente modo:
• Cálculo del interés.
Intereses deudores = Suma de números deudores ¥ Multiplicador fijo del banco
Intereses acreedores = Suma de números acreedores ¥ Multiplicador fijo del cliente
El multiplicador fijo es el cociente resultante de dividir el tipo de interés de liquidación (anual) entre el total
de días del año (360 ó 365).
b) Cálculo del IRC (Impuesto de Rentas de Capital) sobre los intereses acreedores.
63
c) Cálculo del saldo a cuenta nueva.
Ejemplo 21
Liquidación por el método hamburgués de la siguiente cuenta corriente, cuya titular es la señora
Manuela Jiménez Orgaz, en la que se aplican las siguientes condiciones:
Tipo anual de interés para saldos acreedores: 1%
Tipo anual de interés para descubiertos: 12%
Comisión sobre mayor descubierto: 2% sobre el mayor saldo descubierto contable en el período de
liquidación.
Fecha de liquidación: 30 abril.
La entidad bancaria utiliza 365 para calcular los intereses deudores y acreedores.
IRC: 18%
A lo largo del período se han producido los siguientes movimientos:
Las condiciones de liquidación son las siguientes:
Fecha de liquidación el 30 de junio.
Por cada apunte una comisión de 3 u.m.
IRC: 18%
El interés anual aplicado es el 6%
64
Liquidación del período 01−03 al 30−04.
Saldo antes de la liquidación: 17.000.
Cálculo de los números comerciales acreedores:
(1) 24.000 x 13 = 312.000
(2) 42.000 x 6 = 252.000
(3) 17.000 x 19 = 323.000
Total 887.000
Cálculo de los intereses acreedores:
Al mismo resultado habríamos llegado aplicando la fórmula de interés simple (carrete):
Intereses (15−03 a 28−03) = 24.000 x 13/365 x 0,01 = 8,55
Intereses (28−03 a 03−04) = 42.000 x
6/365 x 0,01 = 6,90
Intereses (11−04 a 30−04) = 17.000 x 19/365 x 0,01 = 8,85
Total 24,30
Cálculo de los números comerciales deudores:
(5) 6.000 x 10 = 60.000
(6) 3.000 x
8 = 24.000
Total 84.000
Cálculo de los intereses deudores:
65
Al mismo resultado habríamos llegado aplicando la fórmula de interés simple (carrete):
Cálculo de retenciones sobre los intereses acreedores (rendimiento de capital mobiliario):
18% x 24,30 = 4,37
Cálculo de comisión sobre mayor descubierto:
La comisión se calcula sobre los saldos en fecha operación, no en fecha valor. Por tanto, para ver si
procede ésta habrá que ordenar los movimientos según se han producido realmente (fecha operación).
66
Se podrá cobrar una comisión sobre el mayor descubierto en fecha operación (en el supuesto de que
ocurriera más de uno durante el período liquidado). Estando prohibidas las comisiones de apertura y
similares en los descubiertos en cuenta corriente por valoración. Así pues, de acuerdo con las fechas
operación, sólo se ha producido un descubierto provocado por el pago del recibo de la luz el 30 de marzo
por importe de 3.000 sobre el que se aplicará el 2% establecido:
2% x 3.000 = 60
Saldo después de la liquidación: + 17.000 + 24,30 − 27,62 − 4,37 − 60 = = + 16.932,31
5.4. − CUENTAS CORRIENTES DE CRÉDITO. DETERMINACIÓN DE LA T.A.E.
En la cuenta de crédito la entidad financiera pone a disposición del cliente un límite máximo de
endeudamiento, del que éste irá disponiendo en función de sus necesidades.
La cuenta de crédito funciona como una cuenta corriente: el cliente podrá disponer, pero también podrá
ingresar; de hecho, el saldo puede ser ocasionalmente a su favor.
El banco establece dos tipos de interés: uno que aplica a los saldos deudores, y otro inferior, similar al de las
cuentas corrientes, con el que remunera los saldos acreedores.
El banco puede admitir que el cliente en ocasiones puntuales pueda disponer por encima del límite autorizado,
pero en estos casos le aplicará un tipo de penalización durante el tiempo en que el crédito se encuentre
excedido.
Las cuentas de crédito suelen llevar comisiones, destacando la comisión de apertura (entorno al 0,5% del
límite concedido) y la comisión por límite no dispuesto (por ejemplo: si se solicita un crédito de 5 millones
ptas. y el saldo medio utilizado es de 3 millones, esta comisión se aplica sobre los 2 millones restantes).
Ejemplo 22
Un cliente apertura una cuenta de crédito con un límite de 3.000.000 ptas. y vencimiento a 1 año. El banco
establece un tipo del 12% para los saldos deudores, del 24% para los saldos excedidos, y remunera con el 3%
los saldos acreedores.
67
El banco aplica una comisión de apertura del 0,5% y una comisión sobre límite no dispuesto del 0,25%.
Transcurrido el primer trimestre, el saldo medio dispuesto ha sido de 2.500.000 ptas., ha habido un saldo
medio excedido de 200.000 ptas., y un saldo medio acreedor de 300.000 ptas.
Calcular la liquidación de la cuenta de este primer trimestre, así como el tipo TAE de este periodo.
a) Liquidación de la cuenta (se aplica la ley de capitalización simple I = C * i * t)
Comisión de apertura
3.000.000 * 0,005 =
Intereses deudores (ordinarios)
2.500.000 * 0,12 * 0,25 =
(se utiliza la base anual: un trimestre es igual a 0,25 años)
Intereses deudores (excedidos)
200.000 * 0,24 * 0,25 =
Intereses acreedores
300.000 * 0,03 * 0,25 =
Comisión s/saldo medio no
500.000 * 0,0025=
dispuesto
− 15.000
− 75.000
Total liquidación
− 101.000
− 12.000
+ 2.250
− 1.250
b) TAE de la operación
Se calcula el tipo efectivo para el trimestre; para ello se suman los intereses y las
comisiones pagadas, y se divide entre el saldo medio deudor
La comisión de apertura se divide entre 4 trimestres (duración de la operación),
asignándole a este primer trimestre una cuarta parte.
Por lo tanto, ie = (75.000 + 12.000 + 3.750 + 1.250)/( 2.500.000 + 200.000)
"ie" es el tipo efectivo
3.750 ptas. corresponden a la comisión de apertura (una cuarta parte de 15.000 ptas.)
No consideramos ni el saldo medio acreedor, ni los intereses pagados al cliente
luego, ie = 3,4074%
Por lo tanto, el tipo de interés efectivo de la operación durante el primer trimestre ha
sido del 3,407%
Una vez calculado el tipo efectivo, se calcula su tipo anual equivalente (TAE)
luego, 1 + i = (1 + i4)^4 (siendo "i" el tipo TAE)
luego, i = 14,34%
El TAE de este crédito durante el primer trimestre ha sido del 14,34%
TERCERA PARTE
6.1. − CONCEPTO de renta
Supongamos una distribución o conjunto de capitales definidos en un intervalo I en el cual efectuamos una
partición en n subintervalos, de tal forma de que I=U Ir con dos condiciones:
• Ir es diferente al conjunto vacío para todo R
• Ir"Ir+1 es igual al conjunto vacío
A cada subintervalo Ir le asociamos un único capital como producido o engendrado en el mismo y
recíprocamente, de tal forma que conocido un capital aparece automáticamente como conocido el intervalo en
el que dicho capital vence.
68
I = (to,tn)
Una renta se define como una distribución o conjunto de capitales asociada a una partición de tal forma que a
cada intervalo le corresponde un único capital como producido o engendrado en el mismo, recíprocamente.
En toda renta se distinguen dos puntos: uno es el origen de la renta(to) o momento de disponibilidad del
primer capital y el otro punto es el final de la renta(tn) o momento de disponibilidad ultimo del capital.
El principal objeto de las rentas es la determinación del valor de la misma en un momento determinado. Esta
valoración la efectuamos, obteniendo el valor de cada uno de los términos en dicho momento. Valoración que
efectuaremos con arreglo al régimen de Capitalización Compuesta a un determinado tanto de interés.
6.2. − VALOR capital o financiero de una renta.
Se entiende por valor capital de un renta en un determinado momento al valor financiero en de la
distribución de capitales que la definen. Si este valor se calcula en el momento to u origen de la renta lo
denominamos valor actual y lo representamos por Vo y si este valor lo calculamos en el momento final de la
renta tn se denomina valor final de la renta y lo representamos por Vn.
6.3. − CLASIFICACIÓN de las rentas.
Teniendo en cuenta que los elementos que intervienen en la definición de renta podemos elaborar distintos
criterios de clasificación:
• Atendiendo a la cuantía de los términos.
• Rentas constantes: si la cuantía de todos los términos es fija e igual para todos ellos
• Rentas variables: si la cuantía de los términos sigue una ley de variación.
• Renta variable en progresión aritmética: si la cuantía de los términos siguen una ley aritmética de
variación de razón d , de tal forma que un termino de la renta será igual a su anterior mas menos la razón.
Cs=Cs−1±d d en ptas
=10% no acumulativo d=0.1*C1
• Renta variable en progresión geométrica: si la cuantía de los términos varían según un progresión
geométrica de razón q.
Cs=Cs−1*q q>0
% acumulativo q=1+0.03
"3% acumulativo q=1−0.03
• Rentas variables arbitrarias: si no siguen una especial de variación.
◊ Atendiendo a la disponibilidad o vencimiento de los términos
• Rentas pospagables: si el vencimiento de todos los términos coincide con el extremo superior del periodo
correspondiente. Es decir todos los capitales se pagan al final de los periodos correspondientes.
• Rentas prepagables: aquellas en las que el vencimiento de todos los términos coinciden con el extremo
inferior del periodo correspondiente. Los capitales se pagan o vencen al inicio de los periodos.
69
• Atendiendo a la amplitud de los periodos
• Rentas discretas: si la amplitud de los periodos es finita:
• Rentas discretas de periodo uniforme: si la amplitud de cada periodo es igual y constante.
(t1−to) = (t2−t1) = ....
• Rentas discretas de periodo no uniforme: es el caso contrario al anterior.
• Rentas continuas: cuando la amplitud de cada uno de los periodos tiende hacia cero. Su solución le vendrá
dada por el limite de al renta discreta que corresponda cuando la amplitud del intervalo tiende a cero.
• Atendiendo a la posición del punto de valoración
• Rentas inmediatas: si la posición del punto de valoración coincide con to o tn
• Rentas diferidas: si el punto de valoración es menor que el origen de la misma
• to
h = to − = diferimiento
Este diferimiento solo afecta al valor actual de la renta y nunca a su valor final que coincide con el de la
inmediata.
• Rentas anticipadas: Cuando el punto de valoración es mayor que el final de la renta
> Tn
tn
p=−tn= anticipación
Este anticipación solo afecta al valor final de la renta y nunca a su valor actual que coincide con el de la
inmediata.
• Atendiendo a la duración de la renta
• Renta temporal: Si la duración es finita.
• Renta perpetua: Si la duración es indefinida
• Atendiendo a la naturaleza de los capitales
• Rentas ciertas: Si la cuantía y el vencimiento son ciertos.
• Rentas aleatorias: Si la cuantía, el vencimiento o ambas son aleatorias.
7.1 Renta inmediata, constante y temporal. Rédito periodal constante.
7.1.1. − POSTPAGABLE
Si todos los términos vencen al final del periodo.
• Valor actual: Lo obtenemos valorando cada uno de los términos de la renta en el origen y sumamos
dichos valores.
70
CCCCCC
1 2 3 n−2 n−1 n
Vo=C(1+i)−1 + C(1+i)−2 + C(1+i)−3+.....+C(1+i)−(n−1) + C(1+i)−n =
=C[(1+i)−1 + (1+i)−2 + (1+i)−3+.....+(1+i)−(n−1) + (1+i)−n ]=
= C (1+i)−1− (1+i)−n (1+i)−1 = C 1− (1+i)−n =C an¬i
1− (1+i)−1 i
an¬i : Es el valor actual de una renta unitaria pospagable de duración n periodos al tanto de valoración i.
• Valor final: la suma de los valores finales de los términos que componen la renta( estamos
capitalizando)
Vn= C + C(1+i) + C(1+i)2+.....+C(1+i)n−2 + C(1+i)n−1 =
=C[1+(1+i) + (1+i)2+.....+(1+i)n−2 + (1+i)n−1 ]=
= C 1− (1+i)n−1 (1+i) = C 1− (1+i)n = C (1+i)n −1 =Csn¬i
1− (1+i) − i i
sn¬i : es el valor final de una renta unitaria y pospagable de duración n periodos al tanto de valoración i.
• Relación entre el valor actual y el valor final.
Para obtener el valor inicial contracapitalizamos el valor final n veces.
Vo=Vn(1+i)−n= Csn¬i (1+i)−n = C (1+i)n −1 (1+i)−n = C 1− (1+i)−n =C an¬i=Vo
ii
Vn= C an¬i (1+i)n= C 1− (1+i)−n (1+i)n = (1+i)n −1 = Csn¬i =Vn
ii
• PREPAGABLES
• Valor actual:
CCCCCC
−1 0 1 2 n−2 n−1 n
Can¬i Can¬i(1+i)
¨Vo= C+ C(1+i)−1 + C(1+i)−2 + .....+C(1+i)−(n−2) + C(1+i)−(n−1) =
=C[1+(1+i)−1 + (1+i)−2 +.....+(1+i)−(n−2) + (1+i)−(n−1) ]=
71
= C 1− (1+i)−(n−1) (1+i)−1 = C 1− (1+i)−n = C 1−(1+i)−n .(1+i)=C an¬i(1+i)=
1− (1+i)−1 1+i−1 i
= C ¨an¬i
¨an¬i : Es el valor actual de una renta unitaria prepagable de duración n periodos al tanto de valoración i.
¨Vo=C¨an¬i= C an¬i(1+i)=Vo(1+i)
• Valor final:
¨Vn= C(1+i) + C(1+i)2+.....+C(1+i)n−1 + C(1+i)n =
=C[(1+i) + (1+i)2+.....+(1+i)n−1 + (1+i)n ]=
=C(1+i)[1+(1+i) +.....+(1+i)n−2 + (1+i)n−1 ]=
= C(1+i) 1− (1+i)n−1 (1+i) = C(1+i) 1− (1+i)n = C(1+i) (1+i)n −1 =C(1+i)sn¬i=
1− (1+i) − i i
= C¨sn¬i
¨sn¬i : es el valor final de una renta unitaria y prepagable de duración n periodos al tanto de valoración i.
¨Vn=C¨sn¬i= C(1+i)sn¬i=Vn(1+i)
7.2. − Renta inmediata, conStante, perpetua.
Recordamos que renta perpetua es aquella cuya duración es indefinida donde n tiende a infinito. Sabemos
cuando empieza pero no cuando termina, por tanto en este tipo de rentas no tiene sentido hablar de valor final,
solo de valor actual. Pueden ser postpagables y prepagables.
• POSPAGABLE
Calculamos el valor actual de una renta inmediata, constante, pospagable y perpetua. Calculamos el limite
cuando n tiende a infinito del valor actual de una renta temporal de las mismas características.
Vo= Ca"¬i=Lim Ca"¬i = C Lim a"¬i =C Lim 1−(1+i)−n =C[1/i−Lim 1/(1+i)n.i]= C1/i
n!" n!" n!" i n!"
a"¬i=Lim a"¬i=1/i
• PREPAGABLE
Calculamos el valor actual de una renta inmediata, constante, pospagable y perpetua.
¨Vo= C¨a"¬i= Ca"¬i(1+i)=C1/i(1+i)
7.3. − Renta diferida h periodos.
72
Son aquellas rentas en las que entre el punto de valoración y el origen de la venta deben de transcurrir h
periodos de tiempo. Debemos obtener su valor actual en un punto <to donde:
To − = h : periodos de diferimiento
Estas rentas solo ven alterado su valor actual y nunca su valor final que coincide con el de la inmediata.
CCCCC
0 1 2 3 n−1 n
p
Vo Can¬i
• Valor actual de una renta diferida en h periodos pospagable y temporal
Vo=Ch/ an¬i= C(1+i)−(h+1) + C(1+i)−(h+2) + .....+C(1+i)−(h+n−1) + C(1+i)−(h+n) =
=C(1+i)−h[(1+i)−1 + (1+i)−2 +....+(1+i)−(n−1) + (1+i)−n ]=
= C(1+i)−h 1− (1+i)−n =C an¬i(1+i)−h
i
El valor actual de una renta diferida h periodos siempre es igual al valor actual de una renta inmediata de las
mismas características cotracapitalizando h periodos.
• Comprobación de que el valor final no se ve afectado
CCCCC
0 1 2 3 n−1 n
p
Can¬i(1+i)−h Vn=Vo(1+i)h+n
Vn=Ch/ an¬i(1+i)h+n = Can¬i(1+i)−h(1+i)h+n= Can¬i(1+i)n= Csn¬i
• Valor actual de una renta diferida h periodos prepagable temporal.
¨Vo=Ch/ ¨an¬i=Ch/ an¬i(1+i)= Can¬i(1+i)−h(1+i)= Can¬i(1+i)−(h−1)
El valor actual de una renta diferida h periodos y prepagable lo podemos obtener contrapitalizando h−1
periodos de una renta inmediata y pospagable de las mismas características
• Valor actual de una renta diferida h periodos pospagable y perpetua.
Vo=Ch/ a"¬i= Ca"¬i(1+i)−h=C 1/i (1+i)−h
• Valor actual de una renta diferida h periodos prepagable y perpetua.
73
¨Vo=Ch/¨a"¬i= C¨a"¬i(1+i)−h=C 1/i (1+i)−h (1+i)= C 1/i (1+i)−(h−1)
7.4. − RENTA anticipada p periodos
Son aquellas rentas en las que entre el final de la renta y el punto de valoración deben de transcurrir p
periodos de tiempo. Queremos obtener el valor final de la renta en un punto >tn donde:
tn − = p : periodos de anticipación
La anticipación solo afecta al valor final de la renta y nunca al valor actual que coincide con el de la
inmediata.
0 1 2 n−1 n
p
Csn¬i Csn¬i(1+i)p
• Valor final de una renta anticipada p periodos pospagable temporal.
Vn=Cp/ sn¬i= C(1+i)p + C(1+i)p+1+.....+C(1+i)p+n−1 =
=C(1+i)p[1+ (1+i)1+.....+ (1+i)n−1 ]=
= C(1+i)p (1+i)n −1 =Csn¬i(1+i)p
I
• Comprobación que el valor actual no se ve afectado por la anticipación.
Vo=Cp/ sn¬i(1+i)−(p+n)= Csn¬i(1+i)p(1+i)−(p+n)= Csn¬i(1+i)−n= Can¬i
La anticipación no afecta al valor actual de la renta.
• Valor final de una renta anticipada p periodos, prepagable y temporal
¨Vn=Vp/¨sn¬i=Cp/ sn¬i(1+i)= Csn¬i(1+i)(1+i)p= Csn¬i (1+i)p+1
El valor final de una renta anticipada p periodos prepagable lo podemos obtener capitalizando p+1 periodo el
valor final de una renta inmediata y pospagable de las mismas características.
8.1. − RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA
Este tipo de rentas se refiere a un conjunto de capitales cuyas cuantías van variando y lo hacen siguiendo una
ley en progresión aritmética, esto es, cada término es el anterior aumentado (o disminuido) en una misma
cuantía (que se denomina razón de la progresión aritmética) y que notaremos por d, siempre expresada en
unidades monetarias.
Para calcular cualquier término basta con conocer, por tanto, el primero de ellos (c) y la razón de la progresión
(d).
8.1.1. − RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA POSTPAGABLE
74
Vamos a estudiar una renta variable en progresión aritmética, temporal (tiene un número determinado de
capitales), pospagable (los términos vencen al final del período), inmediata (valoraremos la renta en su origen
y su final) y entera (términos y tanto están en la misma unidad de tiempo).
• Cálculo del valor actual
La representación gráfica de la renta anteriormente citada es la siguiente:
Aplicando la definición de valor actual y llevando los términos uno a uno, descontando en régimen de
descuento compuesto al tanto de la renta i, desde donde están hasta el origen se obtiene el valor actual, que se
nota con la siguiente terminología A(c; d) n×i, expresión que además de recoger la información de la renta,
recoge la información de la progresión (c; d):
de donde finalmente se puede obtener la siguiente expresión:
75
que se puede convertir en esta otra fórmula de cálculo:
Nota: se ha prescindido del desarrollo matemático de esta demostración,
reflejando el resultado final del mismo.
• Cálculo del valor final
A partir del valor actual se podrá calcular cualquier otro valor financiero, utilizando la relación que existe
entre los diferentes valores financieros en los distintos momentos de tiempo:
Valor final:
S(c; d) n×i = (1 + i)n x A(c ; d) n×i
76
Ejemplo 22
Hallar el valor actual y final de una corriente de gastos anuales vencidos de un negocio que el primer año
van a ser 2.000 euros y se espera que aumenten 100 euros cada año, suponiendo una tasa de valoración
del 7% y para un horizonte temporal de 4 años.
Valor actual:
Valor final:
S(2000; 100) 4×0,07 = 1,074 x A(2000; 100) 4×0,07 = 9.508,38 €
Nota: a idénticos resultados se hubiera llegado si valoramos uno a uno los capitales en la fecha de
estudio.
8.1.2. − RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA PREPAGABLES
En este caso, basta con multiplicar por (1 + i) el valor actual o final (según proceda) de la renta pospagable.
77
Ä(c; d ) n×i = (1 + i) X A(c; d ) n×i
¨S(c; d) n×i = (1 + i) x S(c; d ) n×i
8.1.3. − RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA PERPETUAS
El cálculo de la renta en progresión aritmética se realiza, como para cualquier renta perpetua, a través del
límite cuando la duración (n) tiende a infinito:
resultando finalmente:
Todas las fórmulas se han desarrollado suponiendo que la razón es positiva (d > 0), es decir, que los términos
van aumentando, aunque siguen siendo válidas para el caso contrario, bastaría con cambiar el signo de la
razón (d) en las fórmulas.
8.1.4. − RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA DIFERIDA h PERÍODOS Y
ANTICIPADAS p PERÍODOS
78
Serán diferidas cuando se valoran con anterioridad a su origen y anticipadas cuando se valoran después de su
final.
Como en cualquier otro tipo de renta, se pueden establecer relaciones entre diferentes valores de la renta. Así:
79
8.2. − RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
Este tipo de rentas sirve para valorar un conjunto de capitales equidistantes en el tiempo cuyas cuantías son
variables siguiendo una ley en progresión geométrica, esto es, cada término es el anterior multiplicado por un
mismo número (que se denomina razón de la progresión geométrica) y que notaremos por q.
Para calcular cualquier término basta con conocer, por tanto, el primero de ellos (c) y la razón de la progresión
(q).
8.2.1. − RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA POSTPAGABLES
Vamos a estudiar una renta variable (términos que siguen una progresión geométrica), temporal (tiene un
número determinado de capitales), pospagable (los términos vencen al final del período), inmediata
(valoraremos la renta en su origen y su final) y entera (términos y tanto están en la misma unidad de tiempo).
Aunque no se diga expresamente se calculará en régimen de compuesta (renta compuesta).
• Cálculo del valor actual
La representación gráfica de la renta anteriormente citada es la siguiente:
80
Se trata de valorar en el origen todos los términos que componen la renta. Para ello llevaremos, uno a uno,
descontando en régimen de descuento compuesto al tanto de la renta i, desde donde está cada capital hasta el
origen, obteniéndose el valor actual, que se nota con la siguiente terminología: A(c; q) n×i, expresión que
recoge la información de la renta (n términos al tanto i) y también datos de la progresión que siguen los
capitales (primer término −c− y razón de la progresión −q−):
Sacando factor común:
81
se obtiene:
donde el corchete es la suma de n términos en progresión geométrica creciente de razón:
82
Aplicando la expresión que suma términos que siguen esta ley:
siendo a1 el primer término de la progresión, an, el último término y r, la razón.
Aplicando dicha fórmula a los términos actualizados de la renta, el valor actual de la renta queda de la
siguiente forma:
83
de donde finalmente se puede obtener:
expresión que solamente se podrá utilizar cuando q
84
1 + i.
Cuando se cumple: q = 1 + i, la expresión del valor actual quedará de la siguiente forma:
sacando factor común:
El corchete, al simplificarse, no es más que la suma aritmética de n veces la unidad, quedando el valor actual
así:
85
• Cálculo del valor final
A partir del valor actual se podrá calcular el valor de la renta en cualquier otro momento, utilizando la relación
que existe entre los valores financieros en los diferentes momentos de tiempo. En concreto, el valor final será
el resultado de capitalizar el valor actual antes calculado.
S(c; q) n×i = (1 + i)n x A(c; q) n×i
Ejemplo 23
Hallar el valor actual y final de los ingresos anuales vencidos de un trabajador que el primer año va a
ganar 20.000 euros y espera que crezcan un 5% anual de forma acumulativa para un horizonte temporal
de 4 años.
a) Suponiendo una tasa de valoración del 7%.
b) Suponiendo una tasa de valoración del 5%.
86
a) Valorando al 7%:
b) Valorando al 5%:
87
Nota. A idénticos resultados se hubiera llegado si desplazamos uno a uno los capitales a la fecha de
estudio.
8.2.2. − RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA PREPAGABLES
Para una renta variable con términos en progresión geométrica, temporal (n capitales), pospagable, inmediata,
entera y valorada en compuesta, la representación gráfica queda de la siguiente forma:
• Cálculo del valor actual
Una posibilidad consiste en valorar los n capitales moviendo, por una parte, el primer capital, que ya está en el
origen y el resto de capitales, n−1, como renta pospagable inmediata de n−1 términos:
88
Otra posibilidad consiste en convertirla en pospagable multiplicando por (1 + i) todos los términos.
Ä(c; q) n×i = (1 + i) x A(c; q) n×i
• Cálculo del valor final
Se puede obtener capitalizando el valor actual de la misma renta.
8.2.3. − RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA PERPETUAS
El cálculo de la renta en progresión geométrica perpetua se realiza, como las demás rentas perpetuas, a través
del límite cuando el número de términos de la renta (n) tiende a infinito:
89
resultando finalmente que el límite, y por tanto el resultado del valor actual, está en función de la relación
existente entre el valor de la razón de la progresión (q) y (1 + i), y sólo tendrá sentido financiero cuando q < 1
+ i, quedando el siguiente valor actual:
8.2.4. − RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA DIFERIDAS
Cuando se valoran con anterioridad a su origen. El tiempo que transcurre entre el origen de la renta y el
momento de valoración se denomina período de diferimiento de la renta.
Para valorar la renta diferida, primero valoraremos renta en su origen (se considera como inmediata y se
calcula su valor actual) y posteriormente descontaremos dicho valor actual (como un solo capital) hasta el
momento t elegido, en régimen de descuento compuesto al tanto de interés vigente durante el período de
diferimiento. Gráficamente sería:
90
El resultado final quedaría así:
El diferimiento solamente afecta al valor actual, por tanto, el valor final se calcu-la como en una renta
inmediata.
8.2.5. − RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA ANTICIPADAS
Son aquellas que se valoran con posterioridad a su final, siendo el período de anticipación de la renta el
tiempo que transcurre entre el final de la renta y el momento de su valoración.
Valoraremos la renta, tratándola como renta inmediata, en su final y posteriormente capitalizamos este valor,
al mismo tipo (i), durante el período de anticipación (h). También se podrá valorar la renta en su origen y
posteriormente capitalizamos hasta el punto deseado.
91
El resultado será:
Vn+h = h/Sn×i = (1 + i)h x S(c; q) n×i = (1 + i)h+n x A(c; q) n×i
La anticipación solamente afecta al valor final pero no al valor actual, que se realizará como si de una renta
inmediata se tratara, cumpliéndose la siguiente relación, como en cualquier otro tipo de renta, entre diferentes
valores de la renta:
Ejemplo 24
Determinar el valor actual de los ingresos de una empresa para los próximos 15 semestres si para el
primer período ascienden a 500 euros y se estima un incremento semestral del 8% durante los primeros
10 semestres y manteniéndose constante a partir de entonces. Tipo de valoración el 10% efectivo
semestral.
Los 15 ingresos constituyen una renta, pero tomados conjuntamente sería aleatoria. Por el contrario, si se
consideran en primer lugar los 10 primeros términos (renta en progresión geométrica inmediata) y a
continuación los 5 últimos (renta constante y diferida), podremos emplear fórmulas de rentas. Así:
92
9.1. − Introducción
Cuando estudiamos la capitalización simple y el descuento uno de los principios utilizados para efectuar la
valoración era los parámetros que determinan esta(tiempo y tanto) deben estar referidos a las mismas unidades
de tiempo y en caso contrario realizábamos las oportunas transformaciones utilizando los tantos equivalentes.
Las rentas fraccionadas o de frecuencia distinta a la anual son aquellas en las que el periodo de capitalización
del tanto no coincide con el periodo del pago o cobro del termino de la renta.
Las formulas obtenidas hasta ahora siguen siendo validas pero teniendo en cuenta que si el termino
fraccionado es Cm el tanto a utilizar será i(m). Ante este planteamiento pueden darse dos situaciones que son:
• Termino anual C y tanto de frecuencia i(m)
• Termino de frecuencia Cm y un tanto anual i.
9.2. − Termino anual y tanto de frecuencia
Este tipo de rentas son aquellas en las cuales el termino de las misma se percibe anualmente mientras el tanto
de capitalización es mayor o inferior al año. Es decir nos dan un termino C y un tanto de frecuencia i(m).
Para encontrar el valor en este tipo de rentas habrá que referir los dos parámetros a la misma unidad de
tiempo. Para lo cual calculamos el tanto efectivo anual y equivalente al tanto i(m) conocido. Y con este tanto
anual efectuamos la valoración de la renta en función de las características de esta.
(1+i)=(1+i(m))m
9.3. − Termino de frecuencia y tanto anual
En este caso el periodo de capitalización es superior al periodo al que se percibe la renta, es decir, nos dan el
interés efectivo anual i mientras que el termino de la renta se percibe m veces dentro del año.
Para encontrar el valor en este tipo de rentas fraccionadas tendremos también que referir ambos parámetros a
las mismas unidades de tiempo. Para ello utilizaremos cualquiera de los siguientes procedimientos posibles:
93
• Calculamos el tanto de interés i(m) a partir del tanto efectivo anual da do i y con este tanto i(m) efectuamos
la valoración de la renta en función de las características de esta, pero teniendo en cuenta que ahora la
duración de la misma no debe expresarse en años sino en n*m periodos.
Ej: Vo(m)= Cm.a nm ¬i(m)
• Calcular un termino C anual equivalente al termino Cm conocido. Para lo cual tenemos que distinguir entre
rentas prepagables y pospagables:
• POSPAGABLES
Dada una renta constante, inmediata y pospagable de termino Cm siendo m la frecuencia, de duración n años,
al tanto de valoración i.
Para calcular el termino C anual equivalente a esos términos Cm representamos gráficamente un año
cualquiera de la renta.
Cm Cm Cm Cm
0 1/m 2/m m−1/m m/m
C es el valor final de una renta constante de termino Cm , de duración m periodos al tanto i(m) , inmediata,
pospagable y temporal.
C= Cm s m ¬i(m) = Cm (1+i(m))m−1 = Cm i/i(m) = Cm. m. i/m. jm= Cm. m. i/jm
i(m)
m. i/jm: factor de transformación de una renta sin fraccionar en su correspondiente fraccional.
Vo= Cm. m. i/jm . a n ¬i
• PREPAGABLE
Dada una renta constante, inmediata u prepagable de termino Cm y tanto efectivo i y duración n años.
Para calcular el termino C anual que consideramos pospagable y equivalente al termino Cm conocido. Por
tratarte de una renta constante representamos un año cualquiera de la misma.
Cm Cm Cm Cm
0 1/m 2/m m−1/m m/m
C es el valor final de una renta constante , inmediata, prepagable y temporal de duración m periodos al tanto
de valoración i(m)
C= Cm ¨s m ¬i(m) = Cm s m ¬i(m) (1+i(m) )= Cm (1+i(m))m−1 (1+i(m) )=
i(m)
Cm i/i(m) (1+i(m) )= Cm. m. i/m. jm . (1+i(m) )= Cm. m. i/jm. (1+i(m) )
94
*las rentas fraccionadas de prepagables a pospagables se capitaliza una fracción de año (1+i)1/m.
Vo= Cm. m. i/jm . a n ¬i. (1+i)1/m
9.4. − Rentas variables en progresión aritmética FRACCIONDAS
9.4.1 Termino de frecuencia, cuantía, razón, y tanto anual
En las rentas variables fraccionadas o que nos obliga a trabajar en una u otra unidad de tiempo es la razón. Si
la razón es fraccionada trabajamos en fracciones de año y si e anual en años.
Cm , dm, i duración m*n
Am(Cm ,dm)mn¬i=( Cm + dm/i(m) +dm . m. n) a nm ¬i(m) − dm m n
i. m
9.4.2 termino de frecuencia , razón y tanto anual.
Cm , d,i al ser la razón anual tenemos que trabajar en años.
Los pagos del primer años son constantes e iguales de cuantía Cm. La cuantía anual equivalente es C1= Cm .
m. 1/jm
Los pagos del segundo año de la renta son constantes e iguales pero de cuantía Cm+d
C2=( Cm +d). m. 1/jm
Ahora introducimos un nuevo termino:
d': el incremento o variación que debe experimentar los pagos de un año a otro.
C2=C1+d'
d'=C2−C1=( Cm +d). m. 1/jm− Cm . m. 1/jm = d m i/ jm
• Valor inicial
A(C1 ,d')n¬i=( C1 + d'/i +d'. n) a n ¬i − d' n
i
A(C1 ,d)n¬i=( Cm . m. 1/jm + d m i/ jm +d. n. m. i/ jm) a n ¬i − d. n. m. i/ jm
ii
A(C1 ,d)n¬i=m. i/ jm [(Cm + d/i +d. n) a n ¬i − dn ]
i
• Valor inicial de una renta de las mismas características pero pospagable.
95
Ä(C1 ,d)n¬i= A(C1 ,d)n¬i (1+i)1/m
9.5 Rentas variables en progresión geométrica fraccionadas.
9.5.1 Termino de frecuencia, cuantía y razón, y tanto anual
Cm, qm, i(que transformamos en i(m) duracion:m*n
A(Cm ,qm)mn¬im= Cm 1− (1+i)m n . qm m.n valor actual
(1+i(m))−qm
Si q= 1+i(m) A(Cm ,qm)mn¬im= Cm. m. n(1+i(m))−1
Para pasar las rentas de este tipo de prepagable a pospagable capitalizamos una fracción de año.
9.5.2 Termino de frecuencia , razón y tanto anual
Cm , q , i
Primer año
C1
Cm Cm Cm Cm
0 1/m 2/m m−1/m m/m
C1= Cm m. i/ jm
Segundo año
C2
Cmq Cmq Cmq Cm q
0 1/m 2/m m−1/m m/m
C2= Cm . q m. i/ jm
C2=C1q' donde q' es la variación que se debe de experimentar año a año.
q'=C2/C1= Cm . q m. i/ jm =q
Cm m. i/ jm
Am(C ,q)n¬i= C1 1− (1+i)− n . q.n = Cm m. i/ jm 1− (1+i)− n . q.n
1+i−q 1+i−q
Si q= 1+i Am( Cm ,q)n¬i= Cm m. i/ jm . n(1+i)−1
96
10.1. − CONCEPTO DE RENTA CONTINUA
• Concepto teórico.
Definíamos una renta cono una distribución de capitales, por tanto una renta continua estará formada por una
distribución de capitales. Definíamos una distribución constante de capitales en el intervalo (to,tn) como
aquella distribución en la que en cada punto del intervalo vence un único capital y en cada instante de tiempo.
• Concepto práctico.
Consideramos renta continua a aquella en las cual la frecuencia m es mayor de doce (m>12). Una renta
continua consiste en suponer que los intervalos de la misma son infinitamente pequeños en cada uno de los
cuales vence un capital, por lo tanto los periodos con los que se trabaja son infinitamente pequeños, lo que nos
lleva a que los valore iniciales y finales de las rentas pospagables y prepagables coincidan en valor.
10.2 Valor financiero de una renta continua.
De acuerdo con la definición expuesta la renta continua puede ser considerada como una renta fraccionada en
la cual la frecuencia m tiende a infinito. Realmente lo que consideramos continuo es la capitalización ya que
los pagos van a ser quincenales, semanales o diarios. Si consideramos los pagos también continuos el valor de
la renta seria infinito.
Quincenales m=24
Semanales m= 52
Diario m=365
Para obtener el valor de las rentas continuas calculamos el limite cuando la frecuencia tiende a infinito en una
renta fraccionada de las mismas características.
Consideramos Rentas constantes fraccionadas Cm
Rentas en progresión aritmética fraccionadas Cm, d
Rentas en progresión geométrica fraccionadas Cm, q
Para obtener aquí el valor de la renta utilizamos una renta constante fraccionada(Cm, i). aquí no podemos pasa
de i a i(m) ya que m>12
Vmo= Cm. m . i/jm an¬i vamos a trabajar a parir de esta fracción.
Vo= Lim Vmo=Lim Cm. m . i/jm an¬i= Cm. m . i an¬i(1/Lim jm)= Cm. m . i/Ln(1+i) an¬i
m!" m!" m!"
Lim jm =[(1+i)1/m−1]m=1/m ln(1+i)m=ln(1+i)
m!"
Para pasar de una renta fraccionada a una renta continua lo único que debemos hacer es cambiar jm por
Ln(1+i).
97
Comprobemos que en este tipo de rentas el valor de las pospagables y de las prepagables coinciden.
¨Vn =Vn; ¨Vo =Vo ¨V=Lim ¨Vo=Lim Vmo (1+i)1/m=Lim Vmo= Vo
11.1. − DEFINICIÓN
Las operaciones de amortización son operaciones financieras compuestas por las que una persona llamada
prestamista se compromete o entregar a otra persona que es el prestatario, en un determinado momento to
cierto capital (Co,to ) y que este el prestatario se compromete a reembolsar durante un periodo tn,to junto con
sus intereses.
Las operaciones de amortización están formadas por una prestación única que es el capital (Co,to) y una
contraprestación normalmente múltiple (a1, t1) (a2, t2) (an, tn). Los capitales de contraprestación tienen como
misión abonar los intereses que se generan en la operación y devolver el principal de la deuda, estos se
denominan términos amortizativos.
11.2. − PLANTEAMIENTO GENERAL DE LAS OPERACIONES DE AMORTIZACIÓN
Lo normal es efectuar la operación con una ley de capitalización, generalmente capitalización compuesta y
con periodos uniformes. Si los periodos son anuales a los términos amortizativos se le denomina anualidades,
si son semestrales se le llama semestralidades y si son mensuales mensualidades.
La obligación del prestamista es casi siempre inmediata, sin embargo las formas típicas de devolución de un
préstamo son dos:
• El capital prestado se devuelve con los intereses acumulados en un determinado momento.
• El capital prestado se reintegra mediante una renta que cubra capital e interés en el tiempo señalado en el
contrato.
Co
a1 a2 an−2 an−1 an
t0 t1 t2 tn−2 tn−1 tn
12.1. − METODO AMERICANO SIMPLE
Este tipo de préstamos se caracteriza por:
a) Sólo se realiza una amortización de capital al vencimiento del préstamo, por el total del mismo.
b) En las demás cuotas periódicas tan sólo se pagan los intereses del periodo.
En este tipo de préstamos, las cuotas periódicas hasta el periodo (n−1) serán:
Ms = Is
Los intereses de cada periodo se calculan:
Is = Ss−1 * i * t
(Siendo Ss−1 el saldo vivo al final del periodo anterior)
98
La última cuota de amortización será:
Mn = Co + In
(Siendo Co el capital inicial del préstamo y In los intereses del último periodo)
Ejemplo 25
Un banco concede un préstamo de 3.000.000 ptas., según el método americano simple, con un tipo de interés
del 15% y a un plazo de 5 años:
Calcular:
a) Importe de los intereses en cada periodo y de la cuota periódica.
b) Saldo vivo y capital amortizado a lo largo de la vida del préstamo.
SOLUCION
a ) Importe de los intereses y de la cuota periódica:
Aplicamos la fórmula Is = Ss−1 * i * t
Periodo
Intereses
Amortización capital Cuota
1
2
3
4
5
450.000
450.000
450.000
450.000
450.000
0
0
0
0
3.000.000
450.000
450.000
450.000
450.000
3.450.000
b ) Evolución del saldo vivo y del capital amortizado:
Periodo
Saldo vivo
Capital amortizado
0
1
2
3
4
5
3.000.000
3.000.000
3.000.000
3.000.000
3.000.000
0
0
0
0
0
0
3.000.000
12.3. − MÉTODO FRANCÉS O PROGRESIVO
Este tipo de préstamo se caracteriza por tener cuotas de amortización constante a lo largo de la vida del
préstamo. También se considera que el tipo de interés es único durante toda la operación.
El flujo de capitales del préstamo será:
Periodos MS"
año 0
Prestamo
+ Co
Cuotas de amortización
99
año 1
año 2
...
año (n−2)
año (n−1)
año (n)
−M
−M
...
−M
−M
−M
Siendo Co el importe del préstamo y M el importe constante de la cuota de amortización
El valor actual de las cuotas de amortización sigue una estructura similar a la de una renta constante, temporal,
pospagable.
luego, Co = M * Ao (siendo Ao el valor actual de una renta unitaria pospagable, de
duración igual a la del préstamo)
luego, Co = M * (1 − (1 + i)^−n)/ i
Por lo que se puede calcular fácilmente el importe de la cuota constante de la amortización:
M = Co / Ao
Ejemplo 26
Calcular la cuota constante de amortización de un préstamo de 3.000.000 ptas. a plazo de 5 años, con un tipo
de interés del 10%.
Calculamos el valor de Ao (valor actualiza de una renta constante, pospagable, de 5
años de duración):
Ao = (1 − (1 + i)^−n)/ i
luego, Ao = (1 − (1 + 0,1)^−5)/ 0,1
luego, Ao = 3,7908
Una vez conocido el valor de Ao, se calcula el valor de la cuota constante
luego, M = 3.000.000 / 3,7908
luego, M = 791.392 ptas.
Por lo tanto, la cuota constante anual se eleva a 791.392 ptas.
Una vez que se conoce el importe de la cuota constante, podemos ver que parte de misma corresponde a
amortización de principal y que parte corresponde a intereses:
a ) Amortización de Principal: Calculamos la correspondiente al primer periodo
Sabemos que I1 = Co * i * t
luego, I1 = 3.000.000 * 0,1 * 1
luego, I1 = 300.000 ptas.
Ya podemos despejar As de la fórmula Ms = AMs − Is
luego, AMs = Ms− Is
luego, AM1 = 791.392 − 300.000
luego, AM1 = 491.392 ptas.
100
El resto de las amortizaciones de capital se pueden calcular aplicando la siguiente fórmula:
AMk = AM1 * (1 + i)^k−1
Por lo tanto:
Amort. de capital
AM1
AM2
AM3
AM4
AM5
491.392
491.392
491.392
491.392
491.392
* (1,1)
* (1,1)^2
* (1,1)^3
* (1,1)^4
Suma
491.392
540.531
594.584
654.043
719.447
3.000.000
Se comprueba como la suma de todas las amortizaciones de capital coincide con el importe inicial del
préstamo.
El importe que representan los intereses dentro de cada cuota de amortización se calcula de manera inmediata,
ya que:
Partiendo de la fórmula Ms = AMs + Is
se despeja Is = Ms − AMs
Por lo tanto:
Periodo
Ms
AMs
Is
1
2
3
4
5
791.392
791.392
791.392
791.392
791.392
491.392
540.531
594.584
654.043
719.447
300.000
250.861
196.808
137.349
71.945
Conociendo el importe de las amortizaciones de principal, se calcula fácilmente el saldo vivo del préstamo en
cada periodo, así como el capital ya amortizado:
Ss= Co − S AMk
CAs = S AMk
Siendo Ss el saldo vivo en el momento "s" y S AMk la suma
de todas las amortizaciones de capital realizadas hasta ese
momento
Siendo CAs el capital amortizado hasta el momento "s"
Luego:
Periodo
Saldo vivo
Capital amortizado
0
1
2
3
3.000.000
2.508.608
1.968.077
1.373.493
0
491.392
1.031.923
1.626.507
101
4
5
719.450
0
2.280.550
3.000.000
12.4. − PRÉSTAMOS HIPOTECARIOS
Los préstamos hipotecarios son operaciones para financiar la adquisición de una vivienda. Son préstamos a
largo plazo, entre 15 y 30 años, con tipo de interés que suele ser variable (referenciado a algún tipo de
mercado, por ejemplo euribor a 1 año, y con revisión anual).
Las cuotas de amortización son constantes en el periodo que va entre cada revisión de tipos.
Cuando se va a solicitar un préstamo hay que conocer a cuanto asciende la cuota mensual. Esta va a depender
del importe del préstamo, de su duración y del tipo de interés aplicado.
El importe de la cuota mensual se puede calcular haciendo la suposición de que el tipo de interés no variará
durante toda la vida de la operación. Se pueden calcular unas tablas que determinan el importe de la cuota
mensual por cada millón de pesetas, según el tipo y el plazo.
Para calcular el importe mensual por cada millón de pesetas se aplica la siguiente fórmula:
Co = AM * Ao
luego, 1.000.000 = AM * Ao (siendo AM la cuota mensual por millón y A0 el valor
actual de una renta pospagable)
luego, 1.000.000 = AM * ((1 − (1 + i)^−n)/i)
El tipo de interés que se aplica en esta fórmula es el tipo mensual, ya que estamos calculando el importe de la
cuota mensual.
Tan sólo con multiplicar la cuota mensual por millón por el número de millones que se pretende solicitar, se
calcula el importe total de la cuota mensual del préstamo.
En el cuadro siguiente se ha calculado el importe de la cuota mensual por cada millón de pesetas, según
diversas hipótesis de plazo y el tipo:
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