Matrices bandadas

Clase No. 7:
Matrices bandadas
MAT–251
Dr. Alonso Ramírez Manzanares
Depto. de Matemáticas
Univ. de Guanajuato
e-mail: alram@ cimat.mx
web: http://www.cimat.mx/salram/met_num/
Dr. Joaquín Peña Acevedo
CIMAT A.C.
e-mail: joaquin@ cimat.mx
Joaquín Peña (CIMAT)
Métodos Numéricos (MAT–251)
04.09.2012
1/7
Matrices bandadas
• Una matriz n × n se dice que es bandada si existen p, q ∈ N y
1 < p, q, < n, tales que aij = 0 si p ≤ j − i o q ≤ i − j.
• El ancho de banda es w = p + q + 1.
3
2
−1
0
1
c(−1, 6)
4
5
6
• Si p = q, entonces la condición es p ≤ |i − j|.
−1
0es tridiagonal.
1
2
3
• Si p = q = 2, la matriz
4
5
6
c(−1, 6)
Joaquín Peña (CIMAT)
Métodos Numéricos (MAT–251)
04.09.2012
2/7
Matrices tridiagonales
Consideremos el sistema
Ax = d
donde A ∈
Rn
tal que
b1
 a2

0

 .
A =  ..

0

0
0

c1
b2
a3
..
.
0
0
0
0
c2
b3
..
.
0
0
0
···
···
···
..
.
···
···
···
0
0
0
..
.
0
0
0
..
.
bn−2
an−1
0
cn−2
bn−1
an
0
0
0
..
.
0






,



cn−1 
bn
es decir, es tridiagonal.
• El algoritmo de solución es un caso particular de eliminación Gaussiana.
Joaquín Peña (CIMAT)
Métodos Numéricos (MAT–251)
04.09.2012
3/7
Solución del sistema tridiagonal (I)
Tenemos que
b1 x1 + c1 x2
=
d1 ,
ai xi−1 + bi xi + ci xi+1
=
di ,
an xn−1 + bn xn
=
dn
i = 2, ..., n − 1
De las dos primeras ecuaciones
b1 (
−a2 (
a2 x1
b1 x1
+b2 x2
+c1 x2
(b1 b2 − a2 c1 )x2
¯ 2 = b1 b2 − a2 c1 ,
Si b
c̄2 = b1 c2 ,
+c2 x3 )
)
+b1 c2 x3
=
=
=
b1 d2
−a2 d1
b1 d2 − a2 d1
¯ 2 = b1 d2 − a2 d1 ,
d
¯ 2 x2 + c̄2 x3 = d
¯2.
b
Con esto eliminamos x1 . Continuamos de esta forma.
Supongamos que ya hemos reducido las ecuaciones para i = 2, ..., k, de
modo que tenemos
Joaquín Peña (CIMAT)
Métodos Numéricos (MAT–251)
04.09.2012
4/7
Solución del sistema tridiagonal (II)
¯ i xi + c̄i xi+1 = d
¯i.
b
Entonces para i = k + 1 < n, tenemos
¯k (
b
−ak+1 (
+bk+1 xk+1
+c̄k xk+1
+ck+1 xk+2 )
)
=
=
¯ k dk+1
b
¯k
−ak+1 d
¯ k bk+1 − ak+1 c̄k )xk+1
(b
¯ k ck+1 xk+2
+b
=
¯ k dk+1 − ak+1 d
¯k
b
ak+1 xk
¯ k xk
b
Si
ā1 = 0,
Joaquín Peña (CIMAT)
¯ 1 = b1 ,
b
c̄1 = c1 ,
¯ i xi + c̄i xi+1
b
=
¯i
d
¯i
b
=
c̄i
¯
di
=
¯ i−1 bi − ai c̄i−1
b
¯ i−1 ci
b
=
¯ i−1 di − ai d
¯ i−1
b
¯ 1 = d1 ,
d
i = 2, ..., n − 1
Métodos Numéricos (MAT–251)
04.09.2012
5/7
Solución del sistema tridiagonal (III)
Finalmente, para i = n,
¯ n−1 (
b
−an (
Si definimos
+bn xn )
+c̄n−1 xn )
=
=
¯ n−1 dn
b
¯ n−1
−an d
¯ n−1 bn − an c̄n−1 )xn
(b
=
¯ n−1 dn − an d
¯ n−1
b
an xn−1
¯ n−1 xn−1
b
¯n = b
¯ n−1 bn − an c̄n−1 ,
b
xn =
Joaquín Peña (CIMAT)
¯n = b
¯ n−1 dn − an d
¯ n−1 .
d
¯n
d
¯n
b
¯ i − c̄i xi+1
d
¯i
b
xi
=
¯i
b
=
c̄i
¯
di
=
¯ i−1 bi − ai c̄i−1
b
¯ i−1 ci
b
=
¯ i−1 di − ai d
¯ i−1
b
i = n − 1, ..., 1
Métodos Numéricos (MAT–251)
04.09.2012
6/7
Una condición suficiente
¯ i es esencial.
La hipótesis de que podemos dividir entre b
Una condición suficiente es que la matriz sea diagonal dominante,
|bi | ≥ |ai | + |ci | para i = 2, ..., n − 1, y
|b1 | > |c1 |, |bn | > |an |,
¯ i 6= 0:
Esto garantiza que b
Joaquín Peña (CIMAT)
ai ci 6= 0 para i = 2, ..., n − 1.
Métodos Numéricos (MAT–251)
04.09.2012
7/7
Una condición suficiente
¯ i es esencial.
La hipótesis de que podemos dividir entre b
Una condición suficiente es que la matriz sea diagonal dominante,
|bi | ≥ |ai | + |ci | para i = 2, ..., n − 1, y
|b1 | > |c1 |, |bn | > |an |,
¯ i 6= 0:
Esto garantiza que b
ai ci 6= 0 para i = 2, ..., n − 1.
¯ 1 | = |b1 | > |c1 | = |c̄1 |.
Tenemos que |b
¯ i | ≥ |c̄i | para i = 1, ..., k < n − 1.
Supongamos que |b
¯ i−1 ci | > 0 para i = 2, ..., k. Entonces
Note que |c̄i | = |b
¯ k+1 |
|b
≥
¯ k bk+1 − ak+1 c̄k | ≥ |b
¯ k | |bk+1 | − |ak+1 | |c̄k |
|b
¯
¯ k | − |c̄k |) + |b
¯ k ||ck+1 |
|bk |(|ak+1 | + |ck+1 |) − |ak+1 | |c̄k | = |ak+1 |(|b
=
¯ k | − |c̄k |) + |c̄k+1 | > 0
|ak+1 |(|b
=
Joaquín Peña (CIMAT)
Métodos Numéricos (MAT–251)
04.09.2012
7/7