Afternotes 4- Un acercamiento a la estabilidad de las soluciones

Un acercamiento a la estabilidad de las
soluciones constantes de una ecuación en
diferencias
José Luis López Fernández
5 de octubre de 2011
-No te crees lo que sabes, ¿verdad?
-Sí, lo creo. Sé que te quiero, Bobby. Y sé que una mariposa puede batir sus alas
en China y causar un huracán en el Caribe. Todo eso lo creo. Incluso se pueden
calcular las probabilidades. Solo que es tan difícil.. . . Y lleva tanto tiempo. . .
(Habana, Sydney Pollack, 1995)
Una solución constante {x0 , x0 , x0 , . . . } de una ecuación en diferencias
representa de manera obvia, en el ámbito biológico que nos trae, la invariabilidad
de la población bajo observación con respecto a dicho tamaño.
Por ejemplo, decir que las soluciones constantes de la ecuación
xn+1 = xn (2 − xn )
son {0, 0, 0, . . . } y {1, 1, 1, . . . } significa que la población correspondiente permanecerá en equilibrio una vez alcanzado cualquiera de ambos tamaños. En
particular, si el tamaño inicial de la población en cuestión fuese de un millón
de individuos (x0 = 1 en las unidades adecuadas) sabemos que permanecerá
invariante a lo largo del tiempo. Parece entonces razonable plantearse que si,
por error de cómputo o de resultas de cualquier otro factor plausible, el tamaño
inicial de la población no se alejase mucho de su tamaño de equilibrio, por ejemplo 950000 individuos (x0 = 0,95), entonces la solución asociada a este nuevo
dato debiera mantenerse próxima a la solución de equilibrio {1, 1, 1, . . . }. Este
tipo de comportamientos esperables, y en muchas circunstancias engañosos, son
los que pretendemos dilucidar en esta lección.
Grosso modo, el concepto de estabilidad de una solución constante
{x0 , x0 , x0 , . . . } significa que si perturbamos suficientemente poco el valor de
equilibrio de la población y en lugar de contar inicialmente x0 individuos contamos y0 , entonces la solución entera asociada a y0 , pongamos {y0 , y1 , y2 , . . . },
se mantiene siempre encajada entre dos valores cualesquiera que encierren al
punto fijo, por lo que no podrá alejarse demasiado de la solución de equilibrio.
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Por ejemplo: dada la ecuación en diferencias xn+1 = 4−xn , su única solución
constante viene dada por {2, 2, 2, . . . }; o, dicho de otro modo, x = 2 es el único
punto fijo de la función f (x) = 4 − x. Por otra parte, todas las demás soluciones
son de la forma (compruébese)
x0 , 4 − x0 , x0 , 4 − x0 , . . .
Este tipo de soluciones que consisten en la repetición secuencial de dos valores
consecutivos reciben el nombre de 2–ciclos (en general, se llaman n–ciclos las
soluciones generadas a partir de la repetición periódica de una secuencia de n
valores consecutivos). En este caso puede apreciarse con claridad que cualquier
solución que arranca suficientemente cerca del valor de equilibrio x0 = 2 permanecerá encerrada en un intervalo tan estrecho como se desee en torno a dicho
valor.
En efecto: para conseguir atrapar toda la solución entre, por ejemplo, los
valores 1 y 3, ¿qué valor de partida y0 deberíamos elegir? Piénsalo: bastaría con
tomar y0 = 1, que generaría la solución {1, 3, 1, 3, . . . }, y ya lo tendríamos. Si,
por el contrario, nos empeñásemos en comprimir aún más la solución con objeto
de encerrarla entre los valores 1,5 y 2,2, ¿podríamos conseguirlo? En cuyo caso,
¿qué valor de partida deberíamos elegir para impedir que la solución se salga de
los límites estipulados? La respuesta es que basta con tomar y0 = 1,8, pues en tal
caso la solución generada responde al siguiente patrón: {1,8, 2,2, 1,8, 2,2, . . . }.
A tenor de lo expuesto parece intuitivamente claro que cualesquiera que sean
las dimensiones del cajón elegido conteniendo a x0 = 2, incluso por estrecho
que este sea, siempre conseguiremos ajustar un valor de y0 que haga caber en
el mismo a la solución completa.
Observa asimismo que, cuanto más estrecho es el cajón en que la solución
debe permanecer guardada, más nos tenemos que acercar inicialmente al valor
de equilibrio de la ecuación si queremos lograrlo. En definitiva, la conclusión
que se desprende de este ejemplo es la siguiente:
Siempre podemos encontrar un valor de partida y0 tal que la solución
de la ecuación en diferencias asociada al mismo permanezca encajada entre cualesquiera dos valores establecidos de antemano que
encierren al punto fijo.
Cuando conseguir esto es misión imposible, se dice que la correspondiente
solución constante (o punto de equilibrio) es inestable. Intuitivamente esto
quiere decir que, por muy próxima que se seleccione la condición inicial y0 al
valor de equilibrio de la población, la correspondiente solución {y0 , y1 , y2 , . . . } se
escapará del intervalo delimitado por cualesquiera que sean los límites impuestos
a priori. Es el caso, por ejemplo, de las soluciones de la ecuación xn+1 = 2xn , que
dan lugar a tamaños que duplican cada uno al de la iteración inmediatamente
anterior. En efecto, por muy próximo que se tome y0 al (único) valor de equilibrio
x0 = 0, pongamos y0 = 0,1, se puede verificar que la solución asociada crecerá
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sin límite superior:
0,1, 0,2, 0,4, 0,8, 1,6, 3,2, 6,4, 12,8, 25,6, 51,2, 102,4, . . . .
Es decir, no hay cajón que la contenga.
Hay un caso particular de estabilidad que resulta especialmente interesante.
Se trata de aquel en que las soluciones que arrancan próximas al equilibrio
poblacional no solamente permanecen próximas a él, sino que incluso tienden
hacia él a largo plazo. Cuando esto sucede se dice que el punto de equilibrio es
asintóticamente estable. A modo de ejemplo podemos pensar en la ecuación
en diferencias xn+1 = 12 xn y en su único equilibrio x = 0 (es decir, la solución
constante {0, 0, 0, 0, . . . }). En este caso, es claro que cualquier cajón que contiene
al punto fijo x = 0 (por estrecho que sea), contiene también alguna solución
completa (descrita, como ya sabemos, por la progresión aritmética xn = 2−n x0 ).
No solo eso, sino que además es fácil comprobar que cualquier solución tiende
hacia el punto fijo x = 0 conforme el número de observaciones se hace más y
más grande (n → ∞). En efecto, lo que la ecuación predice es que el tamaño de
la población se va reduciendo a la mitad en cada paso de tiempo, lo que conduce
a la extinción a largo plazo.
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