u Números reales 1unidad 1

u1
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unidad 1
contenidos
1. El conjunto de los números
reales
2. Representación de los
números reales en la recta
real
3. Conjuntos en la recta real
4. Conjuntos acotados en la
recta real
5. Aproximaciones decimales
6. Redondeos y truncamientos
7. Errores
8. Notación científica y orden
de magnitud
9. Radicales
10. Operaciones con radicales
11. Racionalización de
denominadores
Números reales
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9
Las Matemática que desarrollaron los griegos nos muestra que ya
conocían los números naturales y fraccionarios. Ellos fueron los
primeros en descubrir los números irracionales, es decir, aquellos
números que no pueden ser expresados a través de una fracción,
al comparar la diagonal y el lado de un pentágono regular o la
diagonal y el lado de un cuadrado.
Además de las griegas, otras civilizaciones utilizaron los números
irracionales en sus construcciones. Los árabes usaron estos números en el diseño de elementos de la Alhambra de Granada y la
Mezquita de Córdoba, como ejemplos más significativos de sus
bellas edificaciones. Así, en la Mezquita de Córdoba podemos encontrar la llamada bóveda cordobesa, que puedes observar en
la imagen. La característica de esta bóveda es que en ella aparece el número cordobés, número irracional que es la relación
existente entre el radio de la circunferencia circunscrita al octógono regular y el lado de este. El número cordobés es:
1
– 2
2
Este conocimiento de los números por parte de las civilizaciones
antiguas no fue superado hasta veinticuatro siglos más tarde. Los
matemáticos G. Cantor (1845-1918), R. Dedekind (1831-1916),
K. Weierstrass (1815-1897) y B. Bolzano (1781-1848) fueron
quienes culminaron el estudio, que duró medio siglo de investigaciones, sobre los números reales.
cuestiones iniciales
1. Encuentra varios números que estén comprendidos entre:
2
3
a) y 5
5
b) 2,1 y 2,2
c) 2,01 y 2,1
3
2. Describe un procedimiento que calcule 10
utilizando solamente las
teclas de las operaciones elementales de tu calculadora.
3. Ordena de menor a mayor los siguientes números:
5,31; –4,21; 5,201; –4,201; 5,2101; –4,2101; 4,211; 4,201
4. Comprueba la siguiente igualdad elevando al cuadrado ambos miembros de la igualdad:
– 3
2 2
= 6 – 2
n
5. ¿Para qué valores de n y a se cumple a X ?
Y
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Unidad 1
10
Unión de dos conjuntos
A q B es el conjunto formado por
todos los elementos de A y de B.
1.1. El conjunto de los números racionales
Existe una relación entre los números racionales y los números decimales:
A q B
A
1. El conjunto de los números reales
B
• Cualquier número racional se puede expresar como un número decimal
exacto o periódico.
• Cualquier número decimal exacto o periódico se puede expresar como un
número racional.
Intersección de dos conjuntos
A Q B es el conjunto formado por
los elementos comunes de A y de B.
A Q B
A
B
A continuación damos la definición del conjunto de los números racionales y
su equivalencia con los números decimales.
• El conjunto de los números racionales se representa mediante la letra y está formado por:
a
= a Z Z; b Z Z y b ≠ 0
b
• El conjunto de los números racionales equivale al conjunto formado por
los decimales exactos, los periódicos puros y los periódicos mixtos.
decimales
decimales
= decimales
exactos q periódicos q periódicos
puros
mixtos
1.2. El conjunto de los números irracionales
La Escuela Pitagórica pensaba que todo el Universo se podía expresar mediante números enteros o racionales. El famoso Teorema de Pitágoras contradijo
la doctrina básica de la Escuela al descubrir que existían números, como 2,
que no eran ni enteros ni racionales.
Los números que, como 2, son decimales con infinitas cifras decimales no
periódicas se llaman números irracionales.
• Los números irracionales son aquellos números decimales que tienen
infinitas cifras decimales y no son periódicos.
=
decimales con infinitas cifras
decimales y no periódicos
Algunos de los números irracionales más importantes y utilizados son:
• El Número de Oro Φ (Número Áureo). Es la razón entre la diagonal de un
pentágono regular y su lado.
Para los antiguos griegos el rectángulo áureo, o rectángulo cuya razón entre sus lados es el número de oro, representaba la armonía y las dimensiones ideales de belleza.
Monumento a Pitágoras en el
puerto Pythagorio de Samos, Grecia.
a
1 + 5
Φ = = 1,61803398...
2
Y
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Números reales
11
• El número π. Es la razón entre la longitud de la circunferencia y su diámetro. Es el primer número irracional que manejamos.
π = 3,14159265...
• El número 2
. Aparece al calcular la medida de la diagonal de un cuadrado de lado 1.
2 = 1,41421356...
Y
3
También son irracionales 3, 5, 7, 2, etc.
( )
1
y= 1+—
x
• El número e. Aparece en múltiples procesos biológicos, químicos, físi-
1
cos, etc. Es el número al que tiende la función 1 + x
a +∞ ó – ∞.
cuando x tiende
x
x
e
+1
e = 2,71828182845904...
–1
0
X
1.3. El conjunto de los números reales
El conjunto de los números racionales junto con los irracionales forma el conjunto de los números reales.
• El conjunto de los números reales se representa por , y está formado por
los números racionales y los irracionales.
números
números
= racionales
q irracionales
=q
A continuación podemos ver la relación que existe entre los distintos conjuntos numéricos.
Enteros Enteros positivos Cero 0
+
Enteros negativos Racionales Reales Decimales
Naturales –
Decimales exactos
Decimales periódicos
Irracionales • Los números reales llenan por completo la recta, de ahí que la llamemos
recta real.
• Dado un origen y una unidad, a cada punto de la recta le corresponde un
número real, y a cada número real le corresponde un punto de la recta.
Y
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Unidad 1
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2. Representación de los números
reales en la recta real
Hasta ahora conocemos los procedimientos geométricos que nos permiten representar números naturales, enteros y racionales en la recta real.
A continuación podemos ver los procedimientos más utilizados para representar los números irracionales.
Representación en la recta real
del número de oro Φ
2.1. Números irracionales de la forma n
con n natural
Estos números los representamos en la recta real utilizando procedimientos
geométricos basados en el teorema de Pitágoras, como podemos ver en el ejemplo siguiente:
5
0
1
2
1+ 5
Φ=
2
3
2
4
3
1+ 5
1
1. Se dibuja 5
como la hipotenusa
de un triángulo rectángulo de
catetos de longitud 1 y 2.
2. Se busca el punto de intersección
de la recta real con la circunferencia de radio 5
y centro en 1. El
punto obtenido es 1 + 5.
3. Se busca el punto medio del segmento [0, 1 + 5
], para obtener:
1 + 5
2
–1
0
1
2
3
2
5
6
El método se basa en construir triángulos rectángulos tales que su hipotenusa
mida el número irracional que queremos representar:
• 2 = 12 + 12
• 3 = 12 + (
2)2
• 5 = 12 + 22
• 6 = 12 + (
5)2
2.2. Números irracionales cualesquiera
Un número irracional cualquiera se puede representar de forma aproximada en
la recta real mediante aproximaciones decimales sucesivas.
3,1 3,2
3
4
Por ejemplo, vamos a representar el número π:
π = 3,14159265...
Para ello, utilizamos el siguiente procedimiento:
3,14 3,15
3,1
3,2
• Aproximación a centésimas. Dividimos el segmento entre 3,1 y 3,2 en diez
partes iguales, y tomamos un punto cualquiera entre 3,14 y 3,15 como
muestra la figura. Este punto es la representación de π con error menor de
1 centésima.
3,141 3,142
3,14
• Aproximación a décimas. Dividimos el segmento entre 3 y 4 en diez partes
iguales, y tomamos un punto cualquiera entre 3,1 y 3,2 como muestra la figura. Este punto es la representación de π con error menor de 1 décima.
3,15
• Continuando con este procedimiento obtenemos la aproximación de π que
deseemos.
Y
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Números reales
13
3. Conjuntos en la recta real
Dentro de la recta real podemos definir una serie de subconjuntos, entre los
que se encuentran los intervalos y los entornos. Estos subconjuntos tienen
gran importancia en el estudio de las funciones. Su definición está basada en
la relación de orden de los números reales.
El símbolo B
Este símbolo se lee «si y sólo si» e
indica equivalencia.
Ejemplo:
•
n = 2 B n termina en 0 ó
en cifra par
• Un número real a es menor o igual que otro número real b cuando en la
recta real a está a la izquierda de b o superpuesto con él. Simbólica y
gráficamente:
a ≤ b ⇔
ó
a
b
a=b
A continuación definimos y simbolizamos los subconjuntos más importantes
de la recta real.
CONJUNTOS EN LA RECTA REAL
SUBCONJUNTOS
SÍMBOLO
Intervalo
abierto
(a, b)
Intervalo
cerrado
DEFINICIÓN
(a, b) = {x Z | a < x < b}
El intervalo abierto de extremos a y b es el conjunto de números reales comprendidos entre a y b.
REPRESENTACIÓN GRÁFICA
a
b
a
b
[a, b] = {x Z | a ≤ x ≤ b}
[a, b]
El intervalo cerrado de extremos a y b es el conjunto de números reales comprendidos entre a y b e incluidos estos.
[a, b)
[a, b) = {x Z | a ≤ x < b}
(a, b]
(a, b] = {x Z | a < x ≤ b}
Entorno
simétrico
E (a, r)
El entorno simétrico de centro a y radio r positivo es
el intervalo abierto de extremos a – r y a + r.
a–r
a
a+r
Entorno
reducido
E *(a, r)
E*(a, r) = E(a – r) – {a}
a–r
a
a+r
Entorno
lateral a
la izquierda
E (a, r)
–
E –(a, r) = (a – r, a)
a–r
a
Entorno
lateral a
la derecha
E (a, r)
+
E +(a, r) = (a, a + r)
Intervalo
semiabierto o
semicerrado
a
E(a, r) = (a – r, a + r) = {x Z | |x – a| < r}
b
r
r
a
a+r
Y
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Unidad 1
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4. Conjuntos acotados en la recta real
4.1. Conjuntos acotados superiormente
Si en un conjunto de números reales podemos encontrar una barrera de forma
que todos los números del conjunto estén a la izquierda de esta barrera, afirmamos que ese conjunto está acotado superiormente.
Acotación superior
Los elementos
de A están a
la izquierda de
la BARRERA
• Un conjunto A de números reales está acotado superiormente por un
número real S si todos los elementos de A son menores o iguales que S.
A está acotado superiormente por S B x ≤ S, ∀x Z A
S
El número S se llama cota superior de A. Si A está acotado superiormente, existen infinitas cotas superiores.
«BARRERA» o
cota superior
• La más pequeña de las cotas superiores se llama supremo del conjunto A,
sup A. Si el supremo pertenece al conjunto A se le llama máximo del
conjunto A, máx A.
4.2. Conjuntos acotados inferiormente
Si en un conjunto de números reales podemos encontrar una barrera de forma
que todos los números del conjunto estén a la derecha de esta barrera, afirmamos que ese conjunto está acotado inferiormente.
Acotación inferior
Los elementos
de A están a
la derecha de
la BARRERA
I
• Un conjunto A de números reales está acotado inferiormente por un número real I si todos los elementos de A son mayores o iguales que I.
A está acotado inferiormente por I B x ≥ I, ∀x Z A
El número I se llama cota inferior de A. Si A está acotado inferiormente, existen infinitas cotas inferiores.
«BARRERA» o
cota inferior
• La más grande de las cotas inferiores se llama ínfimo del conjunto A,
ínf A. Si el ínfimo pertenece al conjunto A se le llama mínimo del conjunto A, mín A.
4.3. Conjuntos acotados
Si todos los elementos de un conjunto de números reales se encuentran entre
dos barreras afirmamos que el conjunto está acotado.
Acotación
Los elementos
de A están
entre las
BARRERAS
• Un conjunto A de números reales está acotado si lo está superior e inferiormente.
A está acotado por S e I B I ≤ x ≤ S, ∀x Z A
• Todo conjunto de números reales acotado tiene supremo e ínfimo.
"BARRERAS"
Cuando afirmamos que un conjunto no está acotado puede ocurrir:
• Que no esté acotado ni superior ni inferiormente.
• Que esté acotado superiormente pero no inferiormente.
• Que esté acotado inferiormente pero no superiormente.
Y
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Números reales
15
ACTIVIDADES
RESUELTAS
1. Define y representa cada uno de los siguientes conjuntos:
E(1, 3)
E +(–1, 3)
[–1, 3]
(–∞, 3]
E*(1, 3)
A partir de las definiciones dadas en el epígrafe 3, obtenemos:
DEFINICIÓN
REPRESENTACIÓN GRÁFICA
E(1, 3) = (1 – 3, 1 + 3) = (–2, 4)
–2
4
[–1, 3] = {x Z | – 1 ≤ x ≤ 3}
–1
3
r=3
E + (–1, 3) = (–1, –1+3) = (–1, 2)
–1
–1 + 3 = 2
(– ∞, 3] = {x Z | x ≤ 3}
3
r=3
r=3
E*(1,3) = (1 – 3, 1+3) – {1} = (–2, 4) – {1}
1–3=–2
1
1+3=4
2. Estudia la acotación de cada uno de los siguientes conjuntos y halla en los casos que sea posible el supremo, el ínfimo,
el máximo y el mínimo.
a) A = {x Z | x ≤ –4} q {x Z | x > –3}
• Para calcular la intersección o la unión de dos conjuntos es conveniente representar cada conjunto en una recta real y en otra
la unión o intersección de ellos.
• En la representación gráfica adjunta observamos que A no está acotado superior ni inferiormente.
–4
–4
–4
–3
A
–2
–1
0
1
2
–2
–1
0
1
2
…
…
…
b) B = [–5, 3] q (1, + ∞)
• El conjunto B no está acotado, puesto que está acotado inferiormente pero no superiormente.
• El ínfimo de B es: ínf B = –5. Como pertenece a B es mínimo de B, mín B = –5.
–5
3
1
–5
B
c) C = E[0, 5] Q E*(3, 3)
El conjunto C, en virtud de la definición de entornos es:
C = (–5, 5) [(0, 6) – {3}]
• El conjunto C está acotado.
• El ínfimo de C es ínf C = 0, y el supremo es sup C = 5. No tiene máximo ni mínimo.
–5
5
0
3
0
3
6
5
C
Y
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Unidad 1
16
5. Aproximaciones decimales
Los números irracionales y los números decimales periódicos tienen infinitas
cifras decimales por lo cual, para trabajar con ellos, necesitamos utilizar aproximaciones de los mismos.
El número irracional π es:
El número π
Existe un poema de Manuel Golmayo que permite recordar las 20 primeras cifras de π, contando el número de letras de cada palabra:
π = 3,14159265358979323846...
por lo que podemos considerar las siguientes desigualdades:
3<π<4
“Soy y seré a todos definible
3 1
4
1
5
mi nombre tengo que daros,
2
6
5
3
5
cociente diametral siempre inmedible
8
9
7
3,1 < π < 3,2
9
9
3,14 < π < 3,15
3,141 < π < 3,142
3,1415 < π < 3,1416
…
soy de los redondos aros”.
3
2
3
8
4
Los números que aparecen a la izquierda de estas desigualdades son aproximaciones de π por defecto, pues son menores que π. Los números que aparecen a la derecha de estas desigualdades son aproximaciones de π por exceso,
pues todas ellas son mayores que π.
• Una aproximación decimal de orden n por defecto es una estimación en
la cual todas las cifras, incluida la que indica el orden, son las mismas que
en el número original, y las demás son cero.
• Una aproximación decimal de orden n por exceso es una estimación en
la cual todas las cifras, excluida la que indica el orden, son las mismas que
en el número original; la que indica el orden es una unidad más y el resto de ellas son cero.
ACTIVIDADES
RESUELTAS
3. Dado el número de oro Φ = 1,61803398…, calcula las siguientes aproximaciones decimales:
a) Aproximación decimal a unidades por exceso. La aproximación es 2.
b) Aproximación decimal a centésimas por defecto. La aproximación es 1,61.
c) Aproximación decimal a millonésimas por exceso. La aproximación es 1,618034.
4. Halla dos números que puedan ser valores exactos en cada una de las siguientes aproximaciones decimales:
a) 432 es la aproximación a unidades por exceso. Los números pueden ser 431,74…; 431,2…
b) 432,25 es la aproximación a centenas por exceso. Los números pueden ser 432,247…; 432,244…
c) 432,266 es la aproximación a milésimas por defecto. Los números pueden ser 432,2667…; 432,2662…
Y
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Números reales
17
6. Redondeos y truncamientos
6.1. Redondeos
• Los números 3,14 y 3,15 son aproximaciones decimales por defecto y por
exceso, respectivamente, del número π = 3,14159... Observa que el número π se encuentra comprendido entre ellas.
π
(
)
3,14
3,15
En este caso, la aproximación por defecto está más próxima a π que la aproximación por exceso. Decimos, por tanto, que 3,14 es un redondeo de π a
centésimas.
• Los números 3,1415 y 3,1416 son aproximaciones decimales por defecto y
por exceso de π respectivamente. Observa que el número π se encuentra
comprendido entre ellas.
π
(
)
3,1415
3,1416
En este caso, el número π está más próximo a la aproximación por exceso,
por tanto 3,1416 es un redondeo de π a diezmilésimas.
• El redondeo de orden n de un número es la mejor aproximación decimal
de orden n que se puede dar de ese número.
Redondeos y calculadora
Las calculadoras redondean los resultados presentados en la pantalla a la
última cifra.
Ejemplo: π = 3,141592653589...
Si pedimos este resultado a la calculadora nos da 3,141592654, que es
el redondeo a milmillonésimas.
Muchas calculadoras tienen la opción MODE 7 que nos permite
hacer redondeos con el orden deseado.
Así, con el número π en pantalla, tecleamos:
• MODE 7
1 y aparece en
pantalla 3,1 que es el redondeo a
décimas.
• MODE 7
3 y aparece en
pantalla 3,142 que es el redondeo a milésimas.
Para volver la calculadora al modo
normal, se pulsa:
MODE
9
• En la práctica se escribe el número exacto en forma decimal. Observamos la cifra que ocupa el lugar de orden n, objeto del redondeo; si la cifra siguiente es inferior a 5, el redondeo es la aproximación decimal por
defecto y, si es mayor o igual que 5, el redondeo coincide con la aproximación decimal por exceso.
6.2. Truncamientos
Las aproximaciones decimales por defecto del número π:
3,1;
3,14;
3,141;
3,1415;
...
son truncamientos del número π.
π
(
)
3,14
Redondeo = Trucamiento
3,15
(
3,1415
Truncamiento
π
)
3,1416
Redondeo
• El truncamiento de orden n de un número es su aproximación decimal
por defecto de orden n.
• En la práctica, para hacer truncamiento de orden n se eliminan todas las
cifras a partir de ese orden. Cuando el redondeo es la aproximación por
defecto del número, coincide con el truncamiento en forma decimal.
Y
UNIDAD 01 26/2/08 14:13 Página 18
Unidad 1
18
7. Errores
• Cuando tomamos 3,14 como aproximación decimal por defecto de
π = 3,141592… estamos cometiendo un error.
| 3,141592… – 3,14 | = 0,001592… < 0,01
π
(
)
3,14
3,15
Error
Cota de error
Dicho error es 0,001592…, y la cota de error es 1 centésima.
Tanto por ciento o porcentaje
de error
• El error relativo, o error por cada
unidad, es un tanto por uno. A
veces este error relativo se expresa
en tantos por ciento.
• Por lo anterior, el tanto por ciento o porcentaje de error se obtiene multiplicando el error relativo
por 100.
• A la vista del dibujo anterior podemos observar que, si tomamos 3,15 como
aproximación decimal por exceso de π, estamos cometiendo un error.
| 3,141592… – 3,15 | = 0,008407… < 0,01
Este error es 0,008407… y la cota de error es también de 1 centésima.
• El error absoluto de una aproximación es la diferencia, en valor absoluto, entre el valor real y el aproximado.
|valor real – valor aproximado| = error absoluto
• La cota del error absoluto es un número que verifica:
|valor real – valor aproximado| < cota de error
• La cota de error de una aproximación decimal de orden n, por defecto o por
exceso, es una unidad de ese orden. Cuando la aproximación decimal sea
un redondeo de orden n, la cota de error es media unidad de ese orden.
El error cometido por cada unidad se llama error relativo, y viene dado por:
error absoluto
error relativo = valor real
ACTIVIDADES
RESUELTAS
5. Completa la siguiente tabla:
Valor exacto
Aproximación
decimal a centésimas
por defecto
y cota de error
Aproximación
decimal a décimas
por exceso y cota
de error
Redondeo a
milésimas y cota
de error
Truncamiento a
milésimas y cota
de error
F = 1,61803…
aproximación: 1,61
cota de error: 0,01
aproximación: 1,7
cota de error: 0,1
redondeo: 1,618
truncamiento: 1,618
cota de error: 0,0005 cota de error: 0,001
p = 3,14159…
aproximación: 3,14
cota de error: 0,01
aproximación: 3,2
cota de error: 0,1
redondeo: 3,142
truncamiento: 3,141
cota de error: 0,0005 cota de error: 0,001
´ = 2,71828…
aproximación: 2,71
cota de error: 0,01
aproximación: 2,8
cota de error: 0,1
redondeo: 2,718
truncamiento: 2,718
cota de error: 0,0005 cota de error: 0,001
2 = 1,41421…
aproximación: 1,41
cota de error: 0,01
aproximación: 1,5
cota de error: 0,1
redondeo: 1,414
truncamiento: 1,414
cota de error: 0,0005 cota de error: 0,001
Y
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Números reales
19
8. Notación científica y orden
de magnitud
Calculadora y notación
científica
8.1. Notación científica
En la práctica es muy útil escribir los números muy grandes o muy pequeños
en notación científica. Así:
Expresión decimal
523 000 000 000
–134 500 000 000 000
0,00 000 000 009 235
–0,000 000 791
Notación científica
5,23 · 1011
–1,345 · 1014
9,235 · 10
–11
–7,91 · 10–7
Para introducir en la calculadora números en notación científica se utiliza la tecla EXP .
Así el número –9,423 · 10–20 se introduce en la calculadora de la siguiente forma:
.
9
• Expresar un número en notación científica es ponerlo como un producto cuya cifra de unidades es un dígito del 1 al 9 seguido de una parte
decimal, por una potencia de base 10 y exponente entero. Simbólicamente:
a,bcd … · 10 n
EXP
4
2
2
3 +/–
0 +/–
y aparecerá en pantalla:
Cuando la calculadora ha de presentar en la pantalla un número muy grande
o muy pequeño, con más cifras de las que puede mostrar en su visor lo presenta automáticamente en notación científica. La calculadora presentará los números que aparecen en el ejemplo anterior en notación científica de la siguiente forma:
Cálculo del orden de magnitud
8.2. Orden de magnitud
Para hallar el orden de magnitud de
un número hay que situarlo entre
dos potencias consecutivas de 10 y,
después, observar a cuál de ellas se
aproxima más.
Observa los ejemplos:
• El orden de magnitud de un número es la potencia de 10 más cercana a
dicho número.
• Orden de magnitud de 6 572:
1 000
5 000
10 000
↑
6 572
Para calcular el orden de magnitud de un número se pueden utilizar los siguientes procedimientos:
• La definición, como podemos ver en el margen.
• La notación científica. El orden de magnitud de un número, escrito en notación científica, es el producto del orden de magnitud de la parte entera
por la potencia de 10 correspondiente. Así por ejemplo:
– El orden de magnitud de 6 572 = 6,572 · 10 3 es: 10 · 103 = 104
– El orden de magnitud de 0,000042 = 4,2 · 10–5 es: 1 · 10–5 = 10–5
– El orden de magnitud de –364 = –3,64 · 102 es: 1 · 102 = 102
– El orden de magnitud de 62 milésimas es: 10 · 10–2 = 10–1
1 000 < 6 572 < 10 000
Como está más próximo a 10 000
(104) que a 1 000 (103), el orden
de magnitud es 104.
• Orden de magnitud de 0,000042:
0,00001
0,00005
0,0001
↑
0,000042
0,00001 < 0,000042 < 0,0001
Como está más próximo a
0,00001 (10 –5 ) que a 0,0001
(10–4), el orden de magnitud es
10–5.
Y
UNIDAD 01 26/2/08 14:13 Página 20
Unidad 1
20
9. Radicales
Como recordarás del curso pasado, decimos que 9 = 3 y 125
= 5 porque:
3
9 = 3 ⇔ 9 = 32
125 = 5 ⇔ 125 = 53
3
n
• Raíz enésima de un número a, se escribe a, es otro número b que cumple a = bn.
n
a = b ⇔ a = bn
n
El símbolo a se llama radical:
• a es el radicando.
• n es el índice.
Raíces cuadrada y cúbica
en la calculadora
n
índice
a
b
=
raíz
enésima
Las calculadoras nos ofrecen las
siguientes funciones para el cálculo
de raíces cuadradas y cúbicas:
Permite calcular las raíces cua• dradas de radicando positivo.
radicando
radical
Observa que un mismo radical puede ser escrito de diferentes formas:
3
4
5
2 = 4 = 8 = 16
= 32
Así, para calcular 576
debes ejecutar:
5 7 6 y obtienes:
3
• A todos estos radicales que dan lugar a la misma raíz se les llama radicales
equivalentes.
• Radicales equivalentes son los que tienen las mismas raíces. Para obtener un radical equivalente a otro se multiplican, o se dividen, el índice y
el exponente por el mismo número.
n
Permite calcular las raíces cúbicas de cualquier radicando.
pn
pm
am = a
El concepto de radicales equivalentes es muy útil en la simplificación de
radicales.
Como ejemplo, vamos a simplificar los radicales siguientes:
3
Para calcular 60
debes ejecutar:
6 0
3
y obtienes:
3
3
3
• 4 096 = 212 = 24 · 3 = 24
8
4
2· 4
• x6 = x2 · 3 = x3
3
También puedes calcular –60
ejecutando:
3
6 0 +/– y obtienes:
5
5
• –243
(–3)5 = –3
= 3·3
3
• a3 b6 = a3 b2 · 3 = ab2
3n
n
n
• 26n x3 = 22n x = 22 x
Y
UNIDAD 01 26/2/08 14:13 Página 21
Números reales
21
Los radicales como potencias de exponente
fraccionario
Para trabajar con radicales, en ocasiones resulta muy útil escribir estos como
potencias de exponente fraccionario.
Otras raíces de la calculadora
Con tu calculadora científica puedes
encontrar el valor de la raíz de cualquier índice de un número dado.
• Todo radical se puede escribir como una potencia de exponente fraccionario de la siguiente forma:
n
Para calcular raíces de cualquier índice, y, utilizamos
m
––
n
a = a
m
la tecla x1/y puesto que:
Escribimos los radicales en forma de potencia cuando queremos simplificar radicales y cuando operamos con ellos:
Ejemplos:
3
3
7
––
3
• 2 187 = 3 =3 =3
7
1
2+ ––
3
1
––
4
2
=3 ·3
2
––
1
––
3
1
3
= 9 3
1
––
• 4 · a2 = (22 · a2) 4 = (2a) 4 = (2a) 2 = 2a
3
2
––
3
• 5 : 5 = 5 : 5
2
1
––
2
=5
y
y
x = x
2
1
–– – ––
3
2
=5
1
––
6
5
Para calcular 12
debes efectuar:
6
= 5
1 2 x1/y
5
y obtienes
Las propiedades de las potencias con exponente entero son también válidas
con exponente fraccionario.
m
––
p
––
m
p
–– + ––
q
m
––
p
––
m p
–– – ––
q
2. a n : a q = a n
m
– ––
n
3. a
m p
–– · ––
q
m p
–– ––
q
4. a n 1. a n · a q = a n
=an
m
––
m
––
m
––
m
––
m
––
m
––
5. (a · b) n = a n · b n
1
= m
––
an
6. (a : b) n = a n : b n
ACTIVIDADES
RESUELTAS
6. Expresa en forma de potencia:
4
a) x = x
1
––
4
5
b) (
x ) =x
3
15
––
2
c)
x = x
3
1
––
6
d)
x =x
n m
k
k
–––
mn
7. Expresa de forma radical:
a) x
5
––
11
11
= x5
b) (x3 · y3)
1
––
5
5
3
= x
· y3
c) x
1
––
2
·y
1
––
3
3
= x y
d) (x3)
4
1
––
2
1
––
5
10
= x3
6
8. Halla radicales equivalentes con índice común para los radicales 5
35.
, 73 y Consideramos el menor índice común, es decir, el mínimo común múltiplo de los índices que, en este caso, es el mcm (2, 4, 6) = 12.
Los radicales buscados son:
5 = 5
12
12
1
––
2
=5
6
––
12
12
= 5
6
4
7 = 7
3
3
––
4
=7
9
––
12
12
= 7
9
6
3 =3
5
5
––
6
=3
10
––
12
12
= 310
12
Es decir, 5
310 son radicales con igual índice, y respectivamente equivalentes a los dados.
6, 79 y Y
UNIDAD 01 26/2/08 14:13 Página 22
Unidad 1
22
10. Operaciones con radicales
Niccolò Fontana (hacia 1500-1557)
Recuerda que, para operar con radicales, podemos poner estos en forma de potencia y utilizar las propiedades de las potencias, o bien mantener los radicales y utilizar las siguientes propiedades.
10.1. Radicales de igual índice
• El producto de dos radicales del mismo índice es otro radical que tiene por
índice el índice común y por radicando, el producto de los radicandos.
n
n
n
a·b
a · b = • El cociente de dos radicales del mismo índice es otro radical que tiene por índice el índice común y por radicando, el cociente de los radicandos.
n
n
n
:b
a : b = a
Conocido con el apodo de Tartaglia
debido a su tartamudez a consecuencia de un golpe en la cabeza
durante la infancia. Entre sus muchas
aportaciones a las Matemáticas está
el haber resuelto la ecuación cúbica:
• La potencia de una raíz es otra raíz que tiene por índice el mismo, y por radicando, la potencia del radicando.
x3 + px = q
• La raíz de una raíz es otra raíz que tiene por índice el producto de los índices y por radicando, el mismo.
x=
–
n
p
3
3
3
p
3
3
3
q
+ 2
2
q
+ 2
2
q
+ –
2
n
= am
a = a
m n
q
– 2
m·n
10.2. Radicales de distinto índice
Para multiplicar o dividir radicales con distinto índice podemos operar de dos
formas:
Así, por ejemplo, la ecuación:
x3 + 6x = 2
• Transformando los radicales en potencias de exponente fraccionario.
tiene como solución:
3
m
(a)
• Hallando los radicales equivalentes a los dados con igual índice y aplicando las propiedades anteriores.
3
x = 4
– 2
ACTIVIDADES
RESUELTAS
9. Efectúa y da el resultado en forma de radical:
3
3
3
3
3
5 · 25 = 5 · 5 2 = 5
a) 5
3 = 5
· 25
= 4
reducimos a
índice común
4
utilizamos potencias
de exponente fraccionario
b) 2
· 8
2 · 8
3
3
3
3
3
4
4
4
4
4
3
1
––
1
––
1
––
3
––
reducimos a
índice común
3
12
1
3
–– + ––
4
= 22 · 8 4 = 22 · 24 = 22
c) 81
81: 3 = 27
: 3 = = 33 = 3
d) 27
: 9
4
2
= 22 · 8
· 8 = 22 · 23 = 2
= 2
5 = 22
12
12
12
= 27
39 : 38 = 3
3 : 94 = 5
––
= 24 = 2
1
1 + ––
4
4
= 22
Y
UNIDAD 01 26/2/08 14:13 Página 23
Números reales
23
11. Racionalización de denominadores
Se llama racionalización de denominadores al procedimiento por el cual hacemos desaparecer los radicales del denominador de una fracción
En la siguiente tabla mostramos los casos más usuales de racionalización con
sus respectivos procedimientos.
EXPRESIONES MÁS
FRECUENTES
PROCEDIMIENTOS
a
b
Expresiones conjugadas
Las expresiones del tipo:
Multiplicamos numerador y denominador por b
.
a + b
y a – b
así como las del tipo:
a + b y a – b
n
n–m
Multiplicamos numerador y denominador por b
.
a con m < n
n m
b
se llaman conjugadas.
a
b ± c
Multiplicamos numerador y denominador por la expresión
conjugada del denominador.
a
b
± c
Multiplicamos numerador y denominador por la expresión
conjugada del denominador.
Las segundas son conjugadas de las
primeras, y estas son conjugadas de
aquellas.
ACTIVIDADES
RESUELTAS
10. Racionaliza:
5
72
3
72 = 3
3 · a) =
5
5
5
7
73
73 72
5
6 – 2)
12(
6 – 2
12
12
b) = · = = 3 (6
– 2)
6
–
2
6
–
2
6
+
2
6
+
2
5 =
c) 2
5–3
5 (25 + 3)
5
10 + 3
10 + 3
5
= = 20
–
9
11
(25 – 3)(25 + 3)
2 x–2
2 x–2
2
d) = = x
–
2
x – 2 · x–2
x–2
11. Opera y simplifica las expresiones siguientes:
3
3
a) 316
– 250
+2
3
32
3 · b) 4
33
3
3
54
· 53 + 2
4 – 2
= 32
8
reducimos a
índice común
12
12
36 · 38
= =
12
9
3
5
5
5 = 5
· 5 · 5
3
c)
3
4
5
2
3
12
60
2
3
3
3
3
6 3
33 · 2
= 62
– 52 + 2 = 42
23
2
12
36 · 38
=
39
12
transformamos en potencias
de exponente fraccionario
12
314
= 3
5
39
1
––
1
––
2
––
1
1
2
–– + –– + ––
12 60
= 5 3 · 512 · 560 = 5 3
27
––
9
––
20
= 560 = 520 = 59
Y
UNIDAD 01 26/2/08 14:13 Página 24
Unidad 1
24
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Un triángulo en un cuadrado
A
D
En el cuadrado ABCD dibujamos un punto P como indica la figura.
¿Cómo te parece que es el triángulo APD?
FAMILIARIZACIÓN CON EL PROBLEMA
Se trata de conseguir tener una idea clara sobre el problema en cuanto a
datos, incógnitas, relaciones, etc. La idea clave de esta fase es: antes de hacer, tratar de entender. Esta fase es clara en el problema que nos ocupa y
se percibe sin dificultad lo que el problema enuncia y pide.
BÚSQUEDA DE ESTRATEGIAS
P
15°
B
15°
C
Una vez que nos hemos familiarizado con el problema, buscamos las estrategias que nos permiten resolverlo. En nuestro problema las estrategias
que se nos ocurren son: resolución por trigonometría, resolución por métodos analíticos y resolución por medio de simetrías del cuadrado y de la
figura propuesta.
LLEVAR ADELANTE LA ESTRATEGIA
A
D
Comenzamos por dibujar en cada lado del cuadrado un triángulo isósceles,
como el que figura verde en el dibujo adjunto. De forma sencilla, obtenemos los valores de los ángulos que se señalan en el dibujo y que corresponden a los ángulos de los 4 triángulos isósceles, de los 4 triángulos equiláteros y del cuadrado figuras estas que componen el cuadrado inicial dado.
90°
T
60°
P
B
15°
A la vista de las estrategias que hemos encontrado, llevamos adelante la
que nos parece más oportuna y directa, sin descartar las otras, pues ellas
pueden resultar útiles en caso de fallar la elegida.
En nuestro problema vamos a seguir la tercera estrategia puesto que, por
la experiencia acumulada sabemos que los procedimientos geométricos
suelen ser más sencillos y más elegantes que los analíticos.
150°
C
A partir de este dibujo, podemos razonar como sigue: el triángulo ATP es
igual que el triángulo BPC, ya que tienen dos lados iguales (AT = BP y
TP = PC) e igual el ángulo comprendido, cuyo valor común es de 150°; de
la igualdad de estos dos triángulos obtenemos que AP = BC. Por la simetría de la figura podemos establecer que: AP = PD = AD, de lo que se sigue que el triángulo APD es equilátero.
REVISAR EL PROCESO Y SACAR CONSECUENCIAS DE ÉL
Tanto si hemos resuelto el problema como si no, debemos reflexionar sobre todos los incidentes que nos han surgido en el camino seguido. Si nos es posible, resulta conveniente trasladar las ideas que hemos tenido a otras situaciones, modificar el problema, generalizarlo, etc.
Ante el problema que hemos resuelto, se nos ocurren las ideas siguientes: ¿qué sucede si
trazamos triángulos con ángulos mayores o menores de 15°?, ¿y qué pasa si dividimos otro
polígono regular en vez de un cuadrado?
Y
UNIDAD 01 26/2/08 14:13 Página 25
Números reales
25
¿Qué es un problema?
Un problema matemático es una situación que plantea una
meta a conseguir. Para llegar a esta hay que superar numerosos
obstáculos. El resolver un problema, o intentarlo, requiere una
toma de decisiones por parte de quien lo afronta, ya que no conoce ninguna receta o procedimiento para resolverlo.
recetas que te facilitarán su resolución en poco tiempo. Estas recetas son las que diferencian un problema de un ejercicio. Podemos, pues, concluir que un ejercicio es una tarea en la que de
antemano se percibe en qué consiste y cuál es el medio para resolverla.
Las principales características que debe reunir un problema son:
• Suponer un reto adecuado a las capacidades de quien intenta resolverlo.
• Atraer por sí mismo, aunque no tenga utilidad.
• No ha de plantear un bloqueo inicial a la persona que lo
intente resolver.
• Proporcionar satisfacción al intentar resolverlo.
• Hacer nacer el deseo, en quien intenta resolverlo, de proponerlo a los demás.
Puedes observar que la tarea planteada en la página anterior es
realmente un problema, pues cumple con las características que
los definen. Esta misma tarea, que en estos momentos es para
ti un problema, se convertirá en ejercicio en cuanto amplíes tus
conocimientos sobre Trigonometría. En ese estadio poseerás
BIBLIOGRAFÍA
Las ideas, textos y enunciados de los problemas que aparecen en los apartados que llevan por título Resolución de Problemas,
están tomados de los siguientes libros o revistas:
– CALLEJO, M. L. (1994). Un club matemático para la diversidad. Narcea. Madrid.
– CERO, Grupo (1984). De 12 a 16. Un proyecto de currículum de Matemáticas. Edición propia. Valencia.
– FERNÁNDEZ, S.; ALAYO, F.; BASARRATE, A.; FOUZ, F. (1991). Revista Sigma nº 10. Servicio Central de Publicaciones del Gobierno Vasco. Bilbao.
– GARDNER, M. Varios títulos. Labor y Alianza.
– GUZMÁN, M. de (1991). Para pensar mejor. Labor. Barcelona.
– MASON, J.; BURTON, L. STACEY, K. (1988). Pensar matemáticamente. Labor-MEC. Barcelona.
– WOOD, L. E. (1987). Estrategias de pensamiento. Labor. Barcelona.
A C T I V I D A D E S
Clasifica las siguientes tareas en problemas o ejercicios e intenta resolverlas:
1. Sumas. Considera la serie de números pares 2, 4, 6, 8, etc. ¿Cuánto vale la suma de los m primeros?
2. El camello sediento. El beduino Ali-kan desea transportar 100 bidones llenos de agua desde Kamal hasta Wadi, pueblos separados por 100 km de desierto. Para ello, dispone de un camello capaz de andar descargado indefinidamente,
o, de cargar con un solo bidón, siempre y cuando beba una cantidad de agua igual a la que contiene el bidón cada vez
que completa 100 km cargado.
El beduino no dispone de más agua para el camello que la contenida en los bidones. ¿Cuántos de estos 100 bidones podrán llegar a Wadi?
Y
UNIDAD 01 26/2/08 14:13 Página 26
Unidad 1
26
NUEVAS TECNOLOGÍAS
Derive es un programa fácil de utilizar;
como todo programa que funciona bajo
el entorno Windows, utiliza ventanas
con barras de título, barra de menús, barras de herramientas y área de trabajo.
En la parte inferior del área de trabajo
aparecen una barra con el editor de expresiones y una serie de herramientas
para utilizar con él.
Aritmética con Derive
Derive es un programa informático que permite realizar todo tipo de cálculos
con números y con expresiones algebraicas, por lo que es una potente herramienta para trabajar en Aritmética y Álgebra.
A continuación, vamos a ver cómo efectuar operaciones con radicales utilizando Derive.
Antes de comenzar la sesión de trabajo conviene restablecer sus opciones iniciales,
puesto que a veces cambian, y para ello se selecciona lo siguiente en el menú:
Definir + Restablecer todas las preferencias
OPERACIONES CON RADICALES
3
2
Para racionalizar la expresión hemos de seguir los siguientes pasos:
2
3–3
3
2
1. En el Editor de expresiones introducimos la expresión y, pulsando la tecla
2
3–3
INTRO aparece la expresión en el área de trabajo.
2. Si la expresión no es la correcta la corregimos en el Editor de expresiones, y si es correcta, tenemos dos opciones:
a) Pulsar la tecla
con lo que se muestra el resultado en forma decimal.
b) Pulsar la tecla
con lo que se muestra el resultado en forma de raíz.
Estas teclas están situadas a la izquierda del Editor de expresiones, como puedes
comprobar en la imagen.
1 3
3 – sin más que
Del mismo modo podemos calcular el valor de la potencia 2
3
introducir en el Editor de expresiones, (23
– 1/3) como vemos en la parte inferior
de la figura.
^3
PRACTICA con Derive la resolución
de las actividades número 15, 23 y
28.
Y
UNIDAD 01 26/2/08 14:14 Página 27
Números reales
27
EN RESUMEN
NÚMEROS REALES
se utilizan
para
Medir
magnitudes
Cantidades
se obtienen
se hacen
todos son
Números
Errores
vienen
afectadas de
Aproximaciones
clases
se representan en
Aproximaciones
decimales
Recta
real
Redondeos
Truncamientos
operaciones
subconjuntos importantes
Intervalos
Entornos
Conjuntos
acotados
Operaciones
elementales
Radicales
equivalentes
Radicación
Operaciones
Racionalización
de los
denominadores
AMPLÍA CON…
Hans Magnus Enzensberger nos muestra en El diablo de los números (Ediciones Siruela) el mundo mágico que rodea a los números.
Los personajes son un niño, Robert, al que no le gustan las matemáticas porque
no las acaba de entender, y un diablillo que se le aparece en sueños y le conduce
por el mágico mundo de los números.
Las enseñanzas del diablillo a Robert duran doce sueños, y en ellas se van contando anécdotas, conceptos, juegos e historias que muestran cómo todo encaja
en el mundo de las Matemáticas.
Además, el diablillo le muestra situaciones misteriosas que aún están por resolver.
Y
UNIDAD 01 26/2/08 14:14 Página 28
Unidad 1
28
ACTIVIDADES FINALES
EJERCICIOS Y PROBLEMAS
1. Halla el menor conjunto numérico al que pertenecen los siguientes números:
3
4,23
3
– – 64
1,03
7
)
13
0
12
–
3
1
π
3
–8
– 1,3
0,5
2. Razona la verdad o la falsedad de las siguientes afirmaciones:
a)
b)
c)
d)
Algún número decimal es racional
Todo número entero es natural
Ningún número racional es entero
Algún número real es irracional
3. Representa en la recta real los siguientes números:
23
8
5
– 8
4
–
3
)
– 32
1,6
0,7
1
––
18
3
125
–
9
42
4. Dibuja sobre la recta real los siguientes conjuntos:
a) Los números reales mayores o iguales que 3
d) D = {d ∈ | d > 1 ó d > –5}
b) B = {b ∈ | b < 0 y b > –7}
e) E(5, 2)
c) (–∞, –5]
f) Los números enteros menores que –2
5. Expresa de forma simbólica los siguientes conjuntos; estudia su acotación y la existencia de supremo, ínfimo, máximo y
mínimo:
a)
b)
c)
d)
1
–2
–4
e)
2
–1
1
4
f)
–1
0
–3
1
2
3
3
–5
5
5
7
6. Estudia la acotación de los siguientes conjuntos; determina si existen supremo, ínfimo, máximo y mínimo:
a) E(5, 6)
e)
E + (–5, 1) ∪ E – (–5, 1) ∪ {–5}
b) (–3, 1) ∩ [0, 3]
f)
F = {f ∈ | f < 0 ó f < 5}
c) [–3, 0) ∪ (–1, 3]
g)
E *(2, 5) ∩ E(5, 4)
d) D = {n ∈ | n > 3 y n < 9}
h)
1
I= n
n ∈ y n ≠ 0
7. Expresa en forma de intervalo los siguientes conjuntos; estudia su acotación y la existencia de máximo y mínimo:
a) E (–2, 4) ∩ E(2, 2)
b) {x ∈ | x ≤ 2 y x ≥ –2} ∪ {x ∈ | x > 0}
Y
UNIDAD 01 26/2/08 14:14 Página 29
Números reales
29
8. Rellena la tabla siguiente en tu cuaderno:
Valor exacto
Aproximación
decimal a milésimas
por defecto y cota
de error
Aproximación
decimal a centésimas por exceso y
cota de error
Redondeo a
décimas y cota
de error
Truncamiento a
centésimas y cota
de error
2,236067...
3,421
0,001
0,80
0,05
32,42
0,01
9. Dado el número 1 724,157203...
Indica cuáles de las siguientes aproximaciones decimales del número anterior son redondeos. En los casos en que lo sean,
anota la cota de error.
1 725
1 724,16
1 724,2
1 724,1
1 720
1 724,158
1 724,1572
221
10. Calcula, aproximadamente, el error absoluto y relativo que se comete al tomar como valor aproximado de π.
71
11. Calcula, aproximadamente, el error absoluto y relativo que se comete al redondear el número de oro Φ a centésimas.
12. Expresa en notación científica las siguientes cantidades, y determina el orden de magnitud:
a)
b)
c)
d)
Distancia Tierra-Luna: 384 000 km
Distancia Tierra-Sol: 150 000 000 km
Virus de la gripe: 0,000 000 002 2 m
Radio del protón: 0,000 000 000 05 m
e)
f)
g)
h)
57 billones
623 cienmilésimas
0,035 millones
12 centésimas
13. Un año-luz es la distancia recorrida por la luz en un año:
1 año-luz = 9,4605 · 1012 km
Sabiendo que:
distanciaTierra-Luna = 384 403 km y
distanciaTierra-Sol = 1,5 · 108 km
Calcula con redondeo a centésimas la distancia de la Tierra a la Luna en segundos-luz, y la distancia Tierra-Sol en
minutos-luz.
14. En un supermercado nos presentan la cuenta a cobrar en
euros. Los productos que hemos comprado tienen los siguientes precios:
a) 1,325 euros
b) 0,477 euros
c) 25,008 euros
d) 122,553 euros
e) 82,572 euros
f) 7,634 euros
El supermercado redondea a centésimas de euro. ¿Cuántos euros pagaremos si el supermercado primero redondea y luego suma? ¿y si primero suma y luego redondea?
Y
UNIDAD 01 26/2/08 14:14 Página 30
1
Unidad 1
30
ACTIVIDADES FINALES
15. Efectúa las siguientes operaciones haciendo uso de la calculadora:
a) 1,57 · 10–5 + 4,325 · 10–2
d) 2,32 · 106 · 7,2 · 10–2
b) 6,215 · 105 : 3,25 · 10–1
e) 9,7 · 107 · (8,3 · 10–4 – 5,2 · 10–5)
c) 2,9 · 104 + 3,25 · 10–2 – 7,2 · 103
f) 5 · 107 · 4,5 · 10–3 : 1,5 · 102
16. Calcula las siguientes raíces:
2 4
b
a) 25a
3
e) 81a
8
4
4
f) 8x3 y 6
c) 64a6 b3
5
15
b) 32x
3
d) 625z
8
17. Expresa en forma de potencia las raíces, o en forma de raíz las potencias siguientes:
3
4
1
c) a5
e) a) a
a3
–2
––
–3
––
1
––
2
––
h) a 3
f) 5 2
d) 5 2
b) 2 3
1
g) 3 2
a
18. Pon las siguientes expresiones bajo un único radical:
a)
8
b)
a b
3
3
c)
3
3
3
e)
a
d)
a b
f)
a
a
5
2
3
3
4
4
3
8
19. Extrae todos los factores posibles de los radicales siguientes:
a) 1 000
3
5 7
e) 16a
b
4
f) xy 5 z 7
c) 8a
5
3
4 3
b) a
b
5
d) x8 y 5
20. Introduce los factores en el radical:
4
a) 42
3
b) 2aba2
3
c) 3
32
e) 3 a
d) a2b4
2ab3
2
f) 4aa
b
3
21. Calcula, presentando el resultado en forma de raíz y en forma de potencia:
3
3
5
5
a) 2
· 22
c) 2a
4 : 2a
3
b) a · a2
d) a–1 · a
3
22. Efectúa las siguientes operaciones:
4
2
a) 32
– 2 + 52 – 2
3
5
3 4
1 4
1 4
b) 3 + 3 – 3
3
4
2
3
4
7
c) 8 – 50 + 18 – 98
5
2
4
3
3
1 3
d) 2
16 – 5
54 + 250
5
e) 54x
– 336x
+ 25x
– 6x
3
3
3
f) 6 x7 + x2x – 3x2 27x
6
6
e) 3
5 : 33
f) a : a
2
g) 4a
+4
h) a2 – a2b
Y
UNIDAD 01 26/2/08 14:14 Página 31
Números reales
31
23. Realiza las siguientes operaciones simplificando lo más posible los resultados:
a)
2
2 – 2 b)
(27 + 3)
c)
(2 + 2 ) (2 – 2 ) – (2 + 2 )
i)
(32 + 3)
d)
(418
– 212
+ 32
) · 22
j)
(75
– 27
+ 212
) : 33
e)
(3 + 22 ) (2 – 3 ) 3
k)
(463
– 528
) : (343
– 175
)
f)
(72
– 20
– 2 ) (2 + 28 + 25 )
l)
3 45 – 2 20 · 3 125
2
2
g) 212
· 15
· 20
– 47
(7 + 3)
h) 3
(23 – 5) – 5 (25 –3)
2
2
2
2
– 3(2
– 3)
3
2
24. Reduce a índice común y ordena de menor a mayor las raíces de cada apartado:
5
d) 10
, 100
3
4
6
e) 2
, 2, 2
3
9
a) 2
, 5
5
4
b) 4
, 6
c) 2
, 3, 5
f)
3
4
–1
–3
, 5
3
25. Opera:
3
4
4
a) 5
· 2 · 6
6
5
8
e) 3
· 27
· 243
10
b) a 5 · a 3 : a
4
3
c) 2ab
b
: 8a
8
ab3 · 2a2 b2
g)
3
3
3
3
4
6
f)
2
4
6
4 · 8 · 2
h) 2
4
d) 12
64
26. Racionaliza las siguientes fracciones:
5
2
a) 2
1
d) 2
5
2
g) 5
3
7
b) 3
7 · 3
3
e) 2 + 2
3
h) 3 – 23
5 – 2
c) 5 + 2
f)
11
3
5 – 2
7
i)
7 + 1
2
7+5
27. Realiza las operaciones racionalizando previamente:
35 – 53
3
5
a) 96
–
189
2
7
c)
3 + 2
2
1
b) – 3 – 2
2
2
2
2
d) – 1 + 3
1 – 3
Y
UNIDAD 01 26/2/08 14:14 Página 32
1
Unidad 1
32
ACTIVIDADES FINALES
28. Calcula, simplificando al máximo el valor de:
4
4
2
4
243
a) – 51875
+
4
4
32
16
b)
c)
3
4
245
+ 580
– 125
5
5
3
3
2
64 + 5
281
· 3
3
9
3
5
8
2 5
2
:
–
256
5
2
3
972
d)
c)
5
5
+ 2
5
2
5–4
29. Racionaliza, efectúa y simplifica la expresión:
2
2
3
a) – (6
– 2)
4
3 – 3
2
7
d) –
7 + 2
2
2
3–3
3+3
b) – 2
3+3
2
3–3
4
7
30. Efectúa y simplifica:
a)
4
9
72
9
b)
+ 7 – 8
1
14
3
4
c)
5 5
5
5
e)
(250
– 16
) · 4
d)
7 – 2 6
7+2
· 6
f)
5
31. Elevando al cuadrado ambos miembros, comprueba que
32. Demuestra la identidad:
2 + 3
2 + 6
= 2
4
33. Racionaliza las siguientes fracciones:
5 – 3 – 2
b) 5 + 3 – 2
2
a) 2 + 3
34. Efectúa la siguiente operación:
5 + 2
1– 5 – 2
2
35. Halla dos números racionales positivos x e y tales que:
11 + 112
= x + y
36. Calcula el valor de la siguiente expresión:
1 + 6
1 – 6
2
–
1 – 6
1 + 6
2
3
3
3–1
3+1
4+2
– 2 3
3 – 4
= 2.
3
Y
UNIDAD 01 26/2/08 14:14 Página 33
Números reales
33
AUTOEVALUACIÓN
1. El redondeo a diezmilésimas del número e = 2,71828182... es:
a) 2,7182
b) 2,7183
c) 2,718
d) 2,71828
c) 4 + 113
d) 28 + 273
2. El valor de la expresión 327
– (23 –4)2 + 12
es:
a) 28 – 273
b) –28 + 273
3. La representación gráfica
corresponde a:
a) [–5, 4) ∩ (–7, 2]
b) E(1, 6)
c) (–5, 4) ∪ [2, 6)
d) (–5, 4) ∩ (–7, 2]
4. La distancia al universo observable es 2,5 · 1010 años-luz. Si sabemos que 1 año-luz son 9,4 · 1012 km, la distancia dada
en kilómetros es:
a) 2,35 · 1022
b) 2,35 · 1023
c) 2,35 · 1024
d) 23,5 · 1023
c) 29
d) 34 + 122
6
c) 4
2
d) 6
c) 7
d) –7
b) 123
c) 3
d) 207
b) 1
c) 3
3
2+4
5. El resultado de racionalizar es:
3
2–4
a) 17 + 122
b) 17 + 242
4
4
4
6. La operación ( 3 32
+ 2162
) : (22 ) vale:
4
4
a) 102
b) 62
21
1
– – obtenemos:
4
16
7
7. Al calcular 4
b) 7 – 37
a) 0
8. El producto 12 – 3
7 ·
4
a)
12 + 3
7 es igual a:
4
12 – 3
7
9. El valor de
4
4
4
9
3
1
es:
9
a) 3
3
d) 3
10. La expresión 3 : 33 · 32 equivale a:
3
12
a) 3
4
3
b) 3
4
c) 27
–5
––
d) 3 4
Z