Funciones de Variable Compleja

Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Funciones de
Variable
Compleja
Departamento
de
Matemáticas
Función
Ejercicios 1
Ejercicios 2
Matemáticas Avanzadas para Ingenierı́a:
Funciones de Variable Compleja
Gráficas
De partes
Mapeo
Ejercicios 3
Fluı́dos
Departamento de Matemáticas
Lı́mite
Intro
Definición
Propiedades
Ejercicios 4
Continuidad
Derivada
Ejercicios 5
Ejercicios 5
Ejercicios 6
Analiticidad
Ejercicios 7
MA3002
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Funciones de
Variable
Compleja
Departamento
de
Matemáticas
Función
Ejercicios 1
Ejercicios 2
Función de variable compleja
Cuando el dominio de una función f es un conjunto de
números complejos y cuando los valores que proporciona la
función son también números complejos, diremos que f es una
función de variable compleja o simplemente que f es una
función compleja. Como la función evaluada en un número
complejo z = x + y i es un número complejo w = f (z),
entonces w debe ser de la forma:
Gráficas
De partes
Mapeo
Ejercicios 3
Fluı́dos
Lı́mite
Intro
Definición
Propiedades
Ejercicios 4
Continuidad
Derivada
Ejercicios 5
Ejercicios 5
Ejercicios 6
w = f (z) = f (x + y i) = u(x, y ) + v (x, y ) i
donde u(x, y ) es la parte real de w y v (x, y ) es la parte
imaginaria. Ası́, una función de variable compleja pude ser vista
como el resultado de dos funciones en dos variables de valor
real.
w = f (z)
y
dominio
v
z
w
Analiticidad
Ejercicios 7
imagen
x
u
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Funciones de
Variable
Compleja
Ejercicios
Escriba las siguientes funciones en la forma:
f (z) = f (x + y i) = u(x, y ) + v (x, y ) i
Departamento
de
Matemáticas
Función
Ejercicios 1
Ejercicios 2
Es decir, determine la fórmula de la parte real u(x, y ) y la
fórmula de la parte imaginaria v (x, y ) de la función f (z).
1
f1 (z) = 6 z − 5 + 9 i
2
f2 (z) = 7 z − 9 i z − 3 + 2 i
3
f3 (z) = z 2 − 3 z + 4 i
Intro
Definición
Propiedades
Ejercicios 4
4
f4 (z) = 3 (z)2 + 2 z
5
f (z) = z 3 − 4 z
Continuidad
6
f (z) = z + 1/z
7
f (z) = z 4
8
f (z) =
Gráficas
De partes
Mapeo
Ejercicios 3
Fluı́dos
Lı́mite
Derivada
Ejercicios 5
Ejercicios 5
Ejercicios 6
Analiticidad
Ejercicios 7
z
z+1
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Funciones de
Variable
Compleja
Departamento
de
Matemáticas
Función
Ejercicios 1
Ejercicios 2
Gráficas
De partes
Mapeo
Ejercicios 3
Fluı́dos
Lı́mite
Intro
Definición
Propiedades
Ejercicios 4
Continuidad
Derivada
Ejercicios 5
Ejercicios 5
Ejercicios 6
Analiticidad
Ejercicios 7
Para f1 (z) = 6 z − 5 + 9 i:
f1 (z) =
=
=
=
=
f1 (x + y i)
6 (x + y i) − 5 + 9 i
6x + 6y i − 5 + 9i
6x − 5 + 6y i + 9i
(6 x − 5) + (6 y + 9) i
Por lo tanto, para la función f1 (z) la parte real es la función
u(x, y ) = 6 x − 5 y la parte imaginaria es v (x, y ) = 6 y + 9.
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Funciones de
Variable
Compleja
Departamento
de
Matemáticas
Función
Ejercicios 1
Ejercicios 2
Gráficas
De partes
Mapeo
Ejercicios 3
Fluı́dos
Lı́mite
Intro
Definición
Propiedades
Ejercicios 4
Continuidad
Derivada
Ejercicios 5
Ejercicios 5
Ejercicios 6
Analiticidad
Ejercicios 7
Para f2 (z) = 7 z − 9 i z − 3 + 2 i:
f2 (z) =
=
=
=
=
=
f2 (x + y i)
7 (x + y i) − 9 i (x + y i) − 3 + 2 i
7 (x + y i) − 9 i (x − y i) − 3 + 2 i
7x + 7y i − 9x i − 9y − 3 + 2i
7x − 9y − 3 − 9x i + 7y i + 2i
(7 x − 9 y − 3) + (−9 x + 7 y + 2) i
Por lo tanto, para la función f2 (z) la parte real es la función
u(x, y ) = 7 x − 9 y − 3 y la parte imaginaria es
v (x, y ) = −9 x + 7 y + 2.
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Funciones de
Variable
Compleja
Departamento
de
Matemáticas
Función
Ejercicios 1
Ejercicios 2
Gráficas
De partes
Mapeo
Ejercicios 3
Fluı́dos
Lı́mite
Intro
Definición
Propiedades
Ejercicios 4
Continuidad
Derivada
Ejercicios 5
Ejercicios 5
Ejercicios 6
Analiticidad
Ejercicios 7
Para f3 (z) = z 2 − 3 z + 4 i:
f3 (z) =
=
=
=
=
=
f3 (x + y i)
(x + y i)2 − 3 (x +
y i) + 4 i
2
2
x − y + 2 x y i − 3 (x + y i) + 4 i
x2 − y2 + 2 x y i − 3 x − 3 y i + 4 i
x2 − y2 − 3 x +
2x y i − 3y i + 4i
2
2
x − y − 3 x + (2 x y − 3 y + 4) i
Por lo tanto, para la función f3 (z) la parte real es la función
u(x, y ) = x 2 − y 2 − 3 x y la parte imaginaria es
v (x, y ) = 2 x y − 3 y + 4.
Matemáticas
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Funciones de
Variable
Compleja
Departamento
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Matemáticas
Función
Ejercicios 1
Ejercicios 2
Gráficas
De partes
Mapeo
Ejercicios 3
Fluı́dos
Para f4 (z) = 3 z 2 + 2 z:
f4 (z) =
=
=
=
=
=
=
f4 (x + y i)
2
3 x + y i + 2 (x + y i)
3 (x − y i)2 + 2 (x +
y i)
3 x 2 − y 2 − 2 x y i + 2 (x + y i)
3 x2 − 3 y2 − 6 x y i + 2 x + 2 y i
3 x2 − 3 y2 + 2 x −
6x y i + 2y i
3 x 2 − 3 y 2 + 2 x + (−6 x y + 2 y ) i
Lı́mite
Intro
Definición
Propiedades
Ejercicios 4
Continuidad
Derivada
Ejercicios 5
Ejercicios 5
Ejercicios 6
Analiticidad
Ejercicios 7
Por lo tanto, para la función f4 (z) la parte real es la función
u(x, y ) = 3 x 2 − 3 y 2 + 2 x y la parte imaginaria es
v (x, y ) = −6 x y + 2 y .
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Función
Ejercicios 1
Ejercicios 2
Gráficas
De partes
Mapeo
Ejercicios 3
Fluı́dos
Lı́mite
Intro
Definición
Propiedades
Ejercicios 4
Continuidad
Derivada
Ejercicios 5
Ejercicios 5
Ejercicios 6
Analiticidad
Ejercicios 7
Ejemplos anteriores realizados en la calculadora TI.
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Funciones de
Variable
Compleja
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Función
Ejercicios 1
Ejercicios 2
Gráficas
De partes
Mapeo
Ejercicios 3
Fluı́dos
Lı́mite
Intro
Definición
Propiedades
Ejercicios 4
Continuidad
Derivada
Ejercicios 5
Ejercicios 5
Ejercicios 6
Analiticidad
Ejercicios 7
Ejercicios
Evalue la función en los valores dados.
• f1 (x + y i) = 2 x − y 2 + (x y 3 − 2 x 2 + 1) i en:
z1 = 5 + 3 i, z2 = 2 − i y z3 = 2 i
• f2 (x + y i) = e x cos(y ) + e x sen(y ) i en:
z3 = 3 + π i/3, z2 = −1 − π i y z3 = π i/4
• f3 (z) = 4 z + i z + Re(z) en:
z1 = 4 − 6 i, z2 = −5 + 12 i y z3 = 2 − 7 i
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Función
Ejercicios 1
Ejercicios 2
Gráficas
De partes
Mapeo
Ejercicios 3
Fluı́dos
Lı́mite
Intro
Definición
Propiedades
Ejercicios 4
Continuidad
Derivada
Ejercicios 5
Ejercicios 5
Ejercicios 6
Analiticidad
Ejercicios 7
En las siguientes figuras se ilustran las soluciones de los
problemas en la TI. Observe la diferencia entre las definiciones
de la función y la forma de evaluarla.
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Funciones de
Variable
Compleja
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Matemáticas
Función
Ejercicios 1
Ejercicios 2
Gráficas
De partes
Mapeo
Ejercicios 3
Fluı́dos
Lı́mite
Intro
Definición
Propiedades
Ejercicios 4
Continuidad
Derivada
Ejercicios 5
Ejercicios 5
Ejercicios 6
Analiticidad
Ejercicios 7
Representaciones Gráficas
Note que ante la imposibilidad de graficar en R4 no es posible
graficar una función de variable compleja. Hay varias opciones
para representar gráficamente una función:
• Representar alguna de sus partes:
•
•
•
•
La parte real: Re (f (z))
La parte imaginaria: Im (f (z))
Su módulo: | (f (z)) |
Su argumento principal: Arg (f (z))
• Representar en el plano complejo la posición de sus ceros y
de sus polos.
• Trazar en el plano complejo las curvas de nivel de la parte
real e imaginaria de la función.
• Representar cómo transforma un rectángulo.
• Representarla como un fluı́do.
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Funciones de
Variable
Compleja
Gráficas de
f (z) = 6 z − 5 + 9 i
Parte real de f (z)
Parte imaginaria de f (z)
Argumento de f (z)
Módulo de f (z)
Departamento
de
Matemáticas
Función
Ejercicios 1
Ejercicios 2
Gráficas
De partes
Mapeo
Ejercicios 3
Fluı́dos
Lı́mite
Intro
Definición
Propiedades
Ejercicios 4
Continuidad
Derivada
Ejercicios 5
Ejercicios 5
Ejercicios 6
Analiticidad
Ejercicios 7
Diagrama de
Polos y Ceros
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Funciones de
Variable
Compleja
Gráficas de
f (z) =
Parte real de f (z)
z
z − 3i
Parte imaginaria de f (z)
Departamento
de
Matemáticas
Función
Ejercicios 1
Ejercicios 2
Argumento de f (z)
Módulo de f (z)
Gráficas
De partes
Mapeo
Ejercicios 3
Fluı́dos
Lı́mite
Intro
Definición
Propiedades
Ejercicios 4
Diagrama simplificado de polos y ceros (Posición y orden)
Continuidad
1
Derivada
Ejercicios 5
Ejercicios 5
Ejercicios 6
Analiticidad
Ejercicios 7
1
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Funciones de
Variable
Compleja
Gráficas de
f (z) =
z2
2i
− 2z + 5i z
Parte real de f (z)
Parte imaginaria de f (z)
Argumento de f (z)
Módulo de f (z)
Departamento
de
Matemáticas
Función
Ejercicios 1
Ejercicios 2
Gráficas
De partes
Mapeo
Ejercicios 3
Fluı́dos
Lı́mite
Intro
Definición
Propiedades
Ejercicios 4
Continuidad
Derivada
Diagrama simplificado de polos y ceros (Posición y orden)
1
Ejercicios 5
Ejercicios 5
Ejercicios 6
Analiticidad
Ejercicios 7
1
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Funciones de
Variable
Compleja
Gráficas de
Parte real de f (z)
z3 + z
z2 + 4
Parte imaginaria de f (z)
Argumento de f (z)
Módulo de f (z)
f (z) =
Departamento
de
Matemáticas
Función
Ejercicios 1
Ejercicios 2
Gráficas
De partes
Mapeo
Ejercicios 3
Fluı́dos
Lı́mite
Intro
Definición
Propiedades
Ejercicios 4
1
Continuidad
Derivada
1
Ejercicios 5
Ejercicios 5
Ejercicios 6
1
Analiticidad
1
Ejercicios 7
1
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Funciones de
Variable
Compleja
Gráficas de
Parte real de f (z)
z − 4 + 3i
− 6 z + 25
Parte imaginaria de f (z)
Argumento de f (z)
Módulo de f (z)
f (z) =
z2
Departamento
de
Matemáticas
Función
Ejercicios 1
Ejercicios 2
Gráficas
De partes
Mapeo
Ejercicios 3
Fluı́dos
Lı́mite
Intro
Definición
Propiedades
Ejercicios 4
Continuidad
Derivada
Ejercicios 5
Ejercicios 5
Ejercicios 6
Analiticidad
Ejercicios 7
1
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Funciones de
Variable
Compleja
Gráficas de
f (z) = z 2 − 3 z + 4 i
Parte real de f (z)
Parte imaginaria de f (z)
Argumento de f (z)
Módulo de f (z)
Departamento
de
Matemáticas
Función
Ejercicios 1
Ejercicios 2
Gráficas
De partes
Mapeo
Ejercicios 3
Fluı́dos
Lı́mite
Intro
Definición
Propiedades
Ejercicios 4
Continuidad
Derivada
Ejercicios 5
Ejercicios 5
Ejercicios 6
Diagrama de Polos y Ceros
1
Analiticidad
Ejercicios 7
1
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Funciones de
Variable
Compleja
Departamento
de
Matemáticas
Función
Ejercicios 1
Ejercicios 2
Gráficas
De partes
Mapeo
Ejercicios 3
Fluı́dos
Lı́mite
Intro
Definición
Propiedades
Ejercicios 4
Continuidad
Derivada
Ejercicios 5
Ejercicios 5
Ejercicios 6
Analiticidad
Ejercicios 7
Matemáticas
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Funciones de
Variable
Compleja
Departamento
de
Matemáticas
Función
Ejercicios 1
Ejercicios 2
Gráficas
De partes
Mapeo
Ejercicios 3
Fluı́dos
Lı́mite
Intro
Definición
Propiedades
Ejercicios 4
Continuidad
Derivada
Ejercicios 5
Ejercicios 5
Ejercicios 6
Analiticidad
Ejercicios 7
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Funciones de
Variable
Compleja
Transformaciones del plano complejo
Una representación alternativa consiste en graficar las imágenes
de rectas en el plano complejo. Por ejemplo, para la función
Departamento
de
Matemáticas
Función
Ejercicios 1
Ejercicios 2
Gráficas
De partes
Mapeo
Ejercicios 3
Fluı́dos
Lı́mite
Intro
Definición
Propiedades
Ejercicios 4
Continuidad
Derivada
Ejercicios 5
Ejercicios 5
Ejercicios 6
Analiticidad
Ejercicios 7
w = f (z) = z 2 = (x + y i)2 = (x 2 − y 2 ) + 2 x y i
Aquı́ u(x, y ) = x 2 − y 2 y v (x, y ) = 2 x y . Ilustremos cómo se
mapea el segmento que va de (2, 0) a (2, 1), en rojo en la
figura.
y
v
z =x +yi
x
2.000
2.000
2.000
2.000
2.000
2.000
2.000
2.000
2.000
2.000
2.000
y
0.000
0.100
0.200
0.300
0.400
0.500
0.600
0.700
0.800
0.900
1.000
f (z) = u + v i
u
4.000
3.990
3.960
3.910
3.840
3.750
3.640
3.510
3.360
3.190
3.000
v
0.000
0.400
0.800
1.200
1.600
2.000
2.400
2.800
3.200
3.600
4.000
x
u
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Funciones de
Variable
Compleja
Departamento
de
Matemáticas
Función
Ejercicios 1
Ejercicios 2
Gráficas
De partes
Mapeo
Ejercicios 3
Fluı́dos
Ejercicios
Para la función f (z) = z 2 encuentre la imagen de la lı́nea
indicada:
• y =2
• x = −3
• x =0
• y =0
Lı́mite
Intro
Definición
Propiedades
Ejercicios 4
Continuidad
Derivada
Ejercicios 5
Ejercicios 5
Ejercicios 6
Analiticidad
Ejercicios 7
• x =y
• y = −x
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Funciones de
Variable
Compleja
Departamento
de
Matemáticas
Función
Ejercicios 1
Ejercicios 2
Gráficas
De partes
Mapeo
Ejercicios 3
Fluı́dos
Lı́mite
Intro
Definición
Propiedades
Ejercicios 4
Continuidad
Derivada
Ejercicios 5
Ejercicios 5
Ejercicios 6
Analiticidad
Ejercicios 7
Función complejas como fluidos
Una función compleja w = f (z) se puede interpretar como un
flujo de un fluı́do bidimensional considerando el número
complejo f (z) como un vector basado en el punto z. A veces,
será conveniente ilustrar el flujo con vectores normalizados.
Por ejemplo, para la función w = f (z) = z 2 generaremos el
flujo graficando en cada punto z = (x, y ) el vector
1
(uesc , vesc ) = 2 |w
| (u, v ).
y
x
-1.0
-1.0
-1.0
-1.0
y
-1.0
0.0
1.0
2.0
u
0.0
1.0
0.0
-3.0
v
2.0
0.0
-2.0
-4.0
|w |
2.0
1.0
2.0
5.0
uesc
.000
.500
.000
-.300
vesc
.500
.000
-.500
-.400
.
.
.
4.0
4.0
4.0
4.0
.
.
.
1.0
2.0
3.0
4.0
.
.
.
15.0
12.0
7.0
0.0
.
.
.
8.0
16.0
24.0
32.0
.
.
.
17.0
20.0
25.0
32.0
.
.
.
.441
.300
.140
.000
.
.
.
.235
.400
.480
.500
x
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Funciones de
Variable
Compleja
Departamento
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Matemáticas
Función
Ejercicios 1
Ejercicios 2
Gráficas
De partes
Mapeo
Ejercicios 3
Fluı́dos
Lı́mite
Intro
Definición
Propiedades
Ejercicios 4
Continuidad
Derivada
Ejercicios 5
Ejercicios 5
Ejercicios 6
Analiticidad
Ejercicios 7
El concepto de Lı́mite
Suponga que usted tiene una pequeña fábrica que genera un
solo producto. Suponga también que este artı́culo está basado
en una sola materia prima. Suponga que la materia prima que
le proveen sólo tiene un sólo parámetro medible digamos x. Por
ejemplo, la densidad de un lı́quido; la pureza de un compuesto
quı́mico; el grado de humedad de cal; el radio promedio de los
pelets, etc. Suponga también que su producto que vende en
diferentes cantidades tiene una sola medida, y . Por ejemplo, el
grosor de la hoja de papel que usted produce. En la situaciones
productivas es importante cumplir estándares. Por ejemplo,
que el papel que usted produce tiene un cierto grosor con un
valor nominal yo y que la variación de este valor es correcto
con un margen de error . Es decir, que su producto tendrá un
valor y que cumple |yo − y | ≤ . Es deseable que la cualidad y
de su producto dependa de la cualidad x de su materia prima:
esto lo indicaremos y = y (x).
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Funciones de
Variable
Compleja
Departamento
de
Matemáticas
En general, a usted le imponen estándares en su producto:
Algo como que la caracterı́stica de su producto, y , se acerque
al valor pedido yo con un error máximo :
|y − yo | ≤ Función
Ejercicios 1
Ejercicios 2
Gráficas
De partes
Mapeo
Ejercicios 3
Fluı́dos
Lı́mite
Intro
Definición
Propiedades
Ejercicios 4
Continuidad
Derivada
Ejercicios 5
Ejercicios 5
Ejercicios 6
Analiticidad
Ejercicios 7
Y usted a su vez solicitará a sus proveedores de materia prima
que la caracterı́stica medible de lo que le venden, x, cumpla
ciertos estándares: Algo parecido a que la materia prima tenga
una caracterı́stica x con valor xo con un margen de error δ. Es
decir,
|x − xo | ≤ δ
Lo que es deseable que pase en nuestro proceso es que: si la
materia prima cumple nuestro estándar de entrada entonces el
producto que generamos cumpla el estándar de salida:
|x − xo | ≤ δ implique que |y (x) − yo | ≤ Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Funciones de
Variable
Compleja
Departamento
de
Matemáticas
Función
Ejercicios 1
Ejercicios 2
Gráficas
De partes
Mapeo
Ejercicios 3
Fluı́dos
Lı́mite
Intro
Definición
Propiedades
Ejercicios 4
Continuidad
Derivada
Ejercicios 5
Ejercicios 5
Ejercicios 6
Analiticidad
Ejercicios 7
Nosotros sabemos que hay circunstancias donde los estándares
van cambiando. En muchos casos se van ajustando. Es decir,
que me van pidiendo tolerancias más pequeñas en el error de
nuestro producto a su valor nominal. Diremos que
Nuestro proceso de generación y = y (x) tiene como
lı́mite el valor yo para x = xo si no importa cuan
pequeña sea la tolerancia que nos exija nuestro
comprador al valor yo , existe una tolerancia δ que le
podemos transferir a nuestro proveedor de materia
prima, para que tengamos la garantı́a de que una
materia prima con medida de calidad x que cumple
este estándar
|x − xo | ≤ δ
se transforme en un producto con medida de calidad
y (x) que cumple el estándar pedido
|y (x) − yo | ≤ Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Funciones de
Variable
Compleja
Departamento
de
Matemáticas
Definición de Lı́mite de una Función
Suponga que f (z) está definida en una vecindad de zo , excepto
posiblemente en el mismo zo . Entonces se dice que f (z) posee
como lı́mite L en zo , escrito como
Función
Ejercicios 1
Ejercicios 2
lim f (z) = L
z→zo
Gráficas
De partes
Mapeo
Ejercicios 3
Fluı́dos
Lı́mite
Intro
Definición
Propiedades
Ejercicios 4
Continuidad
Derivada
Ejercicios 5
Ejercicios 5
Ejercicios 6
Analiticidad
Ejercicios 7
si para cada aproximación a L existe distancia δ de cercanı́a a
zo de manera que todo valor de z1 que esté a una distancia de
zo menor que δ tendrá una evaluación f (z1 ) que cuya
aproximación a L es menor que . En terminos matemáticos:
0 < |z1 − zo | < δ garantiza que |L − f (z1 )| < Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Funciones de
Variable
Compleja
Departamento
de
Matemáticas
Función
Definición Equivalente
Suponga que f (z) está definida en una vecindad de zo , excepto
posiblemente en el mismo zo . Entonces se dice que f (z) posee
como lı́mite L en zo , escrito como
Ejercicios 1
Ejercicios 2
lim f (z) = L
z→zo
Gráficas
De partes
Mapeo
Ejercicios 3
Fluı́dos
Cuando
lim
Lı́mite
Intro
Definición
Propiedades
Ejercicios 4
Continuidad
Derivada
Ejercicios 5
Ejercicios 5
Ejercicios 6
Analiticidad
Ejercicios 7
|z−zo |→0
|f (z) − L| = 0
Es decir
|f (z) − L| → 0, cuando |z − zo | → 0
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Funciones de
Variable
Compleja
Propiedades del lı́mite de una función
Suponga que las funciones f (z) y g (z) están definidas en una
vecindad de zo y ambas poseen lı́mite en zo y que
Departamento
de
Matemáticas
Función
Ejercicios 1
Ejercicios 2
Gráficas
De partes
Mapeo
Ejercicios 3
Fluı́dos
Lı́mite
Intro
Definición
Propiedades
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Continuidad
Derivada
Ejercicios 5
Ejercicios 5
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Analiticidad
Ejercicios 7
lim f (z) = L1 y lim g (z) = L2
z→zo
z→zo
entonces:
• Lı́mite de una suma es la suma de los lı́mites:
lim (f (z) + g (z)) = L1 + L2
z→zo
• Lı́mite de una constante por una función:
lim (c · f (z)) = c · L1
z→zo
• Lı́mite de un producto es el producto de los lı́mites:
lim (f (z) · g (z)) = L1 · L2
z→zo
• Lı́mite de un cociente es el cociente de los lı́mites, cuando
el denominador no tiene lı́mite cero:
f (z)
L1
Si L2 6= 0, lim
=
z→zo g (z)
L2
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Funciones de
Variable
Compleja
Suponga que:
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Matemáticas
lim f (z) = L1 y lim g (z) = L2
z→zo
z→zo
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Continuidad
Derivada
Ejercicios 5
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Analiticidad
Ejercicios 7
Como
0 ≤ |(f (z) + g (z)) − (L1 + L2 )| = |f (z) − L1 + g (z) − L2 |
≤ |f (z) − L1 | + |g (z) − L2 |
Entonces: cuando |z − zo | → 0, se tiene que |f (z) − L1 | → 0 y
|g (z) − L2 | → 0 , por tanto |(f (z) + g (z)) − (L1 + L2 )| → 0.
Por tanto
lim (f (z) + g (z)) = L1 + L2
z→zo
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Suponga que:
lim f (z) = L1
z→zo
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Fluı́dos
Lı́mite
Intro
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Propiedades
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Continuidad
Derivada
Ejercicios 5
Ejercicios 5
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Analiticidad
Ejercicios 7
Como
0 ≤ |c · f (z) − c · L1 | = |c| · |f (z) − L1 |
Entonces: cuando |z − zo | → 0, se tiene que |f (z) − L1 | → 0;
por tanto |c · f (z) − c · L1 | → 0. Por tanto,
lim c · f (z) = c · L1
z→zo
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Función
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Suponga que:
lim f (z) = L1 y lim g (z) = L2
z→zo
z→zo
Como
f (z) · g (z) − L1 · L2 = (f (z) − L1 ) · (g (z) − L2 ) +
L1 · (g (z) − L2 ) + L2 · (f (z) − L1 )
Gráficas
De partes
Mapeo
Ejercicios 3
Fluı́dos
Lı́mite
Intro
Definición
Propiedades
Ejercicios 4
Por tanto
0 ≤ |f (z) · g (z) − L1 · L2 | ≤ |f (z) − L1 | · |g (z) − L2 | +
|L1 | · |g (z) − L2 | +
|L2 | · |f (z) − L1 |
Continuidad
Derivada
Ejercicios 5
Ejercicios 5
Ejercicios 6
Analiticidad
Ejercicios 7
Entonces: cuando |z − zo | → 0, se tiene que |f (z) − L1 | → 0 y
|g (z) − L2 | → 0 , por tanto |f (z) · g (z) − L1 · L2 | → 0. Por
tanto
lim f (z) · g (z) = L1 · L2
z→zo
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Lı́mite
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Propiedades
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Continuidad
Derivada
Ejercicios 5
Ejercicios 5
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Analiticidad
Ejercicios 7
Suponga que:
lim f (z) = L1 y lim g (z) = L2 6= 0
z→zo
z→zo
Como (compruébelo!):
f (z) L1
1
L1
−
=
(f (z) − L1 ) −
· (g (z) − L2 )
g (z) L2
g (z)
L2 g (z)
Por tanto
f (z) L1 |L1 |
1
0 ≤ − ≤
|f (z) − L1 |+
·|g (z) − L2 |
g (z) L2
|g (z)|
|L2 | · |g (z)|
Entonces: cuando |z − zo | → 0, se tiene
que |f (z) − L1 | → 0 y
f (z) L1 |g (z) − L2 | → 0 , por tanto g (z) − L2 → 0. Por tanto
lim
z→zo
f (z)
L1
=
g (z)
L2
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Fluı́dos
Lı́mite
Intro
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Propiedades
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Continuidad
Derivada
Ejercicios 5
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Ejercicios 6
Analiticidad
Ejercicios 7
Ejercicios
Determine cada uno de los lı́mites siguientes o argumente en su
caso porqué no existe.
• limz→i (4 z 3 − 5 z 2 + 4 z + 1 − 5 i)
2 −2 z+2
• limz→1−i 5 z z+1
4 −1
• limz→i zz−i
2
z+2
• limz→1+i z z−2
2 −2 i
• limz→0 zz
−1
• limz→1 x+y
z−1
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Lı́mite
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Propiedades
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Continuidad
Derivada
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Analiticidad
Ejercicios 7
En las siguientes figuras se ilustran las soluciones de los problemas 2
y 3 anteriores en la TI. Recuerde que para expresiones fraccionarias el
problema potencial es el valor del denominador: si es diferente de
cero, podemos calcular el lı́mite evaluando, pero si el denominador se
evalua en cero entonces debemos hacer un tratamiento adicional.
Conviene almacenar por separado el numerador y denominador.
Cuando ambos se evaluan en cero, se debe cancelar factores tanto
arriba como abajo; para ello hay que dividir cada uno entre el factor
(z − zo ) y trabajar la expresión restante. En el segundo problema el
lı́mite es L2 = 8/5 − 16/5 i y en el tercero es L3 = −4 i.
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De partes
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Continuidad
Derivada
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Continuidad en un punto
Se dice que la función f (z) es continua en el punto zo si:
lim f (z) = f (zo )
z→zo
¿Ejemplos de funciones continuas? Toda función polinomial es
continua en la totalidad de los puntos del plano complejo: las
funciones racionales, que son cociente entre dos polinomios,
son continuas en todos los puntos del plano complejo, excepto
en aquellos puntos donde el denominador se hace cero.
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Función
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Ejercicios 2
Derivada de una función en un punto
Supóngase que f (z) es una función de variable compleja
definida en la vecindad de un punto zo . La derivada de f (z) en
el punto z = zo es
Gráficas
De partes
Mapeo
Ejercicios 3
Fluı́dos
f 0 (zo ) = lim
∆z→0
f (zo + ∆z) − f (zo )
∆z
Lı́mite
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Definición
Propiedades
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Continuidad
Derivada
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Analiticidad
Ejercicios 7
siempre y cuando tal lı́mite exista.
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Ejercicios
Función
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Fluı́dos
Lı́mite
Intro
Definición
Propiedades
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Continuidad
Derivada
Ejercicios 5
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Analiticidad
Ejercicios 7
Obtenga la fórmula de la derivada de cada una de las
siguientes funciones por medio de lı́mites.
• f (z) = z 2
• f (z) = 1/z
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Definición
Propiedades
Ejercicios 4
Continuidad
Derivada
Ejercicios 5
Ejercicios 5
Ejercicios 6
Analiticidad
Ejercicios 7
En las siguientes figuras se ilustran el cálculo de la derivada por medio
de su definición de lı́mite. Note que a veces es importante obligar a
una simplificación extra a la expresión antes de evaluar en ∆z = 0.
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Ejercicios 2
Propiedades de la derivada
Las reglas de derivación de funciones complejas son las mismas
que las usadas en el cálculo en variables reales:
d
d
• dz
c = 0 y dz
c · f (z) = c · f 0 (z)
d
• dz
(f (z) + g (z)) = f 0 (z) + g 0 (z)
Gráficas
De partes
Mapeo
Ejercicios 3
Fluı́dos
Lı́mite
Intro
Definición
Propiedades
Ejercicios 4
Continuidad
Derivada
Ejercicios 5
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Ejercicios 6
Analiticidad
Ejercicios 7
d
• dz
(f (z) · g (z)) = f 0 (z) · g (z) + g 0 (z) · f (z)
d
• dz
f (z)
g (z)
=
g (z)·f 0 (z)−f (z)·g 0 (z)
(g (z))2
d
• dz
f (g (z)) = f 0 (g (z)) · g 0 (z)
d n
• Para n entero: dz
z = n z n−1
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Ejercicios
Por fórmulas, obtenga la derivada de las siguientes funciones.
• f (z) = 4 z 3 − (3 + i) z 2 − 5 z + 4
• f (z) = 5 z 3 − i z 3 + (8 − i) z 2 − 6 i
• f (z) = (2 z + 1)(z 2 − 4 z + 8 i)
• f (z) = (z 5 + 3 i z 3 )(z 4 + i z 3 + 2 z 2 − 6 i z)
• f (z) = (z 2 − 4 i)3
• f (z) = (2 z − 1/z)6
i
• f (z) = 3 z−4+8
2 z+i
2
−z
• f (z) = 5zz3 +1
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Analiticidad
Ejercicios 7
En la siguientes figura se ilustra el cálculo de la derivada por fórmula.
De hecho, por calculadora.
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Propiedades
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Ejercicios
Determine en qué puntos no son derivables las siguientes
funciones.
z
• f (z) = z−3
i
i
• f (z) = z 2 −22z+5
iz
3
• f (z) = zz 2 +z
+4
i
• f (z) = z 2z−4+3
−6 z+25
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De partes
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Intro
Definición
Propiedades
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Continuidad
Derivada
Ejercicios 5
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Analiticidad
Ejercicios 7
En vista que las funciones son racionales (es decir,el cociente de dos
polinomios en z, donde no aparece el conjugado de z, ni su parte real
suelta ni la parte imaginaria) la clave está en ver dónde el
denominador se hace cero. Esas raı́ces son los puntos donde la
expresión completa no tiene derivada.
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Fluı́dos
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Intro
Definición
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Continuidad
Derivada
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Analiticidad
Ejercicios 7
Analiticidad en un punto
Supóngase que f (z) es una función de variable compleja
definida en la vecindad de un punto zo . La función f (z) se dice
analı́tica en el punto zo si f (z) es derivable en z = zo y además
lo es en todo punto de una vecindad de zo .
Una función f (z) se dice una función entera, si es analı́tica en
todo punto del plano complejo. Los polinomios son funciones
enteras.
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Gráficas
De partes
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Fluı́dos
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Continuidad
Derivada
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Ejercicios 5
Ejercicios 6
Analiticidad
Ejercicios 7
Ejercicios
• Argumente porqué la función f (z) = z no es derivable en
ningún punto.
• Argumente porqué la función f (z) = |z|2 no es analı́tica
en ningún punto.