Juegos estáticos con información completa File

Facultad de Ciencias Sociales, Universidad de la República, Uruguay
Teoría de Juegos 2013. Alvaro Forteza
Juegos estáticos con información completa
El dilema del prisionero
Preso 1 Callarse
Confesar
Preso 2
Callarse
Confesar
-1, -1
-9, 0
0, -9
-6, -6
Representación de juegos en forma normal:
{
}
1
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Es decir: conjuntos de estrategias
y ganancias
.
Aplicado al dilema del prisionero:
{
}
Estrategias posibles del preso 1
{
}
Estrategias posibles del preso 2
(
(
confiesa.
)
Ganancia de preso 1 si ambos callan
)
Ganancia de preso 1 si se calla y el preso 2
2
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(
se calla
(
)
Ganancia de preso 1 si confiesa y el preso 2
)
Ganancia de preso 1 si ambos confiesan.
Análogo para preso 2.
Notar: las ganancias son función de las estrategias elegidas
por ambos jugadores:
(
)
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Dominancia
En el dilema del prisionero:
(i) Preso 1 está mejor confesando, con independencia de lo que
haga el preso 2. Decimos entonces que confesar domina a callarse.
(ii) Idem para preso 2.
Conclusión: ambos confiesan.
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En general,
está estrictamente dominada por
(
)
si:
(
(
)
)
Ejemplo 2:
Jugador 1
Alta
Baja
Izquierda
1, 0
0, 3
Jugador 2
Centro
1, 2
0, 1
Derecha
0, 1
2, 0
5
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 Jugador 1 no tiene estrategia dominada:
o Alta mejor que baja, si 2 juega izq o centro
o Baja mejor que alta, si 2 juega derecha
 Jugador 2: Derecha dominada por centro  anulamos
derecha:
Jugador 1
Alta
Baja
Jugador 2
Izquierda Centro
1, 0
1, 2
0, 3
0, 1
6
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 Jugador 1: Alta domina a baja 
Jugador 2
Izquierda Centro
Jugador 1 Alta
1, 0
1, 2
 Jugador 2: Izquierda dominada por centro.
Conclusión: eliminación iterativa de estrategias
estrictamente dominadas conduce a seleccionar un par de
estrategias en este ejemplo: (Alta, Centro).
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Problemas con este procedimiento:
 Información del dominio público (common knowledge)
 No siempre permite seleccionar un único perfil de
estrategias.
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Ejemplo 3:
A
M
B
I
0, 4
4, 0
3, 5
C
4, 0
0, 4
3, 5
D
5, 3
5, 3
6, 6
No hay estrategias dominadas en este caso.
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Equilibrio de Nash
La mejor respuesta de jugador i frente al perfil de estrategias
de los demás jugadores es una estrategia que maximiza la
ganancia de i, dado que los demás juegan las estrategias
indicadas.
Ejemplos:
1) Dilema del prisionero:
 Mejor respuesta de preso 1 si preso 2 decide callarse es
confesar: si confiesa obtiene 0 y si se calla obtiene -1.
 Mejor respuesta de preso 1 si preso 2 decide confesar es
confesar: si confiesa obtiene -6 y si se calla obtiene -9.
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Análogo para preso 2.
Ejemplo 2:
Jugador 1
Alta
Baja
Izquierda
1, 0
0, 3
Jugador 2
Centro
1, 2
0, 1
Derecha
0, 1
2, 0
 Mejor respuesta de jugador 1 si jugador 2 elige izquierda
es alta.
 Mejor respuesta de jugador 1 si jugador 2 elige derecha
es baja.
 Etc.
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Equilibrio de Nash = perfil de estrategias en que todas las
estrategias son mejores respuestas.
) es un equilibrio de Nash de
Decimos que (
{
} si para cada jugador i es la mejor
respuesta frente a las estrategias de los otros n-1 jugadores
(
).
En otros términos:
(
)
(
)
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Una tercera forma de decir lo mismo:
(
)
Justificación de la noción de equilibrio de Nash: cada uno
hace lo mejor que puede, dado lo que hacen los otros.
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Ejemplo:
A
M
B
I
0, 4
4, 0
3, 5
C
4, 0
0, 4
3, 5
D
5, 3
5, 3
6, 6
Conclusión: hay un equilibrio de Nash: (Bajo, Derecha)
Relación con eliminación de estrategias dominadas:
1) Equilibrio de Nash resiste eliminación de estrategias
dominadas.
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2) Puede haber estrategias que sobrevivan a la eliminación de
estrategias dominadas y no sean equilibrios de Nash (todas las
combinaciones salvo B,D en la diapositiva anterior).
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Equilibrios múltiples de Nash
Ejemplo: la batalla de los sexos
Pedro
María
Teatro
Fútbol
Teatro
2, 1
0, 0
Fútbol
0, 0
1, 2
Mejores respuestas de María:
 Teatro, si Pedro juega Teatro
 Fútbol, si Pedro juega fútbol
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Mejores respuestas de Pedro:
 Teatro, si María juega Teatro
 Fútbol, si María juega fútbol
 (Teatro, Teatro) es un equilibrio de Nash, pero…
(Fútbol, Fútbol) también es un equilibrio de Nash.
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Aplicaciones 1:
Duopolio de Cournot
El ambiente:
 Dos empresas producen mismo bien, cantidades
 Precio:
( )
( )
(
y
)
Gráficamente:
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P
a
Q
a
 Costo de producir cantidad
:
( )
 Las dos empresas eligen cantidades en forma simultánea.
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Representación del juego:
 Jugadores: las dos empresas
 Estrategias factibles:
 Ganancias:
( )
(
)
(
)
Mejor respuesta de empresa i = cantidad que maximiza
ganancias de i, dada la cantidad producida por j.
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Surge de resolver:
(
)
(
(
)
)
(
)
O, lo que es lo mismo:
(
)
Mejor respuesta de empresa i: elegir producción que
maximiza su utilidad, dada la producción de empresa j.
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Ver ejemplo en archivo Excel: Duopolio de Cournot.xls
Notar: las utilidades de la empresa son cero cuando la
producción es cero, crecen para algunos valores de la
producción y luego empiezan a caer  en el máximo, las
utilidades no cambian cuando cambia la cantidad producida.
Condición del máximo:
(
)
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(
)
Es análogo para la otra empresa:
(
)
Un par (
) que resuelve estas dos ecuaciones es un
equilibrio de Nash. Resolviendo:
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𝑞𝑖
𝑎
𝑐
𝑎
𝑐
(𝑞𝑖 𝑞𝑗 )
𝑎
𝑐
𝑎
𝑐
𝑞𝑗
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Producción total en el equilibrio:
(
)
Precio en el equilibrio:
(
)
(
)
(
)
Beneficios en el equilibrio:
(
(
)
(
)
(
)(
)
)
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Empresas enfrentan situación “parecida” a la de un dilema del
prisionero…
Si coludieran y actuaran como un monopolista, elegirían
producir:
Y cada una produciría la mitad de esto:
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Obtendrían beneficios:
(
Notar:
a)
b)
(
)
)
<
Colusión: empresas producen menos, elevan precio y ganan
más.
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Sin embargo, si no hay capacidad de hacer cumplir un
acuerdo entre las empresas y j elige la cantidad óptima en un
contexto de colusión, entonces es óptimo para i elegir una
cantidad mayor:
(
)
(
)
(
)
 Individualmente, las empresas tienen incentivos a
desviarse del acuerdo colusivo.
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Aplicaciones 2: La tragedia de los comunes
Hay tendencia a sobreexplotar los recursos comunes: recursos
pesqueros, contaminación, etc.
Ejemplo: N ganaderos comparten un campo de pastoreo.
Ganadero i lleva a pastar animales. El valor de cada novillo
depende de cuantos novillos pasten en total:
̅
( )
Donde:
̅
Utilidades que obtiene ganadero i:
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( )
Notar: dado ( ), el ganadero i gana más cuanto más
novillos lleva a pastar. Pero, cuantos más novillos lleva a
pastar, menos engorda cada uno, es decir que ( ) es
decreciente en .
¿Cuál es la mejor respuesta del ganadero i a las estrategias de
los restantes N-1 ganaderos?
Optimo:
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( )
̅
̅
( )
̅
(
)
(
Equilibrio de Nash:
̅
)
(
)
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̅
Total de ganado pastando en el equilibrio de Nash:
̅
Optimo social: planificador central elige el nivel de G,
resolviendo:
( )
Condiciones de primer orden:
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(
)
(
)
̅
̅⁄
Comparamos resultados en el equilibrio de Nash y el óptimo
social:
̅
̅
Conclusión: en el equilibrio de Nash hay sobrepastoreo del
campo común.
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Posibles soluciones:
 Privatización
 Regulación
 Imposición (“el que contamina paga”)
Otros ejemplos de la tragedia de los comunes:
a) Agua caliente central en el edificio (no tanto como “tragedia”,
pero problema al fin…)
b) Pesca (ver ejercicio)
c) Crecimiento poblacional
d) Contaminación: calentamiento global, capa de ozono, etc.
Fuerte debate. Algunas “puntas”:
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