Respuesta libre en circuitos de primer orden

Respuesta libre en circuitos de primer orden
Objetivos
a) Establecer los conceptos más generales sobre los procesos que ocurren en los circuitos
dinámicos, utilizando los criterios dados en el texto y en este material.
b) Representar cambios en los circuitos mediante interruptores ideales y mediante la función
paso unitario, utilizando los criterios dados en el texto y en este material.
c) Analizar respuestas libres en los circuitos dinámicos de primer orden, utilizando los
criterios dados en el texto y en este material.
Sumario:
a) Características del análisis de circuitos dinámicos.
b) Representación de cambios en los circuitos. Interruptores ideales y función paso unitario.
c) Respuesta libre en circuitos simples RL y RC y en circuitos ramificados de primer orden.
Bibliografía básica: Texto. “Análisis de Circuitos en Ingeniería”
William H. Hayt Jr.; Jack E. Kemmerly; Steven M. Durbin. 2002, Sexta edición
Capítulo 8. Epígrafes 8.1 al 8.6
Adicional: Materiales elaborados por los profesores del CIPEL, Instituto Superior Politécnico
“José Antonio Echeverría, CUJAE, Ing. Américo Montó Olivera, Dra. Ing. Esperanza Ayllón
Fandiño y digitalizados por el Lic. Raúl Lorenzo Llanes.
Introducción:
Ya se han estudiado los conceptos y ecuaciones básicas sobre inductores y capacitores, pero
estos elementos no aparecen de manera aislada sino que forman parte de un circuito.
Como en estos elementos, las relaciones tensión – corriente implican derivadas e integrales,
las respuestas dependen de la rapidez de cambio del estímulo y por ello reciben el nombre de
circuitos dinámicos. ¿Cuál es la relación tensión-corriente en un inductor? ¿Cuál en un
capacitor? ¿Pueden estas magnitudes, corriente en el inductor y tensión en el capacitor
cambiar a saltos? ¿Cuáles pueden? ¿Puede ser la potencia negativa en estos elementos?
¿Qué significado físico tiene? ¿Puede ser la energía negativa en estos elementos? ¿Por qué?
Se explicarán las características más generales del análisis de circuitos dinámicos y se
particularizará en la respuesta libre de circuitos de primer (1er) orden, dándose respuesta a las
siguientes interrogantes:
¿Por qué se denominan circuitos de 1er orden? ¿Cuáles son sus características? ¿A qué se
denomina respuesta libre? ¿A qué respuesta estimulada o forzada?
a) Características del análisis de circuitos dinámicos
La figura muestra una red (cuya estructura interna no interesa
ahora) y en el instante t =0 se cierra un interruptor en una rama
conectada a la red cambiando bruscamente la corriente en esta
rama, supuesta resistiva pura.
1 En general, pueden ocurrir cambios bruscos en los valores de las variables (tensiones y
corrientes) de los elementos conectados a esta red.
Las preguntas son: Cuando hay un cambio brusco, ¿Cómo varía la corriente en el inductor?
¿Cómo varía la tensión en el capacitor? ¿Pueden estas magnitudes cambiar a saltos?
¿Pueden, en consecuencia, cambiar a saltos las energías en un inductor y en un capacitor?
En t = 0- iL = iL (0- )
En t = 0+ iL = iL (0+ )
VC = VC (0- )
VC = VC (0+ )
Se cumplen las condiciones de continuidad:
iL (0- ) = iL (0+ )
VC (0- ) = VC (0+ )
Cuando ocurre algún cambio en un circuito, los elementos almacenadores de energía
imponen la necesidad de un periodo o proceso transitorio para la redistribución de la energía
almacenada en ellos, ya que la energía no puede variar a saltos en estos dispositivos. Este
proceso transcurre en un intervalo de tiempo y el circuito pasa de un estado inicial a un
estado final.
Estado inicial → PERÍODO TRANSITORIO → Estado final
En los circuitos dinámicos lineales con valores de parámetros constantes, el modelo
matemático que describe al proceso transitorio es la ecuación diferencial ordinaria a
coeficientes constantes:
an
d nχ
d n−1 χ
d n−2 χ
dχ
+
a
+
a
+ ...... + a1
+ χ = f (t )
n
n
n
n −1
n−2
dt
dt
dt
dt
Donde χ→ puede ser una tensión o una corriente
Matemáticamente, la solución completa es la suma de la solución general de la
correspondiente ecuación diferencial homogénea (solución complementaria) y de la solución
particular de la ecuación no homogénea. Desde el punto de vista del circuito, la respuesta
completa es la suma de la respuesta transitoria y de la respuesta forzada.
respuesta completa = respuesta transitoria + respuesta forzada
La forma de la respuesta transitoria, depende de los valores de los parámetros y de sus
l
interconexiones
La forma de la respuesta forzada, depende de los valores de los parámetros del circuito y de
la forma del estímulo. Además, la respuesta completa depende de las condiciones iniciales.
Otro concepto:
Circuito de primer orden → un elemento almacenador→ ecuación diferencial de orden 1
Circuito de segundo orden→ dos elementos almacenadores→ ecuación diferencial de orden 2
2 b) Representación de cambios en los circuitos. Interruptores ideales y función paso
unitario.
b.1) Interruptores ideales
Su accionamiento es instantáneo o sea el intervalo de
tiempo de la conmutación es nulo
La figura representa algunos símbolos de los más
empleados.
En el primer caso entre los bornes del interruptor:
en t = 0 R = ∞ circuito abierto
en t = 0+
R = 0 circuito cerrado
b.2) Función paso unitario
(Unit step function)
u(t) = 0 para t < 0
u(t) = 1 para t > 0
Se representan varias
funciones paso unitario
Desde el punto de vista circuital, ¿para qué sirve la función paso unitario? Representa
analíticamente la conexión de fuentes sin usar interruptores, o sea, permite representar la
conmutación en circuitos sin emplear interruptores.
Por ejemplo
E u(t - to), equivale a una fuente de
valor cero para t < to y de valor E para
t > to, de la misma forma en que se
realizaría en el circuito de la derecha:
cerrado hacia la derecha y se pasa en
t0 hacia la izquierda y conecta la
fuente.
I u(t - to), equivale a una fuente de
valor cero para t < to y de valor I para
t > to, de la misma forma en que se
realizaría en el circuito de la derecha:
3 cerrado hacia abajo y en t0 se abre.
¿Cómo se representa f(t) = 50 u(2-t)?
c) Respuesta libre en circuitos simples RL y RC y en circuitos ramificados de primer
orden.
c1) Respuesta libre del circuito RL simple
En el circuito circula corriente por el inductor en
t = 0- . Supongamos como condición inicial
i(0 -) = i(0 +) =I0
En el circuito para t>0 ocurre un proceso
transitorio que denominamos respuesta libre o
respuesta natural ya que no hay estímulos
actuando para t>0
Planteando LKT: VL + VR = 0 Ldi/dt + iR =0 di/dt + iR/L =0
Esta es una ecuación diferencial ordinaria, lineal, de 1er orden, homogénea de coeficientes
constantes
Su solución: i(t)= A exp(-st) = A e-st
Al sustituir en la ecuación diferencial se obtiene:
s = - R/L donde s: raíz característica o frecuencia natural
τ = L/R constante de tiempo
La constante A se puede evaluar a partir de las condiciones iniciales obteniéndose A = I0
i(t)=iL(t)= iL (0 +) e-t = I0 e-t
/τ
/τ
Aplicando Ohm y LKT es posible obtener las expresiones de las tensiones en ambos
elementos:
vR (t ) = i(t ) ⋅ R = R ⋅ i(0)e −t /τ = VR (0)e −t /τ
Ohm
LKV
vR (t ) + vL (t ) = 0
VR (0)e −t /τ + vL (t ) = 0
vL (t ) = −VR (0)e −t /τ = VL (0)e −t /τ
en el inductor
Observe que en t = 0+ las soluciones conducen a las condiciones iniciales y para t → ∞ las
respuestas tienden a cero. ¿ Por qué?
4 c2) Constante de tiempo
La forma general de la respuesta libre o natural en un circuito de
primer orden es:
χ(t)= χ0 e-t/τ siendo χ la tensión o corriente en el circuito. Se
expresa como una exponencial decreciente donde τ es la
constante de tiempo del proceso.
τ = L/R constante de tiempo en el circuito R-L.
χ0 es el valor de la variable χ en t = 0
Cuando t→∞ entonces χ→ 0
Significado físico de la constante de tiempo: evaluando en τ
χ(τ)= χ0 e-1 χ(τ) / χ0= 0,368
en la cual τ representa el intervalo de tiempo necesario para que la respuesta libre alcance ≅
37% de su valor inicial.
La recta tangente a la curva χ (t) en el punto (0; χ (0+)
cruza el eje t en el instante t = τ. A mayor τ el proceso
transitorio transcurre más lentamente.
Como se ve, al cabo de un intervalo de tiempo de ≅ 5τ la
respuesta libre desaparece prácticamente. Por lo tanto, τ
es entonces un indicador de la lentitud o rapidez con que
ocurre el proceso transitorio.
χ(t)/χo
τ
2τ
3τ
4τ
5τ
0,368 0,135 0,050 0,018 0,007
c3) Respuesta libre en el circuito RL ramificado
Suponiendo igual condición inicial, la respuesta de corriente tiene
la misma expresión calculada con anterioridad, i(t)=I0 e-t pero
τ = L / Req donde Req es la resistencia calculada en los
terminales del inductor.
En general, para cualquier variable (i, vR, vL), la respuesta tiene
/τ
la forma χ(t)= χ(0 +) e-t
/τ
c4) Respuesta libre en un circuito RC
Suponemos condiciones iniciales no nulas, por ejemplo VC (0 - ) ≠ 0
El circuito es dual del circuito RL simple analizado, y la forma general
de la respuesta libre
es: VC(t)= VC (0 +) e-t
Constante de tiempo capacitiva τ = RC
/τ
5 Conclusiones
Analizando el circuito del ejemplo 8.2 del texto.
Este problema tiene varios resistores e inductores.
¿Cuál es el circuito equivalente en (0 - )? ¿Qué variables se calculan?
¿Cuál es el circuito equivalente para t mayor que cero?
¿Cómo se calcula la constante de tiempo τ?
¿Cuál es el circuito equivalente en (0 +)? ¿Qué variables se calculan?
Orientaciones para el trabajo independiente
Capítulo 8. Epígrafes 8.1 al 8.6 Ejemplos 8.1, 8.2, 8.3 Prácticas 8.3, 8.4, 8.5
En la práctica 8.3, tiene que calcular la expresión de la tensión en el capacitor en función del
tiempo para luego evaluar en 2ms.
En la práctica 8.4 calcule las expresiones de las corrientes para posteriormente evaluar.
Observe que para calcular la corriente por el cortocircuito que se produce después de
accionar el interruptor, tiene que plantear una LKC pues no puede obviar la corriente de la
fuente de 2A.
Se continuará con la respuesta forzada o estimulada en circuitos de primer orden. ¿Por qué
forzada?
Realizado por: Dra. Ing. Esperanza Ayllón Fandiño, CIPEL, Instituto Superior Politécnico
“José Antonio Echeverría”, CUJAE. Cuba
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