Transferencia radiativa

Capı́tulo 2
Transferencia radiativa
Versión 1 de noviembre de 2016
Los procesos de interacción entre la radiación electormagnéctica y la materia
se describen formalmente a través de la ecuación de transferencia radiativa.
Este formalismo emplea como cantidad básica la intensidad de la radiación,
que se relaciona con cantidades medibles como el flujo de energı́a; la intensidad del campo radiativo varı́a por procesos como absorción, emisión y
dispersión. Este formalismo se describe a continuación.
2.1.
2.1.1.
Definiciones
Intensidad y cantidades derivadas
La variable fundamental para la descripción del transporte de energı́a radiativa es la intensidad especı́fica, Iν , que se refiere conceptualmente a un
haz de radiación. Se define a partir del flujo de energı́a (E) por unidad de
tiempo (t), área (A), frecuencia (ν) y ángulo sólido (Ω),
dE
= Iν (k̂, ~r, t) k̂ · n̂ dΩ dν ,
dA dt
(2.1)
con n̂ la normal al elemento de área dA que atraviesa el haz, el cual se propaga en la dirección k̂. Iν es función de la posición, del tiempo, de la frecuencia
y del vector de propagación1 Iν contiene información tanto de la distribución
espacial y espectral del campo de radiación, como de su nivel de isotropı́a.
Las unidades (cgs) de la intensidad especı́fica son [erg cm−2 s−1 Hz−1 Sr−1 ].
Formalmente la combinación (k̂, ν) corresponde con el vector ~k = (2πν/c)k̂. El vector
de propagación, k̂ = ẑ cos θ +(x̂ cos φ+ ŷ sin φ) sin θ se relaciona directamente con el ángulo
sólido, dΩ = sin θdθdφ.
1
1
Figura 2.1: Todos los haces de radiación que salen de (1) con una apertura
dada por el ángulo sólido dΩ1 atraviesan la diferencial de área dA2 = r2 dΩ1 ,
siendo r la distancia entre ambos puntos. De misma manera, aquellos que
pasan por el punto (2) habiendo salido de (1) abarcan un ángulo sólido
dΩ2 = dA1 /r2 . Se desprende que dA1 dΩ1 = dA2 dΩ2 .
El formalismo de transferencia radiativa puede hacerse tanto en términos de
la frecuencia, ν, como de la longitud de onda, λ, relacionadas mediante,
Iλ dλ = Iν dν
⇒
Iλ = −
c
Iν .
λ2
(2.2)
El signo negativo indica el sentido opuesto en los intervalos de integración.
El caso en que la energı́a radiativa se conserva implica la conservación de
la intensidad especı́fica a lo largo del haz. Considerando un emisor situado
en un punto (1) y un receptor en otro punto (2), tenemos que la cantidad
de energı́a que sale de (1) y llega a (2) está dada por
dE1 = Iν1 dA1 dΩ1 dt dν ,
donde dΩ1 es el ángulo sólido que abarca el receptor (2) visto desde (1). Por
otro lado, la cantidad de energı́a recibida en (2) está dada por
dE2 = Iν2 dA2 dΩ2 dt dν .
Bajo la conservación de la energı́a se tiene dE1 = dE2 , la energı́a emitida
dentro del cono de apertura dΩ1 coincide con la captada en el área dA2 , y
2
la recibida dentro del cono de apertura dΩ2 coincide con la emitida dentro
del área dA1 . En virtud de que dA1 dΩ1 = dA2 dΩ2 (figura 2.1), tenemos
Iν1 = Iν2 .
(2.3)
La intensidad especı́fica es constante a lo largo de una trayectoria. Esto
sucede en ausencia de absorbedores o fuentes de radiación.
Partiendo de Iν se definen algunas cantidades fı́sicas asociadas a los
momentos geométricos del campo de radiación.
Intensidad media y densidad de energı́a
La intensidad media de la radiación es el promedio de la intensidad sobre
todas las direcciones; se denota como Jν , y está dada por:
Jν ≡
1
4π
Z
Iν dΩ ,
(2.4)
teniendo unidades de [erg cm−2 s−1 Hz−1 ]. La intensidad media tiene la misma forma funcional que la densidad de energı́a, uν , que se define también
integrando la intensidad sobre el ángulo sólido,
1
uν ≡
c
Z
Iν dΩ =
4π
Jν ;
c
(2.5)
el factor c nos permite pasar de flujo a densidad. La presión de radiación
tiene unidades de [erg cm−3 Hz−1 ]; representa la cantidad de energı́a por
unidad de volumen y de rango espectral en forma de radiación.
Flujo de energı́a
El flujo de energı́a es una cantidad que se mide frecuentemente de manera
observacional. Corresponde al primer momento de la distribución angular
de la intensidad,
Z
Fν ≡
Iν cos θ dΩ ,
(2.6)
teniendo unidades de [erg cm−2 s−1 Hz−1 ]. Fν representa la energı́a transportada por unidad de área, tiempo e intervalo espectral. El término en coseno
corresponde a k̂ · n̂ = cos θ, siendo k̂ la dirección de propagación de la radiación y n̂ la normal al elemento del área emisor o receptor. Para fuentes
distantes con flujo Fν , la intensidad promedio está dada por hIν i = Fν /∆Ω,
suponiendo cos θ = 1.
3
El flujo de energı́a tiene la particularidad de ser cero en el caso isotrópico.
Considerando una superficie con normal el eje ẑ, podemos definir dos componentes del flujo: la de incidencia paralela a ẑ y la de incidencia anti-paralela.
En coordenadas esféricas,
Fν+
Z 2π Z π/2
Fν−
Iν cos θ sin θdθdϕ ,
=
0
0
Z 2π Z π/2
Iν cos θ sin θdθdϕ ,
=
0
π
(2.7)
de manera que Fν = Fν+ − Fν− .
Es importante distinguir entre el flujo emitido, Fν1 , y el recibido, Fν2 ;
bajo la conservación de la intensidad se relacionan aproximadamente como
Iν ' Fν1 /∆Ω1 = Fν2 /∆Ω2 , siendo ∆Ω1 el ángulo sólido dentro del cual
se da la emisión y ∆Ω2 el ángulo sólido que abarca la fuente vista por el
observador. Generalmente se tiene ∆Ω2 ∆Ω1 , y el flujo emitido es mucho
mayor que el observado, Fν1 Fν2 .
La forma más común de medir el flujo es mediante el sistema de magnitudes, definidas de manera logarı́tmica en el óptico y bandas aledañas a
partir de:
mν = −2.5 log(Fν /Fν0 ),
siendo Fν0 un flujo de referencia para la frecuencia ν. El sistema de magnitudes se define de manera que la estrella Vega tenga magnitud cero en las
distintas bandas fotométricas. En radio-astronomı́a es más común el uso del
Jansky, que tiene la bondad de ser una unidad lineal, definida como
1 Jy ≡ 10−23 erg cm−2 s−1 Hz−1 .
Los flujos de referencia Fν0 aparecen expresados en Jy en la tabla 1.1 del
primer capı́tulo. Otra cantidad de interés en astronomı́a es el brillo del cielo,
expresado comúnmente en magnitudes por segundo de arco cuadrado, que
corresponde con la intensidad especı́fica de la emisión del cielo.
Presión de radiación
La presión de radiación corresponde al segundo momento de la intensidad,
Pν ≡
1
c
Z
Iν cos2 θ dΩ ,
(2.8)
teniendo unidades de [dyn cm−2 Hz−1 ], equivalentes a unidades de densidad
de energı́a [erg cm−3 Hz−1 ].
4
La intensidad especı́fica y sus momentos caracterizan las componentes
espectrales de un haz de radiación; pueden integrarse sobre frecuencias,
Iν dν ,
I=
Z ∞
Z ∞
Z ∞
uν dν ,
u=
Fν dν ,
F =
...
(2.9)
0
0
0
para obtener las cantidades globales.
2.1.2.
Relación con ondas electromagnéticas
En el capı́tulo 1 se definió el flujo y la densidad de energı́a de un campo
electromagnético,
~= c E
~ ×B
~ = c |E|
~ 2 k̂ ,
S
(2.10)
4π
4π
~ el vector de Poynting, que se relaciona con la energı́a recibida o emitida
con S
a través de:
Z
Z
Z
c ~ 2
~
E = S · n̂ dA dt =
|E| k̂ · n̂ dA dt = Iν k̂ · n̂ dA dt dν dΩ . (2.11)
4π
Se puede ir formalmente de la dependencia temporal de los campos a su
descripción espectral a través de la transformada de Fourier. La dependencia
~ con los campos es cuadrática, de donde se desprende que la definición
de S
se refiere al flujo por unidad de tiempo o por unidad de frecuencia,
~ −→ erg cm−2 s−1
S(t)
~
S(ν)
−→ erg cm−2 Hz−1 .
⇔
Para poder definir un flujo por unidad de tiempo y de frecuencia es necesario
considerar formalmente intervalos espectrales y temporales que satisfagan
∆ω∆t 1. Siendo ası́, podemos considerar el flujo por unidad de frecuencia
promediado por cada ciclo,
~ω =
S
E
ω D~
S(ω) −→ erg cm−2 Hz−1 s−1 .
2π
(2.12)
Un campo de radiación incorporará un conjunto de ondas electromagnéticas
propagándose en todas direcciones,
~ω (~r) =
S
X ω c ~ r, ω)|2 k̂ ,
|E(~
2π
k̂
4π
(2.13)
~ r, ω) una componente de la transformada de Fourier del campo
siendo E(~
~ r, t) y k̂ la dirección de propagación del mismo. La
eléctrico (de radiación) E(~
~ω , de manera
intensidad especı́fica Iω considera la distribución angular de S
que podemos identificarla con
Iω (~r, k̂) =
ωc
8π 2
o
d n
|E(~r, ω)|2 .
dΩ
5
(2.14)
Figura 2.2: (a) Campo isotrópico de radiación; (b) campo de una fuente
isotrópica; (c) esfera radiando semi-isotropicamente.
2.1.3.
Campo isotrópico de radiación
El cálculo de la densidad de energı́a, el flujo y la presión de radiación se hacen
considerando, con el cuidado requerido, la geometrı́a del mismo (fig. 2.2).
Radiación isotrópica corresponde a una intensidad Iν independiente de la
dirección de propagación k̂. Este caso difiere del de una fuente isotrópica,
en el cual un observador lejano ve radiación proveniente de la dirección de
la fuente y no de todas direcciones. Aquı́ el observador está immerso en el
campo de radiación, observando la misma intensidad en todas las direcciones.
Un ejemplo conocido de radiación isotrópica lo constituye el fondo cósmico
de microondas (CMB). Si Iν no depende de k̂, entonces sale de las integrales
sobre dΩ:
Jν = Iν , al ser la intensidad especı́fica igual a la intensidad media;
Fν = 0, el flujo neto de radiación es nulo, dado que rayos de luz
atraviesan una superficie dada direcciones opuestas;
Pν = uν /3, a partir de la integral de cos2 θ dΩ.
2.2.
La ecuación de transferencia radiativa
La conservación de la energı́a de un haz de radiación que se propaga entre
dos puntos (1) y (2), implica Iν1 = Iν2 . Esta igualdad se generaliza a lo largo
de una trayectoria dada por s con la relación,
dIν
= 0.
ds
(2.15)
Al considerar procesos de emisión y absorción de radiación por un medio
deja de cumplirse la conservación de la energı́a a lo largo del haz, y tenemos
6
que modificar esta relación para dar lugar a la ecuación de transferencia
radiativa. Los procesos a considerar son: emisión espontánea e inducida,
absorción y dispersión.
2.2.1.
Emisión espontánea
Un medio emite radiación como consecuencia de que sus átomos y moléculas
poseen cierta energı́a que puede provenir de choques entre las partı́culas, por
dar un ejemplo. La emisión de radiación es una forma natural de pasar a
un estado de energı́a menor, siguiendo el principio fı́sico de mı́nima energı́a.
De esta forma, la energı́a previamente adquirida por algún proceso fı́sico se
incorpora a la energı́a de un haz de radiación, siguiendo la expresión,
dE = ν dV dΩ dt dν ,
siendo ν el coeficiente de emisión, de unidades de [erg cm−3 s−1 Hz−1 Sr−1 ].
El aumento de la energı́a del haz debido a la emisión espontánea de radiación
se describe como
dIν
= ν .
(2.16)
ds
Frecuentemente la emisión espontánea es isotrópica y se describe por unidad
de masa, mediante la emisividad especı́fica:
εν = 4π ν /ρ ,
con unidades de [erg s−1 g−1 Hz−1 ], y siendo ρ la densidad de masa.
2.2.2.
Absorción y emisión inducida
El proceso de absorción de radiación puede describirse de manera probabilı́stica fotón por fotón, de forma que la intensidad de radiación absorbida
es directamente proporcional a la intensidad de la radiación incidente,
dIν
= −αν Iν ,
ds
(2.17)
donde αν es el coeficiente de absorción, con unidades [cm−1 ]. Su inverso es el
camino libre medio, `ν = 1/αν . Para describir las propiedades de absorción
de un medio en términos de la densidad numérica de absorbedores o de su
densidad de masa podemos emplear la sección eficaz, σν , de cada absorbedor,
αν = n σν ,
7
siendo n la densidad numérica de partı́culas. La sección eficaz tiene unidades
de área, [cm2 ]. Alternativamente, se usa el coeficiente de opacidad, κν , que
se relaciona con la densidad de masa,
αν = ρ κν ,
siendo las unidades de κν [g−1 cm2 ].
En condiciones muy particulares, el medio es estimulado por radiación
incidente y emite más radiación del mismo tipo. Esta emisión estimulada
es proporcional a la intensidad de la radiación incidente, y por tanto su
comportamiento es fı́sicamente análogo al de la absorción, y no al de la emisión espontánea. La emisión estimulada se describe como una contribución
negativa al coeficiente de absorción, ανestim < 0.
2.2.3.
La ecuación de transferencia radiativa y soluciones
Considerando los procesos de emisión y absorción conjuntamente, obtenemos
la ecuación de transferencia radiativa:
dIν
= −αν Iν + ν .
ds
(2.18)
En el caso sin absorción, αν = 0, la solución a la ecuación queda en términos
lineales:
Z s
Iν (s) = Iν (s0 ) +
ν (s0 ) ds0 .
s0
En el caso sin emisión, ν = 0, la solución a la ecuación de transferencia
queda como un decaimiento exponencial de la intensidad:
Iν (s) = Iν (s0 ) e−τν ,
donde τν es la profundidad óptica, que se define como:
τν ≡
Z s
αν ds0 .
(2.19)
s0
Si τν 1 se dice que el medio es transparente u ópticamente delgado;
mientras que si τν 1, el medio es opaco u ópticamente grueso.
Debido en parte a las incertidumbres en estimar distancias y tamaños de
objetos astrofı́sicos, resulta más conveniente expresar la ecuación de transferencia en términos del espesor óptico:
dIν
= −Iν + Sν ,
dτν
8
(2.20)
donde Sν ≡ ν /αν es la función fuente (emisión / absorción). Expresada de
esta forma, la ecuación de transferencia (2.20) tiene como solución formal:
Iν (τν ) = Iν (0)e−τν +
Z τν
0
0
Sν (τν0 )e−(τν −τν ) dτν0 .
(2.21)
En particular, si Sν no depende de τν se tiene:
Iν (τν ) = Iν (0)e−τν + Sν (1 − e−τν ) .
(2.22)
Para τν 1 tenemos Iν (τν ) → Iν (0); mientras que si τν 1, Iν (τν ) → Sν .
Este comportamiento es inherente a la ecuación 2.20, donde Iν pierde su
comportamiento inicial en escalas de orden τν ∼ 1, y tiende a adquirir las
caracterı́sticas del medio, descrito por la función fuente.
En el caso particular de emisión estimulada, en lugar de una atenuación
de la intensidad, se obtiene una amplificación exponencial de la misma. Podemos ver este caso tomando un coeficiente de opacidad negativo, τν = −τ ∗,
y una función fuente negativa, Sν = −Sν∗ , de donde,
Iν (τν ) = (Iν (0) + Sν∗ ) eτ ∗ ,
una amplificación exponencial para τ ∗ 1. Manifestaciones importantes de
este proceso son los máseres Galácticos y extragalácticos.
2.3.
Radiación en equilibrio termodinámico
El estudio de la interacción entre materia y radiación en equilibrio termodinámico empieza históricamente con la discusión de Kirchhoff sobre los
procesos involucrados, dando lugar a la ley de Kirchhoff y, posteriormente,
a la distribución de Planck2 . Estos procesos son descritos por la función
fuente, Sν , que en equilibrio se relaciona con la distribución de Planck.
2.3.1.
La ley de Kirchhoff
En 1859-60 Gustav Kirchhoff consideró la emisión de radiación por unidad
de tiempo en una dirección k̂, dada por una función Pe (k̂) en un punto dado
(figura 2.3, parte inferior), junto con el proceso de absorción, descrito por la
potencia de la radiación incidente, Pi (−k̂), y un coeficiente de absorción, aλ ,
que indica la fracción de la radiación absorbida por el objeto. Si el objeto
2
Lectura recomendada: ”La teorı́a del cuerpo negro y la discontinuidad cuántica: 18941912”por Thomas S. Kuhn.
9
Figura 2.3: Absorción (arriba) y emisión (abajo) de radiación dentro de un
cono de apertura dΩ en la dirección k̂.
Una fracción aλ de la radiación incidente de longitud de onda λ es absorbida.
está en equilibrio termodinámico, Pe estará dada por una función de la
temperatura y de la longitud de onda, eλ (T ), y el coeficiente de absorción
será también función de la longitud de onda y temperatura, aλ (T ). Si además
existe un equilibrio entre la radiación emitida y absorbida, y la radiación está
en estado de equilibrio termodinámico a la misma temperatura, obtenemos
la ley de Kirchhoff,
eλ (T ) = aλ (T )Kλ (T )
⇒
eλ (T )
= Kλ (T ) ,
aλ (T )
(2.23)
donde Kλ (T ) es una función de carácter universal que describe la distribución en longitud de onda de la radiación en estado de equilibrio termodinámico. Un aspecto fundamental identificado por Kirchhoff, es que el cociente
eλ /aλ depende del material, mientras que la función Kλ es independiente
del mismo. Por tanto, la ley de Kirchhoff (2.23) se cumple para cualquier
objeto en equilibrio termodinámico, independiente de sus propiedades, o de
las de la radiación incidente.
Un aspecto fundamental de la ley de Kirchhoff es el principio de balance
detallado: el equilibrio se cumple no sólo de manera global, {potencia absorbida = potencia emitida}, sino también de manera detallada: es decir para
cada dirección, intervalo de ángulo sólido, longitud de onda e incluso para
cada componente de polarización.
2.3.2.
El desarrollo de la teorı́a de cuerpo negro
Hacia 1894, Planck se advocó a la búsqueda de la función Kλ , la distribución espectral de la radiación en equilibrio termodinámico, conocido como el problema del cuerpo negro; un absorbedor ideal, definido por
10
Figura 2.4: Cuerpo negro emitiendo de manera isotrópica (rojo) después de
termalizar radiación anisotrópica incidente (en azul).
aλ = 1 ⇒ eλ (T ) = Kλ (T ), emite con esta distribución espectral y, al
no reflejar la radiación incidente, es completamente negro. En 1879 Stefan
habı́a empleado argumentos termodinámicos para mostrar que la densidad
de energı́a, u, de la radiación contenida en una cavidad de paredes negras
(figura 2.4), debı́a satisfacer u = σT 4 , siendo σ una constante. De ahı́, Wien
dedujo en 1893 que u debı́a cumplir
uλ =
4π
Kλ = λ−5 φ(λT )
c
⇒
uν =
4π
Kν = ν 3 φ(T /ν) ,
c
siendo φ una función de una sola variable. Esta es la forma original de
la ley de desplazamiento de Wien. El mismo Wien buscó la expresión que
mejor ajustara los datos experimentales de la época, proponiendo en 1896
la expresión Kλ (T ) = bλ−5 e−a/λT , con a y b constantes a determinar.
Planck hizo un estudio de la interacción entre resonadores y campos electromagnéticos. Usando consideraciones termodinámicas, demostró en 1899
que la ley de distribución de Wien cumple el principio de máxima entropı́a.
Pero experimentos con detectores infrarrojos a principios de 1900, sensibles
entre 12 y 18 µm, mostraron que la distribución de Wien es inadecuada para
longitudes de onda larga, lo que llevó a la búsqueda de una generalización
de la misma. El 19 de octubre de 1900 Planck presentó la expresión,
Kλ =
cλ−5
,
ea/λT − 1
la cual ajustó correctamente los datos experimentales, y cumple con el principio de máxima entropı́a. Esta expresión requiere que los intercambios de
energı́a de los resonadores de Planck con el campo de radiación se divida
11
en un número entero de elementos, o cuantos, de dimensiones ε = hν. En
1905, Rayleigh y Jeans mostraron por separado que el postulado cuántico
es incompatible con los principios clásicos, y que bajo el principio clásico de
equipartición de la energı́a la radiación en equilibrio termodinámico deberı́a
cumplir uλ (T ) = 8πkT /λ4 , la distribución de Rayleigh-Jeans.
2.3.3.
Espectro de la radiación de cuerpo negro
La distribución espectral de la radiación emitida por un absorbedor y emisor
perfecto en equilibrio termodinámico a una temperatura T está descrita por
la función de Planck, comunmente denotada Bν (T ), dada por
Bν (T ) ≡
2hν 3 /c2
,
ehν/kT − 1
(2.24)
donde h ' 6.626 × 10−27 erg s es la constante de Planck. La radiación
de cuerpo negro es isotrópica y no depende de la constitución del objeto,
más allá de ser negro para toda frecuencia. La función de Planck se muestra en la figura 2.5. Sus momentos pueden calcularse directamente bajo la
consideración de isotropı́a.
Intensidad media y densidad de energı́a
La intensidad media es el promedio de la función sobre el ángulo sólido por
lo que, siendo Bν isotrópica,
Jν = Bν (T )
⇒
Z ∞
J=
Jν (T )dν ≡ B(T ) =
0
σ 4
T ,
π
(2.25)
especificando también la integral sobre frecuencias, siendo σ = 2π 4 k 4 /15h3 c2 .
La densidad de energı́a es
uν =
4π
4π
Jν =
Bν (T )
c
c
⇒
u(T ) = aT 4 ,
donde a = 8π 5 k 4 /15c3 h3 ' 7.56 × 10−15 erg cm−3 K−4 es la constante de
radiación, planteada por Stefan en 1879. La constante de Stefan-Boltzmann,
definida en la ec. 2.25, es σ = ac/4 ' 5.67 × 10−5 erg cm−2 s−1 K−4 .
Flujo de energı́a
Al ser la función de Planck isotrópica, tenemos un flujo de energı́a nulo,
Fν = 0. Sin embargo, al integrar sobre medio hemisferio, de acuerdo a la
12
relación 2.7, tenemos Fν+ = πBν (T ). Esto coincide con el cálculo para una
fuente puntual isotrópica. Si integramos sobre frecuencias obtenemos,
F (T ) = πB(T ) = σT 4 .
(2.26)
Presión de radiación
Al tratarse de una emisión isotrópica, tenemos que la presión de radiación
está dada por, pν = uν /3 , de donde p = aT 4 /3 . Esta es formalmente la
ecuación de estado de un gas de radiación.
Distribución en longitud de onda
La Planckiana es una distribución de flujo por unidad espectral, descrita ya
sea en frecuencias o longitudes de onda. Para expresar (2.24) en términos
de λ es necesario conservar el flujo en la banda espectral considerada,
Bν dν = Bλ dλ .
Dado que dν = −c dλ/λ2 , la forma de la distribución de Planck en términos
de λ resulta ser:
2hc2 /λ5
Bλ (T ) = hc/λkT
.
(2.27)
e
−1
Comportamiento y punto máximo
La función de Planck es creciente con respecto a la temperatura:
∂Bν
> 0.
∂T
(2.28)
A mayor temperatura es mayor la intensidad del cuerpo negro: el flujo total,
dado por el área bajo la curva, la cual proporcionalmente como T 4 .
El máximo de Bν corresponde a hν/kT = η, siendo η la solución de
η = 3(1 − e−η ) → η ' 2.821. Debido a la dependencia en λ−5 , el máximo
de Bλ corresponde a λkT /hc = 1/ζ donde en este caso ζ es la solución de
ζ = 5(1−e−ζ ) → ζ ' 4.965. Esta relación da lugar a la ley de desplazamiento
de Wien,
λmax T ≈ 0.2898 cm K .
(2.29)
Como ejemplo, el fondo de radiación de microondas (Tcmb = 2.726±0.010 K)
tiene sus máximos de emisión en λmax ≈ 1.06 mm y νmax ≈ 160 GHz.
13
Figura 2.5: La función de Planck, Bν (arriba) o Bλ (abajo). A la izquierda
en unidades lineales y a la derecha en logarı́timicas. Las lı́neas punteadas
denotan las aproximaciones de Rayleigh-Jeans y de Wien.
Lı́mite de Rayleigh-Jeans
Para hν/kT 1 la Planckiana tiende a la función de Rayleigh-Jeans,
Iν(RJ) (T ) =
14
2ν 2
kT ,
c2
(2.30)
derivada por Rayleigh y Jeans en 1905 bajo el principio clásico de equipartición de la energı́a. Si la función de Rayleigh-Jeans fuera correcta, un
objeto a temperatura ambiente serı́a extremadamente brillante en el ultravioleta
extremo, llevando a la divergencia de su integral sobre frecuencias,
R ∞ RJ
I
dν
→ ∞, conocida en su momento como la catástrofe ultravioleta.
ν
0
Lı́mite de Wien
Para frecuencias grandes, definidas por hν/kT 1, la función de Planck
tiende a la función de Wien,
Iν(w) (T ) =
2hν 3 −hν/kT
e
,
c2
(2.31)
historicamente la primera descripción de la emisión de cuerpo negro. La
función de Wien es integrable y cumple cualitativamente con la ley de desplazamiento, λmax T = constante; pero falla a frecuencias pequeñas donde
predice incorrectamente Iν ∝ ν 3 . Para frecuencias altas la intensidad de la
radiación de cuerpo negro decrece exponencialmente con ν.
Temperaturas astrofı́sicas
La función de Planck permite asignar un valor de temperatura a una medición de flujo o intensidad, particularmente para fuentes resueltas angularmente, y valorar las condiciones fı́sicas del emisor. Los tres principales
estimadores son:
La temperatura de brillo, que se define a partir de la relación
Iν = Bν (Tb ) .
La temperatura de brillo se especifica para una frecuencia determinada. En el régimen de Rayleigh-Jeans, de uso muy común en radioastronomı́a, la temperatura de brillo es una medida del flujo,
Tb =
c2
Iν .
2ν 2 k
En radioastronomı́a la intensidad se expresa frecuentemente como una
temperatura de antena, que viene siendo el promedio de la temperatura
de brillo sobre el haz de la antena mas el ruido instrumental, caracterizado con la temperatura de ruido. Dado que la temperatura de brillo
es generalmente función de la frecuencia, no se le usa en el régimen de
Wien, donde el flujo cambia rápidamente con T .
15
La temperatura efectiva se define a partir del flujo integrado en el
emisor,
F = σ Te4 .
El flujo medido se relaciona con el emitido mediante el tamaño angular de la fuente, Fobs = Fem ∆Ωobs /∆Ωem . Para una fuente isotrópica
∆Ωem = π, mientras que ∆Ωobs = πδθ2 , siendo δθ el radio angular de
la fuente observada. En el caso del Sol, Fobs = σ Te4 δθ2 corresponde
con la constante solar, s ' 1367W/m2 .
La temperatura efectiva es una medida del flujo integrado y se usa
frecuentemente para describir tipos de estrellas. La luminosidad de
una estrella está dada por
L∗ = 4πR∗2 σTe4 .
Para el Sol Te ' 5770 K; una estrella roja tiene Te ' 3000 K, mientras
que una estrella azul puede alcanzar Te ' 30 000 K.
La temperatura de color se define a partir del espectro de cuerpo negro
que mejor ajusta a los datos en consideración, independientemente del
flujo total.
2.3.4.
Ley de Kirchhoff y radiación térmica
La ley de Kirchhoff, expresada inicialmente por la expresión (2.23), nos dice
que para un cuerpo en equilibrio el cociente entre los coeficientes de emisión
y absorción está dado por la función de Planck,
ν /αν = Bν (T ) ,
(2.32)
es decir Sν = Bν (T ). Esta relación depende sólo del equilibrio termodinámico del medio, independientemente de las caracterı́sticas de la radiación, descritas por Iν . Decimos que la radiación es térmica cuando Sν = Bν (T ).
Más aún: podemos tener un medio estrictamente fuera de equilibrio termodinámico en el que las distribuciones estadı́sticas que describen al medio
corresponden localmente con las de equilibrio termodinámico. En ese caso se
define la temperatura como un parámetro local, T (~r), que cumple la condición de equilibrio termodinámico local (ETL = LTE, en inglés). En este caso,
la función fuente es la función de Planck evaluada localmente, en términos
de coordenadas o de profundidad óptica: Sν = Bν (T (~r)), o Sν = Bν (T (τν )).
16
En el caso de radiación térmica en el régimen de Rayleigh-Jeans, la
ecuación de transferencia puede escribirse como
dIν
= −Iν + Bν (T (τν ))
dτν
⇒
dTb
= −Tb + T .
dτν
(2.33)
Por un lado, se tiene que la emisión térmica es igual a la emisión de cuerpo
negro si dIν = 0; lo cual se da para medios ópticamente gruesos, τν → ∞.
Para un medio en estricto equilibrio termodinámico, T es independiente de
τν , y la solución de la ecuación de transferencia puede expresarse como una
relación entre la temperatura de brillo y la del medio,
Tb (τν ) = Tb (0) e−τν + T (1 − e−τν ) .
La temperatura de brillo tiende a la del medio en el caso ópticamente grueso.
2.4.
Los coeficientes de Einstein
La relación entre los coeficientes de emisión y absorción descrita por la ley de
Kirchhoff proviene de una relación más fundamental entre estos procesos a
nivel microscópico, la cual se cumple independientemente del equilibrio y se
expresa a través de relaciones entre coeficientes introducidos por Einstein.
Los coeficientes de Einstein se derivan considerando un sistema cuántico
idealizado con dos niveles de energı́a: un nivel inferior 1, de energı́a E1 ,
peso estadı́stico g1 , y población n1 (numérica o por unidad de volumen);
y un nivel superior 2, de energı́a E2 , peso estadı́stico g2 , y población n2 .
Las transiciones del nivel inferior al superior son mediante la absorción de
un fotón de energı́a hν0 = E2 − E1 , y las transiciones del nivel superior al
inferior son mediante la emisión de un fotón de misma energı́a (Fig. 2.6).
Siendo que estos sistemas no pueden permanecer indefinidamente en el nivel
superior, el valor de E2 tiene una indeterminación descrita por una función
φ(ν) que representa la probabilidad de emitir o absorber un fotón de energı́a
ν cercana a ν0 (figura 2.6). La función está centrada en ν0 y el ancho natural
de la misma está dado por el principio de indeterminación, ∆E∆t ≥ h̄,
siendo ∆E = h∆ν, y ∆t el tiempo tı́pico de decaimiento desde el nivel 2.
En la práctica otros procesos pueden ensanchar la función φ(ν), como por
ejemplo la distribución de velocidades de las partı́culas y la absorción de
fotones en la frecuencia correspondiente
a este efecto Doppler térmico, con
p
un ensanchamiento ∆ν ∝ ν0 kT /mc2 .
Los procesos de interacción de este sistema con la radiación son los mismos que considera la ecuación de transferencia radiativa:
17
la emisión espontánea, caracterizada por el coeficiente A21 que mide
la probabilidad de transición por unidad de tiempo (s−1 ).
La absorción, que depende del flujo incidente de radiación, dado por
Jν para absorción isotrópica. La probabilidad de transición por absorción queda en términos del coeficiente B12 como B12 J¯ donde
J¯ =
Z ∞
Jν φ(ν) dν ,
0
representa el flujo de radiación y la respuesta del sistema.
El proceso de emisión estimulada, que depende del flujo incidente de
radiación de manera análoga al proceso de absorción: la probabilidad
de transición queda expresada en términos de un coeficiente de misma
¯
forma, B21 J.
Se dice que hay un equilibrio estadı́stico si el número de transiciones 1 → 2
es igual al de transiciones 2 → 1, es decir
n1 B12 J¯ = n2 B21 J¯ + n2 A21
⇒
J¯ =
A21 /B21
,
n1 B12 /n2 B21 − 1
(2.34)
siendo ésta una relación fundamental entre las poblaciones de los niveles y
la intensidad de la radiación. Si además se tiene el equilibrio termodinámico,
las poblaciones de los niveles se relacionan a través de la ley de Boltzmann,
n1 /n2 = (g1 /g2 )e−(E1 −E2 )/kT ,
Figura 2.6: Izquierda: sistema cuántico de dos niveles ilustrando el proceso
de emisión espontánea, emisión inducida y absorción. Derecha: función de
probabilidad de que el sistema absorba o emita un fotón de frecuencia ν.
18
de donde
J¯ =
A21 /B21
.
(g1 B12 /g2 B21 ) e−hν/kT − 1
(2.35)
Identificando esta expresión con la ley de Kirchhoff, Jν = Bν , se obtienen
las relaciones entre los coeficientes de Einstein:
g1 B12 = g2 B21 ,
A21 =
2hν 3
B21 .
c2
(2.36)
Estas son propiedades inherentes a los sistemas cuánticos, independientes
de las poblaciones de los niveles de energı́a, que relacionan de manera fundamental los procesos de emisión y de absorción. Este tipo de relaciones
se denominan relaciones de balance detallado y pueden emplearse fuera de
equilibrio termodinámico. Los coeficientes de emisión y absorción de estos
sistemas vienen dados por
ν =
hν
φ(ν)n2 A21 ,
4π
αν =
hν
φ(ν) (n1 B12 − n2 B21 ) .
4π
(2.37)
El cociente entre los coeficientes de emisión y absorción es la función fuente,
que en el caso mas general viene dada por
Sν =
n2 A21
2hν 3 /c2
=
,
n1 B12 − n2 B21
n1 g2 /n2 g1 − 1
(2.38)
independientemente de las condiciones fı́sicas del sistema. Si las poblaciones
están en equilibrio y se ajustan a la ley de Boltzmann, entonces tenemos
emisión térmica, Sν = Bν (T ), para ν alrededor de ν0 . Un caso radicalmente fuera de equilibrio es el de un sistema con una sobrepoblación del
nivel superior tal que n2 g2 < n1 g1 . El coeficiente de absorción es entonces negativo y la radiación incidente es amplificada de manera exponencial,
Iν (s) = Iν (0)e|αν |s , dando lugar a un efecto maser. Esta emisión se observa en regiones con choques que provocan poblaciones de niveles lejanas al
equilibrio termodinámico.
2.5.
Dispersión
El proceso de dispersión pura (scattering en Inglés) consiste en la absorción
y re-emisión isotrópica y coherente de radiación. El término coherente indica
que las distribuciones espectrales de la radiación incidente y dispersada son
19
iguales. La dispersión se describe mediante un coeficiente de dispersión3 ,
(d)
αν , que cumple:
(2.39)
ν(d) = αν(d) Jν ,
donde Jν es la intensidad media de la radiación. En el caso particular de
dispersión sin absorción y sin emisión espontánea tenemos Sν = Jν , y la
ecuación de transferencia queda como:
dIν
= −αν(d) (Iν − Jν ) .
ds
(2.40)
Dado que Jν es una integral de Iν , la ecuación 2.40 es de tipo integro(d)
diferencial y no es fácilmente soluble. El término αν Iν denota la fracción
de radiación “interceptada” por el dispersor, la cual es re-emitida isotrópi(d)
(d)
camente a través del término αν Jν . Nótese que si αν depende de ν, la
radiación de distribución espectral localmente, Iν (s) 6= Iν (0), aunque no lo
haga en promedio, Jν (s) = Jν (0). Un ejemplo es la dispersión de Rayleigh
en la atmósfera terrestre, función creciente con la frecuencia, que resulta en
un Sol enrojecido y un cielo azul.
En el caso de radiación térmica podemos considerar la acción conjunta de
dispersión, absorción y emisión espontánea, distinguiendo el coeficiente de
(a)
absorción como αν y suponiendo válida la ley de Kirchhoff para el término
(a)
(a)
de absorción, ν = αν Bν . La ecuación de transferencia radiativa queda
como:
dIν
= − αν(a) + αν(d) (Iν − Sν ) ,
(2.41)
ds
quedando la función fuente redefinida como:
(a)
Sν ≡
(d)
αν Bν + αν Jν
(a)
(d)
.
(2.42)
αν + αν
(a)
La emisión espontánea está contenida en el término αν Bν , mientras que
(a)
la absorción pura es αν Iν . Los términos de dispersión son aquellos proporcionales a αν (d). A la suma de los coeficientes de dispersión y absorción,
(a)
(d)
αν + αν se le denomina coeficiente de extinción. Un ejemplo concreto de
su empleo es la corrección de datos fotométricos o espectroscópicos en el
visible por extinción debida a la atmósfera terrestre.
3
(d)
Rybicki emplea σν , ν , aunque esta ya se introdujo para denotar la sección eficaz.
20
2.6.
Atmósferas plano paralelas
Una atmósfera plano-paralela está estructurada a lo largo de una sola dirección, que denominaremos ẑ (figura 2.7). Esta aproximación es útil para el
estudio de atmósferas delgadas en estrellas o planetas. Los tres casos que se
presentan son: la deducción de la ecuación de difusión radiativa; la aproximación de Eddington, incluyendo el caso de una atmósfera gris; y una solución para la transferencia de energı́a radiativa en atmósferas plano-paralelas
presentada por Simonneau.
2.6.1.
La ecuación de difusión radiativa
La ecuación de difusión radiativa se obtiene mediante la aproximación de
Rosseland, que a su vez nos conduce a una relación entre el flujo de energı́a
y el gradiente de temperatura de un medio. Se considera un medio planoparalelo estratificado cuyas propiedades fı́sicas dependen únicamente de la
coordenada z. En ese caso, la intensidad de la radiación Iν es función de z y
de µ = cos θ, siendo θ el ángulo de la lı́nea de visión con la normal al plano
del medio. Usamos ds = dz/µ , para escribir la ecuación de transferencia
como:
∂Iν (z, µ)
µ
= − (ανa + ανs ) (Iν − Sν (z)) .
(2.43)
∂z
Figura 2.7: Geometrı́a de una
atmósfera plano paralela. La
estratificación es vertical, a lo
largo de la dirección z, mientras que la lı́nea de visión corresponde a ds = (±)dz/µ, con
µ = cos θ.
21
El inverso de µ se denomina masa de aire. Podemos despejar Iν planteando
una relación propicia para un proceso de iteración,
µ
Iν = Sν − a
αν + ανs
∂Iν
∂z
.
(2.44)
A orden cero despreciamos el cambio de la intensidad con la profundidad,
(0)
(0)
(0)
por lo que tenemos Iν (z, µ) = Sν (z). Dado que Sν no depende de µ,
(0)
(0)
es isotrópica ⇒ Jν = Sν . Esto es particularmente válido para un medio
(0)
con emisión térmica, Sν = Bν . La aproximación de Rosseland consiste en
suponer que la función fuente está dada por una superposición de funciones
de Planck con T = T (z). Substituyendo en la ecuación 2.44 obtenemos, a
primer orden,
µ
dBν
(1)
.
(2.45)
Iν = Bν − a
αν + ανs
dz
Podemos entonces calcular el flujo de radiación
Z +1
2π dBν
Fν (z) = 2π
Iν (z, µ) µdµ = − a
s
α
−1
ν + αν dz
4π
dBν dT
= −
.
a
s
3(αν + αν ) dT dz
Z +1
µ2 dµ
−1
(2.46)
Si integramos sobre frecuencias obtenemos la ecuación de difusión radiativa,
F (z) = −
16σT 3 dT
,
3αR dz
(2.47)
donde, empleando las propiedades de la función de Planck, definimos la
opacidad de Rosseland como
1
≡
αR
Z ∞ 0
1
ανa + ανs
dBν
dT
dν
Z ∞
dBν
0
dT
dν .
(2.48)
La ecuación de difusión radiativa describe el flujo de energı́a originado por un
gradiente de temperatura. Esta relación de particular utilidad en el estudio
de interiores estelares.
2.6.2.
Aproximación de Eddington y atmósfera gris
La aproximación de Eddington para el análisis de atmósferas estelares supone un flujo semi-isotrópico, permitiendo describir la intensidad como una
función lineal de µ,
Iν (τν , µ) = aν (τν ) + µ bν (τν ),
22
(2.49)
Figura 2.8: Trayectorias de rayos de luz provenientes del centro del Sol o del
limbo.
donde reemplazamos αν dz por dτν , la profundidad óptica de la atmósfera
medida a lo largo de la vertical. Las funciones aν (τν ) y bν (τν ) se relacionan
con los momentos de la intensidad especı́fica, es decir la intensidad media,
el flujo de radiación y su presión
1 +1
c
Iν dµ =
uν = aν ,
2 −1
4π
Z +1
4π aν
2π
Iν µ2 dµ =
.
c −1
3 c
Z +1
Z
Jν
=
pν
=
Fν = 2π
−1
Iν µdµ =
4π
bν ,
3
En particular se tiene que campos semi-isotrópicos cumplen la misma relación entre densidad y presión de radiación que en el caso isotrópico,
1
pν = uν .
3
(2.50)
Al substituir la aproximación (2.49) en la ecuación de transferencia radiativa,
µ(∂Iν /∂τν ) = Iν − Sν , se relacionan las funciones aν y bν con Sν .
Entre las aplicaciones más conocidas de la aproximación de Eddington
está la atmósfera gris, en la que la opacidad es independiente de la frecuencia,
τν = τ . Trabajando con las funciones a y b integradas sobre frecuencia,
y suponiendo un medio térmico, S = B = (σ/π)T 4 , podemos relacionar
T = T (τ ) con la temperatura efectiva imponiendo la condición de que en la
23
frontera externa de la atmósfera, τ = 0, el flujo es solamente emergente e
igual a F = σTe4 . Se obtiene
3σ 4
2
I(τ, µ) =
,
Te µ + τ +
4π
3
3
2
T (τ ) = Te4 τ +
.
4
3
4
(2.51)
Vemos que T (0) ' 0.841Te y que T (τ ) = Te en τ = 2/3. De la forma
completa para la intensidad (2.51) obtenemos la ley de oscurecimiento al
limbo,
I(0, µ)
2
3
µ+
.
(2.52)
=
I(0, 1)
5
3
Bajo las aproximaciones de Eddington y de atmósfera gris, la intensidad en
el limbo solar debe ser 0.4 veces la observada en el centro del disco del Sol.
2.6.3.
La solución de Simonneau para el espectro de una
atmósfera plano-paralela
Edouard Simonneau (1981) presenta un tratamiento para estimar el espectro
emergente de una atmósfera estelar, dado el coeficiente de opacidad κλ , en
función de la longitud de onda4 . Para τλ 1, la ecuación de transferencia
puede escribirse como
µ
∂Iλ
= Iλ − Bλ (T (z))
∂τλ
,
(2.53)
de donde podemos aproximar
Iλ = Bλ + µ
dBλ
.
dτλ
(2.54)
Proponemos entonces para la intensidad en la superficie (τλ = 0)
(
Iλ (0, µ) =
0
para µ < 0
.
Bλ (0) + µ [dBλ /dτλ ]0 para µ ≥ 0
(2.55)
De donde calculamos el flujo en la superficie,
Z +1
Fλ (0) = 2π
−1
Iλ µ dµ = πBλ (0) +
2π dBλ
(0) .
3 dτλ
(2.56)
Nótese que en una atmósfera plano-paralela el flujo integrado es constante,
es decir independiente de z 5 .
4
siguiendo el tratamiento original usamos λ en vez de ν
el flujo integrado es aproximadamente constante para una atmósfera delgada en una
simetrı́a esférica.
5
24
Procedemos a integrar sobre λ, tomando en cuenta las definiciones de
opacidad media de Rosseland (ec. 2.48) y de Planck,
κp =
1
B(T )
Z ∞
0
κλ Bλ dλ ,
(2.57)
recordando αλ = ρκλ . Empleando la relación entre el flujo y la temperatura
efectiva, F = σTe4 ; y entre la integral de la Planckiana y la temperatura
inicial, B(T0 ) = (σ/π)T (0)4 , se obtiene:
F = πB(0) +
4π
3
κp
B(0)
κR
⇒
T (0)4 =
Te4
.
1 + 4κp /3κR
(2.58)
Podemos ahora calcular la temperatura fı́sica en la superficie, T0 = T (0), en
función de la temperatura efectiva, siempre y cuando podamos determinar
κp (ρ, T ) y κR (ρ, T ). En el ejemplo particular de una atmósfera gris, κλ = cte,
tenemos κp = κR , de donde T0 = (3/7)1/4 Te ' 0.8091 Te . Esta expresión se
compara mejor con la solución exacta, T0 ' 0.8112 Te , que la solución de la
aproximación de Eddington, T0 = Te /(2)1/4 ' 0.8409 Te .
Conocida la temperatura al borde de la atmósfera, podemos deducir el
espectro emergente (ec. 2.56) evaluando la Planckiana y su derivada:
(
ehc/λkT0
ehc/λkT0 − 1
κp
Fλ = πBλ (0) 1 +
3κλ
!
hc
λkT0
)
.
(2.59)
En el régimen de Rayleigh-Jeans Fλ ≈ πBλ (0) (1 + κp /3κλ ), siendo el espectro el de cuerpo negro en valores de λ donde el medio es opaco, κλ κp .
En la región de Wien, comúnmente en el ultravioleta,
κp
Fλ ≈ πBλ (0) 1 +
3κλ
hc
λkT0
,
siendo Fλ ∝ Bλ (0)/κλ . La mayor incertidumbre para calcular el espectro
ultravioleta radica en conocer κλ .
25