Tema 3.- Conducción estacionaria unidimensional

Tema 3: Conducción estacionaria unidimens. (I). Rafael Royo, José Miguel Corberán. Curso 2000-20001
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Tema 3: Conducción estacionaria unidimensional
CONDUCCIÓN
ESTACIONARIA
UNIDIMENSIONAL(I)
APLICACIÓN A PAREDES PLANAS Y
CONDUCTOS
JM Corberán, R Royo (UPV)
1
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ÍNDICE
1. PARTICULARIZACIÓN DE LA ECUACIÓN GENERAL
2. PAREDES PLANAS MULTICAPA
2.1. RESISTENCIA TÉRMICA DE CONDUCCIÓN.
RESISTENCIA TÉRMICA DE CONTACTO
2.2. ANÁLISIS DEL MURO MULTICAPA
2.3.COEFICIENTE GLOBAL DE TRANSMISIÓN DE CALOR
3. CONDUCTOS MULTICAPA
3.1. RESISTENCIA TÉRMICA DE CONDUCCIÓN.
3.2. ANÁLISIS DEL CONDUCTO MULTICAPA.
3.3. COEFICIENTE GLOBAL DE TRANSMISIÓN
3.4. RADIO CRÍTICO DE AISLAMIENTO
4. MODELIZACIÓN MEDIANTE ANALOGÍA ELÉCTRICA
5. ESTUDIO DE MUROS COMPUESTOS MEDIANTE LA TEORÍA
UNIDIMENSIONAL. LIMITACIONES DEL MÉTODO.
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2
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1. PARTICULARIZACIÓN DE LA ECUACIÓN GENERAL
•Ecuación general de la conducción del calor
∇(k ⋅ ∇T ) + g = ρ ⋅ C ⋅
∂T
∂t
•Régimen permanente:
 ∂T


= 0  ⇒∇(k ⋅ ∇T ) + g = 0
 ∂t

•Unidimensional (cartesianas):
d  dT 
k ⋅
+g =0
dx  dx 
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3
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2. PAREDES PLANAS MULTICAPA.
PARED PLANA CON Tas DE CONTORNO CONOCIDAS
∆x
Supongamos g=0Þ
T1
d  dT 
k ⋅
=0
dx  dx 
2
k=cteÞ d T2 = 0
 d 2T

=0 

2
 dx

 T = T1 enx = x1 
T = T enx = x 
2
2




•Campo de temperaturas
T = T1 + (T2 − T1 ) ⋅
T2
dx
x1
x2
x − x1
x2 − x1
Si g es nula y k constante, la distribución de temperaturas a
través de una pared plana es función lineal.
•Aplicando la ley de Fourier
dT
(T − T1 ) A ⋅ k
Q = A ⋅ q = −A ⋅ k ⋅
= − A⋅ k ⋅ 2
=
⋅ (T − T )
dx
( x2 − x1 ) ∆x 1 2
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2.1. RESISTENCIA TÉRMICA DE CONDUCCIÓN. RESISTENCIA
TÉRMICA DE CONTACTO
RESISTENCIA TÉRMICA DE CONDUCCIÓN
Analogía eléctrica a partir de la ley de Ohm:
I =
∆V
R
Q=
T1 − T2
∆x
A⋅ k
•El calor transmitido análogo a una intensidad (Q@I).
•La diferencia de temperaturas análogo a una diferencia de
potenciales (T1-T2 @DV).
∆x
•De esta manera el término
análogo a una resistencia
A⋅ k
eléctrica R.
•Resistencia térmica de conducción” Rcon =
Q=
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∆x
(K /W )
A⋅k
(T1 − T2 )
R con
5
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RESISTENCIA TÉRMICA DE CONTACTO
RESISTIVIDAD TÉRMICA DE CONTACTO
A
T
•En la zona de unión entre capas, debido a las
irregularidades superficiales el contacto no es
perfecto, y el calor se transmite por radiación,
conducción y convección.
B
TAL
TBL
X
•Se asocia una resistividad térmica de contacto que
relaciona el calor transmitido en la interfase entre
dos materiales con la variación de temperatura a
través de la misma
Q (T AL − T BL )
=
A
ℜ tc
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• La resistividad térmica de contacto ℜ tc (K m2/W) es
análoga al término ∆x de la holgura (aire + zonas de
k
contacto).
• Resistencia térmica de contacto de una superficie A es:
Rtc = ℜ tc / A
•ℜ tc depende de:
•Rugosidad superficial.
•Presión contacto
•ℜ tcdebe considerarse sólo en la separación de capas de
materiales de:
•k elevada (metales).
•Espesores pequeños.
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2.2. ANÁLISIS DEL MURO MULTICAPA.
Ta
Tb
T1
Ta
T2 T2´ T 3 T3´ T d-1 Td-1´
T4
T1
T2
T2´
T3
T3´
T d-1
Td-1´
CONVECCIÓN
CONDUCCIÓN
T4
Ta ,T b ⇒T as ambiente interno y
externo.
T1 ,T 4 ⇒ T as ambos lados del
muro.
Td ,Td’⇒ T as ambos lados de las
distintas capas.
Tb
CONVECCIÓN
El flujo de calor a través de cada capa se mantiene constante:
Q
k
(T − T2 ' ) = k2 '3 (T − T ) =
= cte = ha1 (Ta − T1 ) = 12 (T1 − T2 ) = 2
2'
3
A
∆x12
ℜ 22'
∆x 2′3
=
JM Corberán, R Royo (UPV)
(T3 − T3' )
ℜ33'
=... = h4b (T4 − Tb )
8
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Ta − T1 =
Q 1
⋅
A ha1
T2' − T3 =
T1 − T2 =
Q ∆x 2 '3
⋅
A k 2'3
•Sumando estas
expresiones:
T3 − T3' =
Q
⋅ ℜ 22 '
A
T4 − Tb =
Q 1
⋅
A h4b
(Ta − Tb )
 1
∆x12
ℜ
∆x
ℜ
1

+
+ 22' + 2 '3 + 33' +Κ +
A
k 2 '3
A
A ⋅ h4 b
 A ⋅ ha 1 A ⋅ k12
(Ta − Tb )
1
donde: R a1 =
A ⋅ ha1
∑ Ri
JM Corberán, R Royo (UPV)
Q
⋅ ℜ 33 '
A
T2 − T 2' =
Q
(Ta − Tb )
=
A  1 ∆x12
∆x
1 


+
+ ℜ22 ' + 2 '3 + ℜ 33' +Κ +
h
k
k
h
 a1
12
2 '3
4b 
Q=
Q=
Q ∆ x12
⋅
A k12
Ri ,i +1 =
∆ xi ,i +1
A ⋅ ki ,i +1
Ri ,i′ =



ℜ
A
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2.3. COEFICIENTE GLOBAL DE TRANSMISIÓN DE CALOR
•Se define:
•De esta forma:
JM Corberán, R Royo (UPV)
U=
1
n −1 ∆x
i, i+1
1
1
+∑
+
ha1 i =1 k i ,i +1
hnb
Q
= U ⋅ (Ta − Tb )
A
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3. CONDUCTOS
•Conducción de calor en cuerpos con simetría axial.
g + k ⋅ ∆T = 0
•Suponemos que no hay generación de calor, y la conductividad
es constante:
∆T = 0
Desarrollando el Laplaciano en coordenadas cilíndricas queda:
r1
r2
JM Corberán, R Royo (UPV)
d 2 T 1 dT
+ ⋅
=0
dr 2 r dr
d  dT 
r ⋅
=0
dr  dr 
T=T1 en r=r1
T=T2 en r=r2
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• Se calculará el campo de temperaturas T=T(r)
r⋅
dT
= C1
dr
⇒
dT = C1 ⋅
dr
r
T = T1 + (T2 − T1 ) ⋅
⇒
T = C1 ⋅ lnr + C 2
ln(r r1 )
ln(r2 r1 )
•Si g se anula y k se considera constante, la distribución de
temperaturas a través de la pared cilíndrica es una función
22.5
T
logarítmica con el radio
T1
17.5
T2
12.5
0
JM Corberán, R Royo (UPV)
5
r1
10
r2
r
12
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Aplicando la ley de Fourier
q (r ) = − k ⋅ ∇ T = − k ⋅
dT
dr
dT (T2 − T1 ) 1
=
⋅
dr ln (r2 r1 ) r
Q = q (r ) ⋅ A (r ) = − A(r ) ⋅ k ⋅
dT
(T − T ) k 2πrL ⋅ (T1 − T2 ) ⋅ k
= − A(r ) ⋅ 2 1 ⋅ =
dr
ln(r2 r1 ) r
ln(r2 r1 )
r
Q=
(T1 − T2 )
ln (r2 r1 )
2π Lk
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3.1. RESISTENCIA TÉRMICA DE CONDUCCIÓN
•Resistencia térmica de conducción de una capa cilíndrica Rcon
Analogía eléctrica:
∆V 
∆T

I =
⇒Q =
R 
Rcon

Rcon =
JM Corberán, R Royo (UPV)
ln (r2 r1 )
2π L k
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3.2. ANÁLISIS CONDUCTO MULTICAPA
En estacionario Q=cte, pero para un cilindro
Ta
Q
≠cte : área a
A( r )
r1
considerar es la lateral del
cilindro, la cual depende del
radio
T1
r2
r3
Tb
Q=
(Ta − T1 )
1
2π r1Lha1
Q=
=
(T1 − T2 ) = (T2 − T2' ) = (T2' − T3 ) = (T3 − Tb )
ln (r2 r1 )
ℜ 22'
ln (r3 r2' )
1
2π L k12
1  1
⋅
2π L  ha1 ⋅ r1
JM Corberán, R Royo (UPV)
2π r2 L
(Ta − Tb )
ln(r2 r1 ) ℜ22'
+
+
k12
r2
2π L k 2'3
+
2π r 3 Lh3b
ln(r3 r2' )
1 

+
k 2 '3
h3b ⋅ r3 
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3.3. COEFICIENTE GLOBAL DE TRANSMISIÓN DE CALOR (U)
Se define Ucilindro respecto al área correspondiente a un radio
cualquiera ri
U cilindro,i =
De esta forma:
1
n −1
 1
ln(ri+1 ri )
1 
ri 
+∑
+
h3b ⋅ r3 
 ha1 ⋅ r1 i =1 ki ,i +1
Q = 2 ⋅ π ⋅ ri ⋅ L ⋅ U cilindro ,i ⋅ (Ta − Tb )
En general:
Q = Aref ⋅ U Aref ⋅ (Ta − Tb )⇒U Aref =
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Q /(Ta − Tb )
Aref
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3.4. RADIO CRÍTICO DE AISLAMIENTO
•Al añadir capas de material sobre una pared plana, se incrementa la resistencia
térmica por lo que el flujo de calor siempre se reduce.
•En conductos, conforme se añaden capas, aumenta la resistencia térmica pero
también el área de transmisión de calor: tendencias contrapuestas sobre la
magnitud de calor conducido, por lo que debe estudiarse el aislamiento adecuado
en cada caso.
0.4
0.35
Para cables eléctricos por ejemplo:
0.3
Calor (W)
0.25
k AIS = 0.2 ÷ 0.3
⇒ rcrit [0.01 ÷ 0.03 m ]
h ≈ 10 ÷ 20 
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
0.2
radio (m)
Radio crítico: valor para el cual el calor transmitido alcanza un
máximo. Normalmente es muy pequeño ( del orden de milímetros)
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Q=
2 ⋅ π ⋅ L ⋅ (Ta − Tb )
n −1
 1
ln (ri +1 ri )
1

+
+
∑
 ha 1 ⋅ r1 i =1 k i , i +1
hnb ⋅ rn





Para hallar el máximo se deriva respecto al radio que se añade, rn
y se iguala a 0:


1
1

− 2πL ⋅ (Ta − Tb ) ⋅ 
−
2 

r
⋅
k
h
⋅
r
∂Q
n ,b
n 
 n n −1,n
=
=0
2
∂ rn
n −1
 1

ln
(
r
r
)
1
i +1
i


+
 ha 1 ⋅ r1 + ∑

k
h
⋅
r
i
=
1
i
,
i
+
1
nb
n


1
1
−
=0
rn ⋅ k n−1,n hn ,b ⋅ rn 2
( rn ) CRITICO =
k n −1,n
hn ,b
•Si rd-1<rcrit al añadir espesor Q ↑
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Diapositiva 19
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4.MODELIZACIÓN MEDIANTE ANALOGÍA ELÉCTRICA
DEL CALOR TRANSMITIDO POR RADIACIÓN
• Dos posibilidades:
– Definición de resistencia equivalente a la
radiación.
– Utilización del coeficiente de convección
equivalente a la radiación
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Diapositiva 20
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DEFINICIÓN DE RESISTENCIA EQUIVALENTE A LA RADIACIÓN.
Qconv = h ⋅ A ⋅ (T − Taire )
Rrad =
Qrad = ε ⋅ σ ⋅ A ⋅ (T 4 − Trec 4 )
(T − Trec )
(T − Trec )
=
Qrad
ε ⋅ σ ⋅ A ⋅ (T 4 − Trec 4 )
(T 4 − Trec 4 ) = (T 2 − Trec 2 ) ⋅ (T 2 + Trec 2 ) = (T − Trec ) ⋅ (T + Trec ) ⋅ (T 2 + Trec 2 )
Rrad =
1
2
2
ε ⋅ σ ⋅ A ⋅ (T + Trec ) ⋅ (T + Trec )
Rrad
≅
1
ε ⋅σ ⋅ A ⋅ 4 ⋅ Trec 3
Si T y T rec son similares
Trec
Taire
Si Taire y T rec
son próximas:
Taire
Rconv
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Diapositiva 21
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COEFICIENTE DE CONVECCIÓN EQUIVALENTE A LA RADIACIÓN
Q = h ⋅ A ⋅ (T − Taire ) + ε ⋅ σ ⋅ A ⋅ (T 4 − Trec 4 )
ε ⋅ σ ⋅ (T 4 − Trec )
hr =
(T − Trec )
4
Q = h ⋅ A ⋅ (T − Taire ) + hr ⋅ A ⋅ (T − Trec ) = A ⋅ ( h ⋅ T − h ⋅ Taire + hr ⋅ T − hr ⋅ Trec )
Q = A ⋅ ((h + hr ) ⋅ T − (h ⋅ Taire + hr ⋅ Trec )) = A ⋅ (h + hr ) ⋅ (T − (
Teq =
h ⋅ Taire + hr ⋅ Trec
))
h + hr
h ⋅ Taire + hr ⋅ Trec
h + hr
Q = A ⋅ (h + hr ) ⋅ (T − Teq )
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Diapositiva 22
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5. ESTUDIO DE MUROS COMPUESTOS MEDIANTE LA
TEORÍA 1D. LIMITACIONES DEL MÉTODO
MUY CONDUCTORES
A1, k1
x1
Convección
hi
A3=A1+A2
k3
A2, k2
x2=x1
Ti
Convección he
x3
x1
A1 ⋅ k1
1
hi ⋅ Ai
JM Corberán, R Royo (UPV)
x2
A2 ⋅ k2
Te
x3
A3 ⋅ k3
1
he ⋅ Ae
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Diapositiva 23
Tema 3: Conducción estacionaria unidimensional
POCO CONDUCTORES
A1, k1
Convección
hi
x1
A3=A1+A2
k3
A2, k2
x2=x 1
Ti
1
hi ⋅ A1
Ti
1
hi ⋅ A2
Convección
he
x3
Tsi1
x1
A1 ⋅ k1
T13
x3
A1 ⋅ k3
Tse1
1
he ⋅ A1
Te
Tsi2
x2
A2 ⋅ k2
T23
x3
A2 ⋅ k3
Tse2
1
he ⋅ A2
Te
JM Corberán, R Royo (UPV)
23