Estado del Arte sobre la Modelización Constitutiva

3 Estado del Arte sobre la
Modelización Constitutiva
3.0
Introducción
Se llama modelo constitutivo a una formulación matemática capaz de describir el
funcionamiento físico macroscópico de un “sólido ideal”, que resulta luego de aplicar
hipótesis simplificativas sobre un “sólido real”. De aquí que la formulación de los modelos
constitutivos sólo represente una “realidad condicionada” por ciertas hipótesis
simplificativas y por lo tanto su utilización debe realizarse consecuentemente con ellas.
Debido a esto existen innumerables modelos constitutivos y actualmente se sigue
trabajando en la formulación de otros nuevos, cuyo objetivo es conseguir una formulación
suficiente y acorde con el problema que se quiere resolver, ya que no es trivial obtener una
formulación única que permita alcanzar la solución general para “todos los problemas”.
MECÁNICA
DEL SÓLIDO:
MMC
TÉCNICAS
NUMÉRICAS
(Mec. de Med. Cont.)
MFL
(Mec. de Frac. Lineal)
MECÁNICA
COMPUTACIONAL
ESTUDIOS
DE LOS
MATERIALES
MODELOS
CONSTITUTIVOS
ESTUDIOS A
GRAN ESCALA
- ESTRUCTURAS-
Figura 3.1 – Modelos constitutivos e interrelación entre las disciplinas que le dan origen.
12
MODELIZACIÓN NUMÉRICA DE MATERIALES COMPUESTOS
En la Figura 3.1 puede verse la interrelación entre distintas disciplinas que establecen las
bases en que se fundamenta un modelo constitutivo genérico. Cuando en esta figura se
hace referencia a la mecánica de sólido, se está englobando tanto la Mecánica de Medios
Continuos clásica, como la Mecánica de Fractura.
3.0.1
Clasificación General.
No hay una forma única de clasificar los modelos constitutivos que se han formulado
para el tratamiento no lineal de los materiales, pues esto depende del punto de vista que se
quiera resaltar. No obstante esto, aquí se sigue una forma clásica presentada en el ASCE y
también por W. Chen and Ting, que aunque ha sido escrita en relación con el hormigón,
tiene un punto de vista muy general. Así, los modelos pueden clasificarse en:
•
•
•
•
Modelos basados en la elasticidad lineal y no-lineal
Modelos basados en la teoría de la plasticidad
Modelos basados en la teoría endocrónica
Modelos de fractura
Con esta clasificación se quiere transmitir la idea que el comportamiento macroscópico
de un sólido puede representarse por distintos caminos. Todos ellos permiten obtener muy
buenos resultados sin que en ningún caso se esté representando la verdadera física
microestructural que se desarrolla en el material. Así pues, el denominado fenómeno de
fractura puede representarse mediante un modelo basado en mecánica de fractura en el
que los fundamentos derivan de la propia teoría de la elasticidad. También puede
aproximarse este comportamiento mediante mecánica de medios continuos luego de
realizar adecuadas regularizaciones que permitan representar las discontinuidades que
ocurren en los campos de desplazamiento y deformación.
A continuación se muestra brevemente un resumen de algunos modelos clásicos que se
utilizan para representar el comportamiento del material. Por supuesto que hay algunos
más adecuados que otros, según sea el problema que se quiera resolver, no obstante es
bueno mencionar desde aquellos más simples hasta los de mayor complejidad.
3.0.1.1
Modelos Basados en la Elasticidad Lineal y Nolineal.
Son modelos simples pero inapropiados para representar un sólido en estado de
fractura, aunque es importante tenerlos en cuenta para representar su comportamiento
dentro del rango elástico. Estos modelos básicamente son,
•
Elásticos de Cauchy, basados en la ley de Hooke1, en los cuales el campo tensional σij se
define a partir del campo de deformaciones ε kl en el instante actual mediante una
función tensorial del tipo σ ij = f ij (ε kl ) .
•
Hiperelásticos de Green3, tales que la tensión σij se define a partir de un potencial en
función de ε kl , que es la variable libre del problema. Esto es σ ij = ∂ω ∂ε kl .
1
Malvern, L. E. (1969). Introduction to the mechanics of a continuous medium - Prentice Hall - U.S.A.
Capitulo 3- Estado del Arte sobre la Modelización Constitutiva
•
13
Hipoelásticos3,, en los cuales se define en forma arbitraria la variación temporal de la
tensión en función de la variación temporal de deformación σ ij = f ij (ε kl ) . Estos
modelos pueden violar los principios básicos de la termodinámica (ver apéndice A3).
3.0.1.2
Modelos Basados en la Teoría de la Plasticidad.
Estos modelos permiten la representación de un comportamiento macroscópico nolineal a partir de considerar una disipación energética provocada por el desarrollo de una
deformación irrecuperable denominada deformación plástica2. Más adelante se presentará
la aproximación necesaria que permite utilizar una formulación de este tipo para el
tratamiento de problemas de fractura.
Puede ahora hacerse una clasificación de los posibles modelos basados en plasticidad
que permite tratar fenómenos de fractura
•
•
•
Plasticidad perfecta, basado en los clásicos modelos, de cuyas formulaciones
actualmente se utilizan las funciones umbrales de fluencia.
Plasticidad con ablandamiento y/o endurecimiento, que permite aproximar mejor el
fenómeno de fractura que la plasticidad perfecta
Plasticidad con ablandamiento y/o endurecimiento y/o daño, que completa de mejor manera
la formulación no-lineal para tratar problemas de metales y/o geomateriales.
3.0.1.3
Modelos Basados en la Teoría Endocrónica.
Estos modelos desarrollados inicialmente para metales y posteriormente adaptados para
el tratamiento de geomateriales han significado un gran avance respecto de aquellos
basados en la plasticidad clásica. No obstante esto, su vigencia fue muy breve debido a la
gran cantidad de parámetros que necesitaban para su definición.
3.0.1.4
Modelos de Fractura.
Estos modelos han sido formulados con el principal objetivo de tratar problemas de
fractura. Los hay muy diversos y en general pueden clasificarse en los siguientes tres
grupos,
•
•
•
2
Modelos de mecánica de fractura. Como su propio nombre lo indica, son modelos
formulados en factores de intensidad de tensiones o también en el concepto de
concentración de tensiones, y en este capítulo se presentarán algunos de ellos.
Modelos de fisura distribuida. Son modelos basados en la mecánica de medios continuos,
pero utilizan conceptos de la mecánica de fractura. Estos modelos han sido la punta de
lanza que ha permitido demostrar que los problemas de discontinuidad -fracturapueden aproximarse mediante problemas continuos tratados en su estado límite.
Modelos de Fisura discreta. Los orígenes de la combinación de teorías elásticas con otras
de umbral máximo de tensión -fractura-, se encuentran en el modelo de Ngo and
Lubliner, J. (1990). Plasticity Theory. Macmillan Publishing - U.S.A.
14
MODELIZACIÓN NUMÉRICA DE MATERIALES COMPUESTOS
Scordelis. Estos modelos sólo están justificados a nivel de la intuición ingenieril y se
aprovechan de la representación del sólido en elementos finitos.
A continuación se muestra un cuadro sintético sobre esta clasificación y más adelante
serán presentados con detalle algunos de estos modelos significativos para el desarrollo de
la simulación numérica del fenómeno de fractura.
⎧
⎧• Elástico de Cauchy,
⎪• Modelos basados en la
⎪⎪
⎪
⎨• Hiperelástico de Green,
⎪ Elasticidad Lineal y no − lineal ⎪
• Hipo elástico.
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎧• Fisura distribuida o difusa,
⎪
MODELOS
⎪
⎪
⎨• Modelos de Fractura ⎨• Fisura discreta,
CONSTITUTIVOS ⎪
⎪• Basados en la mecánica de fractura.
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎧• Plasticidad perfecta,
⎪• Modelos basados
⎪
⎪ en la Teoría de la
⎨• Plasticidad con ablandamiento y/o endurecimiento,
⎪
⎪ Plasticidad y Daño ⎪⎩• Plasticidad y/o Daño
⎪⎩
Figura 3.2 – Clasificación de los modelos constitutivos independientes del tiempo, para
representar el comportamiento de un sólido.
3.1 Ecuaciones
Constitutivas
3.1.1
Introducción.
Las ecuaciones que caracterizan a cada material individualmente y su reacción cuando
sobre él se aplican cargas se denominan ecuaciones constitutivas1,2. Estas describen el
comportamiento macroscópico que resulta de la constitución interna del material.
Pero los materiales, y en especial los sólidos, se comportan de una manera tan compleja,
cuando se tienen en cuenta todas las posibles temperaturas y deformaciones que pueden
presentar, que no es posible escribir una única ecuación o conjunto de ecuaciones que
describan de forma apropiada al comportamiento de un material real. En cambio vamos a
formular distintas ecuaciones que describen varios tipos de materiales ideales, con su
formulación matemática diseñada para un rango restringido y apropiado.
3.1.2
Elasticidad
Un material se llama elástico ideal si éste recobra su forma original completamente con solo
quitar las fuerzas que causaban la deformación, y existe una relación uno a uno entre el
estado de tensión y el de deformación para una dada temperatura.
Los metales estructurales se aproximan a este comportamento si las deformaciones son lo
suficientemente pequeñas. Los coeficientes de las ecuaciones constitutivas que relacionan
las defromaciones con las tensiones para un material en general dependen de la
temperatura, pero vamos a suponer que esta depoendencia es suficientemente pequeña o
que la variación de la temperatura lo es y por lo tanto los coeficientes serán tratados como
constantes durante la deformación.
Las ecuaciones constitutivas de los modelos constitutivos elásticos clasicos están bien
establecidas y son las siguientes3:
1. Modelo Elástico de Cauchy, es el más clásico de los modelos elásticos y la variable del
problema se establece a través de una función tensorial lineal de argumentos tensoriales
según:
σ ij = f ij (ε kl )
(3.1.1)
ε ij = f ij −1 (σ kl )
Asi resulta la tensión a partir de un modelo cuya variable libre es la deformación, o bien se
obtiene la deformación en los modelos basados en variable libre de tensión. Estas
Malvern, L.E. (1969). Introduction to the Mechanics of a Continuous Medium. Prentice Hall., Englewood Cliffs, NJ.
Lubliner, J. (1990). Plasticity Theory. Macmillan Publishing Company, Third Avenue, N. Y.
3 Oller, S. (2002). Dinámica No-Lineal. Monografía CIMNE Nº63, UPC, Barcelona, España.
1
2
16
MODELIZACIÓN NUMÉRICA DE MATERIALES COMPUESTOS
relaciones son invertibles y reversibles por lo que en elasticidad no hay disipación de la
energía.
2. Modelo elástico de Green, o también llamado hiperelástico, tal que la variable del
problema depende de una densidad de potencial que debe ser preestablecida Ψ = Ψ (ε ij ) o
de su complemento Ψ = Ψ (σ ij ) ,
σ ij =
ε ij =
∂Ψ (ε ij )
∂ε ij
∂Ψ (σ ij )
(3.1.2)
∂σ ij
Al igual que en el modelo de Cauchy, la tensión resulta a partir de un potencial basado en la
variable libre de deformación, o, en cambio, se obtiene la deformación a partir de un
potencial basado en la variable libre de tensión. También estas relaciones son invertibles y
reversibles, por lo tanto no hay disipación de energía. Este modelo contiene al anterior y es
la forma más general y amplia para definir el comportamiento elástico de un punto del
sólido.
3. Modelos Hipoelásticos, se basan en una definición que proviene normalmente de la
observación experimental. Estos modelos no son apropiados cuando se define el
comportamiento de un material elástico no-lineal. Esto se debe a la arbirariedad con que
pueden ser establecidos. Normalmente se pueden escribir en la siguiente forma,
σ ij = f ij (εij ;σ mn )
(3.1.3)
εij = g ij (ε ij ;σ mn )
En todos los modelos antes citados debe siempre cumplirse el concepto de
reversibilidad termodinámica e independencia entre tensiones y trayectoria.
3.1.2.1
Elasticidad lineal
Las ecuaciones constitutivas clásicas de la elasticidad se denominan Ley de Hooke
generalizada y son nueve ecuaciones que expresan la relación entre las componentes de
tensión como funciones lineales homogéneas de las nueve componentes de deformación:
TIJ = C IJRS E RS
(3.1.4)
Cuando el tensor de tensiones TIJ y el tensor de deformaciones lagrangeano ERS se
consideran como el campo de variables constitutivas referidas al estado natural del material.
Si los gradientes de desplazamiento son en todo punto pequeños en relación a la unidad,
los desplazamientos serán lo suficientemente pequeños para que no exista distinción entre
las coordenadas iniciales XI y la posición deformada actual xi de la misma partícula.
Entonces podemos escribir la ecuación anterior con suficiente aproximación según:
σ ij = C ijrs ε rs
(3.1.5)
El tensor de constantes elásticas Cijrs es de 4to orden tiene 81 componentes
independientes en su forma mas general. Dada la simetría de σij y εrs
Capitulo 3- Estado del Arte
⎡σ 11 σ 12
σ ij = ⎢⎢σ 21 σ 22
⎢⎣σ 31 σ 32
⎡ε11 ε12
ε rs = ⎢⎢ε 21 ε 22
⎢⎣ε 31 ε 32
σ 13 ⎤
⎡σ 11 σ 12
simetria
⎥
σ 23 ⎥ = ⎢⎢σ 12 σ 22
⎢⎣σ 13 σ 23
σ 33 ⎥⎦
⎡
⎢ ε11
simetria
ε13 ⎤ notacion
⎢1
ε 23 ⎥⎥ = ⎢ γ 12
⎢2
ε 33 ⎥⎦
⎢1 γ
⎢⎣ 2 13
1
γ 12
2
ε 22
1
γ 23
2
⎡σ 11 ⎤ ⎡σ 1 ⎤
⎢σ ⎥ ⎢σ ⎥
⎢ 12 ⎥ ⎢ 2 ⎥
σ 13 ⎤
⎢σ ⎥ ⎢σ ⎥
σ 23 ⎥⎥ ⇒ σ ij = ⎢ 13 ⎥ = ⎢ 3 ⎥
⎢σ 23 ⎥ ⎢σ 4 ⎥
σ 33 ⎥⎦
⎢σ 31 ⎥ ⎢σ 5 ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢⎣σ 12 ⎥⎦ ⎢⎣σ 6 ⎥⎦
⎡ ε11 ⎤ ⎡ ε1 ⎤
1 ⎤
⎢ ε ⎥ ⎢ε ⎥
γ 13 ⎥
⎢ 12 ⎥ ⎢ 2 ⎥
2
⎥
def ⎢ ε
⎥ ⎢ε ⎥
1
γ 23 ⎥ ⇒ ε rs = ⎢ 13 ⎥ = ⎢ 3 ⎥
2 ⎥
⎢2 ε 23 ⎥ ⎢ ε 4 ⎥
⎢ 2 ε 31 ⎥ ⎢ ε 5 ⎥
ε 33 ⎥⎥
⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎦
⎣⎢ 2 ε12 ⎦⎥ ⎣⎢ ε 6 ⎦⎥
17
(3.1.6)
debe cumplirse que Cijrs=Cjirs lo cual reduce a 36 las componentes independientes.
⎡σ 1 ⎤ ⎡C11 C12 C13 C14 C15 C16 ⎤ ⎡ ε 1 ⎤
⎢σ ⎥ ⎢C
⎥⎢ ⎥
⎢ 2 ⎥ ⎢ 21 C 22 C 23 C 24 C 25 C 26 ⎥ ⎢ ε 2 ⎥
⎢σ 3 ⎥ ⎢C31 C32 C33 C34 C35 C36 ⎥ ⎢ ε 3 ⎥
(3.1.7)
⎢ ⎥=⎢
⎥⎢ ⎥
⎢σ 4 ⎥ ⎢C 41 C 42 C 43 C 44 C 45 C 46 ⎥ ⎢ ε 4 ⎥
⎢σ 5 ⎥ ⎢C51 C52 C53 C54 C55 C16 ⎥ ⎢ ε 5 ⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎥⎢ ⎥
⎢⎣σ 6 ⎥⎦ ⎢⎣C61 C 62 C 63 C64 C 65 C66 ⎥⎦ ⎢⎣ ε 6 ⎥⎦
Además existe otra simetría dada la igualdad entre derivadas parciales cruzadas con lo
cual se cumple: Cijrs=Crsij y esto reduce a 21 las componentes independientes.
⎡σ 1 ⎤ ⎡C11 C12 C13 C14 C15 C16 ⎤ ⎡ ε 1 ⎤
⎢σ ⎥ ⎢C
⎥⎢ ⎥
⎢ 2 ⎥ ⎢ 12 C 22 C 23 C 24 C 25 C 26 ⎥ ⎢ ε 2 ⎥
⎢σ 3 ⎥ ⎢C13 C 23 C33 C34 C35 C36 ⎥ ⎢ ε 3 ⎥
(3.1.8)
⎢ ⎥=⎢
⎥⎢ ⎥
⎢σ 4 ⎥ ⎢C14 C 24 C34 C 44 C 45 C 46 ⎥ ⎢ ε 4 ⎥
⎢σ 5 ⎥ ⎢C15 C 25 C35 C 45 C55 C16 ⎥ ⎢ ε 5 ⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎥⎢ ⎥
⎢⎣σ 6 ⎥⎦ ⎢⎣C16 C 26 C36 C 46 C56 C66 ⎥⎦ ⎢⎣ ε 6 ⎥⎦
3.1.2.1.1
Elasticidad lineal isótropa
Cuando el material es isótropo (no hay direcciones preferenciales en el material) las
constantes elásticas deben ser las mismas para una misma partícula para todos los posibles
sistemas de referencia cartesianos en los que se evalúen las componentes σij y εrs.
Cijrs = λ δ ij δ rs + µ (δ ir δ js + δ is δ jr )
De forma que la ley de Hooke generalizada adopta la forma:
(3.1.9)
18
MODELIZACIÓN NUMÉRICA DE MATERIALES COMPUESTOS
⎛
⎜
⎞
⎟
σ ij = Cijrs ε rs = λ δ ij δ rs ε rs + µ ⎜ δ ir δ js ε rs + δ is δ jr ε rs ⎟
⎟
⎜
ε ij
⎝
σ ij = λ δ ij ε ss + 2 µ ε ij
ε ss
ε ji =ε ij
⎠
(3.1.10)
λ y µ son conocidas como constantes de Lamé. Si se hace i=j se obtiene:
σ ii = (3λ + 2 µ ) ε ii
(3.1.11)
Las constantes de Lamé están relacionadas con los más conocidos como módulo de
elasticidad transversal G y módulo de Young E y módulo de Poisson ν de la siguiente
manera:
E
νE
µ =G =
y λ=
(3.1.12)
(1 + ν )(1 − 2ν )
2(1 + ν )
El tensor C toma la forma:
0 0 0⎤
λ
λ
⎡λ + 2 µ
⎢ λ
0 0 0 ⎥⎥
λ + 2µ
λ
⎢
⎢ λ
λ
λ + 2µ 0 0 0 ⎥
C=⎢
(3.1.13)
⎥
0
0
µ 0 0⎥
⎢ 0
⎢ 0
0
0
0 µ 0⎥
⎥
⎢
0
0
0 0 µ ⎥⎦
⎢⎣ 0
Y puede escribirse la ecuación constitutiva de forma inversa según:
ν
1 +ν
ε ij = − σ kk δ ij +
σ ij
(3.1.14)
E
E
Y el tensor de constantes elásticas inverso:
0
0
0 ⎤
⎡ 1 −ν −ν
⎢−ν 1 −ν
0
0
0 ⎥⎥
⎢
0
0
0 ⎥
1 ⎢−ν −ν 1
C −1 = ⎢
(3.1.15)
⎥
0
0 2(1 + ν )
0
0 ⎥
E⎢ 0
⎢0
0
0
0
2(1 + ν )
0 ⎥
⎢
⎥
0
0
0
0
2(1 + ν )⎦⎥
⎣⎢ 0
3.1.2.2
Elasticidad no lineal
Para representar este comportamiento constitutivo se partirá de una formulación
hiperelástica. Para ello será necesario definir la densidad de energía, lo cual puede hacerse
tomando como variable libre el campo de deformaciones:
t
Ψ = ∫ σ ij εij dt
(3.1.16)
t =0
o a partir de su forma complementaria, tomando como variable libre el campo de
tensiones:
t
Ψ=
∫ε
t =0
ij
σ ij dt
(3.1.17)
19
Capitulo 3- Estado del Arte
Ψ - Densidad de energía de deformación
σ
Ψ
Ψ - Densidad de energía complementaria
Ψ
ε
Figura 3.1.1- Energía de deformación y complementaria
3.1.2.2.1
Modelo Hiperelástico no lineal
Se parte de la definición general de los potenciales a partir de los invariantes4,,
∂Ψ
Basado en deformación
Ψ = Ψ ( I '1 , I ' 2 , I ' 3 ) ⇒ σ ij =
∂ε ij
∂Ψ
Ψ = Ψ ( I 1 , I 2 , I 3 ) ⇒ ε ij =
∂σ ij
3.1.2.2.1.1
(3.1.18)
Basado en tensión
Modelo Hiperelástico basado en tensiones
Si se considera como hipótesis que en el material tienen especial influencia el primer
invariante del tensor de tensiones y el segundo invariante del tensor desviador de tensiones
se puede elegir el siguiente potencial basado en tensión: Ψ ( I 1 , J 2 ) = a J 2 + b I 1 J 2 . De
aquí resulta la siguiente ley constitutiva.
∂Ψ
∂Ψ ∂I 1
∂Ψ ∂J 2
∂Ψ
∂Ψ
=
+
=
ε ij =
δ ij +
δ ij
∂σ ij
∂I 1 ∂σ ij ∂J 2 ∂σ ij
∂I 1
∂J 2
(3.1.19)
ε ij = b J 2 δ ij + (a + b I 1 ) δ ij
Suponiendo un problema uniaxial a la tracción los invariantes del tensor de tensiones y
del tensor desviador de tensones son:
σ
I1 = σ
2
s11 = σ
3
s 22 = s33 = −
σ
3
s12 = s13 = s 23 = 0
σ
1
J2 = σ 2
3
Figura 3.1.2- Problema
uniaxial a tracción
el modelo que definimos se reduce a la siguiente ley constitutiva:
2
2a
b
ε 11 = ε = σ 2 + (a + bσ ) σ = σ 2 b + σ
3
3
3
4
Ver Anexos A1.4.6.4
(3.1.20)
(3.1.21)
20
MODELIZACIÓN NUMÉRICA DE MATERIALES COMPUESTOS
Y para obtener los parámetros a y b se realiza un ensayo de laboratorio. Para
parametrizar el modelo bastan dos puntos.
σ
2a ⎫
σ A⎪
⎪
3
⎬ ⇒ a ,b
2a ⎪
2
εB =σB b + σB⎪
3
⎭
ε A = σ A 2b +
B
A
ε
Figura 3.1.3- Energía de deformación y complementaria
3.1.2.2.1.2
Modelo Hiperelástico basado en deformaciones
Para desarrollar la formulación hiperelástica basada en deformaciones se elije la
definición cuadrática clásica del potencial que es apropiada para pequeñas deformaciones.
1
Ψ = ε ij Cijkl ε kl
(3.1.22)
2
Donde el tensor de tensiones y el tensor de deformaciones, ambos de segundo orden
pueden representarse a través de su parte simétrica como una matriz columna según las
ecuaciones (2.2.6). El tensor constitutivo C es el correspondiente a un material isótropo y
homogéneo y se representa según su forma simplificada como indica la ecuación (2.2.13).
Al desarrollar el producto de la ecuación (2.2.22) se tiene:
1
2
2
2
2
2
2
Ψ = a ε 11 + ε 22 + ε 33 + 2b(ε 11ε 22 + ε 11ε 33 + ε 22 ε 33 ) + c γ 12 + γ 23 + γ 13
(3.1.23)
2
[(
)
(
)]
Que puede escribirse en función de los invariantes del tensor de deformaciones según:
∂Ψ ∂Ψ ∂I '1 ∂Ψ ∂J ' 2 ∂Ψ ∂J '3
+
+
=
Ψ = f (I '1 ; J ' 2 ; J '3 ) ⇒ σ ij =
(3.1.24)
∂ε ij ∂I '1 ∂ε ij ∂J ' 2 ∂ε ij ∂J '3 ∂ε ij
3.1.2.2.2
Modelos Hipoelásticos basados en tensiones
Estos modelos surgen a partir de modificaciones practicadas en las leyes constitutivas
lineales, basando la razón de estos cambios en evidencias que normalmente se observan en
la experimentación.
3.1.2.2.3
Postulados de estabilidad
El criterio de estabilidad o postulados de Durker garantizan indirectamente el
cumplimiento de la segunda ley de la termodinámica5, por lo que es conveniente tenerlos en
cuenta.
Se considera un sólido de volumen V y superficie externa S, bajo agentes de carga de
superficie externa t y cargas de volumen b, que producen un estado de desplazamiento u ,
deformación ε y tensión σ, en cada punto del sólido. Si ahora se considera un cambio
arbitrario en la magnitud de dichos agentes de carga, t y b , que producen un incremento
en los estados de desplazamiento u , deformación ε y tensión u s. Se dice ahora que el
5
Ver Anexos A1.5.10
Capitulo 3- Estado del Arte
21
comportamiento de este material será estable si se cumplen las dos condiciones siguientes
(Postulados de Durker).
Requisitos de estabilidad:
1. El trabajo realizado por el cambio de magnitud de los agentes externos debe ser
siempre positivo:
∫ σ : ε dV = ∫ t ⋅u dS + ∫ b ⋅u dV > 0
(3.1.25)
V
S
V
2. El trabajo realizado por un cambio de magnitud cíclico experimentado por los
agentes externos debe ser no negativo.
∫ σ : ε dV = ∫ t ⋅u dS + ∫ b ⋅u dV ≥ 0
(3.1.26)
V
S
V
Existencia de la energía libre:
Estos criterios de estabilidad aplicados a materiales elásticos, donde todas las
deformaciones son recuperables, constituyen una condición necesaria y suficiente que
garantiza la existencia de una energía libre Ψ (ε) y de su complemento Ψ (σ ) , por lo tanto
la existencias de dos leyes constitutivas, una cuya variable libre es la deformación σ(ε) y
otra cuya variable libre es la tensión ε(σ). Esto es,
∂Ψ (ε)
Ψ (ε) = ∫ σ : dε ⇒ σ (ε) =
∂ε
ε
(3.1.27)
∂Ψ ( σ )
Ψ (σ ) = ∫ ε : dσ ⇒ ε(σ ) =
∂σ
σ
Condición necesaria y suficiente de estabilidad:
Toda relación constitutiva del tipo hiperelástica o de Green, cumple los criterios de
estabilidad antes citados, siempre que los potenciales de energía sean definidos positivos.
∂Ψ (ε)
, tal que
Para probar esto, considérese una relación constitutiva del tipo σ (ε) =
∂ε
cualquier variación en los agentes externos provoca el siguiente cambio de tensión.
∂σ (ε)
∂ 2 Ψ ( ε)
(3.1.28)
σ (ε) =
: ε =
: ε
∂ε
∂ε ⊗ ∂ε
La condición necesaria y suficiente para que se cumpla el criterio de estabilidad de
cargas para todo volumen y también para cargas cíclicas es que todos y cada unos de los
puntos de este sólido realicen un trabajo específico de segundo orden positivo,
σ : ε > 0
(3.1.29)
Sustituyendo la ultima ecuación en la anterior, resulta la siguiente forma cuadrática,
∂σ (ε)
∂ 2 Ψ ( ε)
(3.1.30)
σ (ε) : ε =
: ε : ε =
: ε : ε > 0
∂ε
∂ε ⊗ ∂ε
De forma que va a garantizarse la condición de estabilidad si el Hessiano sea definido
positivo. Esto es:
∂ 2 Ψ (ε)
H ijkl = H = det
>0
(3.1.31)
∂ε ⊗ ∂ε
También se cumple la condición de estabilidad si el Hessiano complementario es
definido positivo, para estos modelos basados en tensiones:
∂ε(σ )
∂ 2 Ψ (σ )
∂ 2 Ψ (σ )
ε (σ ) : σ =
: σ : σ =
: σ : σ > 0 ⇒ H' = det
>0
(3.1.32)
∂σ
∂σ ⊗ ∂σ
∂σ ⊗ ∂σ
22
MODELIZACIÓN NUMÉRICA DE MATERIALES COMPUESTOS
Estas dos ultimas ecuaciones garantizan la existencia de la existencia de la energía libre y
su carácter positivo garantiza la unicidad de la inversa de la ecuación constitutiva.
Condición de convexidad
La convexidad del potencial garantiza el cumplimiento de los criterios de estabilidad
expresados por la condición de positivo del Hessiano. Se entiende que una función es
convexa cuando ninguna tangente a la curva Ψ (ε) = cte o Ψ (σ ) = cte corta a la misma en
otro punto de dicha curva.
A
A
B
Función Convexa
Función Cóncava
∂Ψ (σ )
εa =
∂ε
C
A θ
εa =
∂Ψ (σ )
∂ε A
θB
C
∆σ : ε > 0
∆σ : ε ≤ 0
Figura 3.1.4- Función cóncava y función convexa
Matemáticamente se dice que una función potencial es convexa si siempre se cumple la
siguiente relación entre dos estado cualesquiera de tensión: ∆σ : ε a = σ b − σ a : ε ≤ 0 y se
dice que hay concavidad en el potencial si hay al menos dos estados de tensión σ a y σ b que
cumplen la relación: ∆σ : ε a = σ b − σ a : ε > 0 .
(
(
)
)
σ
σ
ESTABLE
σ : ε > 0
σ
ε
σ
σ
εε
ε
σ
INESTABLE
σ : ε > 0
σσ
ε ε
σ
σ
σ
ε
ε ε
ε
ε
Figura 3.1.5- Postulados de estabilidad de Durker
Básicamente para cumplir con los postulados de Durker conviene tener en cuenta las
siguientes recomendaciones,
1. Los potenciales Ψ (ε) y Ψ (σ ) deben ser definidos positivos,
2. Que exista una relación elástica directa y su inversa,
Capitulo 3- Estado del Arte
σ ij = F (ε ij ) ⇔ ε ij = f (σ ij )
3.
23
(3.1.33)
Que los potenciales Ψ (ε) y Ψ (σ ) sean funciones convexas.
3.1.3
Inelasticidad
Para elasticidad la deformación en cada punto queda completamente determinada a
partir de la tensión actual y de la temperatura. En inelasticidad, en cambio, debe tenerse en
cuenta también el historial de tensiones, de modo que en este caso existe una dependencia
del tiempo. La dependencia entre la deformación actual y el historial de tensiones se puede
expresar explícitamente cuando el comportamiento es lineal.
Una forma en la que el historial de tensiones puede afectar la relación entre tensión y
deformación es a través de la velocidad de aplicación: la deformación producida por aplicación
de carga lenta es en general mayor que la producida por aplicación rápida. Una
manifestación particular de este fenómeno es el hecho de que la deformación puede en
general aumentar a través del tiempo dada una tensión constante. Este fenómeno se
denomina creep o fluencia lenta.
P=cte
Figura 3.1.6- Fluencia lenta
Esta sensibilidad a la velocidad aumenta con la temperatura, de forma que hay materiales
que aparentan comportarse elásticamente dentro de un rango de ciertas temperaturas y se
transforman en marcadamente inelásticos a temperaturas mayores.
De la misma manera una aplicación mas lenta de las cargas implica mayores
deformaciones para la misma tensión, e implica una tensión menor para la misma
deformación. De esta manera las tensiones van a disminuir a través del tiempo dada una
deformación fija, este fenómeno se llama relajación.
l=cte
Figura 3.1.7- Relajación
La sensibilidad a la velocidad de muchos materiales, entre ellos polímetros, asfalto y
hormigón, puede ser bien descrita a través de la teoría lineal, siempre dentro de ciertos
24
MODELIZACIÓN NUMÉRICA DE MATERIALES COMPUESTOS
límites. Sin embargo la inelasticidad de los metales tiende a ser fuertemente no lineal en su
comportamiento ya que son muy bien representables por la elasticidad dentro de cierto
rango de tensiones pero muy dependientes del historial de tensiones fuera de ese rango.
Cuando se alcanza ese límite del rango elástico (límite elástico) se dice que el metal fluye.
Cuando el rango elástico forma una región en el espacio de las componentes de las
tensiones, este se denomina región elástica y sus límites se denominan superficie de fluencia.
3.1.3.1
Deformación inelástica
Para cuerpos de comportamiento inelástico sometidos a una deformación infinitesimal,
se asume que el tensor de deformaciones puede ser descompuesto aditivamente en un
tensor de deformación elástica εe y un tensor de deformación inelástica εi.
ε ij = ε ij e + ε ij i
−1
Con ε ij = C ijkl σ kl
e
(3.1.34)
25
Capitulo 3- Estado del Arte
3.1.3.2
Viscoelasticidad Lineal
Uno de los comportamientos que provoca no-linealidad en la respuesta en el tiempo de
los materiales se debe a la viscoelasticidad, que estudia el comportamiento reológico de los
materiales, es decir, aquellos comportamientos afectados por el transcurso del tiempo. Por
esta razón la respuesta depende de la velocidad con la cual se excita al elemento.
Las analogías con resortes y amortiguamiento viscoso da una representación cualitativa
del comportamiento viscoelástico.
Resorte
Amortiguamiento Viscoso
η
E
σ(t)
σ(t)
σ(t)
σ(t)
σ(t)
σ(t)
η
E
ε (t
ε(t)
ε (t ) =
σ (t )
E
Figura 3.1.8 – Ecuación y constantes para
resorte elástico
ε (t ) =
σ (t )
η
Figura 3.1.9 – Ecuación y constantes para
amortiguamiento viscoso
Siendo E la constante elástica del muelle y η la constante viscosa del amortiguador.
La fuerza axial en el modelo representa a las tensiones en el continuo y el estiramiento
axial y la velocidad representan deformación y velocidad de deformación respectivamente.
Hay dos familias de modelos de elasticidad dependientes del tiempo:
1. Una de ellas, en la cual la variable libre del problema es la tensión, recibe el
nombre de modelos de elasticidad retardada o de fluencia en el tiempo, y
representa físicamente lo mismo que el vocablo ingles “creep”. Un modelo
representativo de esta familia es el modelo viscoelástico de Kelvin.
2. La otra, cuya variable libre es la deformación, recibe el nombre de modelos de
relajación. Un modelo representativo de esta familia es el modelo viscoelástico de
Maxwell.
Estos modelos tienen leyes constitutivas no invertibles, pero cada uno de estos modelos
representan la forma inversa implícita del otro, es decir, que un modelo de elasticidad
retardada es la forma inversa de representar un modelo de relajación.
26
MODELIZACIÓN NUMÉRICA DE MATERIALES COMPUESTOS
3.1.3.2.1
Modelo de Maxwell
Se denomina también a la formulación de Maxwell modelo de relajación y en el se
supone que la variable libre es la deformación. Este modelo dispone en serie el muelle y el
amortiguador, situación que hace que la deformación total resulte de la composición de una
e
vis
parte elástica ε , más una viscosa ε ,
σ e (t ) = σ vis (t ) = E ε e (t ) = η ε vis (t )
ε (t ) = ε e (t ) = ε vis (t )
E
(3.1.35)
η
σ(t)
εe
σ(t)
εvis
Figura 3.1.10 – Modelo en serie de Maxwell
Si se somete el material a un ensayo de creep y uno de relajación:
Modelo de Maxwell
Ensayo de Creep: σ = 0
Ensayo de Relajación ε = 0
σ
ε
σ0
ε0
t
t0
ε
t0
t
t0
t
σ
σ0/η
σ0/E
t0
Ε ε0
t
σ
σ
ε (t ) = 0 t + 0
E
η
Figura 3.1.11 – Ensayo de creep del
Modelo de Maxwell
σ (t ) = E ε o e
E
− t
η
Figura 3.1.12 –Ensayo de relajación
Modelo de Maxwell
27
Capitulo 3- Estado del Arte
3.1.3.2.2
Modelo de Kelvin-Voigt
En este modelo de elasticidad retardada, o fluencia en el tiempo, se supone que la
variable libre es la tensión. Por lo tanto, para escribir la ecuación se parte de un modelo en
paralelo con compatibilidad de deformaciones y de allí se obtiene la ecuación de gobierno
del problema. La tensión resulta entonces de la siguiente forma aditiva,
E
σ(t)
σ(t)
η
Figura 3.1.13 – Modelo en paralelo de Kelvin-Voigt
En este caso las deformaciones son la variable libre del problema. La fuerza axial total es
la suma de la fuerza producida en el resorte y la producida en el amortiguamiento viscoso,
pero el desplazamiento tiene que ser el mismo en ambos dispositivos
ε (t ) = ε e (t ) + ε vis (t )
(3.1.36)
σ (t ) = σ e (t ) = σ vis (t ) = E ε e (t ) = η ε vis (t )
Sometemos el material a un ensayo de creep y uno de relajación:
Modelo de Kelvin-Voigt
Ensayo de Creep: σ = 0
Ensayo de Relajación ε = 0
σ
ε
σ0
ε0
t0
t
t0
t
28
MODELIZACIÓN NUMÉRICA DE MATERIALES COMPUESTOS
ε
σ0/E
σ
Ε ε0
t
t0
ε (t ) =
σ 0 ⎛⎜
E ⎜⎝
1− e
E
− t
η
t0
t
σ (t ) = E ε 0
⎞
⎟
⎟
⎠
Figura 3.1.14 – Ensayo de creep del Modelo Figura 3.1.15 –Ensayo de relajación Modelo
de Kelvin-Voigt
de Kelvin-Voigt
3.1.3.3
Plasticidad
Para representar el comportamiento de fluencia de un material puede usarse el elemento
Friccional de Coulomb6,
Elemento Friccional de Coulomb
σ
σ
σY
σ
σY
ε P
−σY
Figura 3.1.16 – Constantes para elemento Friccional de Coulomb
Este modelo establece que el módulo de la tensión que actúa sobre el dispositivo no
puede alcanzar un valor limite σ Y . En consecuencia, mientras el módulo de la tensión σ
sea menor que dicho valor límite, el dispositivo no presenta variación de deformación. Una
vez alcanzado el valor límite σ Y el dispositivo comienza a deformarse en un estado de
cuasi-equilibrio y no puede excederse ese valor para permanecer en equilibrio. Esto es,
⎧= 0 si σ < σ Y
⎪
ε(t ) ⎨≠ 0 si σ = σ Y
(3.1.37)
⎪
⎩imposible si σ > σ Y
Para estudiar la respuesta mecánica de la estructura matemática que rige la plasticidad se
analiza el dispositivo con un resorte y un elemento Friccional de Coulomb.
6
Simo JC, Hughes TJR, (1998) Computational Inelasticity. Springer-Verlag, New York.
29
Capitulo 3- Estado del Arte
3.1.3.3.1
Modelo Elástico-Friccional
La combinación del elemento elástico Resorte presentado en 2.3.2 y el elemento
Friccional de Coulomb dispuestos en serie da lugar a un modelo más complejo que se
denomina elastoplástico.
σY
E
σ
σ
Figura 3.1.17 – Modelo elástico friccional
Al estar los dos elementos colocados en serie, la tensión que actúa sobre cada uno de
ellos es la misma. Por otro lado podemos descomponer la deformación total como la suma
de la deformación experimentada por el elemento elástico ε e más la deformación
experimentada por el elemento friccional ε p .
σ =σ e =σ
(3.1.38)
σ
ε = εe +ε p = +ε p
E
Teniendo en cuenta el comportamiento tensión-deformación de cada uno de los
elementos, se tendrá para el modelo combinado
⎧= ε e si σ < σ Y
⎪⎪
ε(t ) ⎨= ε f ≠ 0 si σ = σ Y
(3.1.39)
⎪
⎪⎩imposible si σ > σ Y
Si se analiza un ciclo de carga y descarga de un material cuyo comportamiento pueda
asemejarse al modelo elástico-friccional, la curva tensión-deformación que se obtiene es la
siguiente:
σ
σY
0
ε
−σY
Figura 3.1.18 – Modelo elástico friccional
30
MODELIZACIÓN NUMÉRICA DE MATERIALES COMPUESTOS
3.1.3.3.2
Modelo de fricción con endurecimiento
Experimentalmente se observa en muchos metales un fenómeno que llamamos de
endurecimiento. Este supone que luego de la tensión de fluencia el módulo de elasticidad E
que suponíamos constante para el modelo elástico friccional, tiene una variación en
aumento con la variación de deformación.
Esto se puede representar matemáticamente mediante el modelo elástico friccional con
endurecimiento que no está compuesto de ningún elemento nuevo, sinó de la nueva
disposición de los elementos ya presentados.
σ
E
σ
σ
H'
Figura 3.1.19 – Modelo elástico friccional con endurecimiento
El modelo esta formado por un bloque en paralelo, con un dispositivo de fricción
caracterizado por el limite elástico σ Y y un resorte caracterizado por el parámetro de
endurecimiento H’, y otro resorte de constante E en serie con éstos.
Analizando los dos elementos en paralelo vemos que esta disposición motiva que ambos
elementos compartan la deformación mientras que la tensión total será la suma de las
tensiones pasantes por cada uno de los elementos.
σY
σ
f
σ
σ
H'
σh
Figura 3.1.20 – Modelo friccional con endurecimiento
σ = σ f + σ h = σ f + H 'ε
ε =ε f =εh
(3.1.40)
Siendo σ f la tensión que atraviesa el elemento friccional y σ h la que atraviesa el
elemento elástico.
Pueden darse dos situaciones:
Si σ f < σ Y ⇒ Toda la tensión pasa por el dispositivo friccional y la deformación es nula
Si σ f = σ Y ⇒ Todo incremento de tensión es absorbido por el elemento elástico en su totalidad
Si se analiza ahora el modelo conjunto que combina el modelo elástico en serie con este
modelo paralelo, se obtiene de las ecuaciones de equilibrio y de compatibilidad de
deformaciones,
σ = σ e = σ f −h
(3.1.41)
ε = ε e + ε f −h
31
Capitulo 3- Estado del Arte
Analizando un ciclo de carga y descarga se puede obtener la curva en tensión
deformación según:
σ
σY
0
ε
−σY
Figura 3.1.21 – Modelo elástico friccional
3.1.3.4
Daño
El daño de un sólido continuo, en el sentido de degradación de rigidez, es una
alteración de las propiedades elásticas durante la aplicación de la carga como consecuencia
de una disminución del área efectiva resistente. Esta pérdida de área efectiva es
normalmente causada por el crecimiento de vacíos y/o micro fisuras.
El fenómeno de daño sólo afecta a las propiedades elásticas del material, mientras la
plasticidad se desarrolla como consecuencia de un crecimiento irrecuperable en la
deformación, deformación plástica. Ambos fenómenos son complementarios y es normal
observar en los materiales una pérdida de resistencia motivada por el daño –pérdida de
elasticidad– y por la plasticidad –crecimiento en la deformación inelástica–.
3.1.3.4.1
Daño Isótropo
La teoría del Daño Continuo fue presentada por primera vez por Kachanov en el año
1958 en el contexto de problemas relacionados con la fluencia, pero ha sido aceptada con
posterioridad como una alternativa válida para simular el comportamiento de diversos
materiales. Entre las diferentes formulaciones posibles, en este apartado se presenta un
modelo de daño simple con una variable interna escalar que permite caracterizar el daño
local. Este modelo a pesar de ser simple, tiene una gran potencialidad y puede utilizarse
para representar el comportamiento no lineal de materiales metálicos y geomateriales.
Este tipo de modelo permite simular el comportamiento de materiales en los que
ocurre una degradación en la rigidez del material una vez superada el umbral de daño del
material.
La ecuación de daño queda definida por la siguiente expresión:
σ
σ0 =
(3.1.42)
1− d
donde d es la variable interna de daño, σ es el tensor de tensiones de Cauchy y σ0 es
el tensor de tensiones efectivas, medido en el espacio “no-dañado”. Esta variable interna es
una medida de la pérdida de rigidez del material y sus límites superior e inferior está dado
por:
0 ≤ d ≤1
(3.1.43)
donde d=1 representa un estado del material completamente degradado y define la
rotura local completa y d=0 representa un material no dañado. Las formas que puede
presentar la variable interna de daño d son discutidas en el apartado 3.3.
32
MODELIZACIÓN NUMÉRICA DE MATERIALES COMPUESTOS
3.1.3.4.2
Daño Plástico
El modelo constitutivo de plasticidad para geomateriales es un modelo general, muy
apropiado para representar el comportamiento de materiales tanto dúctiles como frágiles.
Hasta ahora se presentaron modelos para tratar metales u otros materiales dúctiles. El
modelo de plasticidad para geomateriales fue formulado inicialmente para materiales
frágiles, sin embargo puede utilizarse para representar el comportamiento de algunos
materiales dúctiles si se realizan algunas particularizaciones en los parámetros.
El modelo de daño plástico fundamenta su formulación en la mecánica del sólido,
particularmente en la teoría de la plasticidad y en la teoría del daño continuo y utiliza como
vehículo para la resolución del problema estructural el método de los elementos finitos y
diversas técnicas numéricas necesarias para controlar y garantizar la solución del problema.
Materiales Friccionales, que son por ejemplo: cerámicos, suelos constituidos por
arenas u otros componentes friccionales, hormigón.
Figura 3.1.22- Dilatancia
Se define a los Materiales Friccionales como aquellos cuya relación entre su resistencia
y la presión depende del ángulo de rozamiento interno φ . Cuando se somete a estos
materiales a tensiones tangenciales presentan dilatancia ψ que significa un cambio de
volumen aparente.
Para el caso simple uniaxial la evolución de la resistencia tiene la siguiente forma:
Figura 3.1.23- Evolución de Resistencia en materiales con daño plástico
El desarrollo de este modelo se detalla en el apartado 3.3.
3.2 Plasticidad
3.2.1
Introducción.
El adjetivo “plástico” proviene del griego significando “moldear”; y entonces, describe
materiales dúctiles tales como el acero, que tienen la propiedad que se puede cambiar la
forma de los cuerpos que están hechos de estos materiales mediante la aplicación de
fuerzas adecuadamente dirigidas y mantener esta nueva forma luego de haberle quitado las
fuerzas.
Generalmente se observa que, de existir, el cambio de volumen que acompaña a los
grandes cambios de forma tiene un valor muy pequeño. Se concluye entonces que el
proceso de deformación plástica es en principio una distorsión.
La teoría de la plasticidad1 representa el comportamiento de los sólidos cargados
dentro de un rango de aplicación en el que no es posible hacerlo mediante la teoría de la
elasticidad.
En este capítulo se presentan brevemente las bases de la teoría de la plasticidad como
uno de los posibles modelos para representar los refuerzos de acero sumergidos en la
matriz de hormigón que se presenta como simulación en esta tesina.
Al final del capítulo se presentan los criterios clásicos de fluencia o discontinuidad
plástica. En la simulación realizada, tanto para la matriz como para las fibras, se utiliza un
criterio de fluencia de daño, que se presentará en el próximo capítulo, y un criterio de
potencial de Durker-Prager circunscrita, descrito al final.
3.2.2
Plasticidad
deformaciones
en
pequeñas
La plasticidad en pequeñas deformaciones se caracteriza por postular que las
deformaciones en un punto se pueden descomponer en una parte elástica ε e y otra plástica
ε p irreversible de forma que ε = ε e + ε p . La deformación plástica es la que induce a un
comportamiento energético no conservativo dependiente del camino recorrido.
Para presentar algunos conceptos se analiza el caso simple de un ensayo uniaxial de un
material elástico ideal. Se considera el caso de una barra de acero de longitud inicial l y
sección A sometida a una fuerza de tracción F en sus extremos. La tensión de la barra será
σ = F A y la deformación ε = δ l , donde δ es el alargamiento de la barra.
l
1
δ /2 = εl
δ /2
2
σ =F A
σ
1
Oller, S. (2002). Dinámica No-Lineal. Monografía CIMNE Nº63, UPC, Barcelona, España
34
MODELIZACIÓN NUMÉRICA DE MATERIALES COMPUESTOS
Figura 3.2.1- Ensayo de tracción uniaxial
Si se somete a esta pieza a varios ciclos de carga y descarga se puede obtener una
respuesta en términos de la curva tensión-deformación.
σ
4
2
1
σY
E
0
E
3
E
5
εp
εe
ε
ε
Figura 3.2.2- Ciclos de carga-descarga para ensayo uniaxial
Analizando el primer ciclo se observa que, mientras la tensión no supera el valor σ Y ,
punto 1, denominado limite elástico o limite de fluencia, se tiene un período inicial elástico
caracterizado por el módulo elástico E. En este período no existen deformaciones
irrecuperables.
Luego de este punto comienza el comportamiento elastoplástico caracterizado por un
decrecimiento sostenido del módulo de rigidez tangente debido a la acción de los
mecanismos inelásticos reversibles.
En el punto 2 se inicia un proceso de descarga hasta el punto 3. Puede observarse que
solo se recupera la parte elástica ε e del total de la deformación ε , quedando la
deformación plástica ε p como la parte no recuperable. Si vuelve a cargarse se produce un
comportamiento incrementalmente elástico hasta que la tensión alcanza en el punto 2 el
máximo valor que había alcanzado durante el proceso de carga anterior. A partir de este
punto el material deja de nuevo de ser incrementalmente elástico.
Este material elasto-plástico ideal permite representar bastante bien el comportamiento
macroscópico de distintos materiales reales mediante una simple modificación de los
límites definidos anteriormente.
3.2.2.1
Espacio de tensiones principales
Se considera un sistema de ejes cartesianos en R 3 {x ≡ σ 1 , y ≡ σ 2 , z ≡ σ 3 } de tal
forma que a cada estado tensional, caracterizado por los valores de las tres tensiones
principales σ 1 ≥ σ 2 ≥ σ 3 , le corresponde un punto en dicho espacio que se denomina
espacio de tensiones principales o de High-Westergaard.
σ3
P(σ 1 , σ 2 , σ 3 )
σ2
σ1
35
Capitulo 3- Estado del Arte
Figura 3.2.3- Dominio elástico
En este espacio de tensiones principales se puede distinguir el eje de tensión hidrostática, o
espacio diagonal de tensiones, que es el lugar geométrico de los puntos del espacio de
tensiones principales que verifican la condición σ 1 = σ 2 = σ 3 . Los puntos situados sobre
el eje de tensión hidrostática representan estados tensionales hidrostáticos2.
El plano octaédrico es cualquiera de los planos normales al eje de tensión hidrostática. La
ecuación de un plano octaédrico es σ 1 + σ 2 + σ 3 = cte y la normal unitaria al mismo es
1
{1,1,1}T . En estos planos el primer invariante del tensor de tensiones se mantiene
n=
3
constante. I 1 = cte .
A través de los invariantes puede conocerse la posición de cualquier punto P del
espacio de tensiones principales que se encuentre sobre un plano octaédrico Π .
σ3
3 τ oct
P
n
σ2
Π
σ1
3 σ oct
Figura 3.2.4- Posicionamiento de un punto en función de los invariantes
La tensión σ oct es la que informa sobre la distancia entre el origen del plano
octaédrico que pasa por el punto P. El lugar geométrico de todas las tensiones principales
con igual σ oct es el plano octaédrico que está a una distancia 3 σ oct del origen.
La tensión τ oct informa de la distancia entre el punto P y el eje de tensión hidrostática.
El lugar geométrico de los puntos del espacio de tensiones principales con igual τ oct es un
cilindro cuyo eje es el eje de tensión hidrostática y cuyo radio es 3 τ oct .
Entonces un punto P del espacio de tensiones principales queda inequívocamente
caracterizado por los tres invariantes I 1 ≡ J 1 , J ' 2 , J '3 :
I 1 caracteriza la distancia al origen del plano octaédrico Π sobre el que está el punto
3
I1
3
caracteriza la distancia del punto P al eje de tensión hidrostática
P OA = 3 σ oct =
J '2
AP = 3 τ oct = 3 2 J ' 2
J '3 caracteriza la posición del punto dentro del círculo definiendo el ángulo θ ( J '3 )
2
Ver Anexos A1.3.5
36
MODELIZACIÓN NUMÉRICA DE MATERIALES COMPUESTOS
θ (J '3 )
σ3
3 τ oct = 2 J '2
3 σ oct = I 3 3
P
Π
σ2
σ1
Figura 3.2.5- Posicionamiento de un punto en función de los invariantes
Plano meridiano de compresión máxima: Estos planos son ortogonales a los planos
octaédricos y quedan inequívocamente definidos por la recta que describe el espacio
diagonal y por cada una de las rectas que describen un radio octaédrico ρ para
1 5 9
θ = π , π , π . Estos planos cortan a los ejes de tensiones principales σ i en puntos de
6 6 6
igual valor de tensión uniaxial de compresión σ C . La intersección de estos planos con la
superficie de fluencia define las curvas que se denominan funciones de fluencia según
planos meridianos de compresión.
Planos meridianos de tracción máxima: Estos planos son ortogonales a los planos
octaédricos y quedan inequívocamente definidos por la recta que describe el espacio
diagonal y por cada una de las rectas que describen un radio octaédrico ρ para
1
5
9
θ = − π ,− π ,− π . Cortan a los ejes de tensiones principales σ i en puntos de igual
6
6
6
valor de tensión uniaxial de compresión σ T . La intersección de estos planos con la
superficie de fluencia define las curvas que se denominan funciones de fluencia según
planos meridianos de tracción.
Planos principales: Son aquellos que quedan definidos por la intersección de dos de las
tres direcciones de tensión principal. La intersección de estos planos con la superficie de
fluencia define curvas en el espacio de tensiones que de denominan funciones de fluencia
según planos de tensión principal.
37
Capitulo 3- Estado del Arte
Figura 3.2.6- Representación de un genérico criterio de fluencia plástico,
descompuesto en planos octaédricos, meridianos y principales
3.2.2.2
Dominio elástico
Existen dos grandes aspectos a tratar dentro de la teoría matemática de la plasticidad:
El criterio de fluencia o de discontinuidad F (σ ; q ) = 0 , que permite establecer
durante el proceso de carga el inicio del comportamiento inelástico y posterior evolución
de las fronteras del dominio elástico dentro del espacio de tensiones.
El comportamiento más allá del limite elástico, denominado comportamiento
elasto-plástico, queda definido a partir de la formulación de: una descomposición de las
deformaciones en una parte elástica y una plástica ε = ε e + ε p , una regla de flujo plástica
g (σ ) y unas variables internas q (σ , q ) que dependen de la evolución del proceso
elastoplástico.
σ3
F (σ ; q ) = 0
σ2
F (σ ; q ) > 0 imposible
σ1
Figura 3.2.7- Dominio elástico
3.2.2.3
Criterio de discontinuidad de comportamiento o
criterio de fluencia plástica.
Se puede definir el criterio de discontinuidad o Fluencia como una función escalar de
argumentos tensoriales que delimita el dominio elástico.
38
MODELIZACIÓN NUMÉRICA DE MATERIALES COMPUESTOS
Este criterio se puede representar a través de una función que se denominará función
de fluencia plástica y responde a la siguiente forma matemática:
F(σ; q ) = 0
(3.2.1)
Donde σ es el tensor de tensiones de Cauchy y q es el conjunto de variables internas
agrupadas en forma de matriz columna (“back stress”). Esta función establece el límite a
partir del cual se establece el comportamiento no lineal. Cualquier estado tensorial fuera del
recinto plástico consiste en forzar a que el estado tensorial se sitúe en la frontera y en el
interior de la función elastoplástica.
En un proceso uniaxial esta función está perfectamente establecida por tratarse de un
escalar que se compara con otro escalar que representa el umbral entre un comportamiento
elástico y otro plástico para el ensayo de laboratorio. En cambio para comportamientos
multiaxiales no existe un escalar que se obtenga directamente, entonces la función de
fluencia se comporta como un traductor de estados multiaxiales a uniaxiales. Una vez
obtenida la tensión uniaxial equivalente al estado multiaxial, se compara con el escalar que
representa el umbral obtenido en el laboratorio para un problema uniaxial.
La ley de evolución de las variables internas q pueden escribirse en forma general
dependiendo del estado tensional y magnitud actual de todas las variables internas según,
q = λ H(σ; q )
(3.2.2)
Donde λ es un escalar no negativo denominado factor de consistencia plástica,
es una función tensorial que describe la forma en que evoluciona cada variable
interna.
La teoría de la plasticidad solo admite dos posibles estados de comportamiento para
un sólido ideal: “el estado elástico” o “el estado elasto-plástico”.
En función de la función de fluencia plástica, se distinguen los dos estados según,
El proceso de deformación es elástico si:
∂F
∂F
F(σ; q ) < 0
o si F(σ; q ) =
:σ +
: q < 0 (descarga)
(3.2.3)
∂σ
∂q
El proceso de deformación es elastoplástico si:
∂F
∂F
F(σ; q ) = 0 y F(σ; q ) =
:σ +
: q < 0 (carga)
(3.2.4)
∂σ
∂q
Para los materiales isótropos estas funciones son simétricas y se pueden representar a
través de sus invariantes3,.
A través de la experimentación que se demostró que en materiales metálicos isótropos
la influencia de la presión hidrostática sobre la deformación plástica es despreciable y ésta
depende fundamentalmente de la tensión desviadora. Por esto se puede reducir la función
de fluencia plástica a una sólo dependiente del segundo y tercer invariante del tensor
desviador de tensiones.
Material
F(σ; q ) = F(J 2 , J 3 ;q ) = 0
(3.2.5)
Metálico Isótropo
En cambio para los materiales friccionales es necesario tener en cuenta las fuerzas de
rozamiento entre las partículas que aumentan con la presión en sus caras. Este efecto se
refleja en la tensión esférica y la tensión hidrostática. En este caso la función de fluencia
dependerá también del primer invariante del tensor de tensiones.
Material
F(σ; q ) = F(I 1 , J 2 , J 3 ;q ) = 0
(3.2.6)
Friccional Isótropo
H(σ; q )
3
Ver Anexos A1.4.7
Capitulo 3- Estado del Arte
3.2.3
39
Comportamiento Elasto-Plástico
No hay una teoría única para representar el comportamiento elasto-plástico de los
materiales. Existen distintas aproximaciones al problema según el objetivo para el que fuera
formulado. A continuación se mencionarán aquellas aproximaciones al problema
elastoplástico que se consideran más clásicas.
3.2.3.1
Teoría de Levi-Mises
Una forma de modelar el comportamiento elasto-plástico de un punto del sólido es
mediante la teoría de Levy-Mises. Esta admite, como primera hipótesis, que el incremento
temporal de deformación total es igual el incremento temporal de deformación plástica
durante el proceso elasto-plástico. Esta suposición comporta que la deformación elástica es
próxima a cero, o también que el módulo de Young se hace muy grande en este período.
Esto es:
ε = εp
⇒ ε e ≅ 0 o bien E → ∞
(3.2.7)
Esta teoría también supone, como segunda hipótesis, que el sólido ideal que se
modela es plásticamente incompresible ε vp = 0 ; resultando de aquí y de la hipótesis
anterior, que el incremento temporal del tensor desviador de deformación plástica, es igual
al incremento temporal del tensor de deformación plástica total. Esto es:
ε p = ε p oct 1 + e p
⇒ ε p ≅ e p o bien ε ≡ e
(3.2.8)
donde la deformación octaédrica es nula y se define como 3ε p oct = ε p v = 0 y el vector
T
unidad es igual a 1 = {1,1,1,0,0,0} . De estas dos hipótesis se deduce que el material se
comporta como un rígido plástico no influenciado por los cambios de volumen debido a la
presión hidrostática. Esto se identifica bastante bien con los materiales metálicos. La teoría
de Levy-Mises propone que los ejes principales de deformación plástica coincidan con los
de tensión, lo que conduce a la tercera hipótesis que define la denominada regla de flujo,
e ≡ ε = λs
(3.2.9)
donde s = σ - I(σ ) 3 ), es el tensor desviador de tensiones.
3.2.3.2
Teoría de Prandtl-Reus
Es una generalización de la teoría de Levy-Mises. La diferencia fundamental con la teoría
antes citada es que se considera que la deformación total resulta de la contribución de una
parte elástica y otra plástica,
ε = εe + ε p
(3.2.10)
donde el incremento temporal de deformación elástica ε e sigue las leyes de la teoría de la
elasticidad y el incremento temporal del tensor de deformación plástica ε p se obtendrá
como una escala del tensor desviador de tensiones s , con lo cual la parte volumétrica del
tensor de deformaciones plásticas será nula. Esta hipótesis se conoce como regla de flujo
de Prandtl-Reus:
ε p = λs ⇒ ε p v = 0
El factor de consistencia plástico λ se obtiene en este caso a partir del espacio de
tensiones y deformaciones principales.
(3.2.11)
40
MODELIZACIÓN NUMÉRICA DE MATERIALES COMPUESTOS
ε ip = λs i
(ε
→
p
i
)
− ε jp = λ (si − s j )
{i, j ∈ 1,2,3}
(3.2.12)
Elevando al cuadrado ambos miembros y sumando componente a componente se obtiene,
(ε
p
1
− ε 2p
) + (ε
2
p
2
− ε 3p
) + (ε
2
p
1
− ε 3p
)
2
[
= λ (s1 − s 2 ) + (s 2 − s3 ) + (s1 − s 3 )
2
2
Pero recordando que (si − s j ) = (σ i − σ j ) , resulta,
2
]
(3.2.13)
6 J ' 2P = λ 6 J 2
donde J ' 2P =
(
1 p p
e :e
2
)
(3.2.14)
J ' 2P
J2
λ=
es el segundo invariante del incremento temporal del tensor
1
(s : s) el segundo invariante del tensor
2
desviador de tensiones s . Sustituyendo (3.2.14) en (3.2.11), resulta:
desviador de deformaciones plásticas e p y J 2 =
J ' 2P
s = J ' 2P
J2
εp =
3.2.4
s
J2
(3.2.15)
Teoría Clásica de la Plasticidad
Cuando el estado tensional de un punto de un sólido ideal alcanza el criterio de
discontinuidad inicial F(σ; q ) = 0 , y a la vez cumple con la condición de consistencia
plástica F(σ; q ) = 0 , se admite por hipótesis que este punto se encuentra en estado
elastoplástico. La teoría de la plasticidad clásica en pequeñas deformaciones permite
adoptar la hipótesis de descomposición de la deformación total.
ε = ε e + ε p = C −1 : σ + ε p
(3.2.16)
Donde la deformación plástica ε p representa la variable interna fundamental del
problema elasto-plástico, cuya definición tiene la siguiente forma,
∂G (σ, q)
(3.2.17)
ε p = λ Hεp = λ
= λg
∂σ
Esta expresión también recibe el nombre de regla de la normalidad por ser normal a la
superficie de potencial plástico G (σ, q) = cte y λ es un escalar no negativo denominado
parámetro de consistencia plástica. La función de potencial plástico se determina a través
de estudios experimentales y es la que define la dirección del incremento temporal de la
deformación plástica.
3.2.4.1
Trabajo Plástico Unitario o Específico
El trabajo total desarrollado en una unidad de volumen de un sólido elasto-plástico
ideal, en un proceso cuasi-estático y durante un pseudo-incremento de tiempo (t → t + dt ) ,
se le denomina incremento temporal de trabajo unitario o trabajo específico,
(
)
u = σ : ε = σ : εe + ε p = σ : εe + σ : ε p = u e + u p
(3.2.18)
41
Capitulo 3- Estado del Arte
Se conoce esta forma de escribir la variación temporal de la energía como elasticidad
desacoplada y solo vale para problemas elastoplásticos cuyas deformaciones elásticas son
infinitesimales y por lo tanto se acepta la hipótesis de aditividad de las deformaciones.
Se analiza solamente la parte plástica de la estructura, el trabajo plástico para un
material metálico ideal como los vistos anteriormente será:
⎛1
⎞
p
p
u p = σ : ε p = ⎜ I 1 1 + s ⎟ : ε p = σ oct ε v + τ oct γ oct = u p k + u p G
⎝3
⎠
desviadora
volumétrica
0
(3.2.19)
2
8
p
u p = σ : ε p = u p G = +τ oct γ oct =
J2
J 2 ' p = λ (s : s )
3
3
Donde σ oct = p = I 1 3 es la tensión normal octaédrica o presión, τ oct = 2 J 2 / 3 es
la tensión tangencial octaédrica o desviación, ε p oct = ε vp / 3 = I '1p / 3 es la deformación
p
= 8 J ' 2p / 3 es la desviación octaédrica.
normal octaédrica, y γ oct
Sustituyendo la regla de flujo de Prandtl-Reus ec. (3.2.15), se tiene que:
J2 p p
1
ε :ε
u p = λ (s : s ) = ε p : ε p =
p
λ
J '2
Siendo:
(
J ' 2P =
(
1 p p
e :e
2
)
)
(
)
1
eijp = ε ijp − ε vp δ ij
3
(3.2.20)
(3.2.21)
0
(
ecuación (3.2.20), resulta
u p = 2 J2
(ε
p
: εp
)=
)
1 p p
ε ij : ε ij , con lo que el trabajo plástico,
2
Tal que en metales puede escribirse J ' 2P =
2 J2
εp : εp
(3.2.22)
ε :ε
La función potencial G que sustituida en (3.2.17) da un flujo plástico equivalente a
von Mises
,
Prandtl-Reus, es la función de von Mises, G = [G ]
p
p
∂[G ]
∂σ
von Mises
g=
Donde,
∂[G ]
von Mises
=s
tambien
= J 2 − Κ 2 = 0 ⎯o⎯
⎯
⎯→ ∂[G ]
von Mises
(3.2.23)
= 3 J 2 − 3Κ 2 = 0
(3.2.24)
Siendo σ = 3 J 2 la tensión efectiva o uniaxial equivalente de von Mises, que
sustituida en la ecuación (3.2.22), resulta:
2
(3.2.25)
up =
σ εp : εp = σ ε p
3
Esta expresión permite escribir en forma general la deformación plástica efectiva,
como:
ε p = γ εp : εp
(3.2.26)
tal que en el caso particular de la plasticidad de Prandtl-Reus (o von Mises) γ ≡ 2 3 .
En los casos restantes hay que determinar su magnitud.
Es más general utilizar como variable de endurecimiento el trabajo plástico u obtener
la deformación plástica efectiva a partir de este trabajo,
42
MODELIZACIÓN NUMÉRICA DE MATERIALES COMPUESTOS
t
ωp
2 p p
ε = ∫ ε dt = ∫
dt = ∫
(ε : ε ) dt
0
0 σ
0
3
p
t
p
t
(3.2.27)
La ecuación anterior puede simplificarse en el caso particular de un problema de carga
radial, es decir cuando todas las componentes del tensor de tensión mantienen su
proporción a lo largo del proceso de carga
εp=
3.2.4.2
(
σ 11
σ
= 220 = … . Esto es,
0
σ 11
σ 22
2 p p
ε :ε
3
Superficie
de
Endurecimiento Plástico
)
Carga
(3.2.28)
Plástica.
Variable
de
En el apartado 3.2.2 se ha analizado el comportamiento uniaxial de un material elastoplástico ideal. Se ha distinguido una zona dentro de la función de fluencia plástica, una
zona límite y la zona fuera del dominio elástico. A partir de la zona límite, llamada superficie
de fluencia o superficie de discontinuidad, la superficie adquiere movilidad en el espacio de
tensiones, siguiendo la evolución del proceso plástico, transformándose en la denominada
superficie de carga plástica. Esta superficie de carga plástica no es otra cosa que la actualización
de la función límite de discontinuidad o límite de fluencia para cada valor de las variables
internas q correspondiente a cada instante del pseudo tiempo t del proceso elasto-plástico.
El fenómeno que gobierna este cambio de posición en el espacio de tensiones, se lo conoce
como endurecimiento plástico, que puede ser isótropo o cinemático.
Figura 3.2.8- Superficie de carga plástica. Movimiento isótropo y cinemático
Una manera simple de introducir el endurecimiento en el comportamiento
elastoplástico es a través de una función de carga plástica F(σ; q ) = 0 . Esta puede definirse
mediante una función escalar de argumentos tensoriales y homogénea de primer grado en
las tensiones.
F(σ; q ) = f (σ ) − Κ = 0
(3.2.29)
Para ello se establece la función de tensión f (σ ) como un traductor de un estado
tensorial de tensiones a otro escalar equivalente. Este escalar se utiliza para ser comparado
con la evolución del endurecimiento plástico Κ , que inequívocamente se relaciona con la
evolución de la tensión uniaxial equivalente σ = Κ .
43
Capitulo 3- Estado del Arte
3.2.4.2.1
Endurecimiento isótropo
Se dice que hay endurecimiento isótropo cuando hay movimiento homotético de la
superficie de carga plástica. A su vez este movimiento puede ser:
Positivo: Cuando el movimiento homotético de la superficie de carga plástica es de
expansión. En este caso se dice que el proceso es elasto-plástico isótropo con
endurecimiento.
Nulo: Cuando la superficie de carga plástica no evoluciona durante el proceso elastoplástico. En ese caso se dice que el proceso elasto-plástico es isótropo perfecto.
Negativo: Cuando hay movimiento homotético de contracción en la superficie de
carga plástica. En este caso se dice de un proceso elasto-plástico con ablandamiento.
El endurecimiento isótropo, movimiento homotético de la función de carga plástica,
queda controlado por la evolución de la función de endurecimiento plástico Κ , que en el
caso más general puede estar definida como una variable interna q. La evolución de esta
variable interna depende del proceso mismo y lo hace condicionada por una regla de
evolución cuya formulación se debe ajustar al comportamiento del sólido.
En plasticidad clásica es habitual expresar la variable interna de endurecimiento
plástico como una función de endurecimiento plástico Κ κ p , que depende a su vez de
la variable interna de endurecimiento plástico κ p . . Esto es
⎧κ p = ε p
Κ κ p = f κ p con : ⎨ p
(3.2.30)
p
⎩κ = u
Es mucho más general y permite una mayor posibilidad de representación del
comportamiento de una gran diversidad de sólidos, definiendo la función de
endurecimiento como una variable interna del proceso plástico,
⎡
∂G σ; κ p ⎤
κ p = λ H κ (σ; q ) = λ ⎢h κ (σ; q ) :
⎥
∂σ
(3.2.31)
⎦
⎣
( )
( )
( )
(
)
Κ = λ H Κ (σ; q ) = h Κ (σ; q )κ p
donde la función tensorial h κ (σ; q ) y la función escalar h Κ (σ; q ) , dependen del
estado de tensiones actualizado y de las variables internas. En el caso más simple de la
teoría de la plasticidad se identifican las siguientes relaciones,
hκ ≡ σ ⇒ κ p = hκ : ε p ≡ σ : ε p = u p = σ ε
de donde
resulta:
p
(3.2.32)
p
∂
Κ
κ
Κ = hΚ κ p =
κp
p
∂κ
tal que en esta última Κ (κ p ) = f (κ p ) es una función tal como lo expresa la ecuación
(3.2.30).
3.2.4.2.2
( )
Endurecimiento Cinemático
El endurecimiento cinemático, movimiento de traslación de la superficie de carga
plástica, queda controlado por la variable interna de endurecimiento plástico
cinemático η , que define las coordenadas del centro del dominio elástico en el espacio de
tensiones. El continuo cambio de estas coordenadas, durante la evolución del proceso
elasto-plástico, provoca un movimiento de traslación de la superficie de fluencia que puede
o no combinarse con un movimiento isótropo de expansión o contracción de la misma. En
el caso más general, se puede escribir la función de carga plástica como:
44
MODELIZACIÓN NUMÉRICA DE MATERIALES COMPUESTOS
F(σ; q ) = f (σ - η ) − Κ = 0
(3.2.33)
donde el endurecimiento plástico puede definirse, según Prager y Melan, como
η = β κ p = c k ε p con β = c k ε p ε p . La constante c k depende del tipo de función de
potencial plástico que se utilice.
3.2.4.3
Relación Tensión-Deformación. Consistencia Plástica y
Rigidez Tangente
La ley constitutiva elasto-plástica tangente σ = C T : ε y el parámetro de consistencia
plástica λ pueden obtenerse a partir del criterio general de fluencia plástica y de la
condición de consistencia de Prager. Esto es,
F(σ; q ) = f (σ - η ) − Κ = 0
⎫
⎪ ∂F
∂F
∂F
∂F
∂F
(3.2.34)
:σ+
:η+
: Κ = 0⎬ ∂σ : σ + ∂η : η - Κ = 0
F=
∂σ
∂η
∂Κ
⎪
1
⎭
Sustituyendo en esta la ecuación (3.2.31) y la ecuación η = β κ p = c k ε p , resulta
∂F
∂F p
: C : (ε - ε p ) + c k
: ε - hΚ (h κ - ε p ) = 0
∂σ
∂η
(3.2.35)
⎡ ∂F
∂G
∂F ∂G
∂G ⎤
⎡ ∂F
⎤
⎢⎣ ∂σ : C : ε⎥⎦ − λ ⎢ ∂σ : C : ∂σ − c k ∂η : ∂σ + hΚ h κ : ∂σ ⎥ = 0
⎣
⎦
De esta última expresión se puede obtener el factor de consistencia plástica λ , que
puede interpretarse como el factor que evalúa la distancia que hay entre un estado tensional
inadmisible, fuera del dominio elástico y la superficie de carga plástica. Esto es
∂F
:C:ε
∂σ
λ=
=0
⎡
(3.2.36)
∂F ∂G
∂G ⎤ ⎡ ∂F
∂G ⎤
:
+ hΚ h κ : ⎥ + ⎢ : C : ⎥
⎢− c k
∂η ∂σ
∂σ ⎦ ⎣ ∂σ
∂σ ⎦
⎣
A
donde A es el parámetro de endurecimiento plástico. En un caso simple de la teoría de
la plasticidad clásica sin endurecimiento cinemático c k = 0 , este parámetro resulta ser la
pendiente de la curva tensión uniaxial equivalente σ (ε p ) = Κ (ε p ) vs ε p . Para demostrar
esto, se considera una función de endurecimiento Κ (ε p ) = f (ε p ) y se define su pendiente,
( )
( )
dΚ ε p
dΚ ε p dκ p
(3.2.37)
=
A=
dε p
dκ p dε p
De esta última y la ecuación (3.2.32), se verifica el denominador de la ecuación (3.2.36)
∂F
∂G
A=
σ = hΚ h κ :
(3.2.38)
p
∂σ
∂κ
Sustituyendo la ecuación (3.2.36) en la ecuación constitutiva tangente,
σ = C : (ε - ε p )
Resulta la ley elasto-plástica tangente,
(3.2.39)
45
Capitulo 3- Estado del Arte
⎧
⎫
⎡ ∂G ⎤ ⎡ ∂F ⎤
C
:
:
C
⊗
⎪⎪
⎪⎪
⎢⎣ ∂σ ⎥⎦ ⎢⎣ ∂σ ⎥⎦
σ = ⎨C ⎬ : ε ⇒ σ = CT
F
G
G
F
G
∂
∂
∂
∂
∂
⎪ − ck
⎪
:
:C:
+ hΚ h κ :
+
⎪⎩
∂η ∂σ
∂σ ∂σ
∂σ ⎪⎭
(3.2.40)
Donde C T es el tensor constitutivo tangente continuo.
3.2.5
Postulado de estabilidad de Durker y
Axioma de la Máxima Disipación Plástica
El segundo postulado de Durker define la estabilidad local del comportamiento de un
punto de un sólido sometido a un estado tenso-deformacional . En el problema no-lineal
este postulado está relacionado con el axioma de la máxima disipación plástica.
Considérese un punto de un sólido sometido a un estado de tensiones σ = σ ε; ε p ; q
deformación ε , tal que en el instante previo sus magnitudes eran σ ∗ = σ ε ∗ ; ε p ; q y * ε ∗ .
Se dice que el comportamiento ha sido estable si se cumple la siguiente desigualdad,
(
σ : ε p ≥ σ ∗ : ε p → (σ - σ ∗ ) : ε p ≥ 0
(
)
)
(3.2.41)
donde puede verse que necesariamente se exige que el estado tensional posterior σ ,
sea siempre mayor que el anterior σ ∗ .
Haciendo ahora la siguiente aproximación,
ε - ε ∗ ≈ ε dt
⇒
σ - σ ∗ = C : ε dt
(3.2.42)
Sustituyendo esta última en la ecuación (3.2.41), resulta la siguiente forma particular del
2ndo postulado de Durker
ε:C:εp ≥ 0
(3.2.43)
La forma local del axioma de la máxima disipación plástica (M.D.P.), se escribe,
⎛ ∂Ξ ⎞
ε:⎜ e ⎟ ≥ 0
(3.2.44)
⎝ ∂ε ⎠
donde la disipación plástica Ξ , para problemas sin degradación de rigidez, se escribe
como
Ξ = σ : εp − Ψ ≥ 0
(3.2.45)
Sustituyendo ésta última en la expresión de la M.D.P., se tiene
ε:C:εp ≥ 0
(3.2.46)
De esta última y de la ecuación (3.2.43) se deduce que el postulado de estabilidad de
Durker, coincide plenamente con el axioma de la máxima disipación plástica.
3.2.6
Condición de estabilidad
La condición de estabilidad de Durker es también conocida como condición de
estabilidad local y sólo se refiere a la estabilidad del comportamiento de un punto del
sólido. El cumplimiento de esta condición en todos los puntos del sólido es suficiente para
46
MODELIZACIÓN NUMÉRICA DE MATERIALES COMPUESTOS
garantizar la estabilidad del conjunto, sin embargo no es necesario que se verifique en todos
y cada uno de los puntos para asegurar la estabilidad del conjunto. Este hecho puede
comprobarse en materiales con ablandamiento, en los cuales puede no cumplirse la
condición de estabilidad local en algunos puntos, sin que por esto el sólido global pierda
estabilidad. La estabilidad de todo un cuerpo se prueba mediante una condición más débil,
que es conocida como condición de estabilidad global. A continuación se hace una breve
presentación de estos dos conceptos.
3.2.6.1
Estabilidad local
El segundo postulado de Durker, ecuación (3.2.41), constituye una condición de
estabilidad necesaria y suficiente para problemas de plasticidad con endurecimiento y regla
de flujo asociada, pero es sólo una condición suficiente para problemas de plasticidad con
ablandamiento y/o regla de flujo no asociada. A continuación se prueba que exigiendo
convexidad en las funciones de fluencia, potencial plástico y flujo asociado en materiales
con endurecimiento, queda garantizado el cumplimiento del segundo postulado de Durker
⎛ ∂G ⎞
ε : (C ) : ε p = ε : (C ) : ⎜ λ
(3.2.47)
⎟≥0
⎝ ∂σ ⎠
Pero el factor de consistencia plástica λ es un escalar no negativo. Por ello la
desigualdad anterior puede también escribirse, como
∂G
λ ≥ 0 , ε : (C ) :
≥0
(3.2.48)
∂σ
Además, analizando el propio factor de consistencia plástica, se deduce que,
∂F
:C:ε
∂
σ
λ=
≥0
(3.2.49)
∂G
∂F
:C:
A+
∂σ
∂σ
si el endurecimiento es positivo A > 0 , y G y F son funciones convexas, para que el
factor de consistencia plástico sea positivo, debe cumplirse necesariamente que
∂G
ε : (C ) :
≥0
(3.2.50)
∂σ
Para garantizar que las desigualdades (3.2.48) y (3.2.50) se cumplan a la vez, debe
ocurrir que el flujo plástico sea asociado. Es decir,
∂G ∂F
, Flujo asociado
∝
(3.2.51)
∂σ ∂σ
3.2.6.2
Estabilidad Global
Como ya se ha mencionado, para materiales con ablandamiento, el postulado de
Durker se transforma en una condición suficiente de estabilidad, pero no necesaria.
La condición de estabilidad necesaria, debe formularse a nivel global, es decir, de todo
el sólido. Sea una configuración estable Ω ∗ ⊂ R 3 donde la energía potencial total vale
∗
Π ∗ = P ∗ d − P ∗ in , donde intervienen las variables de tensión σ
, deformación ε ∗ ,
fuerzas de superficie t ∗ , volumen b ∗ y desplazamiento u ∗ , y donde se cumple el equilibrio
del sólido. Dando un desplazamiento virtual δu sobre esta configuración estable, se
obtiene una nueva configuración Ω t ⊂ R 3 , cuyas variables son u = u ∗ + δu , ε = ε ∗ + δε ,
47
Capitulo 3- Estado del Arte
1 2
δ Π . Se
2!
dice que esta nueva configuración estará en equilibrio, si durante la aplicación del
desplazamiento virtual se desarrolla una variación de energía potencial total nula. Esto es
1
1
Π = Π ∗ + δΠ + δ 2 Π + ⇒ ∆Π = Π − Π ∗ ≅ δΠ + δ 2 Π +
(3.2.52)
2!
2!
0
donde la primera variación de la energía o condición de estacionalidad del funcional
vale δΠ = ∫ σ : δε dV − ∫ t ⋅δu dS − ∫ ρb ⋅ δu dV = 0 . Dado que el desplazamiento virtual
σ = σ ∗ + δσ , b = b ∗ , t = t ∗ , y la energía total será, Π = Pd − Pin ≅ Π ∗ + δΠ +
V
S
V
δu y sus campos derivados δε son arbitrarios, resulta entonces la ecuación de equilibrio.
La segunda variación de la energía potencial total, o condición de estabilidad del funcional,
puede escribirse como δ 2 Π = ∫ δσ : δε dV − ∫ δt ⋅δu dS − ∫ ρδb ⋅ δu dV = 0 . A pesar que
V
S
V
en plasticidad no siempre es posible conocer la expresión del funcional de energía potencial
total, si que es posible conocer sus respectivas variaciones, por ejemplo mediante el
principio de los trabajos virtuales que es lo que se ha establecido en las ecuaciones
anteriores. Sustituyendo en (3.2.52) la condición de equilibrio, se tiene que el incremento
total de trabajo virtual es igual a la segunda variación del funcional y que es a la vez la
condición de estabilidad (concavidad o convexidad del funcional),
⎧ > 0 ⇒ La configuración original es estable
⎪⎪
1
para cualquier desplazamiento virtual
∆Π ≅ δΠ + δ 2 Π ⎨
(3.2.53)
< 0 ⇒ La configuración original es inestable
2!
0
⎪
⎪⎩
para este desplazamiento virtual
Sustituido el estado definido anteriormente ( u = u ∗ + δu , ε = ε ∗ + δε , σ = σ ∗ + δσ ,
b = b ∗ , t = t ∗ ), en la segunda variación del funcional, se obtiene,
⎧ > 0 ⇒ Configuración original estable
1
∆Π ≅ ∫ δσ : δε dV ⎨
(3.2.54)
2V
⎩< 0 ⇒ Configuración original inestable
Según Bažant, esta condición aplicada a materiales con ablandamiento, permite definir
un tamaño límite, de volumen V p , de la zona donde puede ocurrir un comportamiento
plástico inestable, entendido según el postulado de estabilidad local de Durker (zona donde
se produce ablandamiento). Así, en el resto del sólido, donde el comportamiento es elástico
y cuyo volumen es V0 = V − V p , este trabajo de segundo orden es positivo tal que permite
compensar el trabajo negativo dando una segunda variación del funcional no nula.
Así se consigue una nueva configuración estable para un sólido cuyo comportamiento
es de endurecimiento en una parte del dominio V0 y de ablandamiento en la otra V p .
Esto es,
⎡1
⎤
1
1
∆Π ≅ ∫ δσ : δε dV = ⎢ ∫ δσ : δε dV + ∫ δσ : δε dV ⎥ ≅ ∆Π V0 + ∆Π V p > 0
(3.2.55)
2V
2 Vp
⎢⎣ 2 V0
⎥⎦
[
]
De todo esto, se puede concluir que en un punto del sólido es posible que se viole la
condición de estabilidad de Durker, sin que necesariamente la respuesta sea inestable.
48
3.2.7
MODELIZACIÓN NUMÉRICA DE MATERIALES COMPUESTOS
Condición de Unicidad en la solución
Dado un punto del sólido en estado de equilibrio (configuración de origen), sobre el que se
aplican dos desplazamientos virtuales δu 1 y δu 2 , y a continuación se mide la diferencia de
energía potencial entre estas dos configuraciones. Puede observarse que esta diferencia de
energía es igual a la que se obtiene al aplicar un único desplazamiento virtual de magnitud
∆(δu ) = δu 2 − δu 1 , que provoca un cambio de deformaciones ∆(δε ) y de tensiones
∆(δσ ) .
De este campo de tensiones y deformaciones resulta un trabajo virtual de segundo orden
igual a
⎧= 0 no hay unicidad en la solución
1
∆ (δ 2 Π ) ≅ ∫ ∆(δσ ) : ∆(δε ) dV = ⎨
(3.2.56)
2V
⎩≠ 0 hay unicidad en la solución
(
)
Si esta segunda variación es nula ∆ δ 2 Π = 0 durante el cambio de desplazamiento virtual
∆ (δu ) , significa que la tensión en las dos configuraciones finales son iguales δσ 2 = δσ 2 , es
decir ∆δ (σ ) = δσ 2 − δσ 2 = 0 . Por lo tanto se tienen dos estados cinemáticamente
admisibles e independientes entre si δu 2 ≠ δu 1 , pero el mismo incremento de tensión
δσ 2 = δσ 2 , lo que implica que la solución no es única y hay bifurcación en la respuesta.
Dadas las mismas configuraciones cinemáticas antes mencionadas, si se obtiene una
segunda
variación no nula ∆ δ 2 Π ≠ 0 , se dice que la unicidad de la solución está garantizada.
(
)
3.2.8
Condición de carga-descarga. KuhnTucker
La condición de carga-descarga y la condición de consistencia plástica de Prager, se
satisfacen simultáneamente mediante las tres condiciones de Kuhn-Tucker3 , que es otra
forma de presentar el axioma de la máxima disipación plástica M.D.P . Esto es,
λ≥0
F(σ, q ) ≤ 0
(3.2.57)
λ F(σ, q ) = 0
de estas tres condiciones se deduce brevemente lo siguiente,
⎧F < 0 ⇒ λ = 0 comportamiento elástico o descarga
⎪
⎧λ > 0 comportamiento plástico o carga
⎨
⎪F = 0 ⇒ ⎨
⎩λ = 0 carga plástica neutra
⎩
F > 0 ⇒ estado incompatib le
(3.2.58)
49
Capitulo 3- Estado del Arte
3.2.9
Criterios Clásicos
Discontinuidad plástica
de
Fluencia
o
A continuación se hace una breve presentación, casi enumerativa, de los criterios de
fluencia o discontinuidad plástica. El objetivo de esta presentación es destacar los rasgos
más importantes que se debe recordar de cada uno de ellos.
En los últimos años se ha formulado una gran cantidad de criterios de fluencia, o
discontinuidad plástica, con el fin de representar mejor el comportamiento plástico de los
sólidos ideales. Hay criterios más apropiados para representar el comportamiento de los
materiales metálicos y otros que funcionan mejor para los geomateriales. En general la
formulación y/o utilización de estos criterios exigen considerar las siguientes características
básicas de comportamiento:
- Los materiales metálicos tienen una resistencia a tracción y compresión del mismo
orden de magnitud. La presión hidrostática, primer invariante del tensor de tensiones I 1 ,
influye muy poco en la determinación del estado de fluencia plástica. Los cambios de
volumen permanente son despreciables (incremento temporal de deformación volumétrica
permanente, dilatancia, nula ε vp = 0 ); lo que significa que la forma y tamaño de una sección
transversal de la superficie de fluencia (plano octaédrico), se mantiene inalterada tanto a
bajas como altas tensiones (no depende del tercer invariante del tensor desviador de
tensiones 3 J ), ej.: la forma cilíndrica de la superficie de von Mises. El incremento temporal
de deformación plástica ε p depende del tensor desviador de tensiones s en cada instante
del proceso de carga cuasi-estático, pudiéndose utilizar satisfactoriamente la regla de flujo
de Prandtl-Reus, que es lo mismo que utilizar la forma general de la regla de flujo, con una
función de potencial plástico de von Mises.
- Los materiales friccionales del tipo de los hormigones pétreos, suelos, cerámicos,
etc., tienen menor resistencia a tracción que a compresión. La presión
hidrostática p = I 1 3 , influye mucho en la condición de fluencia plástica para tensiones
bajas y moderadas, en cambio comienza a perder importancia para tensiones hidrostáticas
elevadas. El sólido sufre cambios de volumen irrecuperables exhibiendo fenómenos de
dilatancia ε vp ≠ 0 . La forma y dimensión de una sección transversal de la superficie de
fluencia (plano octaédrico), es distinta para bajas que para altas tensiones, pasando de una
forma casi triangular a otra circular, respectivamente (para bajas presiones hidrostáticas
depende del tercer invariante del tensor desviador de tensiones J 3 y se independiza de él
en altas presiones). La deformación plástica tiene una dirección distinta a la que da el
gradiente de la superficie de fluencia, siendo necesario formular una superficie de potencial
plástico distinta a la de fluencia plástica (plasticidad no asociada). En estos materiales, y a
diferencia de los metales, el criterio de fluencia depende, entre otras, de tres variables: la
cohesión interna entre partículas c , el ángulo de rozamiento interno entre partículas φ y la
dilatancia interna ψ . Estas pueden ser tratadas como variables internas del proceso mismo,
o también expresadas como una función dependiente en forma explícita de la evolución de
las variables internas q .
De esta breve descripción muestra la necesidad de formular distintos criterios de
fluencia y potencial plástico que permitan considerar los requisitos exigidos por cada tipo
de material.
50
MODELIZACIÓN NUMÉRICA DE MATERIALES COMPUESTOS
3.2.9.1
Criterio de Rankine. Máxima Tensión de Tracción
Este criterio fue formulado por Rankine en 1876 y se caracteriza por depender de un
max
solo parámetro, la máxima resistencia uniaxial de tracción σ T . Además está influenciado
por el primer invariante del tensor de tensiones Criterio de Rankine. Máxima Tensión de
Tracción I 1 y el segundo y tercer invariantes del tensor desviador de tensiones J 2 , J 3 ,
respectivamente. Es apropiado para establecer en forma sencilla el límite donde comienza
el proceso de fractura en un punto del sólido friccional. Esta hipótesis que conduce a
suponer que la fractura ocurre cuando la máxima tensión principal alcanza el valor de la
max
resistencia uniaxial a tracción Κ (κ ) = σ T (κ ) . Las diversas formas de expresar
matemáticamente este criterio son las siguientes,
− En función de las tensiones principales:
(
F σ, σ T
−
max
) = max[σ ] − σ
i
max
T
(κ ) = 0
En función de los invariantes del tensor de tensiones y sus desviadores,
π⎞
⎛
max
max
F I 1 , J 2 ,θ,σ T
= 2 3 J 2 cos⎜θ + ⎟ + I 1 − 3σ T (κ ) = 0
6⎠
⎝
(
)
(3.2.59)
(3.2.60)
Figura 3.2.9- Superficie de fluencia de Rankine en el espacio de tensiones principales
de Westergaard
Figura 3.2.10- Superficie de fluencia de Rankine en el espacio de tensiones principales
de Westergaard
Capitulo 3- Estado del Arte
3.2.9.2
51
Criterio de Tresca. De la Máxima Tensión Cortante
Este criterio fue formulado por Tresca en 1864 y al igual que el criterio de Rankine,
depende de un solo parámetro, la máxima resistencia al cortante τ max . Además considera el
segundo y tercer invariantes del tensor desviador de tensiones J 2 , J 3 respectivamente,
ignorando la influencia del primer invariante del tensor de tensiones I 1 . Es apropiado para
representar el comportamiento de los metales y su mayor limitación viene dada por la falta
de continuidad en sus derivadas. De acuerdo con este criterio, se alcanza la fluencia plástica
cuando el valor de la función de endurecimiento plástico Κ (κ ) = τ max (κ ) , que tiene
significado de una resistencia al cortante, alcanza la máxima resistencia al cortante τ max .
Las diversas formas de expresar matemáticamente este criterio son las siguientes,
− En función de las tensiones principales:
⎡1
⎤
F σ, τ max = max ⎢ σ i − σ j ⎥ − τ max (κ ) = 0
(3.2.61)
⎣2
⎦
− En función de los invariantes del tensor de tensiones y sus desviadores,
J2
(3.2.62)
F(J 2 ,θ,τ max ) =
cos(θ ) − τ max (κ ) = 0
3
(
)
Figura 3.2.11- Superficie de fluencia de Tresca en el espacio de tensiones principales de
Westergaard
Figura 3.2.12- Superficie de fluencia de Tresca en el espacio de tensiones principales de
Westergaard
52
MODELIZACIÓN NUMÉRICA DE MATERIALES COMPUESTOS
3.2.9.3
Criterio de von Mises. Tensión Cortante Octaédrica
Este criterio fue formulado por von Mises en 1913 y también, al igual que los dos
anteriores, depende de un solo parámetro, la máxima resistencia al cortante octaédrica
τ max oct . Además considera sólo el segundo invariante del tensor desviador de tensiones J 2 ,
despreciando la influencia del primer invariante del tensor de tensiones I 1 y del tercer
invariante del tensor desviador de tensiones J 3 . Es el criterio más apropiado para
representar el comportamiento de los materiales metálicos. De acuerdo con este criterio, se
alcanza la fluencia plástica cuando el valor de la función de endurecimiento plástico
Κ (κ ) = τ max oct (τ ) , que tiene significado de una resistencia al cortante, alcanza la máxima
resistencia al cortante octaédrico τ max oct . Las diversas formas de expresar matemáticamente
este criterio son las siguientes,
− En función de las tensiones principales:
2
1
2
2
2
F σ, τ max oct = (σ 1 − σ 2 ) + (σ 2 − σ 3 ) + (σ 3 − σ 1 ) − τ max oct (κ ) = 0
(3.2.63)
6
− En función de los invariantes del tensor de tensiones y sus desviadores,
(
)
[
] [
[
]
F ( J 2 ,τ max oct ) = J 2 − τ max oct (κ )
2
]
(3.2.64)
Figura 3.2.13- Superficie de fluencia de von Mises en el espacio de tensiones
principales de Westergaard
Figura 3.2.14- Superficie de fluencia de von Mises en el espacio de tensiones
principales de Westergaard
53
Capitulo 3- Estado del Arte
3.2.9.4
Criterio
de
Mohr-Coulomb.
Tensión
Cortante
Octaédrica
Este criterio fue formulado por Coulomb en 1773 y desarrollado con más profundidad
por Mohr en 1882. Este criterio depende de dos parámetros, la cohesión c y el ángulo de
rozamiento interno φ entre partículas. Incluye en su expresión matemática el primer
invariante del tensor de tensiones I 1 y el segundo y tercer invariantes del tensor desviador
de tensiones J 2 , J 3 , respectivamente. Es apropiado para establecer en forma sencilla el
límite donde comienza el proceso de fractura en materiales friccionales o geomateriales. La
resistencia en un punto crece con el rozamiento entre partículas τ y esta a su vez depende
de la tensión normal σ n y de la cohesión c entre ellas. Así, puede presentarse la siguiente
forma simple del criterio de Mohr Coulomb,
F(σ, c, φ ) = τ − c − σ n tan (φ ) = 0
(3.2.65)
Figura 3.2.15- Representación plana del estado tensional en un punto, según el criterio
de Mohr-Coulomb
En el caso extremo que φ = 0 , el criterio de Mohr-Coulomb tiende al criterio de
Tresca, en cuyo caso se cumple que τ = c = Κ
Observando la Figura 3.2.15, se puede rescribir la ecuación (6.107) en función de las
tensiones principales,
⎤
⎡ ⎛σ −σ 3 ⎞ ⎛σ1 −σ 3 ⎞
⎡σ − σ 3
⎤
F(σ, c, φ ) = ⎢ 1
cos φ ⎥ − c − ⎢− ⎜ 1
⎟−⎜
(3.2.66)
⎟ sin φ ⎥ = 0
⎣ 2
⎦
⎦
⎣ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
donde σ 1 y σ 3 representan la tensión principal mayor y menor respectivamente. De
esta se deduce que el criterio de Mohr-Coulomb ignora el efecto de la tensión principal
intermedia σ 2 , lo que es una gran limitación. No obstante, este problema se soluciona si se
expresa su formulación en función de los invariantes, del tensor de tensiones y sus
desviadores.
I
⎛
sin θ sin φ ⎞
F(I 1 , J 2 , c,θ , φ ) = 3 sin φ + J 2 ⎜⎜ cosθ −
⎟⎟ − 6 c(κ ) cos φ = 0
(3.2.67)
3
3
⎝
⎠
Estas funciones describen en el espacio de tensiones principales una pirámide de base
hexagonal distorsionada, cuyo eje coincide con el de presiones isostáticas σ 1 = σ 2 = σ 3 . El
aumento de presión hace que el plano octaédrico crezca. Este plano octaédrico representa
54
MODELIZACIÓN NUMÉRICA DE MATERIALES COMPUESTOS
un hexágono deformado. De la intersección del plano meridiano de tracción θ = − π 6 ,
(
con la superficie de fluencia, surge una recta de pendiente 2 2 sin φ
(
el eje de tensión tangencial octaédrica en ρτ = 2c 6 cos φ
0
) (3 + sin φ ) que corta
) (3 + sin φ )
y el eje de
presiones en ξ = 3 c cot φ . De la intersección del plano meridiano de compresión
θ = + π 6 , con la superficie de fluencia, resulta una recta de pendiente
0
(2
) (3 − sin φ ) , mayor que la del meridiano de tracción y que corta el eje de tensión
tangencial octaédrica en ρ = (2c 6 cos φ ) (3 − sin φ ) . En el plano principal
2 sin φ
0
C
σ 1 = σ 2 = σ 3 = 0 , representa una hexágono deformado cuyo eje mayor coincide con el eje
de tensiones σ 1 = σ 3 .
Figura 3.2.16- Superficie de fluencia de Mohr Coulomb en el espacio de tensiones
principales de Westergaard
Figura 3.2.17- Superficie de
fluencia de Mohr Coulomb en el
espacio de tensiones principales de
Westergaard
Figura 3.2.18- Superficie de fluencia de Mohr
Coulomb en el plano
Capitulo 3- Estado del Arte
55
De las funciones que describen el criterio de fluencia de Mohr-Coulomb, resulta claro
que su principal característica es la capacidad para distinguir el comportamiento a tracción
del de compresión. De aquí resulta que el criterio admite implícitamente que la relación de
resistencia a tracción y compresión, cumplen con la siguiente expresión
R Mohr =
σ C0
σ
0
T
⎛π φ ⎞
= tan 2 ⎜ + ⎟
⎝ 4 2⎠
(3.2.68)
Esta definición establece una limitación importante en la adaptación de este criterio a
un material en particular, pues normalmente no se da esta correlación en los materiales
reales.
Para conseguir una buena correlación entre relación de resistencias y ángulo de fricción
interna, es necesario modificar el criterio de Mohr-Coulomb.
Figura 3.2.19- Relación entre φ y RMohr
56
3.2.9.5
MODELIZACIÓN NUMÉRICA DE MATERIALES COMPUESTOS
Criterio de Durker-Prager
Este criterio, formulado por Drucker y Prager en 1952, es considerado como una
aproximación alisada del criterio de Mohr-Coulomb, pero la formulación matemática surge
de una generalización del criterio de von Mises, para incluir la influencia de la presión, a
través del primer invariante del tensor de tensiones I 1 y del ángulo de rozamiento interno
φ . También depende del segundo invariante del tensor desviador de tensiones J 2 ,
despreciando la influencia del tercer invariante del tensor desviador de tensiones J 3 . Este
criterio depende de dos parámetros, el ángulo de rozamiento entre partículas φ y la
cohesión c. La forma de expresar matemáticamente este criterio es la siguiente,
En función de los invariantes del tensor de tensiones y su desviador,
F(I 1 , J 2 , c,φ ) = α (φ ) I 1 +
J 2 − Κ (κ , φ ) = 0
(3.2.69)
siendo las funciones de endurecimiento, luego de ser ajustadas con el criterio de Mohrα (φ ) = 2 sin φ 3 3 + 3 sin φ
y
Coulomb,
resultan
(
(
)
)
Κ (κ , φ ) = 6 c(κ ) cos φ 3 3 + 3 sin φ . Estas dos funciones describen un cono inscrito en
la pirámide de Mohr-Coulomb, coincidiendo ambos criterios en los meridianos de tracción.
En el caso en que el cono circunscriba la pirámide de Mohr-Coulomb, se tiene coincidencia
en los meridianos de compresión de ambas superficies, y de ello resultan las siguientes
Κ (κ , φ ) = 6 c(κ ) cos φ 3 3 − 3 sin φ .
funciones α (φ ) = 2 sin φ 3 3 − 3 sin φ y
Ambos casos particulares describen dos comportamientos muy diferenciados.
El plano octaédrico representa un círculo, cuyo radio varía en función de la presión.
De la intersección del plano meridiano de tracción θ = − π 6 , con la superficie de fluencia,
(
)
(
)
α a , que corta el eje de tensión tangencial octaédrica en
ρ = 2Κ y el eje de presiones en ξ 0 = Κ 3 α . De la intersección del plano meridiano
de compresión θ = + π 6 , con la superficie de fluencia, resulta una recta con igual
surge una recta de pendiente
0
T
pendiente que la obtenida para meridiano de tracción. En el plano principal
σ 1 = σ 2 = σ 3 = 0 , representa una elipse desplazada de su centro (influencia de la presión),
cuyo eje mayor coincide con el eje de tensiones σ 1 = σ 3 .
Capitulo 3- Estado del Arte
57
Figura 3.2.20- Superficie de fluencia de Durker-Prager en el espacio de tensiones
principales de Westergaard
Figura 3.2.21- Superficie de
fluencia de Mohr Coulomb en el
espacio de tensiones principales de
Westergaard
Figura 3.2.22- Superficie de fluencia de Mohr
Coulomb en el plano
3.3 Modelo de Daño
3.3.1
Introducción
Como se dijo en el apartado 3.1, el daño de un sólido continuo, en el sentido de
degradación de rigidez, es una alteración de las propiedades elásticas durante la aplicación
de la carga como consecuencia de una disminución del área efectiva resistente. Esta pérdida
de área efectiva es normalmente causada por el crecimiento de vacíos y/o micro fisuras.
El fenómeno de daño sólo afecta a las propiedades elásticas del material, mientras la
plasticidad se desarrolla como consecuencia de un crecimiento irrecuperable en la
deformación, deformación plástica. Ambos fenómenos son complementarios y es normal
observar en los materiales una pérdida de resistencia motivada por el daño –pérdida de
elasticidad– y por la plasticidad –crecimiento en la deformación inelástica–.
Mediante esta teoría de daño se representará el límite de fluencia de los materiales
componentes del material compuesto simulado.
3.3.2
Modelo de Daño Isótropo
En los últimos años los modelos constitutivos conocidos como de daño continuo han
sido ampliamente aceptados para simular el complejo comportamiento constitutivo de
muchos materiales que se utilizan en ingeniería. Estos modelo se caracterizan por su
simplicidad en la implementación, versatilidad y consistencia, ya que están basados en la
mecánica de daño continuo.
Físicamente, el proceso de degradación de las propiedades de un material es el
resultado de la presencia y crecimiento de pequeñas fisuras y micro vacíos presentes en la
estructura de cualquier material. Este proceso de crecimiento se puede simular, en el
contexto de la mecánica de medios continuos, teniendo en cuenta la teoría de variables
internas de estado, introduciendo una variable interna de daño representada por un escalar,
vector o un tensor. Esta variable interna de daño caracteriza el nivel de deterioro del
material y transforma el tensor de tensiones real a otro tensor de tensiones efectivas de la
siguiente forma,
σ 0 = M −1 : σ
(3.3.1)
donde M es el tensor de cuarto orden del modelo de daño anisótropo. Para el caso
del modelo de daño isótropo, la degradación del material se desarrolla en todas las
direcciones por igual y sólo depende de una variable escalar de daño d, con lo que el tensor
M se reduce a M = (1-d )I y la ecuación de daño anisótropo (3.1.42) queda:
σ
σ0 =
(3.3.2)
1− d
2
MODELIZACIÓN NUMÉRICA DE MATERIALES COMPUESTOS
donde d es la variable interna de daño, σ es el tensor de tensiones de Cauchy y σ 0 es el
tensor de tensiones efectivas, medido en el espacio “no-dañado”. Esta variable interna es
una medida de la pérdida de rigidez del material y sus límites superior e inferior está dado
por:
0 ≤ d ≤1
(3.3.3)
donde d=1 representa un estado del material completamente degradado y define la rotura
local completa y d=0 representa un material no dañado. El concepto de tensión efectiva se
formuló por primera vez en conexión con la hipótesis de equivalencia de deformaciones
por Lemaitre-Chaboche3 en 1978 en la siguiente forma, “...la deformación asociada a un
estado dañado bajo una tensión aplicada σ es equivalente a la deformación asociada con el
estado no dañado sometido a una tensión efectiva σ 0 ”. En la Figura ¡Error! No se
encuentra el origen de la referencia. se observa una representación esquemática de la
hipótesis de tensión efectiva.
Figura 3.3.1 – Representación esquemática de la hipótesis de tensión efectiva
3.3.2.1
Energía libre de Helmholtz y ecuación constitutiva
La energía libre de Helmholtz por unidad de volumen para el caso de un modelo de daño
isótropo a temperatura constante está dada por:
Ψ = Ψ (ε, p i ) con p i = {d }
(3.3.4)
Ψ = Ψ (ε, d ) = (1 − d ) Ψ0 (ε )
Donde Ψ0 (ε ) es la energía libre de Helmholtz elástica inicial del material no dañado. En el
caso de pequeñas deformaciones es suficiente caracterizar a la energía libre a través de una
función cuadrática de las deformaciones del siguiente tipo,
1
Ψ0 (ε ) = ε : C 0 : ε
(3.3.5)
2
donde C 0 es el tensor constitutivo elástico del material en estado no dañado. Para
problemas térmicamente estables es válida la siguiente forma de la desigualdad de ClausiusPlank,
∂Ψ ⎛ ∂Ψ ⎞
Ξ = ⎜σ d ≥0
(3.3.6)
⎟ : ε ∂ε ⎠
∂d
⎝
Esta expresión de la potencia disipativa permite hacer las siguientes consideraciones:
3
Capitulo 3- Estado del Arte
a.
b.
La inecuación (3.3.6) debe cumplirse para cualquier variación temporal de la
variable libre ε, con lo que el multiplicador ε tiene que ser nulo. Esta
condición proporciona la ley constitutiva hiperelástica para el problema de
daño escalar,
∂Ψ
∂Ψ
σ=
,
= − Ψ0 ≤ 0 ⇒ − Ψ0 conjugada de d
(3.3.7)
∂ε
∂d
Considerando la ley constitutiva, el valor de la disipación del modelo de
degradación resulta,
(3.3.8)
Ξ = Ψ d ≥ 0
0
Teniendo en cuenta la ecuación (3.3.7) se obtiene la siguiente forma de la ecuación
constitutiva
∂Ψ
∂Ψ
(3.3.9)
σ=
= (1 − d ) 0 = (1 − d ) C 0 : ε
∂ε
∂ε
Esta es la ecuación constitutiva secante del modelo de daño y presenta la siguiente
características:
1. el modelo de degradación es isótropo ya que las propiedades mecánicas del
material están sólo afectadas por un escalar,
2. la integración de la ecuación constitutiva es explícita,
3. la ecuación (B5.161) se puede interpretar como una descomposición aditiva
de las tensiones elásticas e inelásticas, esto es
σ = (1 − d ) C 0 : ε = [C 0 : ε] − [d C 0 : ε] = σ 0 − σ d
(3.3.10)
El modelo expresado en la ecuación (3.3.9) exige el conocimiento de la variable de
daño en cada instante del proceso mecánico. Para ello es necesario definir la evolución de
esta variable interna de daño. En los apartados que a continuación se presenta se hace un
detalle de los pasos necesarios para su evaluación.
Figura 3.3.2 – Representación esquemática del modelo de daño uniaxial
3.3.2.2
Criterio umbral de daño
El criterio de daño distingue entre un estado de comportamiento elástico, que se
encuentra en el interior del dominio delimitado por esta función de daño, y otro estado en
el cual se verifica el proceso de degradación de las propiedades del material. Este criterio
4
MODELIZACIÓN NUMÉRICA DE MATERIALES COMPUESTOS
depende del tipo de material y se define en la misma forma que para problemas de
plasticidad,
F(σ 0 , q ) = f (σ 0 ) − c (d ) ≤ 0
(3.3.11)
Donde f (σ 0 ) es una función del tensor de tensiones σ 0 = C 0 : ε y c(d ) es la
función que define la posición del umbral de daño. Esta función permite, además de
establecer el inicio del comportamiento no lineal de daño, definir también los estados de
carga, descarga y recarga. Es una función escalar, debe ser positiva y para un estado
indeformado debe ser nula. El valor inicial del umbral de daño c d 0 = c max = σ max es una
propiedad del material y está relacionado con su resistencia a compresión según sea la
función umbral de daño que se elija.
Dada la ecuación que representa una superficie límite en el espacio de las
deformaciones o de las tensiones no dañadas. El daño en el material se verifica cuando el
valor de f (σ 0 ) es igual o mayor que c max = σ max por primera vez. Una expresión
equivalente a la (3.310) está dada por la siguiente expresión,
( )
F (σ 0 , q ) = G[ f (σ 0 )] − G[c (d )] ≤ 0 , con q ≡ {d }
(3.3.12)
donde G[χ ] es una función escalar, invertible, positiva y de derivada positiva y
monótona creciente.
3.3.2.3
Ley de evolución de la variable interna de daño
En los problemas de la mecánica en los que interviene la teoría de variables internas
es necesario definir la ley de evolución de las mismas. En el problema de daño, la ley de
evolución de la variable interna está dada por:
∂F (σ 0 , q )
∂G[ f (σ 0 )]
≡ µ
d = µ
(3.3.13)
∂[ f (σ 0 )]
∂[ f (σ 0 )]
donde µ es un escalar no negativo denominado parámetro de consistencia de daño,
análogo al factor de consistencia plástico λ , y se utiliza para definir las condiciones de
carga, descarga y recarga a través de las condiciones de Kuhn-Tucker,
µ ≥ 0 ; ∂F (σ 0 , q ) ≤ 0 ; µ ⋅ ∂F (σ 0 , q ) = 0
(3.3.14)
Las condiciones expresadas en la ecuación anterior corresponden a problemas que
poseen restricciones unilaterales. Si el valor de ∂F (σ 0 , q ) ≤ 0 el criterio de daño no se
verifica y para que se cumplan las condiciones de Kuhn-Tucker necesariamente debe
ocurrir que µ = 0 . Esto lleva a deducir de la ecuación (3.3.13) que la variación temporal del
daño debe ser nula d = 0 y por lo tanto el material no presenta fenómenos de daño y se
está ante un proceso mecánico elástico.
Al igual que en la teoría de la plasticidad, la magnitud del factor de consistencia surge
de imponer la condición de consistencia de daño de Il’ushim. De éstas y de las propiedades
de la función G[χ ] G , se obtiene,
∂G[ f (σ 0 )] ∂G[c(d )]
∂F (σ 0 , q ) = 0 ⇒ G[ f (σ 0 )] = G[c(d )] ⇒
=
(3.3.15)
∂c(d )
∂[ f (σ 0 )]
De la condición de permanencia sobre la superficie umbral de daño se deduce que,
∂G[ f (σ 0 )] ∂G[c(d )]
∂F (σ 0 , q ) = 0 ⇒
f (σ 0 ) −
c(d ) = 0 ⇒ f (σ 0 ) = c(d )
(3.3.16)
∂[ f (σ 0 )]
∂c(d )
Capitulo 3- Estado del Arte
5
Observando la variación temporal de ∂G[ f (σ 0 )] ∂t = G [ f (σ 0 )] (ecuación (3.3.16)) y
haciendo una analogía con la ley de evolución de la variable interna d (ecuación (3.3.13)),
resulta el parámetro de consistencia de daño como,
∂G[ f (σ 0 )] ⎫
G [ f (σ 0 )] =
f (σ 0 )⎪
∂[ f (σ 0 )]
⎪
(3.3.17)
⎬ ⇒ d ≡ G [ f (σ 0 )] ⇒ µ ≡ f (σ 0 )
(
)
[
]
∂
G
f
σ
0
⎪
d = µ
⎪⎭
∂[ f (σ 0 )]
Desarrollando más el parámetro de consistencia puede escribirse,
∂f (σ 0 )
∂f (σ 0 )
µ ≡ f (σ 0 ) = c(d ) =
: σ0 =
: C 0 : ε
(3.3.18)
∂σ 0
∂σ 0
Integrando en el tiempo la variación temporal de la variable de daño (ecuación
(3.3.17)), se
concluye en la siguiente forma explícita para representar el daño en un punto del
sólido,
d = ∫ d dt =∫ G [ f (σ 0 )] dt = G[ f (σ 0 )]
(3.3.19)
t
t
Sustituyendo en la disipación (ecuación (3.3.6)), resulta la expresión que describe la
evolución temporal de la disipación,
∂G[ f (σ 0 )] f (σ 0 )
: C 0 : ε
Ξ = Ψ0 G [ f (σ 0 )] = Ψ0
(3.3.20)
∂[ f (σ 0 )] ∂σ 0
De las definiciones previamente presentada se obtiene que el umbral de daño c en un
tiempo s = t , resulta,
{
{
c = max c max , max f (σ 0 ) s
3.3.2.4
}}
∀ 0≤s≤t
(3.3.21)
Tensor constitutivo de daño tangente
El tensor constitutivo tangente de daño se obtiene considerando la variación temporal
de la ecuación constitutiva secante (3.3.10).
(3.3.22)
σ = (1 − d ) C : ε − d C : ε =
0
0
Reemplazando en la ecuación anterior la ley de evolución de la variable interna de daño d&
dada por ecuación (3.3.13), se obtiene:
∂G[ f (σ 0 )] σ = (1 − d ) C 0 : ε −
f (σ 0 ) ⋅ [C 0 : ε]
(3.3.23)
∂[ f (σ 0 )]
Teniendo en cuenta que la variación temporal de la función umbral se escribe como
∂f (σ 0 )
∂f (C 0 : ε )
: σ 0 =
f (σ 0 ) =
: ε
(3.3.24)
∂ε
∂σ 0
Reemplazando en la ecuación (3.3.23) se tiene:
∂G[ f (σ 0 )] ⎡ ∂f (C 0 : ε ) ⎤
σ = (1 − d ) C 0 : ε −
: ε ⎥ ⋅ [C 0 : ε]
(3.3.25)
∂[ f (σ 0 )] ⎢⎣
∂ε
⎦
De la ecuación anterior se obtiene el tensor de daño tangente como,
(
)
∂G[ f (σ 0 )]
[C 0 : ε] ⊗ ⎡⎢ ∂f C 0 : ε ⎤⎥
C T = (1 − d ) C 0 −
(3.3.26)
∂[ f (σ 0 )]
∂ε
⎦
⎣
6
MODELIZACIÓN NUMÉRICA DE MATERIALES COMPUESTOS
3.3.3
Modelo de daño-plástico. Plasticidad
para geomateriales
Se llama a este modelo con el nombre de plástico porque en él se usa la teoría
matemática de la plasticidad para representar el comportamiento no-lineal que sufre un
sólido cohesivo-friccional por la formación y desarrollo de micro-fisuras. De todos modos
debe dejarse claro que el fenómeno físico de la plasticidad en materiales dúctiles es distinto del
que se considera en materiales friccionales para representar la deformación no recuperable
generada por las microfisuras.
3.3.3.1
Hipótesis sobre el comportamiento del material a
representar
La formulación de un modelo constitutivo, orientado a tratar el comportamiento
mecánico de una material en particular debe hacerse luego de establecer algunas hipótesis
simplificativas en dicho material. Se trata entonces de crear un material ideal, tan cercano al
real como sea posible y práctico. A continuación se hace una enumeración de alguna de
estas hipótesis simplificativas que han sido consideradas dentro del modelo de daño
plástico a modo de premisas.
− Admitir que el material friccional tiene un marcado comportamiento inelástico, que
da lugar a deformaciones permanentes que pueden interpretarse como micro
fisuras.
− En cada punto se produce un deterioro adireccional que se entenderá como un
comportamiento isótropo local.
− El lugar geométrico de los puntos deteriorados, marca una dirección macroscópica
que será interpretada como una fisura.
− Los puntos deteriorados se concentran en una zona delgada que se denominará
zona dañada, cuya existencia se debe al fenómeno de localización de deformación.
Esto da lugar a una anisotropía inducida por el comportamiento no lineal del
sólido.
− Durante el proceso inelástico el material puede tener un comportamiento de
cambio de volumen que puede identificarse con el fenómeno de dilatancia.
− La resistencia máxima, su evolución y la deformación última dependen de las
características del proceso evolutivo de carga, tracción-tracción, traccióncompresión, compresión-compresión. Es decir que la resistencia evoluciona con el
proceso mismo.
− Durante todo el proceso de carga cuasi-estática y monótona creciente, incluido el
rango de comportamiento en el que las deformaciones son reversibles, se produce
una continua y creciente degradación de la rigidez.
Como puede observarse, todos los ítem aquí nominados no son simples, pero si
posibles, de conseguir dentro de una formulación mecánica.
3.3.3.2
Algunas características del modelo de daño plástico
Establecer las características mecánicas fundamentales que debe reunir un modelo
constitutivo, es otro de los pasos iniciales previo a establecer la formulación. Es por ello
necesario decidir sobre la teoría básica sobre la que se fundamentará su formulación y
también sobre el grupo de variables internas que precisarán los mecanismos a representar
en la formulación.
7
Capitulo 3- Estado del Arte
La teoría de la plasticidad proporciona una adecuada estructura físico-matemática, que
permite formular el comportamiento de los materiales friccionales sometidos a estados de
carga. De la extensión de sus principios básicos y de la reinterpretación de sus variables
fundamentales, ha surgido el modelo de daño plástico. Así, a partir de la clásica variable de
endurecimiento plástico u p definida en apartados previos, se ha formulado una nueva
variable de daño plástico κ p a modo de variable interna. Esta variable está tratada como
una magnitud adimensional, normalizada a la unidad, que varía entre 0 ≤ κ ≤1. Para
κ p = 0 no hay daño plástico y para κ p = 1 se define el límite de daño total del punto del
sólido. Este estado último puede ser interpretado como una pérdida total de la resistencia
en el punto del sólido, y desde un punto de vista físico, como un desmembramiento de la
masa del sólido en el punto de análisis (discontinuidad física). A continuación se hace una
breve presentación.
El criterio de fluencia plástica presentado en apartados anteriores, es ahora tratado en
este modelo a través de una expresión matemática que puede ser escrita en la siguiente
forma general,
p
F(σ, c ) = f (σ ) − c = 0
(3.3.27)
donde f (σ ) es una función escalar homogénea de primer grado en las componentes del
tensor de tensiones, que permite definir la cohesión c , o una tensión uniaxial escalada,
como una función de endurecimiento plástico o como una variable interna dependiente de
la evolución del proceso mecánico.
Los criterios de plasticidad de Mohr-Coulomb y Drucker-Prager, también pueden
representarse por una expresión similar a la ecuación (3.3.27), pero no aproximan
adecuadamente el comportamiento real de muchos de los materiales friccionales.
Numerosos criterios de fluencia plástica han tratado de mejorar esta aproximación para los
materiales cohesivos-friccionales. Hay algunas funciones f (σ ) no-homogéneas y de grado
superior en las componentes del tensor de tensiones, característica que impide definir una
función de endurecimiento plástico c con una interpretación física directa.
El modelo constitutivo de daño plástico puede utilizarse cualquier criterio de fluencia,
pero para mejorar la aproximación del comportamiento particular del hormigón se pueden
definir criterios apropiados a cada caso.
La cohesión c es tratada como una magnitud escalada con la resistencia inicial a
compresión uniaxial del hormigón σ C0 (umbral de discontinuidad tensional), que es el nivel
de tensiones para el cual la deformación volumétrica ε v es máxima. Consecuentemente
sedefine la cohesión inicial, o cohesión del material virgen, como c 0 ∝ c C0 para κ p = 0 ,
situación que establece la posición inicial del criterio de fluencia, y la cohesión final, o
cohesión del material totalmente deteriorado, c u = 0 y para κ p = 1 , situación que define la
posición final del criterio de fluencia.
A diferencia de la plasticidad clásica con endurecimiento isótropo, la cohesión no es
una simple función de la variable de endurecimiento plástico ) c κ p , sino una variable interna que
depende de la evolución del proceso elasto-plástico, gobernada por una ecuación de
evolución (ecuación diferencial).
El ángulo de rozamiento interno φ también podría definirse como una variable
interna a partir de una ley de evolución que dependa del proceso elasto-plástico, pero dada
la evidencia del comportamiento físico de este fenómeno en hormigones, sólo se plantea
una simple función explícita de la variable de daño plástico φ (κ p ) . Con esta hipótesis se
obtiene una fricción inicial nula φ 0 = 0 cuando aún la cohesión c 0 no permite la
( )
8
MODELIZACIÓN NUMÉRICA DE MATERIALES COMPUESTOS
movilización
φ u = φ (κ
p
de
)
la
fricción,
y
máxima
al
final
del
proceso
elasto-plástico
= 1 = φ max . En este último estado, cuando el hormigón se ha descohesionado,
la fricción coincide con la correspondiente a una arena.
El ángulo de dilatancia ψ , que al igual que el ángulo de rozamiento interno podría
definirse como una variable interna, también en este caso es suficiente expresarlo como una
función de la variable de daño plástico ψ (κ p ) , dado que con esta hipótesis también se ha
obtenido una buena aproximación al comportamiento real del hormigón. Este ángulo vale
ψ (κ p = 0 ) = ψ 0 al iniciar el proceso plástico, y ψ max = ψ (κ p = 1) al finalizar el proceso.
En resumen, para un proceso plástico sin degradación de rigidez, el modelo de daño
plástico utiliza en su definición el siguiente conjunto de variables internas q = {ε p , κ p , c},
cuyas definiciones y reglas de evolución serán presentadas a continuación como parte de las
ecuaciones fundamentales que gobiernan el modelo,
1. Una descomposición de la deformación en una parte elástica y otra plástica,
ε = ε e + ε P = C −1 : σ + ε p
(3.3.28)
Donde C es el tensor constitutivo elástico inicial.
2. Un criterio de fluencia plástica y potencial plástico análogo al definido por la
ecuación (3.3.27).
F(σ, c ) = f (σ ) − c = 0 ; G (σ ) = g (σ ) − cte = 0
(3.3.29)
tal que f (σ ) y g (σ ) son dos funciones escalares de argumentos tensoriales,
denominadas función de fluencia y potencial plástico, respectivamente.
3. Una regla de flujo plástica no asociada y un grupo de variables internas,
⎧ε p ⎫
Deformación plástica
p
⎧ε ⎫ ⎪ p ⎪
q = ⎨ ⎬ = ⎨κ ⎬
Variable de daño plástico
(3.3.30)
⎩q α ⎭ ⎪ c ⎪
Variable de cohesión
⎩ ⎭
todas ellas definidas mediante las siguientes ecuaciones de evolución (ver apartado de
plasticidad clásica),
∂G
⎫
⎧
⎪ ⎧
⎪
p
∂σ
⎫
⎧ ε ⎫
ε p
⎪
⎪
dq
∂G ⎪ ⎪
⎪
⎪ p⎪ ⎪
p
= q = ⎨κ ⎬ ≡ λ ⋅ H = λ ⋅ ⎨ h κ :
(3.3.31)
⎬ = ⎨ h κ : ε ⎬
σ
dt
∂
p
⎪ ⎪h ⋅ h : ε ⎪
⎪
⎪ c ⎪
⎭
⎩ ⎭
⎪h ⋅ h : ∂G ⎪ ⎩ c κ
⎪⎩ c κ ∂σ ⎪⎭
donde h κ y hc es un tensor de segundo orden y una función escalar respectivamente
y que se definirán más adelante, que dependen del estado actual de la variable libre ε e y del
resto de las variables internas q . Como puede verse en la ecuación anterior, la variable
interna fundamental es la deformación plástica ε p partir de ella se obtienen las otras. El
factor de consistencia plástica λ se obtiene tal como se ha mostrado en apartados
anteriores, a partir de la condición de consistencia de la función de fluencia plástica.
4 Una ecuación constitutiva secante y tangente, definida en forma análoga a la
plasticidad clásica,
(
σ = C : ε − εP
)
(3.3.32)
tal que la notación utilizada puede consultarse en el mencionado en el apartado
dedicado a la plasticidad clásica y aquella que tenga una definición particular será
presentada a continuación.
Capitulo 3- Estado del Arte
9
El modelo constitutivo que resulta de estas definiciones básicas, consigue una muy
buena respuesta durante el proceso de fractura. A modo de resumen puede decirse que el
modelo reúne las siguientes características,
− Definición de una ley constitutiva que depende de las variables internas de
cohesión y daño plástico, permitiendo así representar situaciones de carga
complejas no radiales.
− Trata en forma unificada los estados complejos de tensión multiaxial.
− Admite que los materiales tiene distintos limites de resistencia máxima y de
− deformación última, dependiendo del proceso mecánica que este
desarrollándose.
− Admite la posibilidad de considerar distintos criterios de fluencia plástica, no
siendo esta una característica del modelo, sino una variable más del mismo
que necesita ser preestablecida.
− Considera un flujo plástico no-asociado, que permite el control del fenómeno
de dilatancia.
− Permite obtener toda la información relacionada con el deterioro de un punto
a través de un post-proceso de la información mecánica del punto.
4.3.1.1
Variables fundamentales del modelo de daño plástico
Las definiciones establecidas en el apartado anterior son muy generales y necesitan ser
precisadas con más detalle. Para ello a continuación se establecen las expresiones que
definen la regla de evolución de las variables internas contenidas en aquellas definiciones
básicas.
B 5.14.1 Definición de la variable de daño plástico.
La plasticidad clásica establece una variable de endurecimiento en función de la
deformación plástica efectiva κ p = ε p , o también en función del trabajo plástico
específico κ p = u p = σ ε p = σ : ε (ver apartados sobre la plasticidad clásica). Estas
definiciones son apropiadas para materiales cuya deformación última (estado de deterioro
total en el punto), es igual a tracción que a compresión o para cualquier proceso mixto en
general. En muchos materiales esto no se cumple y es necesario encontrar una variable de
endurecimiento plástico que contemple la posibilidad de tener una deformación última
diferenciada para cada proceso en particular. Esto se consigue estableciendo una variable
interna que define una disipación normalizada a la unidad, es decir que se trata de la
relación que hay entre la densidad de energía disipada en un determinado instante del
proceso respecto del máximo que podría disipar el punto del sólido. Así, puede decirse que
la variable de daño plástico es una “medida relativa” de la energía disipada durante el
proceso plástico. Por simplicidad y orden en la presentación, es conveniente definir esta
variable para procesos uniaxiales simples y luego generalizarla a procesos multiaxiales.
4.3.1.1.1
Definición de la variable de daño plástico para
estados de tensión uniaxial
De un ensayo experimental uniaxial a tracción y otro a compresión, se obtienen las curvas
que describen la evolución de la tensión vs. la deformación en cada instante. A partir de
ellas puede deducirse las curvas σ − ε p que encierran las energías de fractura g fp y
g cp , por unidad de volumen, respectivamente. (Ver anexo A3).
En función de estas curvas se obtiene la energía específica disipada al final de un proceso
elasto-plástico cuasi-estático, que en el caso de un proceso de tracción uniaxial resulta,
aplastamiento
10
MODELIZACIÓN NUMÉRICA DE MATERIALES COMPUESTOS
∞
g = ∫ σ T ε Tp dt
p
f
(3.3.33)
t =0
Donde σ T es la tensión uniaxial de tracción y ε Tp deformación plástica uniaxial de
tracción. A partir de ésta última expresión, se define la variable de daño plástico para un
proceso cuasiestático de tracción uniaxial, como la disipación plástica normalizada, acotada
entre cero y la unidad,
t
⎡ p
⎤
1
0 ≤ ⎢κ = p ∫ σ T εTp dt ⎥ ≤ 1
(3.3.34)
g f t =0
⎣⎢
⎦⎥
Resultando así una variable normalizada con respecto a la energía específica máxima a
tracción, con valores comprendido entre 0 ≤ κ p ≤ 1 para el inicio y fin del proceso
plástico, respectivamente. Con κ p como variable puede ahora transformarse las curvas de
respuesta uniaxial de tensión-deformación plástica en otras curvas que dependan de esta
variable de daño plástico, en la cual que se cumplen los siguientes extremos,
σ T κ p = 0 = σ T0 y σ T κ p = 1 = σ TUltima en el intervalo [0,1] .
En el problema de compresión uniaxial, al igual que en el problema de tracción, la
variable de daño plástico resulta
t
⎡
⎤
1
0 ≤ ⎢κ p = p ∫ σ C εCp dt ⎥ ≤ 1
(3.3.35)
g
C
t =0
⎣
⎦
(
)
(
∞
Sendo g Cp =
∫σ
C
)
ε Cp dt la energía disipada en el proceso de compresión. Al igual que en el
t =0
proceso de tracción pura, puede ahora definirse la respuesta uniaxial de tensión
deformación plástica mediante otra curva que dependa del daño plástico en lugar de la
deformación plástica, en la cual que se cumplen los siguientes extremos, σ C κ p = 0 = σ C0
(
)
y σC κ =1 =σ
p
Ultima
C
en el intervalo [0,1] .
(
)
Figura 3.3.3 – Transformación de la resistencia uniaxial medida en el laboratorio en la
resistencia uniaxial utilizada en el modelo de daño plástico
11
Capitulo 3- Estado del Arte
4.3.1.1.2
Definición de la variable de daño plástico para
estados de tensión multiaxial
De modo general, para un proceso de carga genérico, se define la variable de daño plástico
para un proceso mecánico multiaxial, como
κ p = h κ : ε p
(3.3.36)
donde h κ es un tensor de segundo orden que, para los casos particulares de tracción y
compresión uniaxial da lugar a una variable de daño plástico que cumple con las ecuaciones
(3.3.34) y (3.3.35) respectivamente, y para los restantes casos es capaz de desarrollar una
magnitud de daño consecuente con el proceso de carga. Para recuperar la variable de
endurecimiento plástico de la teoría clásica de la plasticidad, este tensor resulta igual al
tensor de tensiones h κ = σ y para materiales isótropos en general puede ser definido como
una disipación normalizada a la unidad,
⎡ r (σ ) 1 − r (σ ) ⎤
κ p = h κ : ε p = ⎢ p +
(3.3.37)
⎥ ⋅ Ξm
g Cp ⎥⎦
⎢⎣ g f
3
donde Ξ m = σ : ε p es la disipación plástica y r (σ ) = ∑ σ I
I =1
3
∑σ
I =1
I
una función escalar
que define los estado de comportamiento de un punto en función del estado tensional,
siendo x = 0,5[x + x ] la función de McAully. Obsérvese los siguientes casos
particulares, r (σ ) = 1 para problemas de tracción pura, r (σ ) = 0 para compresión pura y
r (σ ) = 0.5 para estado de corte puro. De esta manera, la disipación plástica siempre estará
normalizada respecto de la máxima energía correspondiente al proceso que está realizando
en cada momento.
3.4 Teoría de Mezclas11
3.4.1
Introducción
La utilización de materiales compuestos en el diseño de estructuras se ha visto
incrementada notablemente en los últimos años. Esta tendencia se debe al hecho de la
posibilidad de diseñar el material con ciertas propiedades especiales y con ellos se
consiguen cualidades mecánicas superiores a los materiales tradicionales.
Las características mecánicas de los materiales compuestos dependen de sus
propiedades intrínsecas estructura macroscópica, tipo de ligadura, estructura cristalina, etc..
También influyen en el comportamiento de estos materiales sus propiedades extrínsecas:
características del proceso de fabricación, tamaño de micro-poros y defectos y distribución
de los mismos, microfisuras, estados tensionales iniciales, etc. En el único ámbito que se
puede actuar para obtener mejoras en las propiedades es modificando sus propiedades
extrínsecas. Esto puede realizarse a través de la simulación de los materiales compuestos.
Cada una de las sustancias componentes que integran el compuesto condicionan con su
propia ley constitutiva el comportamiento del conjunto en función de la proporción del volumen en
que participan y de su distribución morfológica dentro del compuesto.
Existen diversas teorías que permiten simular el comportamiento constitutivo de los
materiales compuestos, una de ellas es la Teoría de Mezclas desarrollada por Trusdell and
Toupin en 1960 2, que se considera adecuada para la simulación del comportamiento de
materiales compuestos en régimen lineal.
Con ciertas modificaciones la Teoría de Mezclas permite representar el
comportamiento no lineal del material. En su forma clásica, esta teoría, establece que los
materiales componentes, que coexisten en un punto del sólido deben tener la misma
deformación (componentes participando en paralelo). Esta hipótesis plantea una fuerte
limitación en la utilización de esta teoría para la predicción del comportamiento de los
materiales compuestos.
Para solucionar este problema se presenta una Formulación General de la Teoría de
Mezclas a partir de una ecuación de compatibilidad que se adapta al comportamiento del
compuesto (componentes participando en serie-paralelo).
Esta teoría de mezclas generalizada podría entenderse como un .gestor de los modelos
constitutivos de cada componente del compuesto, permitiendo considerar la interacción
entre las distintas leyes de comportamiento de las diversas fases de un compuesto. Esta
técnica de combinación de comportamientos, o de sustancias en este caso particular,
permite que cada una de ellas conserve su ley constitutiva original, isótropa o anisótropa,
1
Oller S. (2003). Simulación Numérica del comportamiento mecánico de los materiales compuestos. Monografía CIMNE,
Barcelona.
2
Trusdell, C. and Toupin, R. (1960). The classical Field Theories. Handbuch der Physik III/I. Springer Verlag,
Berlin.
72
MODELIZACIÓN NUMÉRICA DE MATERIALES COMPUESTOS
lineal o no-lineal, y a la vez condicione el comportamiento global del conjunto o
compuesto.
3.4.2
Comportamiento Mecánico
Materiales Compuestos
de
los
Puede clasificarse el comportamiento mecánico de los materiales compuestos en
función de cómo están dispuestos los componentes en relación a las cargas.
Existen dos tipos de disposición extremos de las componentes que pueden combinarse
entre sí dando lugar a disposiciones intermedias.
El comportamiento en paralelo corresponde a una configuración del material
compuesto en la que las fibras están en la misma dirección que las cargas lo cual implica
igual deformación de fibra y matriz, y sin movimientos relativos entre si. Materiales que
responden a este perfil son aquellos constituidos de matrices con refuerzo de fibras largas
alineadas con la acción de la carga.
El comportamiento serie es el inverso del anterior y corresponde con la disposición las
fibras perpendicularmente a la dirección de la carga. Esta configuración se intenta evitar en
el diseño de los materiales compuestos pero puede darse en alguna proporción en
combinación con la configuración en paralelo.
Esta combinación se llama el comportamiento Serie-Paralelo. Se usa para distinta
orientación de la carga u otros tipos de materiales compuestos, como son los tejidos cuyas
fibras tienen diversas orientaciones entre sí. Este modelo necesita correlaciones con
experimentos para ajustar en cada punto el acoplamiento cinemático del material
compuesto. En origen, esta teoría tenía en cuenta la orientación de los componentes y
asignaba un comportamiento cinemático comprendidos entre un comportamiento extremo
en serie y otro extremo en paralelo. Actualmente se ha transformado esta formulación en
otra más amplia y versátil que ajusta automáticamente el comportamiento cinemático
de cada componente del material compuesto mediante una interpretación de la orientación
de las fibras.
Figura 3.4.1- Descripción esquemática del comportamiento serie paralelo de un
compuesto laminado
Capitulo 3- Estado del Arte
3.4.3
73
Teoría de mezclas clásica
La forma clásica de la teoría de mezclas es sólo adecuada para simular el
comportamiento mecánico de ciertos materiales compuestos, cuyos componentes
responden en paralelo (con igual deformación y sin movimientos relativos entre ellos).
La teoría de mezclas clásica de sustancias básicas se basa en la mecánica del sólido
continuo local y se considera adecuada para explicar el comportamiento de un punto de un
sólido compuesto. Se basa en el principio de interacción de entre las sustancias que
componen el material compuesto, suponiendo las siguientes hipótesis básicas:
i. En cada volumen infinitesimal de un compuesto participan un conjunto
de sustancias componentes;
ii. Cada componente contribuye en el comportamiento del compuesto en la
misma proporción que su participación volumétrica;
iii. Todos los componentes poseen la misma deformación -ecuación de cierre o
compatibilidad -;
iv. El volumen ocupado por cada componente es mucho menor que el volumen
total del compuesto.
La segunda de las hipótesis implica una distribución homogénea de todas las sustancias
en cada punto del compuesto. La interacción entre las diferentes sustancias componentes,
cada una con su respectiva ley constitutiva, determina el comportamiento del material
compuesto y depende básicamente del porcentaje en volumen ocupado por cada componente y
de su distribución en el compuesto. Esto permite combinar materiales con
comportamientos diferenciados (elástico, elasto-plástico, etc.), donde cada uno de ellos
presenta un comportamiento evolutivo gobernado por su propia ley.
3.4.3.1
Ecuación de cierre o compatibilidad
La tercera hipótesis establece que en ausencia de difusión atómica (los fenómenos de
difusión atómica se producen a temperaturas cercanas al punto de fusión) se cumple la
siguiente condición de compatibilidad bajo la hipótesis de pequeñas deformaciones para
cada una de las fases del material compuesto:
ε ij = (ε ij )1 = (ε ij )2 = … = (ε ij )n
(3.4.1)
(ε )
donde ε ij y
representan respectivamente las deformaciones del material
ij n
compuesto y de la componente i-ésima de dicho material compuesto.
3.4.3.2
Expresión de la energía libre
La energía libre de un material compuesto está dada por la composición aditiva de las
energías libres de cada uno de los materiales componentes, ponderadas en función de su
participación volumétrica, esto es:
n
n
m
m Ψ ε e , θ , α m = ∑ k c mc Ψc ε e , ε p c , θ , α m c ⇒ Ψ = ∑ k c c Ψc
(3.4.2)
m
c =1
c =1
(
)
Donde: Ψc =
( ( )
1
2 mc
(ε
e
ij
)
Cijkl ε kl + Ψc
e
p
( ))
es la energía libre por unidad de masa y
volumen, correspondiente a la c-ésima sustancia componente de la mezcla, k c es el
( )
coeficiente de participación volumétrica, ε p c es la deformación plástica de cada fase y
(α )
son las variables internas que definen el comportamiento físico de un genérico
componente c-ésimo.
m
c
74
MODELIZACIÓN NUMÉRICA DE MATERIALES COMPUESTOS
El factor de ponderación o coeficiente de participación volumétrica k c permite
considerar la contribución de cada fase y se obtiene considerando la participación
volumétrica de cada una de los materiales componentes respecto del volumen total:
dV
kc = c
(3.4.3)
dV0
donde Vc representa el volumen del componente c-ésimo del material y V0 es el
volumen total del material compuesto. Los coeficientes de participación volumétrica de los
distintos componentes de un material compuesto deben satisfacer la condición
n
∑k
c =1
c
=1
(3.4.4)
la cual permite recuperar la energía libre para el caso de materiales monofase y
garantiza la conservación de la masa. Siguiendo un procedimiento similar al utilizado para
materiales simples, a partir de la desigualdad de Clausius-Duhem y aplicando el método de
Coleman -con el que se garantiza una disipación positiva -se obtiene la siguiente expresión
para la entropía,
e
n
n
∂Ψ ε ij ,θ ,α i
∂Ψc ε e ij ,θ , α i c
(3.4.5)
= − ∑ k c mc
s = −m
= ∑ k c sc
∂θ
∂θ
c =1
c =1
donde sc es la entropía de cada una de las fases que componen el material.
(
3.4.3.3
)
(
)
Ecuación constitutiva
La ecuación constitutiva surge también aplicando el método de Coleman a la
desigualdad de Clausius-Duhem.
e
e
n
n
∂Ψc ε ij ,θ , α i c
∂Ψ ε ij ,θ ,α i
(3.4.6)
= ∑ k c mc
= ∑ k c (σ ij )c
σ ij = m
∂ε ij
∂ε ij
c =1
c =1
La ecuación constitutiva secante para el material compuesto (ecuación (3.4.6)) se
escribe:
(
(
)
)
(
σ ij = Cijkl S ε ij e = ∑ k c (σ ij )c = ∑ k c Cijkl S
n
n
c =1
c =1
) (ε )
e
ij
c
(3.4.7)
c
Teniendo en cuenta la condición de compatibilidad expresada por la igualdad de
deformaciones en cada componente se pueden expresar estas deformaciones según:
(ε kl )c = ε kl = (ε kl e )c + (ε kl p )c + (ε kl θ )c
(ε )
⇒
( ) ( ) ( )
e
kl
c
( ) − (ε )
= ε kl − ε kl
θ
p
c
kl
c
(3.4.8)
θ
donde ε kl c , ε kl c y ε kl c representan las cuotas de deformación elástica, plástica
y de origen térmico. La deformación plástica del material compuesto se obtiene
desarrollando ambos miembros de la igualdad expresada en la (3.4.7), considerando la
ecuación (3.4.8) y teniendo en cuenta que en el material compuesto las deformaciones
e
p
θ
elásticas resultan ε kl c = ε kl − ε kl c − ε kl c , esto es,
e
p
( )
σ
(
Cijkl ε kl − ε kl − ε kl
Entonces,
p
(
ε kl p = Cijkl σ
θ
( ) ( )
) = ∑ k (C ) (ε − (ε ) − (ε ) )
n
σ
c =1
c
ijkl
θ
p
kl
c
kl
c
) ⎡⎢∑ k (C ) ((ε ) + (ε ) )⎤⎥ − ε
⎣
⎦
−1
n
c =1
σ
c
ijkl
θ
p
c
kl
kl
c
kl
c
θ
kl
c
(3.4.9)
(3.4.10)
El tensor constitutivo tangente surge de considerar la variación de la tensión respecto
de las deformaciones y está dado por:
75
Capitulo 3- Estado del Arte
σ
Cijkl =
∂σ ij
=m
(
∂ 2 Ψ ε ij ,θ , α i
e
)=
σ
∑ k (C )
n
(3.4.11)
c
ijkl
c
∂ε kl
∂ε ij ∂ε kl
c =1
El tensor conjugado del coeficiente de dilatación térmica resulta de considerar la
variación de la energía libre de Helmholtz respecto de las deformaciones y de la
temperatura
e
n
∂ 2 Ψ ε ij ,θ , α i
β ij = −m
= ∑ k c (β ij )c
(3.4.12)
∂ε ij ∂θ
c =1
La teoría de mezclas clásica, en la cual se parte de la hipótesis de que el campo de
deformaciones es el mismo para todos los componentes del compuesto, es rigurosamente
válida sólo si se aplica a materiales cuyos componentes trabajan en paralelo. Estos
materiales se caracterizan por que su estado tensional resulta ser la sumatoria de las
tensiones de cada componente, ponderadas de forma proporcional al volumen que ocupa
cada fase respecto del total − ej.: matriz con fibras largas, hormigón armado, etc.−. En el
caso de matrices con refuerzo de corta longitud no resulta válida la hipótesis de igualdad
entre las deformaciones de todos los componentes. Para solucionar este inconveniente
existen dos alternativas: definir otra ecuación de cierre (ecuación (3.4.1)), que permita
simular adecuadamente los fenómenos que se producen en el material, o realizar una
corrección en las propiedades de cada componente y mantener la hipótesis de igualdad
deformaciones en cada uno de los componentes del compuesto.
(
)
3.4.4
Teoría de Mezclas Clásica generada
en grandes deformaciones
En este apartado se presenta la extensión de la teoría de mezclas clásica al campo de las
deformaciones finitas. Esta extensión de la formulación se hace necesaria porque los
materiales compuestos se encuentran habitualmente sometidos a solicitaciones que
provocan grandes deformaciones. Una muestra de la importancia de esta afirmación, se
observa en el fenómeno de alineación de la fase de refuerzo con respecto a la dirección del
esfuerzo al que está sometido el material en grandes deformaciones y desplazamientos.
3.4.4.1
Ecuación de cierre o compatibilidad
Las hipótesis que se han enumerado en la Teoría de Mezclas Clásica son las mismas
que las que se adoptan para grandes deformaciones3. La tercera hipótesis supone que en
ausencia de difusión atómica la deformación es idéntica para todos los componentes del
compuesto. Está hipótesis se debe verificar tanto en la configuración referencial como en la
configuración espacial para cada fase. En la configuración referencial la condición de
compatibilidad de deformaciones está dada por:
E IJ = (E IJ )1 = (E IJ )2 = … = (E IJ )n
(3.4.13)
donde E IJ = 12 (C IJ − G IJ ) es el tensor de deformaciones de Green-Lagrange donde G
es el tensor métrico material que para un sistema de coordenadas ortogonales se escribe
T
GIJ = I IJ = δ IJ y C IJ = FIJ FIJ es el tensor de deformaciones derecho de Cauchy-Green..
3
Todos los conceptos que aquí se utilizan se detallan en el Anexo A1
76
MODELIZACIÓN NUMÉRICA DE MATERIALES COMPUESTOS
En la configuración actualizada la condición de compatibilidad de deformaciones se
propone como:
eij = (eij )1 = (eij )2 = … = (eij )n
(3.4.14)
donde eIJ =
1
2
(g
ij
− bij
−1
) es el tensor de deformaciones de Almansi, es el tensor de
deformaciones izquierdo de Cauchy-Green y g ij es el tensor métrico espacial dado por
∂x
g ij = I ij = δ ij y FiJ = i es el gradiente de deformaciones.
∂X J
Teniendo en cuenta la definición del tensor derecho de Cauchy-Green y la ecuación de
compatibilidad en la configuración referencial, se obtiene la ecuación de cierre en función
de los gradientes de deformaciones:
FiJ = (FiJ )1 = (FiJ )2 = … = (FiJ )n
(3.4.15)
Esta hipótesis vale rigurosamente sólo si se aplica la teoría de mezclas para materiales
con comportamiento en paralelo, es decir, que el estado tensional del compuesto resulta de
la suma de las tensiones de cada componente proporcional al volumen que ocupan
respecto del total, ej.: matriz con fibras largas, hormigón armado, etc. En el caso de matriz
con refuerzo de fibras cortas la hipótesis de que las deformaciones de todos los
componentes es igual no es válida. Para solucionar este inconveniente existen dos
alternativas: definir otra ecuación de cierre o realizar una corrección en las propiedades de
cada componente y mantener la ecuación de cierre de la teoría de mezclas clásica.
3.4.4.2
Expresión de la energía libre
Los materiales compuestos que cumplen con la ecuaciones de compatibilidad de
deformaciones tanto en la configuración referencial como en la configuración espacial
satisfacen la condición básica de la aditividad de la energía libre de sus componentes en las
dos configuraciones también.
(
)
( ( ) ( ))
n
m 0 Ψ E e ,θ ,α m = ∑ k c m 0 c Ψc E , E p c ,θ , α m
c =1
(
m ψ e ,θ , α
e
)= ∑k
n
m
c =1
c
c
(3.4.16)
( ( ) ,θ , (α ) )
mc ψ c e, e
p
m
c
c
donde Ψc y ψ c son las energías libres correspondientes a cada una de las n sustancias
componentes de la mezcla definidas en la configuración referencial y la actualizada
respectivamente, k c es el coeficiente de participación volumétrica, E p c y e p c son las
deformaciones plásticas de cada fase en las configuraciones referencial y actualizada
respectivamente y α m c son las variables internas del componente c-ésimo, que definen el
comportamiento físico irreversible de cada sustancia componente.
La teoría de mezcla de sustancias básicas en grandes deformaciones mantiene la
hipótesis en la que todas las sustancias intervienen en la respuesta del compuesto en forma
proporcional al volumen que ocupan respecto del volumen total. El coeficiente de
participación volumétrica se define en la configuración referencial como:
dV
kc = c
(3.4.17)
dV0
en la que Vc es el volumen del componente y V0 es el volumen total del compuesto en
la configuración referencial. Por otro lado, la ecuación de continuidad establece:
( )
( )
( )
Capitulo 3- Estado del Arte
77
dv0
(3.4.18)
dV0
donde v0 es el volumen del compuesto en la configuración actualizada. Teniendo en
cuenta la ecuación de cierre en función de los gradientes de deformaciones se deduce:
dvc
1
= det Fc = J ⇒ dVc = dvc
(3.4.19)
dVc
J
Esta ecuación establece que la relación entre el volumen de un componente en la
configuración espacial y el volumen del componente en la configuración referencial está
dado por el determinante del gradiente de deformaciones. Teniendo en cuenta la (3.3.19) y
(3.4.17) se puede escribir la relación de participación volumétrica en la configuración
actualizada,
1 dvc dvc
kc =
=
(3.4.20)
J dV0 dv0
Esta ecuación muestra que el coeficiente de participación volumétrica se mantiene
constante en ambas configuraciones. El coeficiente de participación volumétrico de cada
componente debe cumplir con la siguiente condición que está relacionada con la ecuación
de continuidad (3.4.18) la conservación de la masa:
J = det F =
n
∑k
c =1
3.4.4.3
c
=1
(3.4.21)
Ecuación constitutiva
Una vez definida la función de energía libre, y a los fines de simular el comportamiento
del material compuesto, es necesario definir la ecuación constitutiva del mismo. A
continuación se presenta en forma sintética la ecuación constitutiva tanto para la
configuración referencial como para la actualizada. Para ello se considera un problema en
pequeñas deformaciones elásticas y grandes deformaciones plásticas, en el cual la energía
libre será desacoplada en su parte elástica e inelástica, cuya parte elástica es una expresión
cuadrática en las deformaciones.
3.4.4.3.1
Configuración referencial
La definición de la tensión para el compuesto S se obtiene a partir de la formulación
del modelo hiperelástico garantizando la condición de disipación del segundo Principio de
la Termodinámica, esto es:
n
∂Ψc E, E P c ,θ , α m c
∂Ψ E e ,θ , α m
S = m0
= ∑ kc m0 c
=
∂E
∂E
c =1
(3.4.22)
n
n
S
e
= ∑ k c (S )c = ∑ k c C c E c
(
( ( ) ( ))
)
(( ) ( ) )
c =1
c =1
y el tensor constitutivo del compuesto está dado por:
n
∂ 2 Ψ E e ,θ , α m
∂S
= ∑ kc CS c
CS =
= m0
(3.4.23)
∂E ⊗ ∂E
∂E
c =1
donde C S c representa el tensor constitutivo tangente anisótropo real para el
componente c-ésimo.
(
( )
)
( )
78
MODELIZACIÓN NUMÉRICA DE MATERIALES COMPUESTOS
3.4.4.3.2
Configuración actualizada
Siguiendo un procedimiento deductivo análogo al realizado con la configuración
referencial, la definición de la tensión para el compuesto τ se obtiene a partir de la
formulación del modelo hiperelástico garantizando y la condición de disipación establecida
por el Segundo Principio de la Termodinámica. Esto es,
n
∂ψ c e, e P c ,θ , α m c
∂ψ e e ,θ ,α m
τ=m
= ∑ k c mc
=
∂e
∂e
c =1
(3.4.24)
n
n
e
τ
= ∑ k c (τ )c = ∑ k c c c e c = J σ
(
( ( ) ( ))
)
(( ) ( ) )
c =1
c =1
Siendo τ y σ las tensiones de Kirchoff y Cauchy respectivamente y J el jacobiano,
(ver ecuación (3.4.19)) y el tensor constitutivo del compuesto en la configuración
actualizada, resulta,
n
∂ 2ψ e e ,θ ,α m
∂τ
cτ =
= ∑ kc cτ c
=m
(3.4.25)
∂e ⊗ ∂e
∂e
c =1
donde c τ c representa el tensor constitutivo tangente anisótropo real para el
componente c-ésimo.
(
)
( )
( )
3.4.5
Modificación de
Modelo Serie-Paralelo
la
teoría
clásica.
La limitación de la teoría de mezclas clásica ha impulsado a diversas modificaciones de
la misma. Un camino posible es una la formulación que establece una generalización de
la teoría de mezclas clásica en pequeñas deformaciones para representar el
comportamiento del compuesto cuyos componentes participan según una combinación de
comportamientos serie-paralelo, situación que implica un ajuste automático de las
propiedades del compuesto teniendo en cuenta cada componente y su distribución
topológica. Esto permite que en cada punto del sólido cada componente tenga una
deformación distinta del contiguo.
Figura 3.4.2- Representación esquemática del comportamiento “serie-paralelo” de un
punto de un sólido compuesto.
79
Capitulo 3- Estado del Arte
La hipótesis fundamental de esta generalización de la teoría de mezclas se basa en la
definición del campo de deformaciones del conjunto como una suma ponderada de las
contribuciones en serie y en paralelo, esto es:
ε ij = (1 − ℵ)ε par ij + ℵε ser ij
(3.4.26)
donde ε par ij y ε ser ij representan las deformaciones en paralelo y en serie
respectivamente y 0 ≤ ℵ ≤ 1 es el parámetro de acoplamiento serie-paralelo que relaciona
de manera ponderada los dos tipos de deformaciones −comportamientos−. Este parámetro
tiene la información de dirección preferente del comportamiento del material en un punto
y la relaciona con la dirección de la tensión principal mayor en el punto. Otra forma
alternativa para dar valor al parámetro ℵ es mediante ensayos experimentales que
caractericen el comportamiento del material en conjunto, situación que describe en forma
implícita el acoplamiento de los comportamientos básicos bajo la hipótesis de un modelo
energético cerrado.
Las componentes en paralelo y en serie de la deformación están aproximadas por las
siguientes expresiones,
n
1 n
ε par ij ≅ ∑ (ε ij )c y ε ser ij ≅ ∑ k c (ε ij )c
(3.4.27)
n c =1
c =1
Como puede observarse en esta ecuación, la deformación en paralelo establece una
forma débil de la ecuación de compatibilidad bajo la hipótesis de pequeñas deformaciones,
y coinciden plenamente en el caso de componentes distribuidos estrictamente en paralelo.
Teniendo en cuenta las ecuaciones (3.4.26) y (3.4.27), se obtiene la deformación de un
punto cuyo comportamiento resulta de una composición de comportamientos en serie y en
paralelo a la vez,
n
1 n
ε ij = (1 − ℵ) ∑ (ε ij )c + ℵ ∑ k c (ε ij )c
n c =1
c =1
(3.4.28)
ˆ c =1
∂ε ij
⎧ Paralelo : ℵ = 0 ⇒ ℵ
= [(1 − ℵ) + ℵ ⋅ k c n]⋅ I ijkl ⇒ ⎨
ˆ c = kc n
∂ (ε kl )c
⎩ Serie : ℵ = 1 ⇒ ℵ
donde (ε ij )c es la deformación de cada componente del compuesto, n es el número de
materiales componentes que participan en cada punto del sólido compuesto, y ε ij es la
deformación total de un punto del compuesto. La ecuación (3.4.28) puede interpretarse
como una relajación de los comportamientos básicos serie-paralelo y con influencias
recíprocas debido a la utilización de del coeficiente ℵ . Bajo esta hipótesis el acoplamiento
supone una redistribución interna ponderada de la energía libre del sistema entre los dos
comportamientos básicos.
La energía libre se escribe en la siguiente forma aditiva que es clásica para los materiales
compuestos,
(
)
(( ) ,θ , (α ) )
n
m Ψ ε ij ,θ ,α i = ∑ k c mc Ψc ε ij
Ψc =
⇒
e
(
c =1
)
e
c
i c
(
)
1
σ
p
p
p
(ε ij ) c − (ε ij ) c (Cijkl ) c (ε kl ) c − (ε kl ) c + Ψc
2 mc
∂Ψc
∂ (ε ij ) c
p
=
(
1
σ
p
(Cijkl ) c (ε kl ) c − (ε kl ) c
mc
(3.4.29)
)
donde Ψ es la energía libre de un material compuesto cuyo comportamiento y Ψc es la
energía libre de uno de los materiales componentes, α i representa el conjunto de variables
80
MODELIZACIÓN NUMÉRICA DE MATERIALES COMPUESTOS
internas del material compuesto, θ es la temperatura y k c es el coeficiente en que participa
el componente c-esimo dentro del compuesto.
La entropía del sistema surge de considerar la desigualdad de Clausius-Duhem y está
dada por
e
n
n
∂Ψ ε ij ,θ ,α i
∂Ψc ε e ij c ,θ , (α i )c
(3.4.30)
s = −m
= − ∑ k c mc
= ∑ k c sc
∂θ
∂θ
c =1
c =1
(
)
(( )
)
La ley constitutiva surge de considerar la desigualdad de Clausius-Duhem y el método
de Coleman, conduciendo a la siguiente forma hiperelástica:
e
n
n
∂Ψ ε ij ,θ ,α i
∂Ψc ∂ (ε kl )c
ˆ ⋅ I −1
σ ij = m
= ∑ k c mc
= ∑ k c (σ kl )c ℵ
c
klij
(3.4.31)
∂ε ij
∂ (ε kl )c ∂ε ij
c =1
c =1
(
)
(
)
La tensión así obtenida es exacta para el material en paralelo, en tanto es sólo
aproximada para el material en serie, puesto que ente último caso la expresión de la tensión
en el compuesto tiende al promedio de las tensiones de sus componentes. El tensor
constitutivo tangente resulta de considerar el cambio de la tensión respecto del cambio de
deformaciones y está dado por:
n
∂ (σ ij )c ∂ (ε rs )c
∂σ ij
∂ 2Ψ
σ
Cijkl =
= ∑ kc
=
=m
∂ε ij ∂ε kl c =1 ∂ (ε rs )c ∂ε kl
∂ε kl
(3.4.32)
n
n
−1
−1
−
2
σ
σ
ˆ ⋅I
ˆ
ℵ
= ∑k ℵ
C
∑ k C ⋅ ℵˆ ⋅ I
c =1
c
[(
ijkl
) (
c
c
klij
) ](
c
rskl
)
c =1
c
(
c
ijkl
)
c
Esta formulación que se ha descrito establece una relación simplificada en función de
la dirección principal de tensión con respecto a la orientación de comportamiento
dominante del material. Esta limitación ha exigido extender la formulación a nivel tensorial,
en la cual se pueda relacionar todas las direcciones del tensor de tensiones actuante en el
punto, con las direcciones de comportamiento del material en el mismo punto. Esta nueva
formulación da lugar a un tensor de acoplamiento N ijkl = N de cuarto orden, que por las
simetrías puede escribirse como una matriz cuadrada y en el caso de materiales ortótropos
se reduce a una matriz cuadrada diagonal. Considerando esta nueva hipótesis de
comportamiento, se establece la siguiente definición del campo de deformaciones del
material compuesto
(3.4.33)
ε = (I − N ) : ε par + N : ε ser
donde I es la matriz identidad y N es la matriz diagonal de acoplamiento serieparalelo, cuyos elementos cumplen la condición 0 ≤ N I ≤ 1 , y pueden también obtenerse
de ensayos experimentales. Para esta nueva hipótesis, la energía libre no cambia respecto de
la definida en la ecuación (3.4.29), es decir
(
)
(( ) ,θ , (α ) )
n
m Ψ ε ij ,θ ,α i = ∑ k c mc Ψc ε ij
e
c =1
e
c
i c
(3.4.34)
Tal que para cada componente se puede también escribir en la forma clásica,
1
p
σ
p
p
Ψc =
(ε ij ) c − (ε ij ) c Cijkl (ε kl ) c − (ε kl ) c + Ψc
(3.4.35)
2 mc
Bajo estas nuevas hipótesis la ecuación constitutiva y el tensor constitutivo tangente
resultan:
(
)
(
)
81
Capitulo 3- Estado del Arte
n
σ = ∑ k c [(I − N ) + n ⋅ k c ⋅ N ] : (σ )c
−1
c =1
n
( ) : [(I − N ) + n ⋅ k
C = ∑ k c [(I − N ) + n ⋅ k c ⋅ N ] : C
σ
−1
c =1
c
⋅ N]
(3.4.36)
−1
σ
c
Este modelo que se ha presentado tiene la ventaja de ser una formulación general y
permite analizar un material equivalente utilizando ℵ o N sin necesidad de distinguir el
tipo de comportamiento de cada uno de los constituyentes del material compuesto. No
obstante, esto que parece una ventaja, tiene un problema en la obtención de la deformación
(ε ij )c para cada componente. Para solucionarlo, hay que establecer una formulación cuyo
acoplamiento tenga en cuenta la participación del componente “c” en los restantes,
⎧
⎫
(ε ij )c = ε ij e c + ε ij p c = ε ij − ⎪⎨(1 − ℵ)⎡⎢ 1 ∑ (ε ij )m ⎤⎥ + ℵ ⎡⎢ ∑ k m (ε ij )m ⎤⎥ ⎪⎬
⎪⎩
⎣∀ m ≠ c
⎦ ⎪⎭
⎣ n ∀ m≠c
⎦
(3.4.37)
∂ Gσ c
p
con: ε ij c = ∫ λc
dt
∂ (σ ij )c
( ) ( )
( )
( )
Como se deduce de la anterior, la solución a este problema sólo resulta por la vía
iterativa, partiendo de unas supuestas deformaciones en cada componente y realizando una
corrección de las mismas iterativamente hasta alcanzar un estado estacionario en sus
magnitudes.
3.4.6
Teoría de Mezclas generalizada
En apartados previos se ha definido la teoría de mezclas clásica y una modificación
para ser aplicada a compuestos cuyo comportamiento serie-paralelo invalidaba la hipótesis
de compatibilidad de deformaciones. En este apartado se presenta una nueva formulación
que está actualmente en desarrollo y que establece una generalización de la teoría de
mezclas clásica para hacer posible la resolución de cualquier compuesto de matriz
reforzada, sin la limitación exigida por la teoría clásica para tratar la compatibilidad de
deformaciones.
Por otro lado, este nuevo planteamiento del problema permite ajustar automáticamente
la ecuación de cierre del material compuesto, siendo esta la principal mejora respecto de la
formulación presentada de modificación de la teoría clásica.
La teoría de mezclas de sustancias básicas, como ya se ha visto, se basa en la mecánica
del sólido continuo local y es adecuada para explicar el comportamiento de un punto de un
sólido compuesto cuyos componentes tienen compatibilidad de deformaciones. Se
fundamenta en el principio de interacción de sustancias componentes que constituyen el
material, suponiendo las siguientes hipótesis:
i. En cada volumen infinitesimal de un compuesto participan un número finito de
sustancias componentes;
ii. Cada material componente contribuye en el comportamiento del compuesto en
la misma proporción que su participación volumétrica;
iii. Todos los componentes respetan una ecuación de compatibilidad general que se
adapta a la topología del compuesto serie-paralelo. Esta es la hipótesis fundamental que
diferencia esta formulación de la clásica teoría de mezclas.
iv. El volumen ocupado por cada componente es mucho menor que el volumen
total del compuesto.
82
MODELIZACIÓN NUMÉRICA DE MATERIALES COMPUESTOS
La hipótesis básica de comportamiento en paralelo implica las siguientes ideas
conceptuales (teoría de mezclas clásica), que son resumidas a continuación
n
⎧
σ
k
σ
…
k
σ
kc σ c
=
+
+
=
∑
n n
1 1
⎪
c =1
⎪
⎪ε = ε1 = … = ε n
⎪Ψ e = 1 ε − ε p : C S : ε − ε p
(3.4.38)
c
c
c
c
⎨ c
2 mc
⎪
p
p
σ
σ
⎪σ c = C c : ε c − ε c ≡ C c : ε − ε c
n
⎪ par
C
k c Cσ c
=
⎪
∑
c =1
⎩
La forma complementaria de la formulación en paralelo conduce a la hipótesis de
comportamiento en serie, que implica las siguientes ideas conceptuales y que se resumen
a continuación:
⎧σ = σ 1 + … + σ n
n
⎪
⎪ε = k1 ε1 = … = k n ε n = ∑ k c ε c =
c =1
⎪
n
⎪
e
p
e
p
e
p
⎪ = k1 ε1 + ε1 = … = k n ε n + ε n = ∑ k c ε c + ε c =
c =1
⎪
⎪
n
n
def
⎧ e
e
e
⎪
ε
k
:
ε
k
I
;
con:
ε
=
⇒
=
= φ c :ε e
φ
φ
∑
∑
c
c
c
c
c
n
⎪
⎪
p ⎪
e
c =1
c =1
(3.4.39)
⎨ = ∑ k c φc : ε + ε c ⎨
n
n
−1
−1
p
σ
p
ser
=
1
c
⎪
⎪ε = ∑ k c ε c ⇒ C
: σ = ∑ kc C c : σ
⎪⎩
⎪
c =1
c =1
⎪ e
1
−1
σ c : Cσ c : σ c
⎪Ψc =
m
2 c
⎪
⎪σ c = Cσ c : ε c − ε c p ≡ Cσ c : φ c : ε e ≡ Cσ c : φ c : ε - ε p
⎪
−1
n
⎪C ser = ⎡ k Cσ −1 ⎤
c ⎥
⎢∑ c
⎪
⎣ c =1
⎦
⎩
La tercera hipótesis de esta teoría de mezclas generalizada (ver hipótesis iii), permite
establecer la relación entre la deformación en el compuesto y la deformación de cada
componente. Esta ecuación de compatibilidad establece el vínculo entre las hipótesis de
comportamiento paralelo, (3.4.38), con las hipótesis de comportamiento en serie, (3.4.39).
Por esta razón se le denominará hipótesis de compatibilidad serie-paralelo,
[
( ) [
]( ) [ ]
] ( ) [ ]
( )
(
)
(
(
)
(
)
( )
( ) [
(
)
)
( )
] ( ) [
( )
] ( ) [
]
[
) ( )]
( )
(ε ) = (1 − χ ) ⋅ I
ij c
c
ijkl
(ε )
(
ε kl + χ c ⋅ (φijkl )c ⋅ ε kl − ε kl p + ε kl p
par
(ε ) = [(1 − χ ) ⋅ I
ij c
c
ij
ijkl
(ε )
ser
c
]
ij
[
( )]
c
ε kl + χ c ⋅ (φijkl )c ⋅ ε kl − χ c ⋅ (φijkl )c ε kl p − ε kl p
∂(ε ij )c
∂ε kl
( )
εˆkl p
= (1 − χ c ) ⋅ I ijkl + χ c ⋅ (φijkl )c
Pudiéndose también representar en las siguientes dos formas:
(ε ) = [(1 − χ ) ⋅ I
ij c
c
ijkl
c
]
( )
p
+ χ c ⋅ (φijkl )c :ε kl − χ c εˆkl c O TAMBIÉN
(ε)c = [(1 − χ c ) ⋅ I 4 + χ c ⋅ (φ )c ] :ε − χ c (εˆ p )c
c
c
(3.4.40)
83
Capitulo 3- Estado del Arte
( )
Siendo εˆkl p c una deformación plástica que se define con fines operativos y sin sentido
físico, que resulta de la deformación plástica media del compuesto, distribuida entre sus
componentes según sus respectivas relaciones de rigideces (φijkl )c ε kl p , y de la deformación
( )
plástica real del componente ε kl p c . En la misma expresión se tiene (ε kl )c que es la
deformación en el componente c-ésimo, que puede descomponerse en una cuota de
participación en paralelo ε ij par c y otra en serie ε ij ser c y ε kl la deformación total que
(
)
( )
[
]
ocurre en el compuesto. El parámetro de acoplamiento serie paralelo, 0 ≤ χ c = sin α χ ≤ 1 ,
[
)]
(
f
que depende del ángulo 0 ≤ α χ = x Loc
, x1σ ≤ π 2 , que hay el entre la orientación de la
( )
( )
f
tensión principal x1σ mayor respecto de la orientación de la fibra x Loc
. Éste parámetro
vale 0 para un comportamiento en paralelo puro y 1 para un comportamiento en serie
puro (ver Figura 3.4.2),.Físicamente este parámetro sitúa la posición del refuerzo respecto
de la acción.
Otro tensor que participa en la ecuación de compatibilidad (3.27) es el que establece la
deformación del componente c-ésimo cuando todos los componentes que constituyen el
compuesto están dispuestos en serie, y resulta a partir de la parte elástica de las ecuaciones
(3.3.39), esto es
n
ε e = k1 ε e1 + … + k n ε e n = ∑ k c ε e c =
c =1
(( )
= k1 C σ
⎛
= k1 ⎜⎜ C σ
⎝
−1
1
)
(( )
: σ1 + … + k n C σ
( ) : (C )
ser −1
−1
1
φ1
−1
n
)
((
n
: σ n = ∑ k c C ser
c =1
⎛
⎞
⎟
: ε ⎟ + … + k n ⎜⎜ C σ
⎜
⎠
⎝
( ) : (C )
e
)
ser −1
−1
n
φn
−1
⎞
: ε ⎟⎟ = C ser
⎟
⎠
(
c =1
En esta ecuación
(C )
σ
ijrs c
)
((
e
= k1 (φ1 ) + … + k n (φn ) = ∑ k c φc = I ; con:(φijkl ) c = Cijrs
n
:σ
σ
)
−1
n
C rskl
) : (C ): ε
−1
ser
(3.4.41)
e
ser
es el tensor constitutivo del componente c-ésimo, y
−1
⎡n
−1 ⎤
C ser rskl = ⎢∑ k c C σ ijrs c ⎥ es el tensor constitutivo del compuesto cuando sus n
⎣ c =1
⎦
componentes trabajan en serie puro.
Obsérvese el cumplimiento de las condiciones extremas en la ecuación (3.4.40). Es
decir, para un estado de alineación de la fibra de refuerzo en paralelo χ c = 0 (teoría de
(
)
(
mezclas clásica), se obtiene la deformación (ε ij )c = ε ij
par
)
c
= (1 − χ c ) ⋅ I ijkl ε kl = ε ij para el
componente c-ésimo, que resulta igual a todos los otros componentes; mientras que para
una configuración en la que hay un ordenamiento de los materiales en serie χ c = 1 , se
( )
obtiene la deformación (ε ij )c = ε ij
ser
c
[
(
= χ c ⋅ (φijkl )c ⋅ ε kl − ε kl
p
)+ (ε ) ] ≠ ε
p
kl
c
ij
para el
componente c-ésimo, que resulta distinta a las de los otros componentes. La energía libre de
un material compuesto serie-paralelo resulta de la suma ponderada de las energías libres de
cada componente y éstas a su vez se definen bajo el principio de elasticidad desacoplada, en
la que la parte elástica se escribe como
84
MODELIZACIÓN NUMÉRICA DE MATERIALES COMPUESTOS
n
Ψ e = ∑ kc
c =1
n
Ψ e = ∑ kc
c =1
(
)(
mc e
1
p
σ
Ψ c ; Ψec =
(ε ij ) c − (ε ij ) c Cijkl
2 mc
m
(
) ((ε
c
) ( ) : ((ε)
n
m 1
mc e
Ψ c = ∑ kc c
(ε) c − (ε p ) c : Cσ
m
m
2
m
c =1
c
c
c
) − (ε kl ) c
p
kl c
− (ε p ) c
)
)
(3.4.42)
Donde el coeficiente de participación volumétrica de cada componente se define como
k c = vc v , siendo vc el volumen del componente c-ésimo y v el volumen total. También,
en la ecuación de energía elástica el tensor (ε ij ) c representa la parte irrecuperable de la
deformación del componente c-ésimo.
La ecuación constitutiva para un simple componente “serie-paralelo” resulta,
∂Ψc
∂
1
σ
p
p
(σ ij )c = mc
= mc
(ε rs )c − (ε rs )c Crstu c (ε tu )c − (ε tu )c + Ψ p c
∂(ε ij )c
∂(ε ij )c 2 mc
(3.4.43)
p
(
(
σ
Ψe = Cijtu
) ((ε
c
) − (ε tu )c
p
tu c
)(
)(
)
)
La definición de la ecuación constitutiva para el compuesto se obtiene a partir del
potencial definido en la ecuación (3.4.42), garantizando la condición de disipación del
segundo principio de la termodinámica21. Así, teniendo en cuenta la ecuación anterior para
un solo componente y la derivada de la deformación de un componente respecto de la total
(3.4.40), resulta la ecuación constitutiva del compuesto
n
m ∂Ψc ∂(ε kl )c
∂Ψ
= m∑kc c
=
σ ij = m
∂ε ij
m ∂(ε kl )c ∂ε ij
c=1
{(
n
= m∑kc Cσ klrs
c=1
) [(1− χ ) ⋅ I
c
c
klij
][
+ χc ⋅ (φklij )c (ε rs )c − (ε p rs )c
]}
(3.4.44)
n
m ∂Ψc ∂(ε)c
∂Ψ
σ = m = m∑kc c
=
∂ε
m ∂(ε)c ∂ε
c=1
n
{( ) [
= m∑kc [(1 − χc ) ⋅ I4 + χc ⋅ (φ )c ] : Cσ c : (ε)c − (εp )c
T
]}
c=1
Donde I 4 es el tensor identidad en cuarto orden. El tensor constitutivo del material
compuesto resulta,
σ
Cijkl = m
n
∂2Ψ
∂ ∂Ψ
∂
(σ ij ) =
=m
=m
∂ε tu ∂ε ij
∂ε tu ∂ε ij
∂ε tu
{(
= ∑ kc Cijkl
c=1
σ
) [(1− χ ) ⋅ I
c
c
klij
]}
+ χ c ⋅ (φklij )c ⋅ {[(1 − χ c ) ⋅ I rstu + χ c ⋅ (φrstu )c ]}
(3.4.45)
∂2Ψ
∂ ∂Ψ
∂
C =m
=m
= m (σ ) =
∂ε ⊗ ∂ε
∂ε ∂ε
∂ε
σ
n
{( ) : [(1 − χ ) ⋅ I
= ∑ kc [(1 − χ c ) ⋅ I 4 + χ c ⋅ (φ )c ] : Cσ
c=1
c
c
4
}
+ χ c ⋅ (φ )c ]
Las definiciones previas para la tensión y el tensor constitutivo muestran que la
definición cinemática realizada mediante la ecuación (3.4.40) conduce implícitamente a un
cambio en las propiedades del material, o dicho de otra manera, la definición cinemática
puede reflejarse como una modificación en el tensor constitutivo (ver ecuación (3.4.35)).
85
Capitulo 3- Estado del Arte
3.4.7
Teoría
de
Mezclas
Generalizada
formulada en grandes deformaciones
En este apartado se hace una extensión conceptual de las definiciones hechas para la
teoría de mezclas clásica en grandes deformaciones. Para ello se plantea la formulación a
partir de la hipótesis de no-cumplimiento de la ecuación de compatibilidad y sus
consecuencias. Por otro lado, este cambio en la hipótesis fundamental de la teoría de
mezclas implica la siguiente definición de las funciones de energía libre en la configuración
material y actualizada,
(
)
(
n
( ) ( ))
m 0 Ψ E e ,θ ,α m = m 0 ∑ k c Ψc (E )c , E p c ,θ , α m
c =1
(
m ψ e ,θ ,α
e
c
(3.4.46)
) = m ∑ k ψ ((e) , (e ) ,θ , (α ) )
n
m
p
c =1
c
c
c
m
c
c
donde Ψc y ψ c son las energías libres correspondientes a cada una de las n sustancias
componentes de la mezcla definidas en la configuración referencial y la actualizada
1 dvc dvc
=
es el coeficiente de participación volumétrica en
respectivamente, k c =
J dV0 dv0
(E )c = [(1 − χ c ) ⋅ I 4 + χ c ⋅ (Φ )c ] : E - χ c ⋅ Eˆ p c
función
de
J,
y
(e)c = [(1 − χ c ) ⋅ I 4 + χ c ⋅ (φ )c ] : e - χ c ⋅ (eˆ
p
)
c
( )
son
las
deformaciones
( )
totales
( )
en
las
configuraciones referencial y actualizada respectivamente E p c y e p c son las
deformaciones plásticas de cada fase en las configuraciones referencial y actualizada
respectivamente y α m c son las variables internas del componente c-ésimo, que definen el
( )
( ) ( )
comportamiento físico irreversible de cada sustancia componente. Ê p c y ê p c son las
deformaciones plásticas que se define con fines operativos y sin sentido físico. En la
definición de la deformación para cada componente intervienen las variables ya
introducidas en el apartado en la teoría de mezclas generalizada, con la única diferencia en
la forma de obtención del factor de comportamiento en serie para cada configuración, esto
es
⎧⎪(Φijkl ) = (CS ijrs )c −1Cserrskl Configuración Referencial
c
(3.4.47)
⎨
−1 ser
τ
Configuración Actualizada
⎪⎩(φijkl )c = (c ijrs )c c rskl
3.4.7.1
Ecuación constitutiva
Siguiendo una formulación análoga a la desarrollada para la teoría de mezclas clásica en
grandes deformaciones, se presenta a continuación las ecuaciones constitutivas en la
configuración referencial y actualizada para la teoría de mezclas generalizadas. Obsérvese
que la diferencia fundamental consiste en la definición de la deformación en cada
configuración (E )c , pues en esta nueva formulación no es única para todos los
componentes E ≠ (E )1 ≠ … ≠ (E )n , y de aquí resulta la siguiente expresión para la tensión
en la configuración referencial,
86
MODELIZACIÓN NUMÉRICA DE MATERIALES COMPUESTOS
(
)
n
∂Ψc ∂ (E )c
∂Ψ E e ,θ ,α m
S=m
= ∑ kc m 0 c
:
=
∂E
∂E
∂E
c =1
n
∂ (E )c
= ∑ k c (S )c :
=
∂E
c =1
0
n
{( ) : [(1 − χ ) ⋅ I
= ∑ k c [(1 − χ c ) ⋅ I 4 + χ c ⋅ (Φ )c ] : C S
T
c =1
c
c
(3.4.48)
4
( )}
+ χ c ⋅ (Φ )c ] : E e
c
y en la configuración actualizada adquiere la siguiente forma,
n
∂ψ c ∂ (e )c
∂ψ e e ,θ ,α m
:
=
= ∑ k c mc
τ =m
∂e
∂e
∂e
c =1
n
∂ (e )c
= ∑ k c (τ )c :
=
∂e
c =1
(
)
(3.4.49)
= ∑ k c [(1 − χ c ) ⋅ I 4 + χ c ⋅ (φ )c ] : {(cτ )c : [(1 − χ c ) ⋅ I 4 + χ c ⋅ (φ )c ] : (e e )c } = J σ
n
T
c =1
Siguiendo con la deducción, resulta el tensor constitutivo del compuesto en la
configuración referencial,
CS =
(
)
n
∂S
∂ 2 Ψ Ee ,θ ,α m
T
= m0
= ∑kc [(1 − χ c ) ⋅ I4 + χ c ⋅ (Φ)c ] : CS c : [(1 − χ c ) ⋅ I4 + χ c ⋅ (Φ)c ]
∂E
∂E ⊗ ∂E
c=1
{( )
}
(3.4.50)
Este mismo tensor transportado a la configuración actualizada resulta,
cτ =
(
)
n
∂τ
∂ 2ψ e e ,θ ,α m
T
=m
= ∑ k c [(1 − χ c ) ⋅ I 4 + χ c ⋅ (φ )c ] : cτ
∂e
∂e ⊗ ∂e
c =1
{( ) : [(1 − χ ) ⋅ I
c
c
4
}
+ χ c ⋅ (φ )c ]
(3.4.51)
La resolución algorítmica de este problema comienza en la configuración referencial y
luego a través de las operaciones de transporte tensorial, desde la configuración referencial
a la actualizada (.push-forward.), se aborda la solución de la ecuación constitutiva
para cada uno de las fases del material compuesto. Cada una de estas fases puede presentar
distintos tipos de comportamiento. Al igual que en la teoría de mezclas clásica, una vez
determinado el estado tensional de cada uno de los componentes es necesario obtener la
tensión del material compuesto a partir de ecuación (3.4.48) o (3.4.49), y a partir de ella
obtener las fuerzas internas que se desarrollan en cada punto del material. Una vez
determinadas las fuerzas internas es necesario verificar el equilibrio de estas con las fuerzas
externas aplicadas.