Matemáticas de áreas y volúmenes

Una
recta es una línea continua formada por infinitos putos que no tiene principio ni fin.
Una semirrecta es una recta que tiene principio pero no tiene final.
Un segmento es la porción o parte de una recta delimitada por dos puntos (extremos).
Llamamos razón de dos segmentos, AB y CD, al número que resulta de dividir la longitud del
segmento AB entre la longitud del segmento CD.
AB
= r (Razón)
CD
Los segmentos AB y CD
AB y CD es igual a la razón de EF y GH.
son proporcionales a EF y GH, si la razón de
TEOREMA DE TALES:
Si tres rectas paralelas, a, b y c, cortan a otras dos rectas, r y s, los segmentos que determinan
son proporcionales.
Dos triángulos ABC y A’B’C’ son semejantes si:
-
Tienen sus ángulos iguales.
-
Tienen sus lados proporcionales.
Los criterios de semejanza de triángulos son las condiciones mínimas que han de cumplir los
triángulos para que sean semejantes.
PRIMER CRITERIO. Dos triángulos son semejantes si tienen sus lados proporcionales.
SEGUNDO CRITERIO. Dos triángulos son semejantes si dos ángulos son iguales.
TERCER CRITERIO. Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo igual y los lados que
lo forman son proporcionales.
Dos polígonos son semejantes cuando tienen sus ángulos iguales y sus lados correspondientes
son proporcionales.
Se llama razón de semejanza al cociente de la longitud de un lado de un polígono entre la
longitud correspondiente del otro polígono.
Se llama escala a la razón de semejanza entre la figura representada y la figura original.
TEOREMA DE PITÁGORAS:
En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados
de los catetos.
El área de un rectángulo de base b y altura a es:
A= b ×a
El área de un cuadrado de lado l es:
A= l2
D×d
El área de un rombo de diagonal mejor d y diagonal
mayor D es:
A=
2
El área de un romboide de base b y altura h es:
A= b×h
El área de un triángulo de base b y altura h es:
b×h
A=
2
El
área de un trapecio de base mayor B, base menor b y
altura h, es:
(B+b)× h
2
A=
El área de un polígono regular de apotema a
P×a
es:
A=
2
La longitud de una circunferencia de radio r es:
L= 2πr
En una circunferencia de radio r, la longitud de un arco de α grados es:
2π × r × α
L=
360
El
El área de un círculo de radio r es: A=
πr2
área de un sector circular de radio r y
amplitud α es:
2
πr × α
360
L=
El área de una corona circular de radios R y r es:
A= π (R2 – r2)
Si un polígono tiene n lados, la suma de sus ángulos
(n – 2).
Cada ángulo interior de un polígono regular mide
interiores es 180 ×
180× (n – 2)
n
La amplitud del ángulo central de un polígono regular de n lados es:
360
n
ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA:
Ángulo central: Es el ángulo que tiene su vértice en el centro de la
circunferencia.
Ángulo inscrito: Es el que tiene su vértice en la circunferencia y sus lados son dos rectas
secantes.
Ángulo semiinscrito: Es el que tiene su vértice en la circunferencia, uno de sus lados es
tangente y el otro secante.
Ángulo interior: Es el ángulo que tiene su vértice en un punto interior de la circunferencia
.
Ángulo exterior: Es el que tiene su vértice en un punto exterior y sus lados son secantes.
Ángulo circunscrito: Es el tiene su vértice en un punto exterior y sus lados son tangentes.
Un poliedro es un cuerpo geométrico limitado por caras en forma de polígonos.
Un poliedro es regular cuando todas
sus caras son polígonos regulares
iguales y, además, en cada vértice concurre el
mismo número de caras.
Un prisma es un poliedro que tiene dos caras iguales y paralelas entre sí, llamadas bases, y
cuyas caras restantes son paralelogramos.
El área total de un prisma recto es:
AT= AL + 2AB
Una pirámide es un poliedro en el que una de sus caras es un polígono cualquiera y el resto son
t riángulos que concurres en un punto.
El área total de una pirámide regular es:
AT= AL +AB
Un cilindro es un cuerpo geométrico engendrado a partir de un rectángulo que gira alrededor de
uno de sus lados.
El área total de un cilindro es:
AT= 2πrh + 2πr2
Un cono es un cuerpo geométrico engendrado por un triángulo
rectángulo que gira alrededor de uno de sus catetos.
El área total de un cono es:
AT= πrg + πr2
Una esfera es un cuerpo de revolución engendrado por un semicírculo que gira sobre su
diámetro.
El área de una esfera de radio r es: AT = 4πr2
El metro cúbico es la unidad principal de medida de volumen.
Se escribe m3.
El volumen de un cuerpo es la cantidad de espacio que ocupa.
m3
dm3
cm3
1 kl
1l
1 ml
T
1 kg
g
La densidad de un cuerpo o de una sustancia, d, es la masa de una
unidad de volumen de dicho cuerpo o sustancia.
m
v
La densidad expresa la relación entre la masa y el
volumen.
d=
El volumen de un ortoedro cuyas aristas miden a, b y c, es:
VORTOEDRO= a×b×c
Principio de Cavalieri
Si, en dos cuerpos de igual altura, las áreas de las secciones producidas por planos paralelos a la
base son iguales, los cuerpos tienen el mismo volumen.
El volumen de un prisma con altura h y área de la base AB, es:
VPRISMA= AB × h
El volumen de un cilindro de radio r y altura h, es:
VCILINDRO= πr2h
El volumen de una pirámide con altura h y área de la base
AB, es:
1
VPIRÁMIDE
=
AB × h
3
El
altura
1
VCON
3
volumen de un cono de radio r y
h, es:
=
O
El
VESFERA
πr2h
volumen de una esfera de radio r es:
4
3
=
πr3