TEMA 5 - Universidad de Huelva

Universidad de Huelva
ESCUELA POLITECNICA SUPERIOR
Departamento de Ingeniería Minera,
Mecánica y Energética
Asignatura: Ingeniería de Máquinas [570004027]
5º curso de Ingenieros Industriales
5º Tema.- Ampliación de análisis cinemático de
mecanismos planos mediante
métodos analíticos.
Huelva, Dic. 2007
Profesor: Rafael Sánchez Sánchez
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ÍNDICE
1. INTRODUCCIÓN A LA DINÁMICA.
2. FUERZAS QUE SOPORTA UNA MÁQUINA.
3. FUERZA DE INERCIA, PAR DE TORSIÓN DE INERCIA.
4. DETERMINACIÓN DE FUERZAS EN UN MECANISMO.
5. MÉTODOS DE ANÁLISIS DE FUERZAS EN MECANISMOS PLANOS
DE ESLABONES ARTICULADOS.
5.1.
Análisis mediante el principio de
superposición.
5.2. Análisis mediante el método matricial.
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1. Introducción a la dinámica.
Al diseñar las piezas de una máquina o de un mecanismo,
debemos tener en cuenta su resistencia para soportar las fuerzas
o pares de torsión, que van a actuar sobre los eslabones
individuales que lo componen. Por tanto cada componente de
una máquina, por pequeño que sea, debe analizarse
cuidadosamente, con respecto a su papel en la transmisión de
esfuerzos.
Imaginemos un mecanismo de cuatro barras, que estará
compuesto por cuatro eslabones, y por cuatro pares o
articulaciones (ya sean pernos o rodamientos). Deberemos
analizar todos ellos desde el punto de vista de su resistencia,
poniendo especial cuidado en estos últimos, ya que
frecuentemente son los elementos más críticos en las máquinas,
debido a que sufren una fuerte concentración de esfuerzos.
2. Fuerzas que soporta una máquina.
Las fuerzas que actúan sobre una máquina o mecanismo, pueden
ser debidas a diversos motivos: el propio peso de los eslabones
(fuerzas de gravedad), cargas externas, cargas disipativas
(fuerzas de rozamiento), las aceleraciones sufridas por los
eslabones (fuerzas de inercia), etc.
Sin embargo normalmente consideraremos, que el peso de los
eslabones es despreciable frente a las restantes fuerzas, durante
el análisis dinámico.
Además si el mecanismo está bien lubricado, vamos a poder
considerar despreciables las fuerzas de rozamiento, y a pesar de
ello obtener resultados suficientemente precisos, pero que
simplifica enormemente la resolución del problema.
Por tanto para abordar el estudio dinámico de los mecanismos
planos, tendremos en consideración únicamente las cargas
externas y las fuerzas de inercia.
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3. Fuerza de inercia, y par de torsión de inercia.
De mecánica, sabemos que las ecuaciones de movimiento plano
que se aplican a un cuerpo rígido, como es un eslabón de nuestro
mecanismo, vienen dadas por las expresiones:
_
_
∑ F = M · Ag [1]
_
_
∑T=I·α
[2]
Donde:
_
• ∑ F : es la suma vectorial de todas las fuerzas que
actúan sobre el cuerpo.
• M : es la masa del cuerpo.
_
• Ag : es la aceleración del centro de masas del cuerpo.
_
• ∑ T : es la suma vectorial de todos los momentos o
pares que actúan sobre un eje que pasa por el centro
de masas.
• I : es el momento de inercia del cuerpo alrededor del
anterior eje.
_
• α : es la aceleración angular del cuerpo en el plano
del movimiento.
En las ecuaciones [1] y [2] los términos de la derecha, es decir:
M·Ag y I·α, representan a las fuerzas de inercia.
Generalmente este término será conocido, una vez que a través
del análisis cinemático hayamos calculado la aceleración lineal
y/o angular de nuestro eslabón.
Si estos términos, de las fuerzas de inercia, los englobamos con el
resto de las fuerzas [1] y [2] las podemos expresar como:
3
_
∑ FT = 0 [3]
_
∑ TT = 0 [4]
De esta manera, los problemas cinéticos que afectan a
mecanismos articulados de cuerpos rígidos en movimiento plano,
los podemos reducir a un problema de equilibrio estático.
4. Determinación de fuerzas en un mecanismo.
En el análisis de fuerzas de un mecanismo completo, se debe
analizar individualmente cada eslabón como si fuese un cuerpo
libre, mediante el diagrama de fuerzas que actúan sobre él.
Para determinar las direcciones de las fuerzas, debemos
recordar las leyes de la estática. En nuestro caso, vamos a
recordar estas leyes particularizadas a los eslabones del
mecanismo:
1. Si sobre un eslabón actúan dos fuerzas, y éste está en
equilibrio estático, las dos fuerzas deben ser colineales e
iguales en magnitud, pero de sentido opuesto. Si solo se
conocen los puntos de aplicación A y B, las direcciones
se pueden determinar a partir de la línea que une A con
B.
2. Si sobre un eslabón, actúan tres fuerzas, y éste está en
equilibrio estático, las líneas de acción de las tres
fuerzas deben concurrir en un punto K. Por tanto si se
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conocen las líneas de acción de dos de las fuerzas, la de
la tercera debe pasar por su punto de aplicación y por el
punto de concurrencia K.
3. Un eslabón sometido a un par está en equilibrio
estático, únicamente si actúa sobre él otro par
coplanar con el primero, de igual magnitud, y de
sentido inverso.
En el análisis estático, la suma vectorial de las fuerzas que
actúan sobre cada eslabón debe ser igual a cero, para que
haya equilibrio. Esto también debe cumplirse para el
análisis dinámico, cuando hay fuerzas de inercia.
En ambos casos las ecuaciones pueden resolverse grafica y
analíticamente, para calcular las fuerzas que nos son
desconocidas.
La utilización de uno u otro método dependerá de:
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¾ Del tipo de mecanismo.
¾ Del número de posiciones a analizar.
Así utilizaremos:
1. Métodos gráficos en: Mecanismos de eslabones
articulados, cuando estudiemos solamente una sola
posición.
2. Métodos analíticos en: Mecanismos simples, como levas,
engranajes, y en mecanismos de eslabones articulados
cuando debamos estudiar varias posiciones, o un ciclo
completo, sobre todo si contamos con ayuda
informática.
5. Métodos de análisis de fuerzas en mecanismos planos de
eslabones articulados.
Los estudios en los que nos basaremos para realizar el análisis de
las fuerzas que actúan sobre un mecanismo, son:
™ El principio de superposición.
™ El análisis matricial.
El primero lo aplicaremos en la solución gráfica o mediante
cálculos manuales sencillos, y la segunda se adapta mejor cuando
realicemos los cálculos utilizando el ordenador.
5.1. Análisis mediante el principio de superposición.
El principio de superposición establece que “el efecto
resultante de varias fuerzas sobre un cuerpo, es equivalente
a la suma de los efectos parciales, sobre el mismo, de cada
una de ellas”.
Por tanto, en un mecanismo de “n” eslabones articulados
haremos un análisis separado de cada uno de los “n”
eslabones, considerando las fuerzas de inercia y exteriores
que actúan sobre cada uno de ellos, así como los pares de
torsión. Posteriormente los resultados de esos análisis los
sumaremos para determinar las fuerzas y pares de torsión
totales sobre el mecanismo completo.
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Por tratarse de una sola posición de un mecanismo,
utilizaremos el análisis gráfico.
Supongamos el típico mecanismo de cuatro barras, tal como
se representa en la figura:
En el cual conocemos las fuerzas que actúan sobre el mismo
(como podría ser el peso del portón de un coche, la carga a
trasportar, la fuerza máxima del viento, las fuerzas de
inercia sobre cada eslabón, etc.) y que denominamos P2, P3,
y P4. Y por consiguiente, para diseñar estructuralmente el
mismo necesitamos conocer las reacciones en los cuatro
pares o articulaciones. Así mismo deberemos calcular el par
motor que debemos aplicar al eslabón 2 (por ejemplo) para
que el mecanismo permanezca equilibrado.
Para hacer el cálculo de manera gráfica, y posteriormente
aplicarle el método de superposición, debemos considerar el
mecanismo en su estado definitivo como suma de los
siguientes tres estados que denominaremos (´), (´´), (´´´):
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Empezaremos analizando el estado (´), y dentro de este
estado, el eslabón 3, el cual está sometido únicamente a los
esfuerzos F´43 y F´23 que le ejercen los eslabones 4 y 2
respectivamente
_
Y puesto que se debe cumplir en el eslabón ∑ F´3 = 0,
deducimos que F´43 y F´23 deben ser iguales y de sentido
contrario, y siguiendo la dirección del eslabón, a fin de que
también se cumpla que ∑ M´3 = 0.
Si ahora analizamos el eslabón 4, sobre él, además de P4
actúan las fuerzas F´14 (fuerza que ejerce el eslabón 1 sobre
el 4) y F´34 (fuerza que ejerce el eslabón 3 sobre el 4). Para
que el eslabón este en equilibrio, debe cumplirse que:
P4 + F´14 + F´34 = 0
Además, las tres fuerzas deben cortarse en un punto, para
que se cumpla que ∑ M´4 = 0.
De la primera ecuación vectorial conocemos P4, la dirección
de F´34, y con ello podemos determinar la dirección de F´14,
ya que sabemos que ha de pasar por el punto de corte de las
líneas de dirección de P4 y de F´34 tal como se muestra en la
figura adjunta, podemos con ello determinar la dirección de
F´14, y con ella, realizar el siguiente polígono de fuerzas.
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Con este polígono resolvemos la ecuación vectorial, y
podemos obtener el valor de las reacciones F´14 y F´34, y por
consiguiente la reacción F´32 que es igual y de sentido
contrario a F´34, tal como vimos en la resolución del eslabón
3.
A partir de aquí, analizaremos el eslabón 2, para lo cual,
igual que hemos hecho con los eslabones 3 y 4, lo aislaremos
de acuerdo con la siguiente figura:
De su análisis, para que ∑ F´2 = 0 se debe cumplir que F´32 +
F´12 = 0, es decir que F12 es igual en módulo a F´32 tiene la
misma dirección y sentido contrario.
Por otro lado, para que ∑ M´2 = 0, se debe cumplir que:
M´2 = F´32 · h
Quedando con ello resuelto el problema del estado que
hemos denominado (´). Igualmente resolveremos el estado
(´´), en este caso empezaríamos analizando el eslabón 4,
continuaríamos por el eslabón 3, y finalmente por el 2, para
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obtener M´´2. Posteriormente abordaremos el estado (´´´)
empezando su análisis por el eslabón 4, continuaremos con
el 3, y finalizaremos con el 2 para calcular M´´´2
Una vez resueltos los tres estados, para resolver el estado
definitivo, aplicaremos el método de superposición, teniendo
en cuenta que:
•
•
•
•
•
F14 = F´14 + F´´14 + F´´´14
F12 = F´12 + F´´12 + F´´´12
F23 = F´23 + F´´23 + F´´´23
F34 = F´34 + F´´34 + F´´´34
M2 = M´2 + M´´2 + M´´´2
5.2. Análisis mediante el método matricial.
Para plantear el método matricial, vamos a considerar el
mecanismo de 4 barras articuladas como el de la siguiente
figura
En ella podemos ver que, como situación más genérica, los
centros de masas g2, g3, g4 de los eslabones, no están en las
líneas rectas que unen los pares o articulaciones.
Por otro lado, es evidente que igual que en el método de
superposición, para poder tener en cuenta las fuerzas de
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inercia, debemos previamente analizar cinemáticamente el
mecanismo, a fin de obtener la aceleración lineal de los
centros de masas de cada eslabón.
Si analizamos cada eslabón de forma aislada:
Las ecuaciones vectoriales del movimiento de cada eslabón
las podemos poner como:
F32 – F21 = m2 ·Ag2
r22 x F32 – r21 x F21 + M2 = I2 ·α2
[1]
[2]
F43 – F32 = m3 ·Ag3
r33 x F43 – r32 x F32 = I3 ·α3
[3]
[4]
F14 – F43 = m4 ·Ag4
r44 x F14 – r43 x F43 = I4 ·α4
[5]
[6]
Desarrollando [1, 3 y 5] en sus componentes
X e Y:
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F32x – F21x = m2 · Ag2x
F32y – F21y = m2 · Ag2y
F43x – F32x = m3 · Ag3x
F43y – F32y = m3 · Ag3y
F14x – F43x = m4 · Ag4x
F14y – F43y = m4 · Ag4y
Y ahora desarrollando los productos cruzados de los
vectores en [2, 4 y 6], teniendo en cuenta que,
r x F = rx · Fy – ry · Fx:
r22xF32y – r22yF32x – r21xF21y + r21yF21x =I2α2 – M2
r33xF43y – r33yF43x – r32xF32y + r32yF32x =I3α3
r44xF14y – r44yF14x – r43xF43y + r43yF43x =I4α4
Ecuaciones, que junto con las 6 anteriores, forman un
sistema de 9 ecuaciones con 9 incógnitas:
F21x, F21y, F32x , F32y , F43x , F43y , F14x , F14y , M2
Las cuales podemos presentar en forma matricial:
│ -1 0 1
0
0 0 0
│ 0 -1 0
1
0 0 0
│r21y -r21x -r22y r22x 0 0 0
│ 0 0 -1
0
1 0 0
│ 0 0
0
-1
0 1 0
│ 0 0 r32y -r32x -r33y r33x 0
│ 0 0
0
0 -1 0
1
│ 0 0
0
0
0 -1 0
│ 0 0
0
0 r43y -r43x -r44y
0
0
0
0
0
0
0
1
r44x
0 │ │F21x │ │ m2Ag2x │
0 │ │F21y │ │ m2Ag2y │
1 │ │F32x │ │ I2α2
│
0 │ │F32y │ │ m3Ag3x │
0 │ · │F43x │ = │ m3Ag3y │
0 │ │F43y │ │ I3α3 │
0│ │F14x │ │ m4Ag4x │
0│ │F14y │ │ m4Ag4y │
0│ │M2 │ │ I4α4 │
Sistema de ecuaciones lineales que es fácilmente resoluble a
través de programas informáticos o incluso calculadoras
programables. De ahí que este método matricial este
pensado para la resolución mediante ordenador, mientras
que el método de superposición se utilizará cuando
tengamos que resolver nuestro mecanismo mediante cálculo
manual.
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