Tema: Límites de las funciones Objetivos: Comprender el concepto

Tema: Límites de las funciones
Objetivos:
 Comprender el concepto de límite de una función y las propiedades de los límites.
 Calcular el límite de una función algebraica utilizando las propiedades de los
límites.
 Graficar funciones asintóticas aplicando límites infinitos y límites al infinito.
Contenido:
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Concepto de límite de una función
Propiedades de los límites de una función
Limites bilaterales de una función
Limites infinitos y al infinito
Asíntotas verticales y horizontales
Graficas de funciones racionales
Límite de una función
Se desea estudiar el comportamiento de una función a medida
independiente “x” se aproxima a un valor específico.
Dada la función
que la variable
, observar que f (x) no está definida para x = 2.
Examinar a continuación la función cuando “x” toma valores cerca de 2 pero no igual a 2.
Si x toma valores a la izquierda de 2
(X<2, pero bien próximos a 2)
x
1.9
1.99
1.999
f(x)
4.9
4.99
4.999
Si x toma valores a la derecha de 2
(x>2, pero bien próximos a 2)
x
2.1
2.01
2.001
f(x)
5.1
5.01
5.001
En la tabla anterior se observa que, conforme “x” toma valores más cercanos a 2, los
valores de f(x) se acercan cada vez más al número 5.
Es decir que el límite de f(x) cuando “x” se aproxima al valor de 2 es 5.
De manera general; para cualquier función “f” se puede decir que el límite de f(x) cuando
“x” tiende al valor “a”, es “L”.
Propiedades de los límites:
1. Límite de una función constante
2. Límite de una potencia
3. Límite de una constante por una función
4. Límite de una suma o diferencia
5. Límite de un producto
6. Límite de un cociente
7. Límite de una raíz
Limites unilaterales
Existen algunas funciones que solo pueden tener un límite llamado unilateral, ya sea
cuando la variable “x” se aproxima al valor de a pero que estos sean mayores o cuando la
variable “x” se aproxima al valor de “a” pero que estos sean menores.
a. Limite unilateral por la derecha
b. Limite unilateral por la izquierda
Limite bilateral de una función
Se dice que una función tiene límite bilateral, si el limite unilateral por la derecha es igual
al límite unilateral por la izquierda.
Ejemplo: Determine los límites de la siguiente función
Grafica de f(x):
Hallar el límite unilateral de f(x) por la derecha de 1
Hallar el límite unilateral de f(x) por la izquierda de 1
Como los límites unilaterales de f(x) son distintos se dice que el límite bilateral no existe.
Limites infinito
Existen algunas funciones racionales que al tratar de evaluar si tienen límites cuando “x”
se aproxima a un valor “a”, resulta que la función crece o decrece sin límite. En este caso
se dice que el límite de la función es infinito y se representa con el símbolo
.
Ejemplo:
Solución:
El límite del numerador es 3 por ser una constante. El denominador es cero, pero debe de
evaluarse para valores de x mayores que 2. Si x = 3 entonces (x - 2) = (3 - 2) = 1, se
concluye que el denominador tiende a cero a través de valores positivos (0+).
resulta de dividir el signo del numerador y el signo del denominador
.
El límite del numerador es 3 por ser una constante. El denominador es cero, pero debe de
evaluarse para valores de x menores que 2. Si x = 1 entonces (x - 2) = (1 - 2) = - 1, se
concluye que el denominador tiende a cero a través de valores negativos (0 -).
resulta de dividir el signo del numerador y el signo del denominador
Conclusión:
Si los signos de los límites unilaterales resultan negativos se pone
positivos se ponen
.
y si fueran
.
Limites al infinito:
Para evaluar limites de funciones cuando x tienden a valores muy grandes o muy
pequeños, primero se divide tanto el numerador como el denominador entre la mayor
potencia de x que se presenta en el denominador, luego se aplica el siguiente teorema
Si p es cualquier entero positivo, entonces:
Asíntota vertical
La recta de ecuación x = a es una asíntota vertical (A.V.) de la grafica de la función f(x) si al
menos una de las siguientes proposiciones es verdadera:
Asíntota horizontal
La recta de ecuación y = b es una asíntota horizontal (A.H.) de la grafica de la función f(x) si
al menos una de la siguientes proposiciones es verdadera.