Práctica 7. Cerchas, dimensionado.

Mecánica
de
Sólidos
y
Departamento de Estructuras de Edificación
Escuela Técnica Superior de de Arquitectura de Madrid
Sistemas
AA 08/09
Estructurales
11–4–2008
Resultados
Práctica 7. Cerchas, dimensionado.
Cuando sólo es necesario calcular la solicitación en unas pocas barras, la herramienta ideal es una ecuación
de equilibrio de momentos de un trozo de la estructura, tal y como se ha visto en las páginas precedentes.
Cuando por el contrario se necesita saber la solicitación en todas las barras puede ser útil trazar el diagrama
de Maxwell correspondiente. El diagrama de Maxwell consiste en la resolución gráfica del conjunto de 2N
ecuaciones cartesianas de equilibrio, correspondientes a los N nodos de la cercha. Sólo es posible, cuando ese
conjunto de ecuaciones puede resolverse poco a poco, manejando dos ecuaciones y determinando los esfuerzos
de dos barras cada vez; los esfuerzos calculados serían datos (no incógnitas) en las ecuaciones subsiguientes.
n5
n4
n14
n6
n15
n3
n7
100 kN
n2
n10
n8
n11
n12
n13
n1
n9
450 kN
En la cercha de la figura, comenzaríamos por trazar el polígono vectorial del nudo 1, lo que determinaría el
esfuerzo en las barras 1–2 y 1–10. Continuaríamos por el nudo 2, determinando el esfuerzo en 2–3 y 2–10. Luego
el nudo 10, barras 10–11 y 10–3. Desafortunadamente no podríamos continuar más allá: en el nudo 11 tenemos
tres incógnitas, los esfuerzos en 11–12, 11–14 y 11–13; en el nudo 3, tambien son tres: 3–11, 3–14 y 3–4. ¿Por
qué o cuándo pasa esto?
Primero un poco de jerga adicional. Se dice que una cercha es simple, cuando su esquema puede generarse
a partir de un triángulo añadiendo en cada paso un nuevo nodo y dos barras. Por ejemplo el trozo de cercha
triangular comprendido entre los nudos 1, 5 y 11 es simple: partiendo de 1–2–10, añadimos sucesivamente los
nudos 3, 11, 14, 4 y 5. Pero no podemos generar la cercha completa procediendo de este modo: no es simple.
La cercha completa de la figura está compuesta de dos cerchas simples, la 1–5–11 y la 5–9–12, conectadas
mediante la articulación en 5 y la barra 11–12. Y el diagrama de Maxwell sólo puede trazarse para sus partes
simples, no para la totalidad. Hay también esquemas complejos: aquellos que no pueden descomponerse de
ningún modo en cerchas simples unidas por puntos de articulación o barras. Para determinar sus solicitaciones
es necesario, en general, resolver simultáneamente sus 2N ecuaciones de equilibrio de nudo, algo sólo posible
analíticamente.
1,11 m
Para trazar el diagrama de Maxwell de una de sus
~ = −N~D
H
cerchas simples es necesario calcular previamente
la fuerza interna en la articulación 5 así como el
n5
~ = 450 kN
esfuerzo en el tirante 11–12 (barra D). Esto puede
A
~ H
~
A+
hacerse, mediante procedimientos gráficos o analíticos, estableciendo el equilibrio parcial de la cercha simple. Nótese que ambas fuerzas son necesa5,77 m
riamente horizontales al actuar sobre puntos del
eje de simetría de carga y geometría de la cercha
(si tuvieran componente vertical no nula, no sería posible dibujar el trozo simétrico sin romper la
simetría de fuerzas. . . )
n11
Ambas fuerzas internas serían como fuerzas exterN~D = 86,60 kN
nas en cualquiera de las dos cerchas simples, y,
~
~
~ N~D
junto a las acciones (A) y reacciones (R), forma~ = 450 kN
R+
R
rían un conjunto de fuerzas exteriores en equilibrio
con las que trazar el diagrama de Maxwell parcial.
1 Lo primero es fijar un sentido para recorrer
f
1
e
las barras alrededor de cada nudo, o las fuerzas
n5
alrededor de la estructura: horario en este caso.
d
También hay que bautizar cada región poligonal
q
n4
en que queda dividido el plano por fuerzas y barras. Cada región se convertirá en un punto en el
c
p
diagrama.
n14
r
n3
2 Se traza después el polígono vectorial de la
b
o
fuerzas exteriores, el cual debe ser cerrado si hay
m
n2
equilibrio. Nótese que la suma de acciones af se
n
superpone con la reacción vertical ka, al igual que
l
n10
n11
pasa con la fuerza fr en la articulación y la tracn1
ción rk del tirante.
86,60 kN
3 Comenzando por el nudo 1, se traza el polí~ = 450 kN
gono vectorial abierto de la única fuerza conocida,
R
a
k
ab, que se cierra trazando paralelas a las barras 1–
2 y 1–10 por los extremos, determinando el punto
l y el polígono cerrado abla.
Nótese que el nodo 1 se ha convertido en la región poligonal n1 en el diagrama.
En el nudo 2, el polígono conocido es el lbc (y lo encontramos ya trazado), su cierre determina m y el polígono
completo y cerrado lbcml.
a
2
l
a
3
l
a
4
n1
b
b
c
m
n2
m
b
c
c
d
d
d
e
e
n10
c 2009, Vázquez Espí. http://www.aq.upm.es/Departamentos/Estructuras/e96-290/doc/
Copyleft 450 kN
o
p
e
n11
r
r
f,k
l
a
5
r
f,k
a
6
m
f,k,n
l
l
a
7
m
m
b
b
b
c
c
c
d
d
250 kN
n3
d
433,01 kN
n4
o
p
n14
o
p
e
e
o
p
e
n5
q,r
q,r
f,k,n
f,k,n
q,r
f,k,n
4 Seguimos avanzando por aquellos nodos en los que sólo queden dos esfuerzos internos desconocidos. En el
nodo 10 se determina n que resulta ser el punto k, lo que indica que el esfuerzo nk (barra 10–11) es nulo. Con
el 11 se determina o;. . .
no trabaja);. . .
5 . . . nudo 3 (p y onmcdpo); nudo 14 (q y ropqr: q coincide con r, la barra qr
6 . . . finalmente, los nudos 4 (deqpd) y 5 (efrqe) sirven de comprobación: los vértices de sus
polígonos ya estaban, faltaba dibujarlos y comprobar que cierran. 7 Puesto que la cercha es simétrica respecto
a la vertical de 5 tanto en geometría como en cargas, los esfuerzos a la izquierda serán valores simétricos. En la
última figura comprobamos que la máxima compresión es de valor nm y que la máxima tracción es mc, vistas
ambas desde el nudo 3.