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LEY DE COULOMB Y CAMPO ELÉCTRICO
F=
q1 ⋅ q2
4πε 0 r 2
1
ε 0 = 8.854 10
−12
F0 [ ]
E=
q0 [C ]
C2
m 2
F0 = q0 E
E
+
Carga puntual
r
E=
q
rˆ
2
4πε 0 r
Carga
positiva
+
q0
F0
1
Carga
negativa
-
F0
E
q0
Movimiento de cargas en un campo eléctrico uniforme
Una carga en un campo eléctrico experimenta la fuerza eléctrica F
r
r
F = qE
r
r
F = ma
r qE
a=
m
a=
F
m
=
qE
m
v = v + 2ad
2
K=
Si el campo eléctrico es uniforme
la carga se mueve con aceleración
constante a.
2
0
1 2
mv
2
1 2
d = v0t + at + d 0
2
v = v0 + at
EJERCICIO 21.36
p
∆V
d=1.6 cm
F
qp=1.6 10-19 C, mp=1.67 10-27 kg
Se deja libre un protón inicialmente en
reposo en la superficie de la placa de
arriba. El protón golpea la placa
opuesta, distante 1.6 cm, al cabo de
un intervalo de tiempo t = 1.5 10-6 s.
a) Halle la
eléctrico.
b)
F = q p E = ma y ⇒ E =
1 2
d = v y 0t + a y t
2
=0
a) E =
mpay
qp
ma y
magnitud
del
campo
Halle la rapidez del protón cuando
incide en la placa inferior.
qp
ay =
2d 2 ⋅ 0.016 m
12
2
=
=
0
.
0142
10
/
m
s
t 2 (1.5 10 −6 s ) 2
(1.67 10 −27 kg )(0.0142 1012 m / s 2 )
4
=
=
0
.
0148
10
/C
−19
1.6 10 C
b) v y = v0 y + a y t = (0.0142 1012 m / s 2 )(1.5 10 −6 s ) = 0.0213 106 m / s
=0
23.5 Se mantiene fija en el origen una carga puntual Q=+4.6 µC. Se coloca
sobre el eje de las x, a 0.25 m del origen, una segunda carga puntual q=+1.2
µC con una masa de 2.8 10-4 kg. a) ¿Cuál es la energía potencial eléctrica U
del par de cargas? (Tome U como 0 cuando la separación entre las cargas es
infinita). b) Se deja libre la segunda carga puntual, inicialmente en reposo. i)
¿Cuál es su rapidez cuando su distancia al origen es de 0.5 m? ii) ¿ 5 m? iii)
¿50 m?
q
Q
0.25 m
a)
b)
i)
qQ (8.9 109 m 2 / C 2 )(4.6 10 −6 C )(1.2 10 −6 C )
U=
=
= 198.7 10 −3 J
4πε 0 d
0.25m
1
U1 = U 2 + K 2 ⇒ 0.198 J =
qQ 1 2
+ mv
4πε 0 0.5m 2
1
1 2
m
mv = 0.0993J ⇒ v = 26.6
2
s
b)
ii)
1
qQ 1 2
U1 = U 2 + K 2 ⇒ 0.198 J =
+ mv
4πε 0 5m 2
v = 36.6
b)
iii)
m
s
1
qQ 1 2
+ mv
U1 = U 2 + K 2 ⇒ 0.198 J =
4πε 0 50m 2
v = 37.5
m
s
CALCULOS DE CAMPO ELECTRICO
Distribución de cargas puntuales
r1
r3
P
q2
q1 E1
r2
r4
r5
E5
E2
E3
q3
E4
q4
q5
El campo eléctrico Ep en el punto P debido a la distribución de cargas
puntuales es la suma vectorial de los campos en P debidos a cada carga:
5 r
r
r r
r
r
r
E p = E1 + E2 + E3 + E4 + E5 = ∑ E1
i =1
q1
1 q2
1 q3
1 q4
1 q5
Ep =
+
+
+
+
2
2
2
2
4πε 0 r1 4πε 0 r2 4πε 0 r3 4πε 0 r4 4πε 0 r52
1
PRINCIPIO DE SUPERPOSICION DE CAMPOS ELECTRICOS
a) En el origen:
E2
q1
E1
P
q2
r
1 q1
1 6 10 −9 C
E1 =
=
2
4πε 0 r1
4πε 0 (0.15 m) 2
r
1 q1 ˆ
E1 =
i
2
4πε 0 r1
r
E2 =
r
E2 =
6 10 −9 C
=
2
4πε 0 r2
4πε 0 (0.15 m) 2
1
q2
1
q2
4πε 0 r
2
2
1
(−iˆ)
r
Ep = 0
b) x=0.3 m y=0
q1
q2
E1
E2
r1=0.45 m
r2=0.15 m
r
E p = E1 iˆ + E2 iˆ = ( E1 + E2 )iˆ
r
Ep =
1
q1
4πε 0 r
2
1
+
1
q2
4πε 0 r
2
2
=
r
1 q1
1 6 10 −9 C
E1 =
=
2
4πε 0 r1
4πε 0 (0.45 m) 2
r
1 q1 ˆ
E1 =
i
2
4πε 0 r1
r
E2 =
r
E2 =
6 10 −9 C
=
2
4πε 0 r2
4πε 0 (0.15 m) 2
1
q2
1
q2
4πε 0 r
2
2
1
iˆ
hacia la derecha
−9
−9
C
C
6
10
6
10
9
2
2
9
2
2
= (8.9 10 m / C )
+ (8.9 10 m / C )
=
2
2
(0.45 m)
(0.15 m)
(266.6 + 2400) = 2666.6
C
C
σ1
E =
2ε 0
E =
-σ2
+σ1
σ 2 − σ1
E=
2ε 0
σ2
2ε 0
E
σ1 + σ 2
E=
2ε 0
E
σ1 − σ 2
E=
2ε 0
+x
EJEMPLO 22.11 Un conductor tiene una carga total de +3 nC. La carga
en el interior de la cavidad, aislada del conductor, es de -5 nC. ¿Cuánta
carga hay en cada superficie (interna y externa) del conductor?
Q=+3nC - - +
Considero la superficie gaussiana A. Para que
-5 nC la carga total adentro de la superficie sea 0,
- + + + +
la carga en la superficie interna tiene que ser
- - A
qint=-(-5 nC)=5 nC
Q=qint + qext
3nC=5nC+ qext
qext=3nC-5nC=-2nC
n
r r
Φ E = ∫ E ⋅ dA =
∑q
i
i =1
ε0
=
Qenc
ε0
CAMPO DE UNA ESFERA CONDUCTORA CON CARGA
Φ E = E (4πr ) =
+
+
+
+ R
+
+
+
+ +
r<R
E
0
=0 ⇒E=0
ε0
1 q
q
2
Φ E = E (4πr ) =
⇒E=
ε0
4πε 0 r 2
2
∞
∞
r
r
V (r ) − V (∞) = V (r ) = ∫ Edr = ∫
V ( R) =
1
q
1 q
=
4πε 0 r 2 4πε 0 r
1
q
4πε 0 R
0
V ( R ) − V (0) = ∫ Edr = 0
r >= R
E(R)
R
V (r < R) = V ( R)
r
Q [C ]
C=
= 1 Farad = 1 F
∆V [V ]
Q
σ
Q
Qd
σ=
∆V = Ed =
E= =
A
ε0 ε0 A
ε0 A
Q Qε 0 A
A
C=
=
= ε0
∆V
Qd
d
A
+Q
d
-Q
Q2 1
1
U=
= CV 2 = QV
2C 2
2
+Q
∆V’
-Q
A
d
d
Q
A
= kC0 = kε 0
C=
d
∆V '
∆V
∆V ' =
k
CARGA INDUCIDA Y POLARIZACIÓN
Dieléctrico entre las placas
+++++++++++++++++++++++ σ
- - - - - - −σi
E=
E0 σ − σ i
=
K
ε0
menor que σ
E
+ + + + + + +σi
--------------------------
E=
E0
σ −σi
σ
=
=
K ε0K
ε0
−σ
σi = σ −
σ
1

= σ 1 − 
K
 K
Densidad de carga inducida
24.39 Dos placas paralelas tienen cargas iguales y opuestas. Cuando se evacúa
el espacio entre las placas, el campo eléctrico es E=3.2 105 V/m. Cuando el
mismo espacio se llena con dieléctrico es E=2.5 105 V/m. a) ¿Cuál es la densidad
de carga en cada superficie del dieléctrico? b) ¿Cuál es la constante
dieléctrica?
E0 =
σ
= 3.2 105V / m
ε0
σ = (3.2 105V / m)(8.85 10 −12 C 2 / m 2 ) = 28.33 10 −7 C / m 2
E
E= 0
K


E0 3.2 105
⇒K=
=
= 1.28
5
E 2.5 10
1
k
σ i = σ 1 −  = 6.2 10 −7 C / m 2
Corriente eléctrica
dQ
qe=carga electrón
= nqe vd A
I=
dt
I nqvd A
[ A]
Densidad de corriente eléctrica
= nqvd
J= =
2
A
A
[m ]
E
ρ=
J
[V ] [m 2 ] [Vm]
=
= Ωm
[ m] A
A
V = RI
L
R=ρ
A
Ley de Ohm
resistividad
FUERZA MAGNÉTICA SOBRE UNA CARGA EN MOVIMIENTO
Características de la fuerza magnética sobre una carga en movimiento:
su magnitud es proporcional a la magnitud de la carga
su magnitud es proporcional a la magnitud del campo magnético
su magnitud depende de la rapidez de la carga (si la carga está en
reposo, no experimenta fuerza magnética)
la fuerza magnética F no tiene la misma dirección que el campo
magnético B: es siempre perpendicular a B y a la rapidez v
La magnitud F depende de la orientación relativa entre B y v: es cero
cuando B y s son paralelos o antiparalelos.
r
rr r
F
F=
=q
qvv ×
×B
B
rr
F = qvB sin(ϕ )
F
q
-q
B
BB
φ
v
vv
v
F
FF
q positiva
Si v y B son perpendiculares la partícula se mueve en un círculo:
2
v
F = q vB = m
R
mv
R=
qB
X
X
X
X
X
R
X
X
X
B
F
v
X
X
Carga positiva
Si la carga es negativa, la partícula
se traslada en el sentido del reloj
La rapidez angular ω de la partícula y su frecuencia son:
qB qB
v
ω = =v
=
R
mv
m
qB
ω
f =
=
Frecuencia de ciclotrón
2π 2πm
X
X
X
X
Si el campo B no es perpendicular al alambre, sino que forma un ángulo φ con él:
r r
F = IL × B
F = ILB sin(φ )
F
φ
B
Si el conductor no es recto, podemos dividirlo en
segmentos infinitesimales dl, y la fuerza dF sobre
cada elemento es:
r r
r
dF = Idl × B
L
I
¿Qué ocurre cuando las cargas en movimiento son negativas? Una corriente
ascendente corresponde a una velocidad de deriva descendente. Sin
embargo, dado que q es negativa, la dirección de la fuerza F es la misma que
antes.
27.40 El circuito que se muestra en figura sirve para construir una balanza
magnética para pesar objetos. La masa m, que se va a medir, se cuelga del
centro de la barra, que está en un campo magnético uniforme de 1.5 T
dirigido hacia el plano de la figura. Se puede ajustar el voltaje de la batería
para modificar la corriente en el circuito. La barra horizontal mide 60 cm de
largo y es de un material ligero. Está conectada a la batería mediante unos
alambres verticales finos. Todo el peso de la masa m está sostenido por la
fuerza magnética que se ejerce sobre la barra. Hay un resistor R=5Ω en
serie con la barra y todas las otras resistencias del circuito son
despreciables.
a) ¿Cuál punto, a o b, debe ser el borne positivo de la batería?
b) Si el voltaje máximo de la batería es de 175 V, ¿ cuál es la masa más grande
que el instrumento puede medir?
R
batería
La fuerza magnética debe ser
a
b
hacia arriba. Para que la fuerza
magnética sea hacia arriba, la
B
X
X X
X
X
X
corriente tiene que ser hacia la
derecha, entonces a tiene que ser
el borne positivo.
X
X
X
m X X
X
X
X
mg
X
X
a
batería
X
X
X
X
X
X
X
X
X
R
b
XB X
X
m X
X
X
X
mg
F = mg
I=
V
R
ILB = mg
V
LB = mg
R
V LB (175V )(0.6m)(1.5T )
m=
=
= 3.21kg
R g
(5Ω)(9.8m / s 2 )
DIPOLO ELÉCTRICO Y ESPIRA EN CAMPO MAGNÉTICO
+
p
F-=-qE
-
d
φ
q
F+=qE
A
B
dsinφ
F
b
(b/2)sinφ
φ
-q
E
r
p = qd
r r
τ = p× E
r
τ = pE sin(φ )
r
r r
U (φ ) = − pE cos(φ ) = − p ⋅ E
r
µ = IA
r
τ = IBA sin(ϕ )
r r r r
τ = IA × B = µ × B
r r
U = − µ ⋅ B = − µB cos(φ )
I r
I r
µ0 I
B=
2πr
La figura es una vista de los extremos de dos alambres rectos paralelos largos,
perpendiculares al plano xy, cada uno de los cuales conduce una corriente I, pero
en sentidos opuestos. a) Encuentre la magnitud y dirección de B en los puntos P1,
P2 y P3.
µ0 I
µ0 I
y
P1) B = −
B =
1
B2
1
P1B1
B1
d P2
3d
I
X
2
X
B2
B1 x
d
P3
B2
2d
B
I
B
2π (2d )
2π (4d )
µ0 I
µ0 I
µI
=−
+
=− 0
2π (2d ) 2π (4d )
8πd
2
BTOT
µ0 I
µ0 I
P 2) B1 =
B2 =
2π (d )
2π (d )
µI
µI
µI
BTOT = 0 + 0 = 0
2π (d ) 2π (d ) πd
µ0 I
µI
B2 = − 0
2π (3d )
2π (d )
µ0 I
µI
µI
=
− 0 =− 0
2π (3d ) 2π (d )
3πd
P3) B1 =
BTOT
28.11 Dos alambres rectos y largos, uno encima del otro, están separados por
una distancia 2a y son paralelos al eje de las x. El eje de las +y está en el plano
de los alambres en dirección del alambre inferior al superior. Cada alambre
transporta la corriente I en dirección +x. ¿Cuáles son la magnitud y dirección
del campo magnético neto de los dos alambres en un punto situado en el plano
de los alambres a) a medio camino entre ambos? b) ¿a una distancia a arriba del
alambre superior? c) ¿a una distancia a abajo del alambre inferior?
y
2a
P2
I
P1
I
P1 B1 =
x
x
P3
X
x
I
B
X
µ0 I
2πa
B2 = −
µ0 I
2πa
BT = 0
µ0 I
µ0 I
P 2 B1 =
B2 =
2π (3a )
2πa
µ0 I
µ I 4µ I
+ 0 = 0
BT =
2π (3a ) 2πa 2πa
µ0 I
µ0 I
P3 B1 = −
B2 = −
2π (a )
2π (3a )
4µ I
µI
µ0 I
=− 0
BT = − 0 −
2π (a ) 2π (3a )
2πa
FORMULARIO
ELECTROSTÁTICA
Partículas elementales
qe = -1.6 x 10 – 19 C
me = 9.11x 10 – 31 kg.
qp = 1.6 x 10 – 19 C
mp = 1.67 x 10 – 27 kg.
qn = 0
mn = mp
qd = qp
md = 2 mp
qα = 2 qp
mα = 4 mp
Ley de Coulomb
F=
k=
4πε 0
Flujo eléctrico
F
1 q
E= =
q 4πε 0 r 2
r r
Φ E = ∫ E ⋅ dA
Densidades de carga
dq
dL
dq
σ=
dA
dq
ρ=
dV
λ=
kq1 q 2
r2
1
Campo eléctrico
Dipolo eléctrico
= 8.9 10 m / C
9
εo = 8.85x 10 –12 C2/Nm2
2
2
r
p = qd
r r
τ = p× E
r r
U = −p⋅E
A
Ley de Gauss
r r q
Φ E = ∫ E ⋅ dA =
ε0
A
POTENCIAL
Carga puntual
V=
U
1 q
=
q0 4πε 0 r
Conjunto de cargas
puntuales
1
U
qi
=
∑
q0 4πε 0 i ri
b r
r
Va − Vb = ∫ E ⋅ dl
V=
a
CAPACITORES
C=
Q
∆V
Capacitor de placas
paralelas
C=
ε0 A
d
Capacitor con
dieléctrico
Cd = k d C
kε A
Cd = d 0
d
V
Vd =
kd

1 Q2 1
U=
= CV 2
2 C
2
Capacitores en serie
1
1
1
1
=
+
+
+ ...
C eq C1 C 2 C3
Capacitores en
paralelo
1
d

Ley de Ohm
R=
V
i
Resistividad
ρ=
RA E
=
l
j
Resistencias en serie
C eq = C1 + C 2 + C 3 + ...
Req = R1 + R2 + R3 + ...
Corriente eléctrica
Resistencias en paralelo
dq
dt
q
i = = nqe vd A
t
n=
Vol
ˆj = i = nqe vrd
A
i=
σ i = σ 1 − 
k

Energía en un capacitor
1
1
1
1
= +
+ + ...
Req R1 R2 R3
Potencia entregada en
una fuente
P = Vi
Potencia e una resistencia
P = i2R
FUERZA MAGNÉTICA
Sobre una carga
r
rv r
Fm = qv xB
Carga circulando en
campo magnético
r
v2
Fm = m
R
v = ωR
Sobre una conductor
r r
r
Fm = ilxB
Fuerza de Lorentz
r
r
r r
Fm = qE + qv xB
Momento de torsión
r r r µr = iAr
τ = µ xB
Ley de Faraday
ε =−
Energía potencial
r r
U = −µ ⋅ B
ÓPTICA
r r
Φ B = ∫ B ⋅ dA
θr =θa
Ley de Ampere
na senθ a = nb senθ b
enc
Ley de Biot-Savart
r
r µ 0 Idl xrˆ
dB =
4π r 2
µ = 4πx10−7 Tm / A
c
v
λ0
λ=
n
n=
Flujo magnético
r r
∫ B ⋅ dl = µ 0 I
dΦ B
dt
I = I max cos 2 φ
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