PRÁCTICA 4

PRÁCTICA 4
1.- Determine la expresión de la demanda del bien x1 para la siguiente función de
utilidad: · · Para calcular la del bien x1 hay que resolver el problema de maximización de la utilidad
condicionada a la renta disponible que dispone un consumidor:
max · · . . · · Para transformar este problema de maximización condicionada en un problema de
maximización libre hay que formar y maximizar el siguiente lagrangiano:
· · · · · Las tres condiciones de primer orden (CPO) son:
· · ! · · 0
!
# · · · · 0
· · 0
De las dos primeras CPO operando y simplificando se obtiene la condición de
tangencia:
· · ! · !
# · · · $
· ! · · # · ·
$ #
·
Incluyendo esta condición en la tercera ecuación del sistema de ecuaciones se obtiene:
· ·
· # · ·
$ ·#
·
% &
Como vemos la cantidad demandada del bien x1 depende positivamente de la renta del
individuo y del parámetro , y negativamente del precio del bien x1 y del parámetro #
Microeconomía Intermedia. Curso 2011/2012
Facultad de Derecho y Ciencias Sociales de Ciudad Real (UCLM)
Profesor: Julio del Corral Cuervo
PRÁCTICA 4
2.- Sea un consumidor con una función de utilidad U=x12x2. Sabiendo que el
consumidor gasta toda su renta en estos dos bienes, que tiene una renta de 600
u.m. y los precios de los bienes son p1=2 y p2=5. Se pide, si el precio del bien x1
disminuye hasta 1 u.m., obtener las cantidades de x1 y x2 que maximizan ahora la
utilidad del consumidor, y descomponer la variación de la cantidad consumida de
x1 en efecto renta y efecto sustitución:
a) Utilizando el método de Slutsky
Lo primero que hay que hacer es ver la cantidad de x1 que maximiza la utilidad del
consumidor tanto con la restricción inicial como con la final. De esta forma sabremos
cual es el efecto total.
Hay que resolver el sistema de ecuaciones que se deriva de las tres CPO de máximo del
lagrangiano. De las dos primeras (las derivadas de L respecto de x1 y x2) se obtiene la
condición de tangencia entre la restricción presupuestaria y la curva de indiferencia.
Es decir,
Umg x1
Umg x2
=
2 ⋅ x1 ⋅ x 2
p ⋅x
p1
p
⇒
= 1 ⇒ x2 = 1 1
2
p2
p2
2 ⋅ p2
x1
De la tercera CPO se obtiene que el individuo tiene que estar en la restricción
presupuestaria. Insertando el valor de x2 en la restricción presupuestaria se llega a:
p1 ⋅ x1 + p 2 ⋅
p1 ⋅ x1
p 
m
600

=
= m ⇒ x1  p1 + 1  = m ⇒ x1 =
= 200
p1  
2
2 ⋅ p2
2 


 p1 +   2 + 
2
2  

En la situación inicial el individuo demanda 200 unidades del bien x1.
Para ver cuál es la elección final hay que resolver el mismo programa pero alterando el
precio del bien x1 que conduce a:
m
600
x1 =
=
= 400
p1   1 

 p1 +  1 + 
2   2

Por tanto el efecto total es de 200 unidades. Para descomponer el efecto total en efecto
sustitución hay que ver cuál es la restricción presupuestaria que pasa por el punto inicial
con los precios finales. Para ello hay que calcular la renta imaginaria de la que dispone
en esa restricción presupuestaria. Esta renta imaginaria se calcula utilizando la siguiente
fórmula:
m1 = m 0 + p11 − p10 ⋅ x10 = 600 + (1 − 2 ) ⋅ 200 = 400
(
)
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PRÁCTICA 4
La cantidad de x1 que maximiza la utilidad dada una renta de 400 u.m. y los precios
finales viene dada por la siguiente expresión:
)
400
m1
x1 =
=
= 266,6
p   1

 p1 + 1  1 + 
2   2

El efecto sustitución viene dado por la diferencia entre la cantidad que se consume con
la renta imaginaria que hace que la restricción presupuestaria pase por el punto de
equilibrio inicial con los precios finales (266,66) y la cantidad de x1 que se consume en
la situación inicial (200). Por tanto el efecto sustitución es de 66,66.
El efecto renta viene dado por la diferencia entre la cantidad de x1 que se consume en la
situación final (400) y la cantidad que se consume con la renta imaginaria que hace que
la restricción presupuestaria pase por el punto de equilibrio inicial con los precios
finales (266,66). Por tanto el efecto sustitución es de 133,33.
SLUTSKY
120
100
U0
80
U1
X2 60
U2
40
P0
20
P1
0
m1
0
100
200
300
400
500
600
X1
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PRÁCTICA 4
b) Utilizando el método de Hicks
Para descomponer el efecto total en efecto renta y efecto sustitución según Hicks hay
que calcular la cantidad de bien x1 que consumiría el consumidor con los precios finales
y teniendo que situarse en la curva de indiferencia inicial. Para ello hay que conocer la
utilidad que le reporta la situación inicial. En el apartado anterior hemos obtenido que la
cantidad demandada del bien x1 es de 200 ud. Para saber la cantidad demandada del
bien x2 podemos utilizar la fórmula derivada en el apartado 1 de esta práctica, dado que
la función de utilidad es del tipo Cobb-Douglas:
600
40
·
5·2
% & (5 1 ,
#
Por tanto, la utilidad inicial es de:
. 200 · 40 1.600.000
Por tanto el individuo tiene que situarse en la curva de indiferencia que se corresponda
con 1.600.000 ud. de utilidad.
Para conocer el punto donde se sitúa hay que resolver el siguiente problema de
maximización (en este caso es minimización):
min p1 ⋅ x1 + p 2 ⋅ x 2
s.a. 1.600.000 = x 12 ⋅ x 2
Para resolver este programa hay que formar el lagrangiano. De las dos primeras CPO se
obtiene que la igualdad entre las utilidades marginales ponderadas por sus precios para
los dos bienes:
UMg x1
p1
=
UMg x2
p2
⇒
2 ⋅ x1 ⋅ x 2 x12
p ⋅x
=
⇒ x2 = 1 1
p1
p2
2 ⋅ p2
Insertando este valor de x2 en la restricción se obtiene que:
 p ⋅x 
 2 ⋅ U 0 ⋅ p2
U 0 = x ⋅  1 1  ⇒ x1 = 
p1
 2 ⋅ p2 

2
1



1 3
 2 ⋅ 1.600.00 ⋅ 5 
=

1


1 3
≈ 251,98
Por tanto el efecto sustitución es de 51,98 ud. (251,98-200), mientras que el efecto renta
es de 148,02 ud. (400-251,98).
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PRÁCTICA 4
HICKS
120
100
80
U0
X2 60
U1
40
P0
P1
20
m1
0
0
100
200
300
400
500
600
X1
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PRÁCTICA 4
3.- Si al aumentar la renta la cantidad demandada de un bien aumenta, ¿Es posible
que aumente la cantidad demandada al subir el precio? Argumente su respuesta.
Si al aumentar la renta la cantidad demandada de un bien aumenta implica que es un
bien normal. El efecto total de la variación de la cantidad demandada cuando sube el
precio se compone del efecto renta y el efecto sustitución. El efecto sustitución siempre
tiene el signo contrario al cambio en el precio por tanto, al aumentar el precio de ese
bien el efecto sustitución provocará que se demande una cantidad menor. Un
incremento en el precio de uno de los bienes tiene como consecuencia que la capacidad
de compra de ese consumidor se ve reducida, por tanto se ve reducida su renta real (no
la monetaria). Al ser un bien normal si se disminuye la renta el efecto renta va a tener
signo negativo. Por tanto, como el efecto renta y el efecto sustitución tienen el mismo
signo podemos afirmar que no es posible que aumente la cantidad demandada al subir
el precio.
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PRÁCTICA 4
4.- La demanda ordinaria y la demanda compensada del bien x1 es la misma dado
un determinado nivel del precio del bien x1. Suponga que disminuye el precio del
bien x1. Discuta verbal y gráficamente que demanda tiene mayor pendiente en el
punto (x1, p1). Asuma que el bien x1 es normal.
La forma más fácil de resolver esta cuestión es mediante el análisis de los gráficos para
derivar la demanda ordinaria y la demanda compensada.
x2
p1
x2
x1 1
x1 2
x1
3
2
x1 1 x1 x1
x1
p1 1
p1 2
Demanda ordinaria
Demanda compensada
x1 1 x1 3 x1 2
x1
En los gráficos se ve como la cantidad demandada al precio p12 es mayor en la demanda
ordinaria que en la demanda compensada. Por tanto, es mayor la pendiente de la
demanda compensada que la demanda ordinaria en el punto de equilibrio inicial. La idea
que hay detrás de este resultado es que la demanda ordinaria incorpora tanto el efecto
renta como el efecto sustitución mientras que la demanda compensada sólo incorpora el
efecto sustitución. Al ser el bien x1 normal, los efectos renta y sustitución tienen el
mismo signo, por tanto se refuerzan. Como consecuencia, la demanda ordinaria tiene
una menor pendiente que la demanda compensada que pasa por el punto de equilibrio
inicial.
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PRÁCTICA 4
5.- La demanda de mercado de un bien se compone de dos grupos de
consumidores, cada uno formado por 1000 individuos. Dentro de cada grupo, la
demanda de cada persona viene dada por la expresión: / 0 · 1, mientras
que la demanda de cada persona en el otro grupo viene dada por: 1 2 ·
/ .
a) Calcule la curva de demanda de mercado de dicho bien.
Lo primero que hay que hacer es expresar las dos curvas de demanda individuales en
términos de cantidades:
d
x11
= 10 −
1
p
2
d
= 12 −
x12
p
2
Una vez obtenidas las demandas individuales hay que agregar las demandas de los 1000
individuos de cada uno de los grupos:
X 11d = 10000 − 500 ⋅ p
X 12d = 12000 − 500 ⋅ p
A la hora de agregar las demandas de cada uno de los grupos hay que tener en cuenta
para que valores tienen sentido económico (precios y cantidades positivos). Para el
grupo 1 la ordenada en el origen es 20 mientras que para el grupo 2 es de 24. Por tanto,
en el tramo donde ambas demandas tienen sentido económico (cuando el precio se
encuentra entre 0 y 20) hay que agregar la demanda de ambos grupos mientras que en el
tramo entre 20 y 24 la demanda del mercado es la del grupo 2). Agregando ambas
demandas se obtiene:
X 1d = 10000 − 500 ⋅ p + 12000 − 500 ⋅ p = 22000 − 1000 ⋅ p , que es la demanda del
mercado si el precio se encuentra entre 0 y 24.
b) Calcule el precio y la cantidad de equilibrio de dicho mercado si la oferta es
/3 000 · 1.
Hay que calcular el punto de equilibrio de mercado entre la curva de demanda de
mercado y la curva de oferta:
X 1d = 22000 − 1000 ⋅ p 
 ⇒ 11000 ⋅ p = 22000 − 1000 ⋅ p ⇒ 12000 ⋅ p = 22000 ⇒
s
X 1 = 11000 ⋅ p

22
22
p=
≈ 1,83 ⇒ x = 11000 ⋅
≈ 20.166,67
12
12
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PRÁCTICA 4
25
20
15
d1
P
d2
10
D
S
5
0
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
X
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