En una muestra de 1800 niños de 12 años se obs

Ejercicio Tema 7.
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En una muestra de 1800 niños de 12 años se observó una altura media
de 150 cm con una desviación típica de 7,0.
Suponiendo que las alturas se distribuyen de acuerdo con la curva
normal, queremos saber lo siguiente:
a) el número de niños que tienen una altura inferior a 150 cm,
b) el porcentaje de niños cuya altura se encuentra entre 140cm y
160 cm, y
c) la probabilidad de encontrar a un niño cuya altura sea superior
a 160cm.
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Solución
a)
El número de niños por debajo de los 150 cm de estatura, es la mitad de todos los niños,
ya que el valor 150 es el valor medio, y en una curva normal ese valor, divide la
distribución en dos partes iguales.
Al ser la distribución normal simétrica, a ambos lados del valor medio encontraremos el
50% de los casos.
Por lo tanto, con una estatura por debajo de 150 cm habrá 900 niños [es decir,
1800/2].
b)
Como las alturas de los alumnos de la muestra se distribuyen según la curva normal,
utilizamos la tabla de “áreas bajo la curva normal”, es decir, la Tabla Z.
El porcentaje de niños que tienen entre 140 y 160 cm se obtendrá sumando las áreas
correspondientes a los valores Z obtenidos para 140 y 160; es decir, sumaríamos el área
comprendida bajo la curva normal entre el valor medio y 140 y el área que se encuentra
entre la media y 160. Para calcular estas áreas tenemos que estandarizar estos valores en
unidades Z.
Veamos que Z corresponde a 140 cm.
Z 140 
x   140  150

 1,43
S
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Observando la tabla de la distribución Z vemos que el área (en términos de proporción)
entre la media y el valor 140 es 0,4236. Lo que quiere decir que entre los 140cm y los
150cm de talla encontraremos el 42,36% de los niños.
Y ahora veamos la Z correspondiente a 160 cm.
Z 160 
160  150
 1,43
7
En este caso, el área entre la media y el valor 160 es 0,4236 (sobre un área total de 1).
Lo que quiere decir que entre los 150cm y los 160cm encontraremos el 42,36% del total
de los casos. Obviamente, como la distancia entre 140 y 150 (valor medio) es la misma
que entre este valor y 160, el área que cubre la curva normal es la misma en uno y en
otro caso.
Por lo tanto, la proporción de niños de 12 años cuya altura está comprendida entre
140cm y 160 cm nos vendrá dada por la suma de las áreas calculadas:
0,4236+0,4236=0,8472.
En términos de porcentaje, el 84,72% de los niños de la muestra tienen una estatura
comprendida entre 140 y 160 cm.
c)
La probabilidad de encontrar un niño cuya altura sea superior a 160 cm, se obtiene
restando la proporción de niños que se encuentran entre la media y 160 (que, como ya
hemos calculado, es 0,4236) de la proporción de niños que hay por encima de la media,
que es el justo la mitad del total (es decir: 0,5).
Por lo tanto, la probabilidad que buscamos es 0,5 – 0,4236 = 0,0764.
En términos de porcentaje, tenemos un 7,64% de probabilidades de encontrar en esta
muestra un niño que mida más de 160 cm.