08 – Losas delgadas Teoría de Kirchhoff

08 – Losas delgadas
Teoría de Kirchhoff
Diego Andrés Alvarez Marín
Profesor Asociado
Universidad Nacional de Colombia
Sede Manizales
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Introducción
●
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Elementos laminares delgados
–
Losas o placas (son elementos planos)
–
Láminas de superficie curva
Losas:
–
Losas delgadas: teoría de Kirchhoff
–
Losas gruesas (y delgadas): teoría de ReissnerMindlin
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Algunas definiciones
●
●
Placa: sólido paralelepípedo en el que una de
sus dimensiones (espesor t) es mucho más
pequeña que las otras dos.
Plano medio de la placa: superficie plana
equidistante de las caras mayores de la placa
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Teoría de Kirchhoff vs Teoría de
Reissner-Mindlin
La teoría de Kirchhoff asume que las secciones
ortogonales y planas al plano medio de la placa se
mantienen planas y ortogonales despues de la
deformación de la placa. La teoría de RM asume que se
mantienen planas pero NO ortogonales después de la
deformación.
Kirchhoff:
Reissner-Mindlin:
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Hipótesis fundamentales de la
teoría de Kirchhoff
1) Los puntos del plano medio solo se desplazan
verticalmente u = v = 0
2) Todos los puntos contenidos en una normal al plano
medio tienen el mismo desplazamiento vertical
3) El esfuerzo normal σz es despreciable
4) Las secciones ortogonales y planas al plano medio
de la placa se mantienen planas y ortogonales
despues de la deformación de la placa.
5) El material de la placa es elástico, lineal, isotrópico y
homogéneo
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Convención de signos, ejes de
coordenadas y desplazamientos
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Campo de desplazamientos
Vector de movimientos (contiene los
desplazamientos y giros de un punto
del plano medio de la placa).
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Campos de deformaciones y
esfuerzos
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Ley de Hooke
Matriz constitutiva
para un elemento
elástico isotropo
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Vector de
momentos
(vector de
esfuerzos
generalizados)
Recuerde que son momentos
por unidad de longitud
Matriz constitutiva de
flexión generalizada
El sub f quiere decir esfuerzos
de flexión
Vector de deformaciones generalizadas de
flexión (o vector de curvaturas)
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Principio de los trabajos virtuales
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Principio de los trabajos virtuales
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Principio de los trabajos virtuales
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Ecuaciones de equilibrio de la placa
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Ecuación diferencial parcial que
describe la flecha en una placa
D → rigidez a flexión de la placa (flexural stiffness).
Sólo es válida para materiales elásticos e isótropos
Esta ecuación diferencial parcial junto con sus
condiciones de frontera es el punto de partida
para resolver analíticamente problemas de placas
isotrópas.
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Condiciones de contorno
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Las flechas
representan los gdl
restringidos
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Fuerzas y esfuerzos cortantes
Una vez se resuelve la ecuación diferencial
se calculan los momentos por unidad de longitud
y las fuerzas cortantes por unidad de longitud
finalmente, los esfuerzos máximos se estiman
como:
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Formulación de elementos finitos
El problema radica en la selección de términos
del polinomio ya que cada alternativa genera un
elemento diferente (y algunos de ellos no
funcionan en la práctica).
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Definiciones
Se dice que un elemento finito es conforme
cuando los desplazamientos y giros entre
elementos son continuos.
Se dice que un elemento cumple la condición de
parcela cuando
esto garantiza que la
solución convergerá a la teorica al disminuir el
tamaño de la malla.
Se dice que el elemento tiene invarianza
geométrica cuando el elemento (el polinomio) no
tiene direcciones preferenciales.
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Elemento
rectangular
de cuatro
nodos MZC
Este elemento finito
fue propuesto en
1964 por Melosh,
Zienkiewicz, Cheung
(MZC).
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Esta selección del campo de desplazamientos
garantiza la invarianza geométrica (el polinomio
no tiene direcciones preferenciales). Observe que
a lo largo de los lados x=const y y=const la flecha
w varía de acuerdo con un polinomio de tercer
grado.
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Las constantes α1, α2, ..., α12se calculan haciendo
donde la matriz A está dada por:
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Utilizando funciones de forma, se puede expresar
el desplazamiento vertical w como:
donde:
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Funciones de forma asociadas al nodo 1
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f
donde:
Para el cálculo de las derivadas anteriores utilizamos:
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Reemplazando en el PTV
Carga puntual y los dos
momentos flectores que
equilibran el nodo i 28
La matriz de rigidez está dada por:
29
La matriz de rigidez está dada por:
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El vector de fuerzas nodales equivalentes para
una carga uniformemente repartida de magnitud q
sobre el elemento es:
f
1
1
1
1
1
1
1
1
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Finalmente, los momentos flectores se calculan así:
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El elemento MZC es no conforme
Es posible demostrar que aunque el campo de
desplazamientos definido por:
establece la continuidad de w entre elementos, no
garantiza, sin embargo, la continuidad de las
primeras derivadas, excepto en los nodos donde,
naturalmente, dichas derivadas toman un valor
único.
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Elemento finito triangular de
Tocher (1962)
Este elemento asume que el campo de desplazamientos está dado por:
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x
y
x²
xy
y²
x³ x²y
xy² y³
J. L. Tocher, Analysis of plate bending using
triangular elements, Ph. D. Dissertation, Dept.
of Civil Engineering, University of California,
Berkeley, California, 1962.
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Reemplazando en el PTV
Matriz constitutiva de
flexión generalizada
Carga puntual y los dos
momentos flectores que
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equilibran el nodo i
Integración numérica utilizando las
cuadraturas de Gauss Legendre
sobre dominios triangulares
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David Dunavant, High Degree Efficient Symmetrical
Gaussian Quadrature Rules for the Triangle,
International Journal for Numerical Methods in
Engineering,Volume 21, 1985, pages 1129-1148.
http://people.sc.fsu.edu/~jburkardt/m_src/dunavant/dunavant.html
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En la tabla la
precisión indica
el grado del
polinomio que se
integra
exactamente.
En los artículos
científicos
usualmente se
tabulan los Wi
de modo que
sumen 1. Sin
embargo en la
fórmula se
requiere dividir
por 1/2. Aquí los
pesos ya se han
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dividido por 1/2.
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●
El elemento de Tocher es no conforme, es
decir, no respeta la condición de continuidad de
la derivada normal a lo largo de los lados
comunes entre elementos (pero si conserva la
continuidad de los desplazamientos)
La matriz A del elemento de Tocher se vuelve
singular cuando los lados del triángulo son
paralelos a los ejes x e y.
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Unión del elemento losa con el
elemento 3D
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