Razones y Proporciones

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Módulo 2
Razones y Proporciones
Guı́a de Ejercicios
Índice
Unidad I.
Razones y Proporciones
Ejercicios Resueltos ............................................................................................ pág. 2
Ejercicios Propuestos .......................................................................................... pág. 5
Unidad II.
Cálculo de Porcentajes
Ejercicios Resueltos ............................................................................................ pág. 6
Ejercicios Propuestos .......................................................................................... pág. 9
Unidad III.
Tasas de Interés Simple y Compuesto
Ejercicios Resueltos ............................................................................................ pág. 11
Ejercicios Propuestos .......................................................................................... pág. 13
1
Unidad I.
Razones y Proporciones
Ejercicios Resueltos
1. Un padre tiene 42 años y su hijo 18 años. ¿En qué razón están las edades del hijo y del
padre?
Solución
Las edades del hijo y del padre, respectivamente, están en la razón 18 : 42. Simplificando, es lo mismo que 3 : 7.
2. Las masas de dos personas están en la razón 2 : 3. Si una de ellas tiene 23 kilogramos
más de masa que la otra, ¿cuál es la masa de la más liviana?
Solución
Sean a y b las masas de dos personas. Están en la razón a : b = 2 : 3 y una pesa 23
kilogramos más que la otra, b = a + 23. Tenemos entonces un sistema de 2 ecuaciones
con 2 incognitas. Resolviendo obtenemos a = 46 y b = 69. Entonces la masa de la más
liviana es 46 kilogramos.
3. Dos ángulos suplementarios están en la razón 3 : 5. ¿Cuál es la diferencia positiva entre
sus medidas?
Solución
Sean α y β dos ángulos suplementarios, por lo tanto α + β = 180o . Están en la razón
α : β = 3 : 5. Tenemos un sistema de 2 ecuaciones con 2 incognitas. Resolviendolo
obtenemos α = 67, 5o y β = 112, 5o . Entonces la diferencia positiva entre sus medidas
es 112, 5o − 67, 5o = 45o .
4. Un kilógramo de una cierta clase de queso cuesta $3.600. ¿Cuánto se debe pagar por
125 gramos de este queso?
Solución
Según el enunciado, mil gramos de queso es a 3.600 pesos, como 125 gramos de queso es
a lo que se debe pagar por ellos, cantidad que desconocemos. Planteando la razón esta
queda 1000 : 3600 = 125 : X. Entonces
1000
125
=
3600
X
⇒
X=
125 · 3600
= 450
1000
Por lo tanto, por 125 gramos de este queso se deben pagar $450.
2
5. En un mapa a centı́metros corresponden a 3.000 metros. ¿A cuántos metros corresponden b centı́metros del mapa?
Solución
Entonces a centı́metros del mapa son a 3.000 metros, como b centı́metros del mapa son
a X metros. Planteando la razón tendremos a : 3000 = b : X. Luego,
a
b
=
3000
X
⇒
X=
3000 · b
a
6. En un liceo mixto de 1540 alumnos, 880 son varones. ¿Cuál es la razón entre el número
de damas y el de varones?
Solución
El número de damas corresponde a 1540 − 880 = 660. Entonces la razón entre el número
de damas y el de varones es 660 : 880. Simplificando obtenemos que están en la razón 3 : 4.
7. Dos números enteros están en la razón 2 : 7. Si la suma de ellos es -36, ¿cuáles son los
números?
Solución
Sean a y b dos números enteros que están en la razón 2 : 7. La suma de ambos es
a + b = −36. Con este sistema de dos ecuaciones y dos incognitas podemos encontrar
los números. Resolviendo obtenemos a = −8 y b = −28.
8. Sean a, b y c números enteros tales que c es la quinta parte de a y a es el doble de b.
¿Cuál es la relación correcta entre b y c?
Solución
c es la quinta parte de a, luego 5c = a, y a es el doble de b, entonces a = 2b. Igualando
obtenemos 5c = 2b, lo que escrito de otro modo es
c
b
=
2
5
⇒
3
c : 2 = b : 5.
9. En un estante, los tarros de salsa de tomate con callampas y los de salsa de tomate con
carne están en la razón 9 : 10. Si se retiran del estante 38 tarros de salsa con carne,
la razón se invierte. Entonces, los tarros de salsa de tomate con carne que habı́a en el
estante, antes del retiro, ¿cuántos eran?
Solución
Sea X la cantidad de tarros de salsa de tomate con callampas, e Y la de salsa de tomate
con carne. Estos están en la razón X : Y = 9 : 10. Luego del retiro de 38 tarros de salsa
con carne, la razón se invierte, entonces tendremos X : (Y − 38) = 10 : 9. Con estas dos
ecuaciones resolvemos el problema, calculando los valores de X e Y . Resultan X = 180
e Y = 200. Entonces la cantidad de tarros de salsa de tomate con carne que habı́a antes
del retiro era de 200.
10. ¿Qué número debe restarse de 9 y al mismo tiempo sumarse a 5, para obtener dos
números que estén en la razón 3 : 4?
Solución
Sea x el número desconocido. Se debe restar de 9, es decir (9 − x) y sumarse a 5, (x + 5),
para obtener dos números que están en la razón 3 : 4. Entonces (9 − x) : (x + 5) = 3 : 4.
Resolvemos para x:
(9 − x)
3
=
(x + 5)
4
⇒
4(9 − x) = 3(x + 5)
4
⇒
x = 3.
Ejercicios Propuestos
1. Elisa y Alvarito tienen estampillas cuyas cantidades se encuentran en la razón a : b.
Si Alvarito tiene 15 estampillas más de las que tiene Elisa, y esta tiene a estampillas,
entonces ¿cuál es la cantidad de estampillas que tiene Alvarito?
2. Un pintor emplea 8 horas en pintar una habitación. ¿Cuánto tiempo emplearán 2 pintores?.
3. Un curso de 36 estudiantes va de paseo a la playa y antes de irse deciden recoger la
basura. Si 9 estudiantes limpian la playa en 2 horas, ¿cuánto demorarı́an si cooperara
en esta tarea todo el curso?.
4. Debido a la crecida de un rı́o se destruye un puente en el sur de Chile, dejando aislada a una ciudad. Si hay antecedentes de que 6 hombres, trabajando 8 horas diarias
construyen 38 de un puente en 9 dı́as, ¿Cuántos dı́as faltan para terminar la obra?. ¿En
cuántos dı́as construyen el puente,si se agregan 4 hombres más y se disminuyen las horas
de trabajo a 6?. Si se duplica el número de hombresy se disminuyen a la mitad las horas
diarias de trabajo, ¿en cuánto tiempo terminar de construir el puente?.
5. Para alfombrar una biblioteca se utilizaron 15 rollos de alfombra de 1,2 m de ancho y 40
m de largo. ¿Cuántos rollos se habrı́an utilizados si el rollo hubiese tenido 2 m de ancho
y 30 m de largo?.
6. Transportar 4 toneladas a 250 km de distancia cuesta $72.000. ¿Cuánto costará transportar 10 toneladas a doble de distancia?.
7. Tres amigos, Claudio, José y Gonzalo, se reparten 26 bolitas en la razón 3:4:6, ¿cuántos
bolitas recibe cada uno?.
8. 15 personas disponen de $600.000 para 18 dı́as de vacaciones. Se agregan al grupo 6
personas más y deciden prolongar a 24 dı́as. ¿Cuánto dinero necesitan para mantener
las mismas condiciones iniciales?.
9. Para imprimir 3 páginas de 55 lı́neas una impresora emplea 60 segundos. ¿Cuántas páginas de 40 lı́neas entregará en 80 segundos?.
10. Para mantener a 6 investigadores en una misión durante 20 dı́as se necesitan 240 litros
de agua. ¿Cuántos litros de agua se necesitan para mantener a 7 investigadores durante
10 dı́as?.
5
Unidad II.
Cálculo de Porcentajes
Ejercicios Resueltos
1. Calcule la cantidad total, dado el porcentaje.
El 50 % es 40.
El 5 % es 45.
El 99 % es 99.
El 0,2 % es 3,6.
Solución
El 50 % es 40, entonces
El 5 % es 45, entonces
50
x
100
5
x
100
El 99 % es 99, entonces
= 45. Luego x =
99
x
100
El 0,2 % es 3,6, entonces
= 40. Luego la cantidad total es x =
45·100
5
= 99. Luego x =
0,2
x
100
= 80.
= 900.
99·100
99
= 3, 6. Luego x =
40·100
50
= 100.
3,6·100
0,2
= 1800.
2. Calcule la pérdida al comercializar mercancı́as en:
$42.000 con 72 % de pérdida.
$6.000 con 15 % de pérdida.
Solución
28
El precio de venta es 100
x = 42000, entonces el precio sin pérdida es x =
150000, por lo tanto la pérdida es de $150000 − $42000 = $108000.
75
El precio de venta es 100
x = 6000, entonces sin pérdida es x =
tanto la pérdida es $8000 − $6000 = $2000.
6000·100
75
42000·100
28
=
= 8000, por lo
3. Un video que cuesta $ 122.580 se ofrece con un 7,5 % de descuento. ¿A cuánto asciende
el precio-oferta?.
Solución
El precio oferta es 122580 −
7,5
100
· 122580 = 113386, 5 pesos.
6
4. Suponga que un artı́culo regularmente cuesta $50.000 y tiene un descuento del 10 %. Si
luego se le aumenta 10 %, ¿es $50.000 el precio resultante?. Si no es ası́, ¿cuál es?.
Solución
10
No es $50.000. El precio resultante es 50000 + 100
· 50000 = 50000 + 5000 = 55000 pesos.
5. Si hay un 40 % de posibilidades de que llueva mañana, ¿qué fracción, en los términos
más simples, representa la posibilidad de que no llueva mañana?.
Solución
La posibilidad de que no llueva mañana es de un 60 % =
60
100
=
3
5
6. La fuerza laboral de un paı́s está compuesta por 7.400.000 personas. Si el 48 % corresponde a mujeres, ¿cuántos hombres trabajan en ese paı́s?.
Solución
Trabajan 52 % de hombres, lo que corresponde a
52
100
· 7400000 = 3848000
7. El dueño de una casa contrata un seguro contra incedios que cubre el 80 % de su valor
total. Si la casa sufriera un incendio, el seguro le pagarı́a $35.000.000, ¿cuál es el valor
de la casa?.
Solución
El 80 % del valor de la casa es
x = 35000000·100
= 43750000
80
80
x
100
= 35000000, luego el valor total de la casa es
8. La pensión de Juan aumentó de $4.000 semanales a $5.000 semanales. ¿Cuál fue el porcentaje de aumento?.
Solución
Aumentó en $1.000, que corresponde a un
1000
4000
=
1
4
= 0, 25 = 25 %.
9. Por la compra de más de 10 metros de tela, el depósito de fábrica hace un descuento del
5 %. ¿Cuánto pagará una persona que compra 14 metros de una tela a $3.500 el metro?.
Solución
5
·49000 = 49000−2450 =
Pagará 14·3500 = 49000 menos un 5 % de descuento, 49000− 100
46550.
7
10. La edad de un papá es el 200 % de la de un hijo. Si el padre tiene 60 años, ¿qué edad
tiene el hijo?.
Solución
Sea h la edad del hijo. Entonces según el enunciado
= 30 años.
h = 60·100
200
8
200
h
100
= 60, por lo tanto el hijo tiene
Ejercicios Propuestos
1. Calcule el porcentaje entre los números dados.
Qué porcentaje es 24 de 120.
Qué porcentaje es 210 de 84.
2. En un kiosco se venden 580 periódicos por dı́a. El dueño gana un 45 % por la distribución.
Si en promedio los periódicos se venden en $350 cada uno, ¿cuánto invierte diariamente
el dueño?.
3. Calcule los siguientes pocentajes.
El 10 % de 480
El 3 % de 72.
El 50 % de 240.
4. Convierta cada fracción en pocerntaje.
1
5
=
3
8
=
1
50
=
5. El arriendo de una sala de teatro produce $500 de ganancia por asiento. Esta utilidad
corresponde a un 40 % del costo. ¿Qué precio pagó cada espectador?.
6. Se compran 8.000 acciones eléctricas en $120 cada una. Después de 6 meses han subido
un 20 %. ¿Cuánto dinero se ha ganado?. ¿A cuántas acciones al precio actual corresponde
esa ganancia?.
7. En 1992, General Motors anunció que elevarı́a los precios de sus vehı́culos de 1993, en un
promedio de 1.6 %. Si cierto vehı́culo tenı́a un precio en 1992 de US$10,526 y su precio
se elevó 1.6 %, ¿cuál serı́a e precio en 1993˙
9
8. De acuedo con un informe de RAPB Copper Co., un posible cliente en Indonesia hizo
un gran descubrimiento de cobre. Tiene al menos 50 millones de toneladas métricas de
mineral con un nivel promedio de 1.4 % de cobre y 1.3 gramos de oro por tonelada.
Suponiendo que realmente se tengan 50 millones de toneladas métricas de mineral, encuentre el número de toneladas métricas de cobre puro y encuentreel número de gramos
de oro.
9. Calcule el precio al cual debe venderse un artı́culo, si su precio de costo es $1.200 y el
comerciante desea tener un 20 % de ganancia. No olvidar que todo lo que se vende debe
pagar además un 19 % de IVA.
10. En un hogar se consumen 360 kilowatt-hora de energı́a eléctrica mensulamente, por
los que se pagan $12.254. El porcentaje de energı́a desperdiciada es un 24 %. ¿Cuánto
dinero podrı́an ahorrar en un año?. ¿Cuántos de esos kwh podrı́an haber sido utilizados
en otros beneficios para la ciudad?.
10
Unidad III.
Tasas de Interés Simple y Compuesto
Ejercicios Resueltos
1. Se depositan $100.000.000 a un 10 % de interés simple anual, ¿cuánto se podrá retirar
al cabo de 5 años?
Solución
Tratándose de interés simple anual, el capital final al cabo de los 5 años será
5 · 10
CF = 100000000 · 1 +
= 150000000
100
2. Un lı́quido se evapora a razón de un 5 % cada diez minutos. De 1 litro de este lı́quido,
¿cuánto quedará al cabo de una hora?
Solución
Este ejemplo se trata de “interés compuesto”. Entonces el “capital final” o cantidad
final de lı́quido, al cabo de una hora, será de
5
CF = 1000 · 1 −
100
6
= 1000 · (0, 95)6 cm3
3. ¿Qué capital se debe depositar a un 5 % de interés compuesto anual para que al cabo
de 5 años se transforme en $66550?
Solución
Tratandose de interés compuesto anual y de contar con $66550 como capital final, entonces
66550 = k · 1 +
5
100
5
=k·
105
100
5
= k(1, 05)5
⇒
k=
66550
(1, 05)5
4. Calcular el interés simple cobrado por un préstamo de $100.000 a una tasa del 6 % anual.
Solución
A una tasa del 6 %, al final de un año se deberá
6
CF = 100000 · 1 +
= 106000
100
Por lo tanto el interés cobrado es de $6.000.
11
5. Se invierte una suma de $5.000 a una tasa de interés de 9 % anual. Determine el tiempo
necesario para que este dinero se duplique si se trata de un interés compuesto semestral.
Solución
Utilizamos la fórmula del interés compuesto
9
10000 = 5000 · 1 +
2 · 100
(1, 045)2t = 2
2t · log(1, 045) = log(2)
t=
log(2)
≈ 7, 9
2 log(1, 045)
Por lo tanto el dinero se duplicará en 7,9 años.
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2t
Ejercicios Propuestos
1. Se depositó en un banco, un millón de pesos al 9 % de interés. Pasado 300 dı́as, el director de la sucursal de este banco dice que en la cuenta hay $1.075.000. ¿Es lo que se
esperaba tener?.
2. ¿A qué tipo de interés se debe depositar $40.000 durante 6 meses y medio para tener al
cabo de ellos $41.950 en la cuenta?.
3. Se invierten $500.000 a una tasa de interés de 8 % al año. Determine el capital final
después de 3 años, si el interés se capitaliza trimestralmente. Repita el cálculo anterior
para perı́odos de capitalización
i) mensuales.
ii) semanales.
iii) diarios.
4. El 1 de enero de 1985 y el de cada siguiente año, se depositaron $500 en una cuenta
de ahorro. Si la cuenta paga 6 % de interés compuesto anual, encuentre la cantidad de
dinero en la cuenta al final de 1994.
5. Se invierten $40.000 a un 6 % anual. Calcule el capital que se habrá formado al cabo de
5 años si el interés es compuesto
i) anual.
ii) semestral.
iii) trimestral.
6. Una población crece durante 15 años a una tasa de r % anual y en los 5 años siguientes
a una tasa de s % anual. Si la población inicial es M, encuentre una expresión para la
población después de transcurridos los 20 años.
7. ¿Cuánto tiempo tardará en duplicarse el valor de una inversión si la tasa de interés es
de 8,5 % anual compuesto semestralmente?
8. Una persona invierte $10.000 en una cuenta que paga 8,5 % anual compuesto trimestralmente.
a) Determine el monto después de 3 años.
b) ¿Cuánto tarda la inversión en duplicarse?
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9. Determine el tiempo necesario para que una inversión de $5.000 crezca a $8.000 a una
tasa de interés de 9,5 % anual trimestralmente.
10. ¿Cuánto tardará una inversión de $1.000 en duplicar su valor si la tasa de interés es de
8,5 % anual continuamente compuesto?
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