Proporciones

LECCIÓN
CONDENSADA
2.1
Proporciones
En esta lección
●
●
●
aprenderás varias maneras de escribir una razón
aprenderás métodos para resolver proporciones
resolverás problemas escribiendo y resolviendo proporciones
En la afirmación, “Jackie obtuvo 24 de los 64 puntos obtenidos por el equipo”, se
comparan dos números. La razón de los puntos obtenidos por Jackie a los puntos
obtenidos por el equipo es 24 a 64. Puedes escribir la razón como 24 : 64, o como
una fracción o un número decimal. La barra de fracción significa división, de
modo que estas expresiones son equivalentes.
24
64
24 64
0.375
3
8
Lee el Ejemplo A y el texto que sigue al inicio de la página 96 de tu libro.
Asegúrate de que entiendes la diferencia entre un decimal exacto y un decimal
periódico.
Una proporción es una ecuación que establece que dos razones son iguales. Aquí
tenemos algunas proporciones verdaderas en las que se usan los números enteros
3, 5, 9, y 15.
9
3
15 5
15 5
9
3
5
3
15 9
15 9
5
3
Puedes verificar que las proporciones son verdaderas por hallar el equivalente
decimal de cada lado. La proporción 135 59 no es verdadera; 0.2 no es igual a 0.5៮.
En álgebra, una variable representa uno o más números desconocidos. En la
proporción 1R6 14, puedes sustituir la variable R con cualquier número, pero sólo
el número 4 hará que la proporción sea verdadera.
Investigación: Multiplica y conquista
Pasos 1–4
Cuando multiplicas ambos lados de una ecuación por el mismo
número, los dos lados permanecen iguales entre ellos. Puedes usar esta idea para
resolver proporciones con una variable en uno de los numeradores. Por ejemplo,
56
puedes resolver 1M9 133 multiplicando ambos lados por 19.
M
56
19 133
M
56
19 19 133 19
Multiplica ambos lados por 19.
56
M
133 19
19
es equivalente a 1.
19
M8
Multiplica y divide.
Puedes verificar que la solución es correcta por sustituir M con 8 y asegurarte que
56
la proporción resultante, 189 133 , es verdadera.
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(continúa)
CHAPTER 2
27
Lección 2.1 • Proporciones (continuación)
Aquí está la solución a la parte a del Paso 2. Intenta resolver las partes b–d por tu
propia cuenta.
p
132
12 176
p
132
12 12 176 12
Multiplica ambos lados por 12.
132
p
176 12
12
es equivalente a 1.
12
p9
Multiplica y divide.
Pasos 5–7 En el Paso 5, las razones de las proporciones del Paso 2 fueron
invertidas. Estas nuevas proporciones tienen las mismas soluciones que las
proporciones originales. Por ejemplo, 9 es solución de ambas proporciones,
p
132
12
176
y . (Comprueba que esto es cierto.) Puedes usar esta idea para
176
p
132
12
resolver proporciones con la variable en un denominador. Por ejemplo, para
12
135
20
k
resolver 135 k , sólo invierte las razones para obtener 20 12 , y multiplica
ambos lados por 12.
Ahora lee la pregunta y las soluciones de muestra del Paso 7 y asegúrate de
entenderlas.
Cuando un problema implica una razón o un porcentaje, a veces puedes
resolverlo por establecer y resolver una proporción. En los Ejemplos B y C de tu
libro se presentan algunos problemas de muestra. Aquí tienes otro ejemplo.
䊳
EJEMPLO
Raj respondió correctamente 75% de las preguntas del examen de álgebra. Si tuvo
27 respuestas correctas, ¿cuántas preguntas había en el examen?
Solución
Asignemos que q represente el número de preguntas del examen. Usa el hecho de
que 75% es 75 de 100 para ayudarte a escribir una proporción. La razón 27 de q
es igual a 75 de 100.
27
75
q
100
Escribe la proporción.
q
100
27
75
Invierte ambos lados.
100
q 75 27
Multiplica por 27 para deshacer la división.
q 36
Multiplica y divide.
Hubo 36 preguntas en el examen.
28
CHAPTER 2
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LECCIÓN
CONDENSADA
2.2
Captura-Recaptura
En esta lección
●
●
●
simularás el método captura-recaptura para estimar las poblaciones
de animales
escribirás y resolverás proporciones
resolverás tres tipos de problemas de porcentaje: hallar un porcentaje
desconocido, hallar un total desconocido, y hallar una parte desconocida
Los biólogos de la vida silvestre usan un método conocido como “capturarecaptura” para estimar las poblaciones de animales. Este método implica el
marcar algunos animales y luego liberarlos para que se mezclen con la población
en general. Más adelante se toma una muestra. Usando la razón de los animales
marcados en la muestra con respecto al total de los animales de la muestra, los
biólogos pueden estimar la población de animales.
Investigación: Peces en el lago
En esta investigación una bolsa de frijoles blancos representa una población de
peces de un lago. Para simular el método de captura-recaptura, mete la mano en
el “lago” y saca un puñado de “peces”. Cuenta los peces de la muestra y, en vez
de regresarlos, sustituye a estos peces (frijoles blancos) con un número igual de
“peces marcados” (frijoles rojos).
Luego deja que los peces se mezclen (sella la bolsa y agítala para mezclar los
frijoles) y después toma otra muestra. Cuenta todos los peces de la muestra y los
marcados antes de regresar la muestra al lago. Si tomas algunas muestras más,
puedes obtener una buena idea de la razón de peces marcados con respecto al
número total de peces en el lago.
Un grupo de estudiantes marcó y regresó al lago 84 peces. Después tomaron cinco
muestras. He aquí sus resultados.
Número de
muestra
Número de peces
marcados
Número total de
peces
Razón de peces
marcados al número total
1
8
48
2
24
102
8
⬇ 0.17
48
24
⬇ 0.24
102
3
16
86
16
⬇ 0.19
86
4
17
67
17
⬇ 0.25
67
5
16
75
16
⬇ 0.21
75
Para estimar la población de peces en este lago, necesitas elegir una razón
que represente a todas las muestras. Podrías calcular la mediana o la media,
o utilizar algún otro método para escoger una razón representativa. En este
ejemplo usaremos la mediana de las razones, que es 1765.
(continúa)
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CHAPTER 2
29
Lección 2.2 • Captura-Recaptura (continuación)
Si los peces fueron mezclados bien, la fracción de los peces marcados en la
muestra debe estar cerca de la fracción de peces marcados en la población
completa. En otras palabras, se debe tener lo siguiente:
peces marcados en la muestra
peces marcados en la población
⬇ total de peces en la muestra
total de peces en la población
En este caso, hubo 16 peces marcados en la muestra, 75 peces en la muestra, y
84 peces marcados en la población. Entonces, puedes estimar la población de
peces, f, resolviendo esta proporción:
16 84
75
f
Para resolver la proporción, invierte las razones y multiplica por 84 para deshacer
la división.
f
75
16 84
75
84 1
6 f
393.75 f
Invierte ambas razones.
Multiplica por 84 para deshacer la división.
Multiplica y divide.
Entonces hay alrededor de 400 peces en el lago (es decir, aproximadamente
400 frijoles en la bolsa).
Puedes describir los resultados de las situaciones de captura-recaptura con el uso de porcentajes. Los
ejemplos de tu libro muestran tres diferentes tipos de problemas de porcentaje: hallar un porcentaje
desconocido, hallar un total desconocido, y hallar una parte desconocida. Asegúrate de leer cada ejemplo
y de que los entiendes. A continuación está un ejemplo más.
䊳
EJEMPLO
En un lago con 350 peces marcados, los resultados de la recaptura muestran que
16% de los peces están marcados. ¿Aproximadamente cuántos peces hay en el lago?
Solución
En este caso, la variable es el número total de peces en el lago, f. Como 16% de
los peces están marcados, hay 16 peces marcados por cada 100. Puedes escribir
16
esto como la razón 100 . Por lo tanto la razón del número total de peces marcados,
16
350, al número total de peces en el lago, f, es aproximadamente 100 .
16
350
100
f
Escribe la proporción.
f
100
16
350
Invierte ambas razones.
100
350 1
6 f
2187.5 f
Multiplica por 350 para deshacer la división.
Multiplica y divide.
Hay unos 2200 peces en el lago.
30
CHAPTER 2
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LECCIÓN
CONDENSADA
2.3
Proporciones y sistemas
de medición
En esta lección
●
●
encontrarás un factor de conversión para cambiar mediciones de
centímetros a pulgadas
usarás el análisis dimensional para hacer conversiones que implican
varios pasos
Si viajas fuera de los Estados Unidos, es útil que conozcas el Système
Internationale, o SI, conocido en los Estados Unidos como el sistema métrico.
Para cambiar de un sistema de medidas a otro, puedes usar las razones conocidas
como factores de conversión.
Investigación: Conversión de centímetros a pulgadas
Para encontrar una razón que puedas usar para convertir centímetros a pulgadas
y pulgadas a centímetros, primero mide cuidadosamente la longitud o el ancho de
diferentes objetos en ambas unidades. A continuación, se presentan algunos datos
de muestra. Tal vez quieras reunir tus propios datos o sólo agregar unas cuantas
medidas a esta tabla.
Medición
en pulgadas
Medición
en centímetros
bolígrafo
3
54 5.75
14.7
calculadora
3.0
papel
1
82 8.5
sujetador de papeles
7
18 1.875
Objeto
7.6
21.6
4.7
lápiz
13
61
6 6.81
17.4
escritorio
30.0
76.2
Introduce las mediciones en pulgadas en la lista L1 de tu calculadora y las
mediciones en centímetros en la lista L2. Introduce la razón de centímetros a
L2
pulgadas, L1 , en la lista L3 y deja que la calculadora llene la lista con los valores
de la razón. (Consulta Calculator Note 1K.) A continuación se tiene la tabla de
los datos anteriores.
Para encontrar un solo valor que represente la razón de centímetros a pulgadas,
puedes usar la mediana o la media de las razones de la lista L3. En este caso,
tanto la media como la mediana son aproximadamente 2.54.
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(continúa)
CHAPTER 2
31
Lección 2.3 • Proporciones y sistemas de medición (continuación)
2.54
Así, la razón de centímetros a pulgadas es 1 ó 2.54. Este número es el factor de
conversión entre pulgadas y centímetros. Significa que 1 pulgada es igual a
aproximadamente 2.54 centímetros.
Al usar esta razón, puedes escribir y resolver una proporción para convertir una
medición en centímetros a una medición en pulgadas, o viceversa. Cuando
estableces una proporción, asegúrate de que ambos lados muestren centímetros a
pulgadas o que ambos muestren pulgadas a centímetros.
Cómo convertir 215 centímetros
a pulgadas.
Cómo convertir 80 pulgadas a
centímetros.
2.54 215
1
x
x
2.54
80
1
1
x
2.54 215
1
215 2.54 x
84.6 ⬇ x
2.54
80 1 x
203.2 ⬇ x
80 pulgadas son aproximadamente
203.2 centímetros.
215 centímetros son
aproximadamente 84.6 pulgadas.
Algunas conversiones requieren varios pasos. El ejemplo B de tu libro muestra
cómo usar una estrategia conocida como análisis dimensional para convertir una
medición en pies por segundo a millas por hora. He aquí otro ejemplo en el que
se usa el análisis dimensional.
䊳
EJEMPLO
Un auto recorrió 500 kilómetros consumiendo 45 litros de gasolina. Usando el
hecho de que 1 milla es igual a 1.61 kilómetros y 1 galón es igual a 3.79 litros,
expresa el consumo de gasolina del auto en millas por galón.
Solución
Puedes usar la información dada para expresar el consumo de gasolina del auto
500 kilómetros
como la razón 45 litros . Usando los otros datos del problema, puedes crear
1 milla
fracciones con un valor de 1, por ejemplo, 1.61 kilómetros . Al multiplicar la razón
original por estas fracciones, puedes convertir la razón de consumo de gasolina
a millas por galón.
500 kilómetros 3.79 litros
1 milla
1895 millas
45 litros
1 galón
1.61 kilómetros 72.45 galones
26 millas
⬇
1 galón ó 26 millas por galón
Observa que las fracciones particulares equivalentes a 1 fueron escogidas de modo
que cuando tales unidades se cancelan, el resultado tiene millas en el numerador y
galones en el denominador.
26 millas por galón es una tasa porque tiene un denominador de 1. (26 millas
26 millas
por galón se puede escribir 1galón .) Otros ejemplos de tasas son una velocidad
de 65 millas por hora, una mesada semanal de 5 dólares, o un costo de
75 centavos por libra.
32
CHAPTER 2
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LECCIÓN
CONDENSADA
2.4
Variación directa
En esta lección
●
●
●
●
representarás relaciones usando gráficas, tablas, y ecuaciones
usarás gráficas, tablas, y ecuaciones para encontrar valores de datos faltantes
aprenderás la relación entre tasas, razones, y factores de conversión
Conocerás las relaciones directamente proporcionales y las variaciones
directas
Investigación: Canales náuticos
y
En la tabla de la página 114 de tu libro se muestra las
longitudes, en millas y kilómetros, de los canales náuticos
más largos del mundo. En la tabla faltan dos valores. En
esta investigación aprenderás varias maneras de encontrar
los valores faltantes.
Puedes usar la gráfica para estimar la longitud en kilómetros
del Canal de Suez. Como la longitud en millas es 101, inicia
en 101 en el eje x y desplázate hacia arriba hasta que llegues
a la recta. Después muévete horizontalmente hasta el eje y y
lee ahí el valor. La longitud es de unos 160 kilómetros. Usa
un método parecido para estimar la longitud del Canal de
Trollhätte en millas.
Pasos 3–5 Sigue los Pasos 3 y 4 de tu libro. Cuando hayas
terminado, las ventanas de List y de Graph de tu calculadora
deberán verse de la siguiente manera.
320
Longitud (kilómetros)
Pasos 1–2 En esta gráfica se muestran los datos
correspondientes a los primeros ocho canales de la
tabla. Unir los puntos facilita ver mejor el patrón de recta.
360
(189, 304)
280
240
200
(106, 171)
160
120 (80, 129)
80
(53, 85) (62, 99)
(51, 82)
(50, 81)
40
0
40 80 120 160 200
Longitud (millas)
x
[0, 200, 25, 0, 325, 25]
La lista L3 representa la razón de los kilómetros a las millas. Cada valor de la lista
se redondea a 1.6, de modo que hay aproximadamente 1.6 kilómetros en cada
milla. Puedes usar este factor de conversión para hallar los valores que faltan en
la tabla.
Para hallar la longitud del Canal de Suez en
kilómetros, resuelve esta proporción.
Para hallar la longitud del Canal de
Trollhätte en millas, resuelve esta proporción.
1.6 kilómetros
t kilómetros
1 milla
101 millas
1.6 kilómetros
87 kilómetros
1 milla
t millas
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(continúa)
CHAPTER 2
33
Lección 2.4 • Variación directa (continuación)
Pasos 6–11 Existen 1.6 kilómetros por milla. Entonces, para cambiar x millas a y
kilómetros, multiplica x por 1.6. Puedes escribir esto como la ecuación y 1.6x.
Para hallar la longitud del Canal de Suez en kilómetros, sustituye su longitud en
millas por x y resuelve para y
y 1.6x
y 1.6
Escribe la ecuación.
101 161.6
Sustituye x por 101 y multiplica.
Para hallar la longitud del Canal de Trollhätte en millas, sustituye su longitud en
kilómetros para y y resuelve para x.
y 1.6x
87 1.6x
87
x
1.6
54.375 x
Escribe la ecuación.
Sustituye y por 87.
Para aislar x, divide entre 1.6 para deshacer la multiplicación.
Divide.
Ahora grafica la ecuación y 1.6x en tu calculadora, en la misma
ventana donde están graficados los puntos.
La recta pasa por el origen porque 0 millas 0 kilómetros. Estima
la longitud del Canal de Suez en millas recorriendo la gráfica y
encontrando el valor de y cuando el valor de x es aproximadamente
101. (Consulta Calculator Note 1J.) Después estima la longitud del Canal
de Trollhätte en millas, encontrando el valor de x cuando el valor de y es
aproximadamente 87. Tus estimaciones deben estar cercanas a las
calculadas o encontradas usando tu gráfica hecha a mano.
[0, 200, 25, 0, 325, 25]
Observa la tabla de tu calculadora. (Consulta Calculator Note 2A.) Para hallar la
longitud del Canal de Suez en kilómetros, bájate hasta el valor de x de 101. El
correspondiente valor de y es 161.6.
Para hallar la longitud del Canal de Trollhätte
en millas, súbete hasta ver valores de y
cercanos a 87. Tomando incrementos de
x de 1, el valor y más cercano a 87 es 86.4.
Esto da una estimación en millas de 54.
Para hallar una estimación más cercana,
puedes ajustar la tabla para que muestre
incrementos más pequeños.
Has utilizado diferentes métodos para hallar los valores faltantes. ¿Cuál de ellos
prefieres?
La relación entre kilómetros y millas es un ejemplo de un tipo de relación
conocida como variación directa. En una variación directa, la razón de dos
variables es constante. Lee cuidadosamente el texto que está a continuación de
la investigación en tu libro. Asegúrate de entender los términos directamente
proporcional y constante de variación. Después lee y continúa con el ejemplo.
34
CHAPTER 2
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LECCIÓN
CONDENSADA
2.5
Variación inversa
En esta lección
●
●
●
estudiarás relaciones en las que dos variables son inversamente
proporcionales
escribirás ecuaciones para las variaciones inversas
usarás ecuaciones de variación inversa para resolver problemas
Investigación: Velocidiad versus tiempo
En esta investigación compararás el tiempo que se demora en caminar 2.0 metros
a la velocidad promedio en que camina la persona. Si tienes un compañero y un
sensor de movimiento, sigue los Pasos 1–5 para reunir los datos.
Pasos 1–5 Sigue los Pasos 1–5 de tu libro. Cuando hayas terminado, tu tabla de
datos debe verse parecida a la siguiente.
Número de
caminata
Tiempo
total (s)
Velocidad
promedio (m/s)
1
6.2
0.322
2
8
0.250
3
2.3
0.870
4
1.8
1.111
5
4.7
0.426
6
5.9
0.339
Aquí está la gráfica de los datos.
Ahora intenta encontrar una ecuación del tipo y que sea un buen modelo para los datos.
Pasos 6–8
a
x
Si multiplicas los valores del tiempo total por los valores
de la velocidad promedio dados en la tabla de datos,
hallarás que el producto siempre se aproxima a 2.
[0, 9, 1, 0, 1.5, 0.5]
¿Qué tiene que ver este valor con el experimento? Es la
distancia caminada — 2.0 metros. Por lo tanto tiempo velocidad distancia.
2
2
Si vuelves a acomodar esta ecuación, obtienes velocidad tiempo , o y x .
Grafica esta ecuación con los datos para mostrar que coincide bien.
También puedes usar el hecho de que el producto del tiempo y la velocidad es
constante para escribir una ecuación como ésta.
tiempo total de la primera caminata velocidad de la primera caminata tiempo total de la segunda caminata velocidad de la segunda caminata
(continúa)
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CHAPTER 2
35
Lección 2.5 • Variación inversa (continuación)
En el texto al fondo de la página 124 y al principio de la página 125 de tu libro, se
expresa la relación que descubriste como una ecuación de multiplicación y como
dos proporciones. Puedes usar lo que sabes sobre la resolución de proporciones
para mostrar que las tres ecuaciones son equivalentes. Por ejemplo, para mostrar
que la primera proporción es equivalente a la ecuación de multiplicación,
multiplica ambos lados de la proporción primero por el tiempo total de la segunda
caminata y luego por la velocidad de la segunda caminata. (¡Inténtalo!)
En la investigación de la velocidad versus tiempo, el producto de la velocidad y el
tiempo total fue constante. Lee el Ejemplo A de tu libro con cuidado. En él se
analiza otra relación en la que dos variables tienen un producto constante. Tal
relación se llama variación inversa, y se dice que las variables son inversamente
proporcionales.
La ecuación de una variación inversa puede escribirse de la forma xy k o y xk,
en la que x y y son las variables inversamente proporcionales y k es el producto
constante, conocido como constante de variación. La gráfica de una variación
inversa siempre tiene forma de curva y nunca cruza el eje x o el eje y.
EJEMPLO
Si el área de un triángulo permanece constante, el largo de la base es
inversamente proporcional a la altura. Para un área dada, si el triángulo tiene una
altura de 8 cm entonces la base es de 4.5 cm. Si la altura es de 25 cm, entonces la
base es de 1.44 cm.
a. ¿Cuál es la base de un triángulo con una altura de 6 cm, si el área
permanece constante?
b. ¿Cuál es la altura de un triángulo con una base de 30 cm, si el área
permanece constante?
䊳
Solución
Asignemos que h represente la altura y b represente el largo de la base. Como h y
b son inversamente proporcionales tienen un producto constante k. Como
h 8 cuando b 4.5 cm, k debe ser 8 4.5 ó 36. Ahora puedes escribir la
ecuación de variación inversa como b 3h6.
a. Para hallar la base de un triángulo con altura de 6, usa la ecuación y sustituye
h por 6.
36
b h
Ecuación original.
36
b 6
Sustituye h por 6.
b6
Divide.
Por lo tanto la base es 6 cm.
b. Para hallar la altura si la base es 30, sustituye b por 30.
36
Ecuación original.
30 h
1
h
Para obtener h en el numerador, invierte ambas razones.
30
36
1
36 3
Multiplica por 36 para deshacer la división.
0h
1.2 h
Multiplica y divide.
La altura del triángulo es 1.2 cm.
36
CHAPTER 2
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LECCIÓN
CONDENSADA
Evaluar expresiones
2.7
En esta lección
●
●
aplicarás el orden de las operaciones para evaluar expresiones
usa expresiones algebraicas para explicar los trucos numéricos.
El orden de las operaciones especifica el orden en el cual las operaciones de una
expresión deben evaluarse. Por ejemplo, para evaluar 12 – 2 5, multiplicas
primero y luego restas, de modo que el resultado es 2. En tu texto, lee las reglas
para el orden de las operaciones en la página 135.
Puedes escribir expresiones que aplican una secuencia de operaciones al número
inicial. Aquí hay un ejemplo.
䊳
EJEMPLO
Escribe una expresión matemática, usando x como el número inicial, que
representa esta secuencia de operaciones: Multiplica 12 por un número inicial;
luego resta la respuesta de 16; divide este resultado entre 4; y luego resta la
respuesta de 50.
Solución
Puedes organizar tu trabajo en una tabla.
Descripción
Valor inicial.
Multiplica por 12.
Expresión
x
12x
Resta la respuesta de 16.
16 12x
Divide este resultado entre 4.
16 12x
Resta la respuesta de 50.
4
La barra de fracción es un símbolo de
agrupación que significa que el numerador
completo se divide entre 4.
16 12x
50 4
Una expresión que relaciona ambos números y variables se llama una expresión
algebraica. Trabajarás con expresiones algebraicas en la investigación.
Investigación: Trucos numéricos
Lee la introducción de la investigación en la página 136. Escoge un número
e intenta hacer el truco usando tu calculadora. Inténtalo varias veces, escogiendo
distintos números cada vez. ¿Qué notas? ¡Obtienes el mismo resultado todas
las veces!
Pasos 1–4 Los trucos numéricos como los de la introducción a esta investigación
funcionan porque ciertas operaciones, como la multiplicación y la división,
se “deshacen” en el transcurso del truco. Aquí está la expresión algebraica de
este truco.
3(x 9) 6
x
3
(continúa)
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CHAPTER 2
37
Lección 2.7 • Evaluar expresiones (continuación)
Pasos 5–7 Aquí hay una expresión algebraica que representa la secuencia que se
muestra en el Paso 5 del libro.
2(n 3) 4
n 2
2
El resultado de este truco siempre resultará en el número original, porque los
pasos dados se deshacen entre sí.
Paso 8 Inventa tu propio truco numérico con por lo menos cinco etapas. Usa tu
calculadora para probar tu truco numérico con varios números iniciales. Cuando
estés convencido que sí funciona, inténtaselo hacer a algunas personas.
En esta lección has visto dos tipos de trucos numéricos: aquellos en los cuales el resultado
es siempre un número dado, y aquellos en los cuales el número final es el mismo que el
número con el que comenzaste. Ambos tipos de trucos numéricos funcionan porque las
operaciones se “deshacen”. En el caso de los trucos numéricos donde el resultado final es
un número dado, a menudo el número con el que comienzas se resta en algún punto del
proceso.
Lee el Ejemplo B en tu libro y asegúrate de comprenderlo. Luego lee el Ejemplo C.
En el Ejemplo C, ves que aunque la suma y la resta ocurren a la misma vez en el orden de
las operaciones, debes tener cuidado de cómo haces la evaluación. La expresión 7 4 2
no es igual a 7 (4 2). (Esto se debe a que restar (4 2) es como restar el 4 y el 2.)
Aunque puedes sumar y restar en cualquier orden, a veces sirve pensar que la resta es
como sumar un negativo. Si piensas en la expresión como 7 (4) 2, tendrás más
probabilidad de evaluarla correctamente. Esta estrategia puede ser especialmente útil
al describir los pasos en un truco numérico complicado. Piensa en la expresión
5 3(x 2)
5 3(x 2)
x. Piensa en ella como x. Ahora puedes escribir los pasos
3
3
de la siguiente manera.
Escoge un número.
Súmale 2.
Multiplícalo por 3.
Súmale 5.
Dividelo entre 3.
Súmale el número original.
38
CHAPTER 2
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LECCIÓN
CONDENSADA
2.8
Deshacer operaciones
En esta lección
●
trabajarás en orden inversa para resolver ecuaciones
Hay otro tipo de truco numérico que es un poco distinto a los que aprendiste en
la lección anterior. En este tipo de truco, independientemente del número final
puedes calcular el número inicial. Por ejemplo, escoge un número y realiza esta
secuencia de operaciones. Suma 3, multiplica por 7, resta 4, divide entre 2, y suma
1. Si tu resultado final es 13, debes haber comenzado con 1. Si tu resultado final
es 0, debes haber comenzado con 2. Puedes usar el proceso de deshacer
operaciones para resolver trucos como éste.
Investigación: ¡A deshacerlo!
Pasos 1–4 Piensa en la descripción: “A mi número secreto, le sumé 6, lo dividí
entre 2, le resté 9, y lo multipliqué por 5. El resultado fue 10”. ¿Puedes calcular
el número inicial? Para calcularlo debes completar una tabla como la de abajo.
Observa cómo se usan los paréntesis para indicar la agrupación adecuada.
Descripción
Secuencia
Expresión
?
x
respuesta 6
x6
respuesta
2
x6
Resté 9.
respuesta 9
x6
9
Multipliqué por 5.
respuesta
5
x6
5 9
2
Escogí un número.
Sumé 6.
Dividí entre 2.
2
2
冢
冣
Recuerda las operaciones que se deshacen entre sí: La suma y la resta se deshacen
entre sí, y la división y la multiplicación se deshacen entre sí. Completa otra
columna para indicar la operación que le ocurre a cada operación en la columna
de Secuencia. Luego haz el trabajo de la tabla hacia arriba, comenzando con el
resultado 10, y deshaz cada operación hasta que halles el número inicial. En este
caso el número inicial era 8.
Descripción
Secuencia
Expresión
?
x
respuesta 6
x6
(6)
14
respuesta
2
x6
2
(2)
7
Resté 9.
respuesta 9
x6
9
(9)
2
Multipliqué por 5.
respuesta
5
x6
5 9
2
(5)
10
Escogí un número.
Sumé 6.
Dividí entre 2.
Deshacer
8
2
冢
Resultado
冣
(continúa)
Discovering Algebra Condensed Lessons in Spanish
©2008 Key Curriculum Press
CHAPTER 2
39
Lección 2.8 • Deshacer operaciones (continuación)
Pasos 5–6 Una ecuación es un enunciado que indica que el valor de una
expresión es igual al valor de otra expresión. Puedes usar una tabla de hacer y
x3
deshacer para resolver la ecuación 7 4 42.
x3
Ecuación: 7 4 42
Descripción Deshacer Resultado
Escoge x.
143
(3)
(3)
140
(4)
(4)
35
(7)
(7)
42
En esta investigación aprendiste sobre un método para resolver ecuaciones.
Asegúrate de comprender la diferencia entre una ecuación y una expresión. El
valor de una variable que hace que una ecuación sea válida es una solución de la
ecuación. Para algunas ecuaciones de trucos numéricos, cada número es una
solución. Sin embargo, normalmente este no es el caso. Por ejemplo, 4 es la única
solución para 2x 3 11.
Ahora trabaja el Ejemplo B de tu libro. Muestra cómo representar una situación
de la vida real con una ecuación, y luego resolver la ecuación trabajando en orden
inversa, deshaciendo cada operación hasta que llegas a la solución.
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CHAPTER 2
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