la demostraci´on matem´atica. demostraci´on por inducci´on y forma

Capı́tulo 1
LA DEMOSTRACIÓN
MATEMÁTICA.
DEMOSTRACIÓN POR
INDUCCIÓN Y FORMA
FUERTE DEL PRINCIPIO
DE INDUCCIÓN (O
INDUCCIÓN
COMPLETA)
1.1.
Método de demostración por inducción
Se trata de demostrar una proposición, P , del tipo ∀ n ∈ N se verifica P (n),
siendo P (n) una propiedad que se refiere al número natural n.
Se procede como sigue:
1. Se comprueba que P (1) es cierta, es decir la proposición se verifica cuando
n = 1.
2. Se demuestra que si P (h) es cierta entonces P (h + 1) es cierta también,
es decir, que si se verifica la proposición para un número h, a esto es lo
que llamamos hipótesis de inducción (H.I.), también se verifica para el
siguiente (h + 1), a esto lo llamamos, tesis de inducción (T.I.) .
1
Es claro que si hemos conseguido 1. y 2. entonces P (n) es cierta para cada nn
(si es cierta P (1), entonces por 2., es cierta P (2), y entonces, por 2., es cierta
P (3),...
Ejemplo 1.1.1. Demostrar por inducción la siguiente igualdad:
n
X
k2 =
n(n+1)(2n+1)
6
k=1
1. Lo podemos escribir como
12 + 22 + 32 + . . . + (n − 1)2 + n2 =
n(n+1)(2n+1)
6
Comprobamos si P (1) es cierto. P (1) es
12 =
1(1+1)(2,1+1)
6
que resulta cierto.
2. Tenemos que demostrar que si se verifica P (h), es decir suponiendo que
12 + 22 + 32 + . . . + (h − 1)2 + h2 =
h(h+1)(2h+1)
6
entonces veamos si se cumple P (h + 1) es decir
12 + 22 + 32 + . . . + (h − 1)2 + h2 + (h + 1)2 =
(h+1)((h+1)+1)(2(h+1)+1)
6
Entonces:
12 +22 +32 +. . .+(h−1)2 +h2 +(h+1)2 = (aplico la H.I.) =
h(h+1)(2h+1)
+(h+1)2
6
Pero esto se reduce a ver, con pocas cuentas, que:
(h + 1)((h + 1) + 1)(2(h + 1) + 1) + 1) − [h(h + 1)(2h + 1) + 6(h + 1)2 ] = 0
1.2.
Forma fuerte del principio de inducción
Se llama ası́ porque la hipótesis es algo más fuerte. En el paso de k a k + 1
debemos suponer que la afirmación no solo es cierta para k sino que la afirmación
es cierta hasta k.
2
Ejemplo 1.2.1. Haciendo uso del PIC (principio de inducción completa o
fuerte) demostrar que cualquier número natural mayor que 1 se puede escribir
como producto de números primos.
Ahora como n > 1, nuestro P (1) es verificar que la propiedad se cumple para
n = 2, lo cual es obvio por ser 2 primo.
Ahora distinguimos dos casos:
Si n es primo, la propiedad es trivial, pues descompone el mismo en factores
primos.
Si n no es primo, entonces podemos descomponer n como n = k.l siendo
2 ≤ k, l < n. Ahora aplicamos la H.I. del principio de inducción completa que
nos dice que todo número natural menor que n se puede descomponer en factores primos. Por tanto k y l descomponen en factores primos, y ası́ n también
descompone en factores primos.
3
Capı́tulo 2
ANÁLISIS
COMBINATORIO
2.1.
Introducción
Regla de la Suma.- Si un objeto .A”se puede elegir de mm maneras distintas y el objeto ”B”de n, entonces .A o B”se pueden elegir de m + n maneras.
Regla del Producto.- Si un objeto .A”se puede elegir de m maneras distintas y para cada una de ellas podemos elegir ”B”de n maneras, entonces .A y
B”se pueden elegir, en ese orden, de m.n maneras distintas.
Proposición 2.1.1. Pares ordenados: Con m elementos diferentes entre
sı́ {a1 , . . . , am } y n elementos también diferentes entre si {b1 , . . . , bn } es posible
formas mn pares ordenados (ai , bj ) conteniendo un elemento de cada grupo.
DEMOSTRACIÓN.Agrupando todos los pares en una tabla con m filas y n columnas de modo
que (ai , bj ) se coloque en la fija i, columna j, resulta que toda la tabla queda
completamente ocupada y cada par sólo aparece una vez, de donde se deduce que
hay un total de mn pares posibles.
4
Remark 2.1.1. Observa que este último resultado nos está dando el número de
elementos que contine el producto cartesiano A × B de dos conjuntos con m y
n elementos respectivamente:
A × B = {a1 , a2 , . . . , am } × {b1 , b2 , . . . , bn } = {(ai , bj ) | 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n}
Proposición 2.1.2. (r-tuplas): Dados n1 elementos diferentes entre sı́, {a1 , a2 , . . . , an1 },
n2 elementos también distintos entre sı́ {b1 , b2 , . . . , bn2 }, etc..., hasta nr elementos diferentes entre sı́ {v1 , v2 , . . . , vr } entonces el número total de r −
tuplas (ai1 , bi2 , . . . , vir ) conteniendo un elemento de cada clase es el producto n1 n2 . . . nr .
DEMOSTRACIÓN.Si r = 2 la afirmación se reduce al caso de pares ordenados de la proposición
anterior. Para r=3 podemos considerar (ai , bj ) como un elemento de una nueva clase, en la que hay n1 n2 elementos diferentes y considerar que cada terna
(ai , bj , ck ) está formada por el par que consta de (ai , bj ) con ck ; el número de
ternas es por tanto, (n1 n2 )n3 . Procediendo por inducción se concluye la afirmación para cualquier r.
Remark 2.1.2. Este último resultado nos está dando el número de elementos que
contiene el producto cartesiano A × B × . . . × V de r conjuntos con n1 , n2 , . . . , nr
elementos cada uno, respectivamente.
Como consecuencia de la proposición anterior podemos afirmar lo siguiente:
Al efectual r selecciones sucesivas, con nk posibilidades en la k-ésima etapa,
se produce un total de n1 n2 . . . nr resultados diferentes
2.2.
Muestras ordenadas
Consideremos un conjunto o ”población.A de N elementos distintos entre sı́:
A = {a1 , . . . , aN }
5
Cualquier reordenación (ai1 , ai2 , . . . , ain ) ∈ A×A×. . .×A, de n de esos elementos
se denomina muestra ordenada de tamaño n extraı́da de la población A.
Desde un punto de vista intutitivo podemos suponer que los elementos se
eligen de uno en uno (el primero será ai1 , el segundo ai2 y ası́ sucesivamente).
Entonces vemos que hay dos procedimientos de elección el primero es el:
Muestreo con reposición.- En el que cada elección se hace de la población
completa A, por lo que cada elemento puede aparecer varias veces en la muestra
(puede ser por ejemplo ai1 = ai2 = a1 ), es decir, están permitidas las repiticiones
y como consecuencia de estos se pueden obtener muestras con un tamaño n
superior al de la población n > N .
Muestreo sin reposición.- Aquı́ el elemento que se elija para formar parte
de la muestra se elimina de la población completa y ya no se puede seleccionar
en las siguientes etapas, por lo que en la muestra no puede haber repiticiones.
Es obvio que en este caso el tamaño de la muestra no puede ser superior al de
la población sino menor o igual.
Proposición 2.2.1. De una población con N elementos se pueden extraer N n
muestras ordendas con reposición, mientras que para el muestreo sin reposición
su número es (N (N − 1)(N − 2) . . . (N − n + 1).
DEMOTRACIÓN.Si el muestreo es con reposición es claro que en cada uno de las n etapas
hay N posibilidades de elección, por lo que el número de muestras posibles será:
N.N . . .n . . . N = N n
En cambio, si el muestreo es sin reposición hay N posibilidades en la primera
etapa, N-1 en la segunda etapa, N-2 en la tercera etapa, y ası́, sucesivamente,
por tanto el número de muestras ordenadas será:
N (N − 1)(N − 2) . . . (N − n + 1)
2.3.
Variaciones
Definición 2.3.1. Variaciones ordinarias. Dado un conjunto o polabción
A = {a1 , . . . , aN }, con N elementos u objetos DISTINTOS, se llaman varia-
6
ciones, variaciones ordinarias o variaciones sin repetición de esos N elementos tomados de n en n a las distintas selecciones ordenadas que se pueden
formar al tomar n de ellos sin que se repita ninguno de ellos; ası́ pues, en cada
grupo entran n elementos de los N que hay, son elementos distintos entre si y
un grupo se diferencia de otro bien en un elemento o bien en el orden de
colocación de éstos.
Proposición 2.3.1. El número de variaciones ordinarias de N elementos tomados de n en n, que denotaremos con VN,n es:
VN,n = N.(N − 1)(N − 2) . . . (N − n + 1) =
N!
(N −n)!
DEMOSTRACIÓN.Basta tener en cuenta que el primer elemento de la variación lo podemos
elegir entre los N que hay en total, el segundo puede ser uno cualquiera de los
N − 1 restantes (pues no podemos repetir el primero), el tercero lo podemos
elegir entre los N − 2 que quedan, y ası́ sucesivamente hasta completar los n que
formen la variación.
Ejemplo 2.3.2. Con las cifras 1, 3, 5 y 7, ¿cuántos números de tres cifras
distintas pueden formarse? ¿Cuáles son estos números?
A = {1, 3, 5, 7} ⇒ N = 4 luego
V4,3 = 4,3,2 = 24
135, 137, 153, 157, 173, 175,
315, 317, 351, 357, 371, 375,
513, 517, 531, 537, 571, 573,
713, 715, 731, 735, 751, 753.
Ejemplo 2.3.3. En una competición de natación participan 9 deportistas y se
establece medalla de oro, de plata y de bronce. ¿De cuántas formas pueden subir
al podio los nadadores?
7
Son ordenacions de 3 nadadores tomas de entre los 9, por tanto:
V9,3 = 9,8,7 = 504
Definición 2.3.2. Variaciones con repitición: Dado un conuunto A con N
elementos distinos, A = {a1 , a2 , . . . , aN }, se llaman variaciones con repetición
de esos N elementos tomados de n en n a las distintas selecciones ordenadas que
se pueden formar al tomar n cualesquiera de ellos, repetidos o no. Ası́, pues,
en cada grupo entran n elementos, iguales o no de los N que hay en
el colectivo A, de modo que un grupo se diferencia de otro bien en un
elemento al menos o bien en el orden de colocación de éstos.
Remark 2.3.1. Como en las variaciones con repetición ingluyen los elementos
que intervienen, su orden y además pueden repetirse, resulta que cada variación
con repetición de los elementos de un conjunto A tomados de n en n puede
considerarse como un elemento del producto cartesiano A×A×. . .n . . .×A = An
Proposición 2.3.4. El número de variaciones con repetición de N elementos
tomados de n en n es
V RN,n = N.N. . . .n . . . N = N n
DEMOSTRACIÓN.Teniendo en cuenta que las variaciones con repetición de los elementos de un
conjunto A, que consta de N elementos, las podemos identificar con elementos
del producto cartesiano A×A×. . .n . . .×A, es claro que el número de estas será el
que nos dice la proposición pues para la primera componente podemos elegir
cualquiera de los N elementos de A, para la segunda componente podemos volver
a elegir cualquiera de los elementos de A y ası́ sucesivamente hasta completar
la correspondiente n-tupla o variación con repetición.
Ejemplo 2.3.5. Se lanza una moneda cuatro veces. ¿Cuántos resultados puedne
producirse? ¿Cuáles son esots resultados?
8
Como cada resultado es una ordenación de cuatro letras entre caras (C) y
cruces (X) es:
V R2,4 = 24 = 16
Los resultados posibles son:
CCCC, CCCX, CCXC, CCXX, CXCC, CXCX, CXXC, CXXX,
XCCC, XCCX, XCXC, XCXX, XXCC, XXCX, XXXC, XXXX
Ejemplo 2.3.6. Con las cifras 1, 3, 5 y 7, ¿cuántos número de tres cifras
distintas pueden formarse? ¿Cuánto suman todos ellos?
Números posibles:
V R4,3 = 43 = 64
Colocados estos números dispuestos para la suma, en la posición de las unidades
aparecerás 16 unos, 16 treses, 16 cincos y 16 sietes que suman:
16,1 + 16,3 + 16,5 + 16,7 = 16(1 + 3 + 5 + 7) = 16,16 = 256,
igual sumarán las decenas y las centenas, por lo que la suma de todos será:
256 + 10,256 + 100,256 = 111,256 = 28416
2.4.
Permutaciones
Definición 2.4.1. Permutaciones ordinarias: Dado un conjunto finito y no
vacı́o A con N elementos, se llaman permutaciones, permutaciones ordinarias
o permutaciones sin repetición de esos N elementos a las distitnas selecciones
ordenadas que se pueden formar con todos ellos.
Ası́ pues, en cada grupo entran los N elementos de A y un grupo se diferencia
de otro en su orden de colocación; En otras palabras, las permutaciones de N
elementos coinciden con las variaciones ordinarias de esos elementos tomándolos
todos a la vez (de N en N ). Debido a esto último opdemos determinar fácilmente
el número PN de las permutaciones de N elementos distintos:
PN = VN,N = N.(N − 1)(N − 2) . . . 2,1 = N !
9
Ejemplo 2.4.1. Con las cifras 0,1,2,3 y 4, ¿cuántos números de cinco cifras
distintas pueden formarse?
Permutanto estas cinco cifras tendremos:
P5 = 51 = 5,4,3,2,1 = 120,
y restando las que empiezan por cero,
P4 = 4! = 4,3,2,1 = 24,
resultan
120 − 24 = 96,
números.
Definición 2.4.2. Permutaciones de N elementos con repetición.- Al
igual que hemos hecho en el caso de las variaciones, podemos suoner permutaciones con repetición de los elementos, de modo que las permutaciones de N
elementos con repetición no son sino las vairaciones con permutación de esos N
elementos tomados de N en N. En consecuencia su número será:
P RN = VN,N = N N
Con k letras distintas l1 , l2 , . . . , lk , repetimos n1 veces la letra l1 , n2 veces la
letra l2 , . . . nk veces la letra lk , es decir, disponemos de un total de m = n1 +
n2 + . . . + nk letras. Se trata de establecer cuántas palabras, tengan significado
o no, podemos formar con las m letras. Este número, que corresponde al de
permutaciones con repetición de m elementos entre los que se repiten
n1 , n2 , . . . nk se puede determinar del siguiente modo:
n1 ,n2 ,...nk
=
P Rm
m!
n1 !n2 !...nk !
También se le llama variaciones con repetición restringida. Por
ejemplo, tenemos un conjunto A con N elementos A = {a1 , a2 , . . . , aN },
10
y tomamos n de ellos con repetición, de forma que a1 aparezca n1
veces, a2 aparezca n2 veces, ... con ni ≥ 0 para cada i, y n1 + n2 + n3 +
. . . + nN = n, entonces los distintos grupos o selecciones que se pueden
formar se dice que son variaciones de repetición restringida.
Proposición 2.4.2. El número V R(N ; n1 , n2 , . . . , nN ) de las variaciones con
repetición restringida de N objetos diferentes de forma que el primero parezca
n1 veces, el segundo n2 veces ... está dado por :
V R(N ; n1 , n2 , . . . , nN ) =
(n1 +n2 +...+nN )!
n1 !n2 !...nN !
DEMOSTRACIÓN
Sea A = {a1 , a2 , . . . , aN } el conjunto con cuyos elementos vamos a formar
esas variaciones con repetición restringida y sea x el número de ellas. Formemos
un nuevo conjunto B con n elementos distintos (n = n1 + n2 + . . . + nN ) de
forma que n1 de ellos van a representar a a1 , n2 de ellos representarán a a2 ,
n3 de ellos representarán a a3 ... Si formamos una permutación ordinaria con
los n elementos de B y sustituimos a continuación los elementos de B por
los elementos de A que representan obtendremos una variación con repetición
restringida de los elementos de A, ahora bien aunque permutemos entre sı́ los
n1 representantes de a1 o permutemos entre sı́ los n2 representantes de a2 o
los n3 de a3 etc ... resultará que todas esas permutaciones de los elementos de
B conducirán a la misma variación con repetición restringida de los elementos
de A, es decir, hay n1 !n2 !n3 ! . . . nN ! permutaciones de los elementos de B que
conducen a la misma variación con repetición restringida de los elementos de
A; por tanto podemos escribir que;
V R(N ; n1 , n2 , . . . nN ) = x =
n!
n1 !n2 !...nN !
=
(n1 +n2 +...+nN )!
n1 !n2 !...nN !
Ejemplo 2.4.3. Reordenando las letras de la palabra PATATA, ¿cuántas palabras pueden formarse?
11
Son seis letras en las que hay repetición, luego
P R(6; 3, 2, 1) =
6!
3!2!1!
= 60
Ejemplo 2.4.4. ¿Cuántas quinielas diferentes podemos ofrmas de modo que
contengan 8 unos, 4 equis y 2 doses?
P R1 48,4,2 =
2.5.
14!
8!4!2!
= 45045
Números combinatorios
Para designar el número de subconjuntos con n elementos de un
¡ ¢
conjunto A cuyo cardinal es N se suele utilizar el sı́mbolo N
n , llamado número combinatorio, que como acabamos de ver su valor es
precisamente CN,n , es decir, el número de combinaciones ordinarias
de N elementos tomados de n en n:

µ ¶  N (N −1)...(N −n+1)
N
n!
=

n
1
si n > 0
si n = 0
Esta última expresión de un número combinatorio permite calcularlo incluso cuando N no sea un entero prositivo, por lo que se
¡ ¢
suele definir el número α
n para cualquier α ∈ R utilizando la relación
anterior:

µ ¶ 
α
=

n
Remark 2.5.1. Observa que
α(α−1)...(α−n+1)
n!
¡N ¢
n
si n > 0
1 si n = 0
= 0 cuando tanto N como n son números nat-
urales y N < n, pues en este caso se tendrá un factor nulo en el producto
N (N − 1) . . . (N − n + 1). Estos números combinatorios suelen también denominarse coeficientes binomiales del binomio (1 + x)α .
12
Teorema 2.5.1.
¡α¢
n
es el coeficiente de xn en el desarrollo en serie de potencias
del binomio (1 + x)α , es decir:
(1 + x)α =
∞ µ ¶
X
α
n=0
n
xn
siendo la serie absolutamente convergente para todo α ∈ R y |x| < 1.
Corolario 2.5.2. Para N ∈ N y x ∈ R se tiene que:
µ ¶ µ ¶
µ ¶
µ ¶
N
N
N 2
N N
N
(1 + x) =
+
x+
x + ... +
x
0
1
2
N
DEMOSTRACIÓN.- Teniendo en cuenta el teorema anterior y que
¡N ¢
n
va a
ser cero para n > N deducimos la igualdad entre ambos miembros para |x| < 1,
pero como ambos miembros son polinomios de grado N que coinciden en todos
los puntos del intervalo (−1, 1) también coincidirán para todo x ∈ R, según
establece el teorema fundamental del álgebra ( que die ques i dos polinomios
reales de grado N coinciden en N+1 puntos diferentes, entonces coinciden en
toda la recta real).
Corolario 2.5.3.
µ ¶ µ ¶ µ ¶
µ ¶
N
N
N
N
+
+
+ ... +
= 2N
0
1
2
N
para todo N ∈ N.
Es consecuencia del corolario anterior tomando x = 1.
Proposición 2.5.4. Para N y n enteros tales que N ≥ n ≥ 0 se tiene que:
µ ¶ µ
¶
N
N
!
=
= n!(NN−n)!
n
N −n
DEMOSTRACIÓN.Para n = 0 y n = N es inmediato probar que se cumple la citada relación,
en los demás casos, tenemos:
13
µ ¶
N
=
n
N (N −1)...(N −n+1)
n!
=
N (N −1)...(N −n+1)(N −n)!
n!(N −n)!
=
N!
n!(N −n)!
y análogamente
µ
N
N −n
¶
=
N (N −1)...(n+1)
(N −n)!
=
N (N −1)...(n+1)n!
(N −n)!n!
=
N!
n!(N −n)!
con lo que obtenemos el resultado.
Proposición 2.5.5. Para α ∈ R y n ∈ N se verifica que
µ ¶ µ
¶ µ
¶
α
α
α+1
+
=
n
n+1
n+1
DEMOSTRACIÓN.- Para n = 0 resulta inmediato, pues:
µ ¶ µ ¶
µ
¶
α
α
α+1
+
=1+α=
0
1
1
y para n > 0 tenemos que:
µ ¶ µ
¶
α
α
+ α(α−1)...(α−n+1)(α−n)
=
+
= α(α−1)...(α−n+1)
n!
(n+1)!
n
n+1
¡
¢
¡
¢
α(α−1)...(α−n+1) (n+1)+ α(α−1)...(α−n+1)(α−n)
=
=
(n+1)!
¡
¢
µ
¶
α+1
α(α−1)...(α−n+1) (n+1+α−n)
=
=
(n+1)!
n+1
Remark 2.5.2. Esta última proposición permite calcular de forma rápida y sen¡ ¢
cilla los números combinatorios N
n para ello, se disponen los cálculos como
sigue:
14
µ ¶
0
0
µ ¶ µ ¶
1
1
0
1
µ ¶ µ ¶ µ ¶
2
2
2
0
1
2
µ ¶
3
0
µ ¶
4
0
µ ¶ µ ¶ µ ¶
3
3
3
1
2
3
µ ¶ µ ¶ µ ¶
4
4
4
1
2
3
µ ¶
4
4
.................................
Cada número combinatorio, en virtud de dicha propiedad, resulta igual a la
suma de los dos números que se encuentran inmediatamente sobre él; de esta
manera se obtienen la siguiente tabla triangular, conocida con el nombre de
triángulo aritmético, de Tartaglia o de Pascal:
1
1 1
1 2
1 3
1
3
15
1
1 4
6
4 1
.................................
2.6.
Combinaciones
Definición 2.6.1. Se llaman combinaciones, combinaciones ordinarias o combinaciones sin repetición de N elementos diferentes, tomados de n en n, a los
distintos grupos que se pueden ofrmar con los N elementos de tal manera que en
cada grupo entren n elementos diferentes y que un grupo se diferencie
de los demás en un elemento por lo menos.
El número de combinaciones ordinarias de N elementos tomados de n en n
es:
CN,n =
VN,n
n!
=
N.(N −1)....(N −n+1)
n!
=
µ ¶
N
n
donde suponemos N ≥ n > 0
DOS CONJUNTOS SE DIFERENCIAN ENTRE SI POR TENER
ALGÚN ELEMENTO DIFERENTE Y NO POR EL ORDEN EN
QUE ÉSTOS FIGUREN. Debido a esto, las combinaciones ordinarias
de n elementos tomados de n en n se pueden interpretar como los
subconjuntos de n elementos que se puedne formar a partir de un
conjunto que posea N. También pueden interpretarse como muestras
de tamaño n, sin reposición, en las que no se tiene en cuenta el orden
de sus elementos para diferenciar uno de otra.
Ejemplo 2.6.1. De una clase de 25 alumnos hay que elegir cuatro para formar
una comisión que se encargue de organizar una excursión. ¿De cuántas formas
puede formarse?
16
Como se trata de elegir un subconjunto de cuatro alumnos, y no interviene
el orden, son
C25,4 =
V25,4
P4
=
25,24,23,22
4,3,2,1
= 12650 maneras
Ejemplo 2.6.2. Disponemos de 12 bolas diferentes y dos cajas: a)¿De cuántas
formas se pueden colocar 7 bolas en una caja y 5 en la otra? b) ¿De cuántas se
pueden colocar 5 bolas en cada caja?
a) Eligiendo 7 de las 12 bolas para una caja, las restantes irán a la otra caja,
luego
V12,7
P7
C12,7 =
=
12,11,10,9,8,7,6
7,6,5,4,3,2,1
= 792
b) Debemos elegir primero las dos bolas que no entrarán en ninguna caja, y
por cada elección de éstas, elegiremos las 5 que entrarán en la primera caja,
ası́ tenemos que:
C12,2 .C10,5 =
12,11 10,9,8,7,6
2,1 . 5,4,3,2,1
= 16632 f ormas
Definición 2.6.2. (Combinaciones con repetición) Se llaman combinaciones con repetición de N elementos diferentes tomados de n en n, a bf los
distintos grupos que se pueden formar de tal manera que en cada grupo entren
n de los N elementos dados, repetidos o no, y que un grupo se diferencie de otro
en un elemento por lo menos.
Las combinaciones con repetición se pueden considerar como muestras de
tamaño n, tomadas con reposición de una población de tamaño N, en las que
no se tiene en cuenta el orden de sus elementos para diferenciar una muestra de
otra.
El número de combinaciones con repetición de N elementos tomados de n en
n es :
CRN,n = CN +n−1,n
17