Semántica Denotacional Mediante Operadores Clausura

Semántica Denotacional Mediante Operadores
Clausura
Jonatan Gómez Perdomo
Presentada como requisito para optar
al Título de Magister Scientae en Matemáticas
Director: Rodrigo de Castro
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias
Departamento de Matemáticas y Estadística
Diciembre de 1998
Contents
1 Preliminares Categóricos
1.1 Conceptos básicos
6
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.1.1
Monos, epis, isos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.1.2
Productos y coproductos
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.1.3
Igualadores, objeto terminal, objeto inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.1.4
Exponenciación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.1.5
Hom-Set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.2 Categorías Cartesianas Cerradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.3 Functores y Adjunciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.1
Functor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.2
Isomor…smo y equivalencia de categorías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.3
Adjunción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Constructos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5 Teorema de Punto Fijo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5.1
Functor continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5.2
F-Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.6 O-categorías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.6.1
Semántica denotacional y O-categorías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2 Ordenes, CPOs y Dominios
24
2.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Conjuntos Parcialmente Ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1
2.2.1
Máxima cota inferior, mínima cota superior . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.2
Conjunto dirigido, orden consistente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.3
Ideales sobre conjuntos ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3 Retículos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.1
Semi-retículos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3.2
CPOs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4 Dominios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4.1
Conjunto orden consistente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4.2
CPO algebráico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.5 Mor…smos entre Ordenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.6 Categorías de Ordenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.7 Construcciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.7.1
Levantado (lifting) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.7.2
Suma colapsada
2.7.3
Suma separada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.7.4
Producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.7.5
Espacio de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3 Colecciones de Conjuntos
45
3.1 \-estructuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2 Colecciones decrecientes y d-completas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.3 Colecciones de carácter …nito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.4 Mor…smos entre colecciones de carácter …nito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.4.1
Funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.4.2
Relaciones …nitarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.5 Categorías de colecciones de carácter …nito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.5.1
Categoría de colecciones de carácter …nito con funciones (CCFF) . . . . . 52
3.5.2
Categoría de colecciones de carácter …nito con relaciones (CCFR) . . . . . 55
3.6 Construcciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.6.1
3.6.2
Subcolección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
¡
¢
Subcategoría CCFFE
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
E
2
3.6.3
Producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.6.4
Levantado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.6.5
Suma colapsada
3.6.6
Suma separada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.6.7
Espacio de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.6.8
Espacio de relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.7 Ecuaciones Recursivas de Dominios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4 Sistemas de Información
75
4.1 De…nición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.1.1
Sistema de información de Scott (SIS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.1.2
Sistema de información (SI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.1.3
Equivalencia de las de…niciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.1.4
Sistemas de información contables y canónicos . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.2 Mor…smos entre sistemas de información . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.2.1
Relaciones aproximables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.2.2
Inmersiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.3 Categoría de sistemas de información (SISINF) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.4 Equivalencia de las categorías SISINF y DOMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.4.1
Estados de un sistema de información . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.4.2
Dominio inducido por un sistema de información . . . . . . . . . . . . . . 83
4.4.3
Sistema de información inducido por un dominio . . . . . . . . . . . . . . 85
4.4.4
functor jj : SISINF ! DOMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5 Operadores Clausura
91
5.1 Clausura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.2 Producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.3 Objetos terminal e inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.4 Exponenciación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.5 Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3
6 Operadores clausura sobre colecciones de conjuntos
106
6.1 Clausura …nitaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6.2 Mor…smos entre operadores clausura …nitarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.3 Categoría de operadores clausura …nitarios (OCF) . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.4 Isomor…smo de las categorías OCF y SISINF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.4.1
Sistema de información inducido por un operador clausura . . . . . . . . . 109
6.4.2
Operador clausura inducido por un sistema de información . . . . . . . . 111
6.4.3
functor SI : OCF ! SISINF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.5 Equivalencia de las categorías OCF y DOMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.5.1
Dominio inducido por un operador clausura …nitario . . . . . . . . . . . . 117
6.5.2
Operador clausura …nitario inducido por un dominio . . . . . . . . . . . . 118
6.5.3
functor G : OCF ! DOMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.6 Construcciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
6.6.1
Suboperador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
6.6.2
Subcategoría OCFE
E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
6.6.3
Producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
6.6.4
Levantado (Lifting) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
6.6.5
Suma separada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6.6.6
Espacio de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
6.7 Solución a ecuaciones recursivas de dominios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6.7.1
El tipo de una lista de objetos de tipo A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6.7.2
El tipo de un árbol binario de objetos de tipo A . . . . . . . . . . . . . . 128
7 Relaciones de Consecuencia
130
7.1 Consecuencia tradicional …nitaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
7.1.1
Sistemas axiomáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
7.1.2
Relaciones de consecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
7.1.3
Sistemas de verdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
7.1.4
Sistemas clausura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
7.2 Relaciones de consecuencia y operadores clausura …nitarios . . . . . . . . . . . . 132
4
Introducción
En la actualidad existe una gran variedad de lenguajes de programación, cada uno con
una especi…cación informal de sus aspectos semánticos. En muchos casos, dicha especi…cación
es contradictoria, ambigua u omite detalles; esto impide una formulación y pruebas rigurosas
de las propiedades semánticas del mismo. Además, la terminología empleada no es estándar,
impidiendo encontrar similitudes y diferencias entre los lenguajes que especi…can. En los últimos años se han realizado esfuerzos por desarrollar un marco teórico apropiado de trabajo
que permita el análisis y especi…cación formal de los aspectos semánticos de los lenguajes de
programación.
Dana Scott y Christopher Strachey a principios de los años setenta mostraron que para
de…nir la semántica de los lenguajes de programación es posible usar un método similar al
empleado en lógica matemática para lenguajes formales, esto es, una interpretación semántica
de un lenguaje de programación es especi…cada por aplicaciones de los constructores sintácticos
del lenguaje asignando un signi…cado abstracto en un modelo matemático apropiado. A este
método de especi…cación se le conoce como Semántica Denotacional.
Formalmente, si L es un lenguaje de programación especi…cado por reglas sintácticas formales, tales como BNF, para especi…car la semántica del mismo se construye un modelo
matemático concreto M y una aplicación V : L ! M (la aplicación valuación), la cual a cada
objeto P en L asigna V [[P ]] en M, que denota el signi…cado de P . Cuando L está construido
a partir de varias categorías sintácticas primitivas (variables, comandos, etc) y los constructos
de programas complejos están de…nidos en términos de componentes simples, se asocia a cada
categoría sintáctica, comenzando por las primitivas, un dominio semántico que actúa como su
realización concreta en M.
5
Aunque el modelo es particular para cada lenguaje, algunas de las características que debe
poseer son las siguientes1 :
I. Permitir representar tipos de datos primitivos deseados. Para hacer una especi…cación del signi…cado del lengua je, se deben representar en el modelo ciertos tipos de
datos (naturales, booleanos, etc.), que se consideran la base para construir otros o para realizar
ciertos cómputos sobre ellos. Por ejemplo, si una de las categorías sintácticas primitivas son
numerales, true y false (la versión abstracta de los valores que el programa puede tomar), el
dominio semántico asociado podría ser V := N[ fT; Fg.
II. Cerrado bajo operaciones deseadas. Mediante una colección de tipos de datos
primitivos (tales como enteros o booleanos), y de operadores sobre los dominios semánticos,
muchos lenguajes de programación permiten construir nuevos tipos de datos. Algunos de los
operadores más usados son: producto D £ E, espacio de funciones [D ! E], suma separada
D + E, suma colapsada D © E, y levantado D?.
III. Poseer soluciones para ecuaciones recursivas. Muchos de los signi…cados de los
constructores sintácticos de un lenguaje de programación son expresados de manera ecuacional,
ya sea recursivamente o no. Por ejemplo, si ¾ es un estado de la máquina, las siguientes
ecuaciones especi…can el signi…cado
de una selección y un ciclo:
½
[[C1 ]] , si [[B]] = V
[[if B then C1 else C2 ]]¾ =
[[C2]] , en otro caso
½
[[while B do C]] ± [[C]] , si [[B]] = F
[[while B do C]]¾ =
¾,
en otro caso.
También es posible especi…car tipos de datos usando ecuaciones (más precisamente isomor…smos), por ejemplo árboles binarios simples T »
= T £ T , ¸-cálculo D »
= At + [D ! D], etc. Por
lo tanto, el modelo debe permitir encontrar soluciones a ellas, es decir, encontrar un dominio
semántico en el modelo que represente la semántica de dichos constructos sintacticos y/o dichos
tipos de datos.
IV. Permitir una ‡exible e intuitiva teoría de la computación a través de aproximaciones …nitarias. En el modelo debe existir una buena noción de computabilidad y de
constructor de tipos de datos, es decir, los dominios semánticos deben ser efectivamente presentados y las aplicaciones entre dichos dominios deben ser computables. Para una noción
1
Estas carácteristicas son presentadas por Carl A. Gunter en [GUNTER95].
6
apropiada de computabilidad los dominios semánticos deben tener una clase de elementos …nitos o computables en tiempo …nito que puedan ser usados para aproximar todos los elementos
del dominio semántico; esto es, que todos los elementos son aproximables mediante un cómputo
ya sea éste …nito o no.
V. Tener y permitir una motivación natural, ademas de ser fácil de describir.
Aunque ya se han desarrollado diferentes modelos (dominios, sistemas de información, etc), no
se ha podido construir uno que posea esta característica, ya sea por que las costrucciones no
son naturales y/o por que las pruebas resultan ser complejas y poco descriptivas.
Debido a su alto nivel de abstracción, la teoría de categorías ha sido empleada para describir,
analizar y simpli…car las construcciones de dichos modelos. Concretamente, se supone que el
modelo es una categoría donde:
1. Los objetos son los dominios semánticos.
2. Los mor…smos son las aplicaciones entre los mismos.
3. Los dominios semánticos generados por los operadores son objetos de la categoría, es decir,
la categoría es cerrada bajo los operadores. Por ejemplo, si algunos de los operadores son
producto y espacio de funciones, la categoría debe ser cartesiana cerrada.
4. Los operadores son endofunctores, bifunctores y/o bifunctores contravariantes (en algún
argumento) de la categoría sobre sí misma.
5. Las soluciones a las ecuaciones recursivas son los puntos …jos de ciertos endofunctores
computables.
El propósito del presente trabajo es construir una categoría para realizar semántica denotacional
de una forma más simple e intuitiva que en las existentes. Para esto se mostrará la equivalencia
de aquélla con éstas, se harán las construcciones de operadores y puntos …jos para los functores
asociados.
Este documento esta dividido en siete capítulos. El primer capítulo presenta los conceptos
básicos de teoría de categorías, como producto, exponencial, functor, adjunción, equivalencia de
categorías, functores continuos, O-categorías y teorema de punto …jo, que usados en el presente
trabajo.
7
El segundo capítulo describe la teoría de órdenes sobre la que D. Scott y C. Strachey basaron
la semántica denotacional. En dicho capítulo se presentan, entre otros, los conceptos de CPO,
CCPO, CPO algebraico, dominio y función continua. Se muestra que DOMS es una O-categoría
cartesiana cerrada en la cual se puede hacer semántica de lenguajes de programación.
En el tercer capítulo se de…ne la noción de colección de carácter …nito y la de aplicaciones
continuas entre ellas, mostrando que dichas colecciones dan una buena noción de aproximación
…nitaria y que aquellas aplicaciones re‡ejan algo de la noción de computabilidad. Se muestra
que la categoría formada por estas colecciones, con dichas aplicaciones, es una buena base para
un desarrollo alternativo de semántica denotacional.
El capítulo cuarto presenta de manera diferente (pero equivalente) los sistemas de información de Scott. Adicionalmente, en él se encuentra la prueba de la equivalencia entre la categoría
de dominios y la de sistemas de información.
En el quinto capítulo se desarrollan los conceptos de clausura sobre O-categorías, de operador
clausura y de función compatible y se presentan resultados que simpli…can las construcciones y
pruebas en la categoría constriuida.
En el capítulo sexto se encuentra la descripción de la categoría propuesta, es decir, operadores clausura sobre colecciones de carácter …nito. Se muestra que ésta re‡eja muy bien
las nociones de computabilidad, que en ella se pueden representar de manera natural los operadores comúnmente usados, que se pueden resolver ecuaciones recursivas, etc. Además, se
muestra que esta categoría es un caso particular de las categorías clausura desarrolladas en el
capítulo quinto.
En el septimo capítulo se presentan algunas nociones de relaciones de consecuencia desarrolladas por Peter Aczel y se muestra una posible conexión con la semántica denotacional.
8
Chapter 1
Preliminares Categóricos
1.1
Conceptos básicos
De…nition 1 Una Categoría C comprende
(i) Una colección de cosas llamadas C-objetos.
(ii) Una colección de cosas llamadas C-mor…smos.
(iii) Dos operaciones dom; cod : C-mor…smos ! C-objetos llamadas dominio y codominio
que asignan a cada C-mor…smo dos C-objetos;. Si f es un C-mor…smo y a = dom (f) y
b = cod (f ) esta asignación de objetos a f se representan como f : a ! b.
(iv) Una operación que asigna a cada pareja f; g de C-mor…smo con dom g = cod f un Cmor…smo g ± f (la ‘compuesta de f y g’), teniendo dom (g ± f ) = dom (f) y cod (g ± f ) =
cod (g), tal que la siguiente condición se tiene:
Ley Asociativa: Para todos C-mor…smos f : a ! b, g : b ! c y h : c ! d se tiene:
h ± (g ± f) = (h ± g) ± f .
(v) Una operación que asigna a cada C-objeto a un C-mor…smo ida : a ! a, llamada la
identidad sobre a, tal que la siguiente condición se tiene:
Ley Identidad: Para todos C-mor…smos f : a ! b y g : c ! a se tiene ida ± g = g y
f ± ida = f .
9
De…nition 2 Sean C y D dos categorías, D es subcategoría plena de C si
(i) todo D-objeto es un C-objeto,
(ii) para todos D-objetos a y b, f : a ! b es un C-mor…smo si y solo si f : a ! b es un
D-mor…smo.
Example 3 Categorías.
1. Set : Es la categoría donde los objetos son conjuntos y los mor…smos son funciones entre
ellos.
2. Top : Es la categoría donde los objetos son espacios topológicos y los mor…smos son las
funciones continuas entre ellos.
3. Mon : Es la categoría donde los objetos son monoides y los mor…smos son homomor…smos
de monoides.
4. ConmMon : Es la subcategoría plena de Mon donde los objetos son monoides conmutativos.
5. Grp : Es la categoría donde los objetos son grupos y los mor…smos son los homomor…smos
de grupos.
1.1.1
Monos, epis, isos
De…nition 4 Un mor…smo f : a ! b en una categoría C es mono en C si para todo par de
C-mor…smos g; h : c ! a, la igualdad f ± g = f ± h implica g = h. El simbolismo f : a ½ b es
usado para indicar que f es mono.
De…nition 5 Un mor…smo f : a ! b en una categoría C es epi en C si para todo par de
C-mor…smos g; h : b ! c, la igualdad g ± f = h ± f implica g = h. El simbolismo f : a ³ b es
usado para indicar que f es epi.
De…nition 6 Un mor…smo f : a ! b en una categoría C es iso, o invertible, en C si existe
un C-mor…smo g : b ! a tal que g ± f = 1 a y f ± g = 1b . El simbolismo f : a »
= b es usado para
indicar que f es iso.
10
1.1.2
Productos y coproductos
De…nition 7 Un producto en una categoría C de dos objetos a y b es un C-objeto a£b con una
pareja ¼1 : a£b ! a y ¼ 2 : a£b ! b de C-mor…smos, tal que para todo otro par de C-mor…smos
de la forma f : c ! a y g : c ! b existe exactamente un C-mor…smo hf; gi : c ! a £ b tal que
¼1 ± hf; gi = f y ¼2 ± hf; gi = g. Los mor…smos ¼1 y ¼ 2 son llamados las proyecciones y el
C-objeto a £ b es llamado un objeto producto de a y b.
De…nition 8 Si a£c y b£d son C-objetos producto, entonces para toda pareja de C-mor…smos
f : a ! b y g : c ! d, el mor…smo producto f £g : a£c ! b£d es el mor…smo hf ± ¼ 1; g ± ¼2i.
Lemma 9 Sea C una categoría con productos binarios
1. (f £ h) ± (g £ k) = (f ± g) £ (h ± k).
2. (f £ h) ± hg; ki = hf ± g; h ± ki.
De…nition 10 Un coproducto en una categoría C de dos objetos a y b es un C-objeto a + b
con una pareja i1 : a ! a + b e i2 : b ! a + b de C-mor…smos, tal que para todo otro par de Cmor…smos de la forma f : a ! c y g : b ! c existe exactamente un C-mor…smo [f; g] : a +b ! c
tal que [f; g] ± i1 = f y [f; g] ± i2 = g. Los mor…smos i1 y i2 son llamados las inyecciones y el
C-objeto a + b es llamado un objeto coproducto de a y b.
De…nition 11 Si a + c y b + d son C-objetos coproducto, entonces para toda pareja de Cmor…smos f : a ! b y g : c ! d, el mor…smo coproducto f +g : a +c ! b + d es el mor…smo
[i1 ± f; i2 ± g].
1.1.3
Igualadores, objeto terminal, objeto inicial
De…nition 12 Un C-mor…smo i : e ! a es un igualador de una pareja de C-mor…smos
f; g : a ! b si
(i) f ± i = g ± i, y
(ii) si para un C-mor…smo h : c ! a se tiene f ± h = g ± h entonces existe un unico C-mor…smo
k : c ! e tal que i ± k = h.
11
De…nition 13 Un C-objeto 1 es terminal en la categoría C si para todo C-objeto a, existe un
unico C-mor…smo 1 a : a ! 1.
De…nition 14 Un C-objeto 0 es inicial en la categoría C si para todo C-objeto a, existe un
unico C-mor…smo 0 a : 0 ! a.
1.1.4
Exponenciación
De…nition 15 Una categoría C tiene exponenciación si esta tiene un producto para todo par
de C-objetos y para todos C-objetos a y b existe un C-objeto [a ! b] y un C-mor…smo eva;b :
[a ! b]£a ! b llamada el mor…smo evaluación, tal que para todo C-objeto c y C-mor…smo g :
c£a ! b, existe un unico C-mor…smo curry (g) : c ! [a ! b] tal que eva;b ±(curry (g) £ ida ) = g.
De…nition 16 Sea C una categoría con exponenciación f : b ! a y g : c ! d C-mor…smos, el
¡
¡
¢¢
mor…smo exponencial de f y g, notada [f ! g], es [f ! g] = curry g ± eva;c ± id[a!c] £ f .
Lemma 17 Sea C una categoría con exponenciales,
1. id[a!b] = curry (ev a;b).
2. curry (k ± (f £ ida )) = curry (k) ± f .
3. curry (g ± h) = [ida ! g] ± curry (h).
4. curry (k ± (idc £ m)) = [m ! idb ] ± curry (k).
1.1.5
Hom-Set
De…nition 18 la colección de C-mor…smos cuyo dominio es a y codominio es b, con a y b dos
C-objetos, es llamada HomSet de a en b. Esta colección es notada HomC (a; b) o C (a; b).
1.2
Categorías Cartesianas Cerradas
De…nition 19 Una categoría C es cartesiana cerrada si tiene objeto terminal, productos
binarios y exponenciación.
Example 20 Categorías cartesianas cerradas:
12
1. Set es cartesiana cerrada.
2. Mon es cartesiana pero no cartesiana cerrada.
3. ConmMon es cartesiana cerrada.
1.3
Functores y Adjunciones
1.3.1
Functor
De…nition 21 Un functor de la categoría C a la categoría D es una aplicación F : C ! D
que asigna
(i) a cada C-objeto a; un D-objeto F (a) ;
(ii) a cada C-mor…smo f : a ! b; un D-mor…smo F (f ) : F (a) ! F (b), tal que
(a) F (1a ) = 1F (a) para todo C-objeto a
(b) F (g ± f ) = F (g) ± F (f) cuando g ± f este de…nida.
Si C = D entonces F es llamado endofunctor.
Proposition 22 Sea F : C ! D un functor, F (C) de…nida de la siguiente manera:
(i) b es un F (C)-objeto si existe a C-objeto tal que F (a) = b
(ii) g : F (a) ! F (b) es un F (C)-mor…smo si existe f : a ! b tal que g = F (f),
es una categoría.
Example 23 Functores:
1. Sea C una categoría donde los objetos son conjuntos con alguna estructura y los mor…smos
son funciones que preservan dicha estructura, por ejemplo Grp. El functor olvido U :
C ! Set toma cada C-objeto y lo envian en su conjunto subyacente y a cada C-mor…smo
lo envia en el mismo, es decir, ‘olvida’ la estructura.
2. Sean C y D categorías, a un D-objeto, el functor constante es
13
¡! D
Ka : C
7¡! a
b
#f
# ida
7¡! a
c
3. Sea C una categoría, el functor diagonal es
4: C
¡! C £ C
a
7¡! (a; a)
#f
# (f; f)
7¡! (b; b)
b
4. Sean C, D1 y D2 categorías, F : C ! D1 y G : C ! D2 functores, el bifunctor (F; G) es
(F; G) : C
a
¡! D1£D2
7¡! (F (a) ; G (a))
#f
b
# (F (f ) ; G (f))
7¡! (F (b) ; G (b))
Functor producto
De…nition 24 Sea C una categoría con productos binarios, entonces
£C : C £ C
¡! C
7¡! a £ c
(a; c)
# (f; g)
# f £g
7¡! b £ d
(b; d)
es el functor producto de C.
Functor coproducto
De…nition 25 Sea C una categoría con coproductos binarios, entonces
+C : C £ C
¡! C
7¡! a + c
(a; c)
# (f; g)
# f +g
7¡! b + d
(b; d)
14
es el functor coproducto de C.
Functor exponencial
De…nition 26 Sea C una categoría con exponenciales, entonces
!C : Cop £ C ¡! C
(a; c)
7¡! [a ! c]
# (f; g)
(b; d)
# [f ! g]
7¡! [b ! d]
es el functor exponencial de C.
1.3.2
Isomor…smo y equivalencia de categorías
De…nition 27 Un functor F : C ! D es iso si existe G : D ! C functor tal que 1C = G ± F y
1D = F ± G. Las categorías C y D son isomorfas, C »
= D, si existe F : C ! D iso.
De…nition 28 Un functor F : C ! D es una equivalencia de categorías si existe G :
D ! C functor tal que a »
= G ± F (a), b »
= F ± G(b) para todo C-objeto a y todo D-objeto b, y
C (a; c) »
= C (G ± F (a) ; G ± F (c)) y D (b; d) »
= D (F ± G (b) ; F ± G (d)) para todos C-objetos a; c
y todo D-objeto b; d. Las categorías C y D son equivalentes, C ' D, si existe F : C ! D
equivalencia de categorías.
1.3.3
Adjunción
De…nition 29 Una adjunción de C en D es un par de functores F : C ! D y G : D ! C
tales que para todo C-objeto a y todo D-objeto b, se tiene
Áab : C (a; G(b)) »
= D (F (a) ; b)
F es llamado el adjunto izquierdo de G y G el adjunto derecho de F.
Notación: A la colección de todos los isomor…smos Áab se les nota Á. Una adjunción suele
presentarse como una tripla hF; G; Ái.
15
1.4
Constructos
De…nition 30 Un constructo sobre la categoría C es una categoría donde los objetos son
C-objetos con alguna estructura T y los mor…smos son C-mor…smos que ‘preservan’ dicha estructura, es decir, D es un constructo sobre C si:
(i) (X; TX ) es un D-objeto , X es un C-objeto y TX es la estructura sobre X.
(ii) f es un D-mor…smo , f es un C-mor…smo que ‘preserva’ T .
Example 31 Constructos:
1. Grp es un costructo sobre Set, donde la estructura T es la estructura de grupo, es decir,
los Grp-objetos son conjuntos con la estructura de grupo y los Grp-mor…smos son los
homomor…smos de grupo (funciones que preservan la estructura de grupo).
2. Top es un constructo sobre Set, donde la estructura T es la de espacio topológico y los
mor…smos son las funciones continuas.
De…nition 32 Sea D un constructo sobre C, el functor olvido U : D ! C es aquel que toma
cada D-objeto (X; TX ) y lo envia en su C-objeto base X y a cada D-mor…smos f en el mismo,
es decir, ‘olvida’ la estructura.
1.5
Teorema de Punto Fijo
Cuando se desarrolla la semántica denotacional de un lengua je es necesario encontrar soluciones
a ecuaciones, sean éstas recursivas o no, que son usadas para expresar constructores sintácticos
del mismo.
Si un conjunto de ecuaciones recursivas se consideran como functores sobre alguna categoría,
la noción de un punto …jo inicial permite hablar de soluciones mínimas a ellas. Por ejemplo, en
una categoría K con productos binarios, una solución a la ecuación que expresa árboles binarios
simples (T »
= T £T), se puede expresar categóricamente como un isomor…smo f : T ! £±4 (T),
donde T es un K-objeto y £, 4 son los functores producto y diagonal respectivamente.
En esta sección se presentan algunas condiciones para los functores que garantizan la existencia
de tales isomor…smos, es decir, una solución a tales ecuaciones.
16
1.5.1
Functor continuo
De…nition 33 Sea I un conjunto parcialmente ordenado y C una categoría. Un diagrama
indexado por I sobre C es un functor 4 : I ! C. Si I es dirigido se dice que 4 : I ! C, o
simplemente 4, es un diagrama dirigido.
De…nition 34 Un cocono sobre un diagrama 4 es una familia f¹i gi2I de C-mor…smos indexada por I y un C-objeto a tales que:
(i) ¹i : 4 (i) ! a para todo i 2 I
(ii) para todo i; j 2 I, si i
j entonces ¹i = ¹j ± 4 (i
j).
se escribe ¹ : 4 ! a para indicar que f¹igi2I y a forman un cocono sobre 4.
De…nition 35 Sean ¹ : 4 ! a y À : 4 ! e dos coconos sobre 4, un C-mor…smo f : a ! e
se dice mediador de ¹ en À si se tiene que vi = f ± ¹i para todo i 2 I. Se usa la notación
f : ¹ ! À para los mor…smos mediadores.
De…nition 36 Un cocono ¹ : 4 ! a es un colímite del diagrama 4 si para todo otro cocono
À : 4 ! e, existe una único mor…smo mediador f : ¹ ! À.
De…nition 37 Una categoría C se dice cocompleta si todo diagrama dirigido sobre C tiene
colimite.
De…nition 38 Un functor F : C ! D se dice continuo si preserva colímites de diagramas
dirigidos, es decir si ¹ : 4 ! d es un colímite del diagrama dirigido 4 entonces F (¹) : F (4) !
F (d) es un colímite de F (4).
Example 39 Funtores continuos:
1. El functor constante Ka : C ! D es continuo.
2. El functor identidad Id : C ! C es continuo.
3. Si F : C ! D1 y G : C ! D2 son functores continuos (F; G) : C ! D1 £ D2 es functor
continuo.
17
1.5.2
F-Algebras
De…nition 40 Sea K una categoría y F : K ! K un endofunctor. Una F-Algebra es una
pareja (a; f ), donde a es un K-objeto y f : F (a) ! a es un K-mor…smo.
De…nition 41 Un F-homomor…smo h : (a; f) ! (b; g) es un K-mor…smo h : a ! b tal que
el siguiente diagrama conmuta:
F (h)
F (a)
¡!
#f
a
F (b)
#g
¡!
b
h
Lemma 42 F-Alg es una categoría donde los objetos son F-álgebras, los mor…smos son los
F-homomor…smos, la composición y las identidades son heredadas de K.
Lemma 43 Si una F-álgebra (a; f ) es inicial en F-Alg entonces f es un isomor…smo.
Una F-álgebra (a; f ) inicial es a veces llamada un punto …jo de F.
Theorem 44 Sea K una categoría con un objeto inicial ? y F : K ! K un endofunctor. Sea
4 : ! ! K el siguiente diagrama:
! :?! F (?)
4= ?
¡!
F 2 (! :?! F (?))
F (! :?! F (?))
F (?)
¡!
F 2 (?)
¡!
:::
4¡ = 4 sin el objeto ? y el mor…smo ! :?! F (?).
Si ¹ : 4 ! a y F (¹) : F (4) ! F (a) son colímites, entonces (a; k) , donde k : F (a) ! a
es el mor…smo mediador de F (¹) al cocono ¹¡ : 4¡ ! a, es una F-álgebra inicial.
Demostración: Una prueba de este teorema se puede encontrar en [P IERCE91].¤
1.6
O-categorías
En la sección anterior se presentaron condiciones para los functores que garantizan soluciones a
las ecuaciones que representan. Tomando como base los desarrollos hechos por Smitt y Plotkin,
18
en esta sección se presentan condiciones sobre la categoría que facilitan la busqueda de tales
soluciones.
La idea fundamental es encontrar una subcategoría K¤ (de la categoría considerada como
modelo semántico K) tal que:
1. a es un K-objeto , a es un K¤-objeto.
2. f : a ! b es un isomor…smo en K , f : a ! b es un isomor…smo en K¤.
3. K¤ es cocompleta.
4. K¤ tiene objeto inicial.
Las dos primeras condiciones aseguran que si se encuentra una solución a una ecuación recursiva
en K¤ ésta también será solución en K y las dos ultimas garantizan que se puede aplicar el
teorema 44.
Con la noción de O-categoría se puede introducir el concepto de inmersión, el cual permite
de…nir subcategorías (notadas KE
¤ ), que cumplen las dos primeras condiciones, pero para las
cuales los functores de…nidos sobre la categoría K pueden ya no serlo al restringirlos a ellas. Una
condición sobre los functores originales muy útil, aunque no su…ciente, para que al restringirlos
a la subcategoría sigan siendo functores, es la de ser localmente continuo.
Finalmente se muestra que si ademas la categoría tiene KE
¤ -colímites localmente determinados
se pueden resolver ecuaciones recursivas.
De…nition 45 Una categoría K es llamada O-categoría si
(i) para todo par de K-objetos a, b el conjunto K (a; b) esta dotado con un orden parcial
completo vK(a;b) .1
(ii) la composición de K-mor…smos es continua respecto a los ordenes, es decir, µsi ffi g¶i2I
F
F
es dirigido en K (a; b) y fgi gi2I es dirigido en K (b; c) entonces
(gi ± f i) =
gi ±
i2I
i2I
µ
¶
F
fi .
i2I
1
Vease el capítulo 2. Relaciones de Orden.
19
Lemma 46 Sea K una O-categoría, f; g : a ! b tales que f v g.
1. Si h : b ! c entonces h ± f v h ± g.
2. Si h : c ! a entonces f ± h v g ± h.
Demostración: obvia.
F
F
F
1: fh ± f; h ± gg = fhg ± ff; gg (K O-categoría)
= h ±g
(f v g).
Por de…nición de se tiene que h ± f v h ± g.
F
F
F
2: ff ± h; g ± hg = ff; gg ± fhg (K O-categoría)
F
Por de…nición de
F
= g±h
(f v g).
se tiene que f ± h v g ± h.¤
Lemma 47 Si K es una O-categoría entonces
1. K £ K es una O-categoría.
2. Kop£K es una O-categoría.
De…nition 48 Sea K una O-categoría, f : a ! b y f R : b ! a K-mor…smos, f es llamado una
inmersión y f R una proyección si f R ± f = ida y f ± f R v idb.
Lemma 49 Si K es una O-categoría, f : a ! b y g : b ! c inmersiones, entonces g ± f es
inmersión y (g ± f)R = f R ± g R.
Demostración:
h
i
(g ± f)R ± (g ± f ) = ida
(g ± f )R ± (g ± f) = f R ± g R ± g ± f (def (g ± f)R )
= f R ± idb ± f
(g inmersión)
= fR ± f
= ida
h
i
(g ± f) ± (g ± f)R v idc
f ± f R v idb
(f inmersión).
(f inmersión)
g ± f ± f R v g ± ida ( ± continua)
g ± f ± f R ± g R v g ± gR
(g ± f ) ± (g ± f )R v idc
( ± continua)
(g inmersión).¤
20
De…nition 50 Sea K una O-categoría, la categoría de inmersiones de K, escrita KE, es
la categoría que tiene como objetos los objetos de K y como mor…smos los K-mor…smos que son
inmersiones.
Proposition 51 Sean K una O-categoría, ¹ : 4 ! a un cocono en KE, v : 4 ! d cocono en
K para el diagrama dirigido 4 : I ! KE, i; k 2 I.
k)R ± ¹R
k.
1. Si i
k entonces ¹R
i = 4 (i
2. Si i
R
k entonces vi ± ¹R
i v vk ± ¹k .
3.
©
vi ± ¹R
i
ª
i2I
es v-dirigido.
4. vi ± ¹R
i ± ¹k v vk .
5.
F¡
i2I
¢
vi ± ¹R
i ± ¹k = vk .
Demostración:
1: Se sigue del lema 49.
4 (i
k) ± 4 (i
k)R v idk
(4 (i
vk ± 4 (i
k) ± 4 (i
k)R v vk
(parte 1 lema 46)
2:
vk ± 4 (i
k) inmersión)
k) ± 4 (i
R
k)R ± ¹R
k v vk ± ¹k (parte 2 lema 46)
vi ± 4 (i
R
k)R ± ¹R
k v vk ± ¹k (v : 4 ! d cocono)
v i ± ¹R
v vk ± ¹R
i
k (parte 1).
3: Se sigue de la parte 2.
R
4: vi ± ¹R
i ± ¹k v vk ± ¹k ± ¹k (parte 2)
v vk
(¹k inmersión).
5: Se sigue de 4.¤
Corollary 52 La función e¹;v =
F¡
i2I
Demostración:
¢
vi ± ¹R
es un mor…smo mediador de ¹ en v.
i
©
ª
¢
F¡
[bien de…nida] Por 3 vi ± ¹R
vi ± ¹R
i i2I es v-dirigido.y como K es una O-categoría
i existe.
i2I
[e¹;v mediador]
21
e¹;v ± ¹k =
F¡
i2I
vi ± ¹R
i ± ¹k
= vk
¢
(def e¹;v)
(parte 4).¤
De…nition 53 Sea K una O-categoría, 4 : I ! KE un diagrama dirigido, ¹ : 4 ! a un
¢
F¡
2
cocono en KE es llamado un O-colímite de 4 si
¹i ± ¹R
i = ida .
i2I
E
E
De…nition 54 Sea K una O-categoría y KE
¤ una subcategoría K¤ . Se dice que K tiene K ¤ -
colímites localmente determinados si,
¹ : 4 ! a es colímite en KE
¤ , ¹ : 4 ! a es O-colímite de 4.
Proposition 55 Sea K una O-categoría, si ¹ : 4 ! a es O-colímite en KE y v : 4 ! d es
cocono en KE , la función e¹;v del corolario 52 es una inmersión y eR
¹;v = ev;¹.
Demostración:
[ev;¹ ± e¹;v = ida ]
ev;¹ ± e¹;v = ev;¹ ±
=
F
j2I
=
i2I
vi ± ¹R
i
¹j ± vR
j ±
F¡
i2I
=
F¡
F¡
i2I
¹i ±
vR
i
¹i ± ¹R
i
= ida
[e¹;v ± ev;¹ v idd ]
e¹;v ± ev;¹ (X) = e¹;v ±
=
F
j 2I
=
i2I
=
i2I
v idd
¢
F¡
vi ± ¹R
(def ev;¹)
i
± vi ± ¹R
i
¢
F
¢
(proposición 51)
(vi inmersión)
(¹ : 4 ! a O-colímite).
¹i ± viR
vj ± ¹R
j ±
F¡
(def e¹;v)
i2I
i2I
F¡
¢
S
i2I
¹i ± viR (def e¹;v )
R
vi ± ¹R
i ± ¹i ± vi
vi ± vR
i
¢
(def ev;¹)
¢
(proposición 51)
(¹i inmersión)
(vi ± viR (X) v idd (X ) para todo i 2 I).¤
E
E
Corollary 56 Si KE
¤ es una subcategoría de K y e¹;v es un K¤ -mor…smo para todo v : 4 ! e
E
cocono en KE
¤ entonces ¹ : 4 ! a es colímite en K¤ .
2
©
ª
Se sigue de la proposición anterior ¹ i ± ¹ R
i i2I es dirigido en K (a; b).
22
Demostración:
[e¹;v mediador] Se sigue del corolario 52
[unicidad de e¹;v ] Sea f : ¹ ! v mediador entonces
F¡
¢
f =f ±
¹i ± ¹R
(¹ : 4 ! a O-colímite)
i
i2I
F¡
f ± ¹i ± ¹R
i
i2I
¢
F¡
=
vi ± ¹R
i
=
¢
(proposición 51)
(f : ¹ ! v mediador)
i2I
= e¹;v
(def e¹;v).¤
De…nitionµ57 Sean
¶ K y L O-categorías, un functor F : K ! L es llamado localmente conF
F
tinuo si F
fi =
F (f i) para toda ffi : a ! bgi2I colección dirigida en K (a; b).
i2I
i2I
Proposition 58 Sean K y L O-categorías, Si F : K ! L es un functor localmente continuo
y f : a ! b es inmersión en K entonces F (f) : F (a) ! F (b) es inmersión en L y F (f )R =
¡ ¢
F fR .
Demostración:
£ ¡ R¢
¤
F f ± F (f ) = idF(a)
¡ ¢
¡
¢
F f R ± F (f ) = F f R ± f (F functor)
= F (ida )
(f inmersión)
= idF (a)
(F functor).
£
¡ R¢
¤
F (f) ± F f v idF(b)
¡ ¢
¡
¢
F (f ) ± F f R = F f ± f R (F functor)
v F (idb)
(F localmente continuo)
v idF (b)
(F functor).¤
Corollary 59 F E : K E! LE de…nido de la siguiente manera
F E : KE ¡! LE
a
7¡! F (a)
#f
b
# F (f)
7¡! F (b)
es un functor.
23
Proposition 60 Sean K y L O-categorías, F : Kop£K ! L localmente continuo, f : a ! b y
¡
¢
¡
¢R
¡
¢
g : c ! d inmersiones entonces F f R; g es inmersión y F f R; g = F f; gR .
Demostración:
£ ¡ R¢
¡
¢
¤
F f; g ± F f R; g = idF (a;c)
¡
¢
¡
¢
¡
¢
F f; g R ± F f R; g = F f ± f R; g R ± g (F functor)
(f ± f R en Kop es f R ± f en K, f; g inmersiones)
= F (ida ; idc)
= idF(a;c)
(F functor).
£ ¡ R ¢
¡ R¢
¤
F f ; g ± F f; g v idF (b;d)
¡
¢
¡
¢
¡
¢
F f R; g ± F f; g R = F f R ± f; g ± gR (F functor)
(f ± f R en Kop es f R ± f en K, f; g inmersiones,
v F (idb ; idd)
F localmente continuo)
v idF(b;d)
(F functor).¤
Corollary 61 F E : K E £ KE! LE de…nido de la siguiente manera
F E : K E £ KE ¡! LE
(a; c)
# (f; g)
(b; d)
7¡! F (a; c)
¡
¢
# F f R; g
7¡! F (b; d)
es un functor.
Theorem 62 Sean K y L O-categorías y F : K ! L un functor, tales que:
1. K tiene KE
¤ -colímites localmente determinados,
2. L tiene LE
¤ -colímites localmente determinados, y
3. F : K ! L es localmente continuo.
E
Si F¤E : KE
¤ ! L¤ de…nido de la siguiente manera es un functor
F¤E KE
¡! LE
¤
¤
a
7¡! F (a)
#f
b
# F (f)
7¡! F (b)
24
entonces F¤E es continuo.
Demostración:
©
ª
R
Si ¹ : 4 ! a es un colímite en KE
¤ por (i) ¹ : 4 ! a es un O-colímite, por lo tanto ¹i ± ¹i i2I
¡ ¢
¡
¢
R
es dirigido en K (a; a). Como F es localmente continuo y F (¹i )±F ¹R
i = F ¹i ± ¹i entonces
©
¡ ¢ª
F (¹i) ± F ¹R
es dirigido en K(F (a) ; F (a)). Ademas
i
i2I
idF (a) = F (ida )
µ
¶
F
R
=F
¹i ± ¹i
=
F
i2I
=
(F functor)
(¹ : 4 ! a O-colímite)
i2I
¡
¢
F ¹i ± ¹R
i
(F localmente continuo)
¡ ¢¢
F¡
F (¹i ) ± F ¹R
(F functor).
i
i2I
Como F (¹) : F (4) ! F (a) es un O-colímite por (ii) F (¹) : F (4) ! F (a) es un colímite en
E
LE
¤ , entonces F¤ es continuo.¤
Corollary 63 Si F : Kop £K ! L es localmente continuo entonces F¤E es continuo.
E
E
Corollary 64 Si KE
¤ tiene objeto inicial y K¤ es completa entonces F¤ tiene un punto …jo.
1.6.1
Semántica denotacional y O-categorías
De acuerdo a los resultados de las secciones 1.5 y 1.6, los pasos seguidos en el desarrollo de
una categoría que sirva como modelo para la semántica denotacional de un lenguajes de programación son los siguientes:
1. De…nir la categoría K que se considera modelo, esto es de…nir los objetos (dominios
semánticos) y los mor…smos (aplicaciones que re‡ejan la noción de computo).
2. Probar que K es una O-categoría, (premisa teorema 62) y caracterizar las nociones de
inmersión y proyección en tal categoría.
3. Si es necesario, establecer una propiedad adicional P sobre las inmersiones, tal que los
objetos de la O-categoría K con las inmersiones que cumplan tal propiedad formen una
subcategoría KE
¤.
4. Probar que la O-categoría K tiene KE
¤ -colímites localmente determinados (condiciones 1
y 2 del teorema 62).
25
5. Mostrar que la subcategoría KE
¤ tiene objeto inicial y es cocompleta (corolario 64).
6. Mostar que la O-categoría K es cartesiana cerrada y que los functores producto (£) y
exponencial (!) son localmente continuos (condición 3 del teorema 62).
7. Probar que operaciones como suma colapsada (©), suma separada (+), y levantado (?), se
pueden representar por medio de functores y que tales functores son localmente continuos
(condición 3 del teorema 62).
8. Garantizar que cada uno de dichos functores, restringidos a la subcategoría K E
¤ es un
functor (teorema 62).
26
Chapter 2
Ordenes, CPOs y Dominios
La teoría matemática de la semántica de los lenguajes de programación desarrollada por D.
Scott y C. Strachey a comienzos de los años 70, está basada sobre la idea de órdenes parciales
de información. En este enfoque se considera que:
1. Los elementos de un conjunto representan información parcial.
2. La relación de orden re‡eja el incremento de la información a medida que se realiza un
cómputo.
3. Las funciones entre órdenes re‡ejan las siguientes propiedades usuales en un cómputo:
(a) Monotonía: a mayor información (fuertemente consistente) de entrada se debe obtener
mayor información (fuertemente consistente) de salida. Aquí, información fuertemente consistente se re…ere a que dos unidades (tokens) cualesquiera de información
no son contradictorios entre sí.
(b) Completitud: la información obtenida al computar todo un conjunto de información
fuertemente consistente es la unión de la información obtenida al computar cada
parte de la misma.
Aunque los CPOs cumplen las tres primeras características que debe poseer un modelo para la
semántica de lenguajes de programación; esto es, representación de tipos primitivos, clausura
bajo ciertas operaciones y solución de ecuaciones recursivas, no tienen una satisfactoria noción
27
de computabilidad. Es decir, no se pueden mostrar todos los elementos como una aproximación
de los elementos …nitamente computables. Los CPOs algebraicos son CPOs que poseen esta
última característica. El problema con los CPOs algebraicos es que la segunda característica
(clausura de operaciones) no se tiene totalmente: nada garantiza que los operadores deseados
aplicados sobre CPOs algebraicos resulten ser CPOs algebraicos. Esto sucede con el operador
espacio de funciones (cómputos).
Los CCPOs son órdenes en los que no se habla de una consistencia fuerte como en los CPOs,
sino de una consistencia debil. La importancia de este concepto es evidente en los CCPOs
algebraicos, el espacio de funciones resulta ser CCPO algebraico! De esta manera, los CCPOs
algebraicos se convierten en un modelo para la semántica que cumple las cuatro primeras
propiedades presentadas en la Introducción. A los CPOs algebraicos se les conoce como dominios
de Scott o simplemente dominios.
2.1
Preliminares
De…nition 65 Sean A; B dos conjuntos, f : A ! B una función. La función }(f ) : } (A) !
} (B) que asigna a cada subconjunto X de A su conjunto imagen a través de f , es decir:
} (f ) (X) = f f (a) j a 2 Xg es llamada la función partes de f:1
Lemma 66 Sean A; B conjuntos y f : A ! B una función.
1. Sea X µ A, si Y µ X ) f (Y ) µ f (X).
2. Sea fXi gi2I µ } (A) entonces
Demostración:
1: (obvia )
S
f (Xi ) = f
i2I
µ
S
i2I
µ
S
¶
Xi .
¶
S
2: (µ) De la parte 1 se tiene f (Xk ) µ f
Xi para todo k 2 I, entonces
f (Xi ) µ
i2I
i2I
µ
¶
S
f
Xi .
i2I
µ
¶
S
S
S
(¶) Sea y 2 f
Xi por lo tanto existe x 2
Xi tal que y = f(x). Pero si x 2
Xi existe
i2I
i2I
i2I
S
Xk 2 fXig i2I tal que x 2 Xk y de aqui que y = f (x) 2 f (Xi), entonces y 2
f (Xi ) :¤
i2I
1
Como es usual, se usará la notación ambigua f (X) para denotar }(f) (X)
28
De…nition 67 Sean A; B dos conjuntos, el producto de A y B, se de…ne como A £ B =
f(a; b) j a 2 A y b 2 Bg. Las proyecciones
¼1 : A £ B
!
A
y
¼2 : A £ B
7¡! a
(a; b)
(a; b)
!
A
7¡! b:
De…nition 68 Sean A; B dos conjuntos, la unión disyunta de A y B, se de…ne como A]B =
f1g £ A [ f2g £ B. Las inyecciones
i1 : A
!
A
a 7¡!
U
B
(1; a)
e
i2 : B
b
!
A
U
B
7¡! (2; b):
Lemma 69 Sea X µ A e Y µ B entonces i1 (X) = f1g £ X e i2 (Y ) = f2g £ Y .
Demostración: directa de la de…nición.¤
Notación Se usarán las siguientes notaciones ambiguas: a £ X para fag £ X y 0 para (2; ¤) y
f(2; ¤)g.
2.2
Conjuntos Parcialmente Ordenados
De…nition 70 Sea P un conjunto. Un orden (orden parcial) sobre P es una relación binaria
sobre P tal que para todo x; y; z 2 P se cumple:
( i) x
( ii ) six
( iii ) si x
x (re‡exividad).
y, y y
y, y y
x entonces x = y (antisimetría).
z entonces x
z (transitividad).
Un conjunto P dotado de un orden
, notado (P; ), es llamado un conjunto ordenado
( parcialmente ordenado). Una relación que satisface (i) y (iii) se llama un preorden, y un
conjunto dotado con un preorden se denomina conjunto preordenado. Si dos elementos x y
y no se relacionan mediante
, se dice que no son comparables y se nota x¨y.
29
2.2.1
Máxima cota inferior, mínima cota superior
De…nition 71 Sea (P; ) un conjunto ordenado y sea S µ P.
( i ) a 2 Q es el mínimo elemento de S si a
x para todo x 2 S.
( ii ) a 2 Q es el máximo elemento de S si x
a para todo x 2 S.
Cuando existe el elemento máximo de un conjunto ordenado (P; ) es notado > y cuando el
elemento mínimo de (P; ) existe es notado ?.
De…nition 72 Sea (P; ) un conjunto ordenado y sea S µ P.
( i ) Un elemento x 2 P es una cota superior de S si s
( ii ) Un elemento x 2 P es una cota inferior de S si x
x para todo s 2 S.
s para todo s 2 S.
El conjunto de todas las cotas superiores de S, notado S u y se de…ne así:
S u = fx 2 P j x es cota superior de Sg = fx 2 P j (8s 2 S) (s
x)g :
El conjunto de todas las cotas inferiores de S, denotado S l , como
Sl = fx 2 P j x es cota inferior de Sg = fx 2 P j (8s 2 S) (x
s)g :
De…nition 73 Sea (P; ) un conjunto ordenado y sea S µ P.
( i ) Si S u tiene un elemento mínimo dicho elemento es llamado la mínima cota superior o
W
supremo de S y es notado S o sup S, es decir
x es el supremo de S , x es el mínimo de S u:
( ii ) Si S l tiene un elemento máximo dicho elemento es llamado la máxima cota inferior o
V
ín…mo de S y es notado S o inf S, es decir
x es el in…mo de S , x es el máximo de S l :
Se acostumbra a denotar supfx; yg como x _ y y en lugar de inf fx; yg se escribe x ^ y.
W
W
V
Si S = P; P existe si y solo sí P tiene máximo y en tal caso P = >; ademas P existe si y
V
W
solo sí P tiene mínimo y se tiene que P =?. Si S = ;, ; existe si y solo sí P tiene mínimo
W
V
V
y, en tal caso ; = ? ; ademas ; existe si y solo sí P tiene máximo y, en tal caso ; = >:
30
2.2.2
Conjunto dirigido, orden consistente
De…nition 74 Sea (P; ) un conjunto ordenado y sea S µ P,
(i) S se dice dirigido si S 6= ; y todo subconjunto …nito2 de S tiene una cota superior en S,
es decir,
S es dirigido , S 6= ; y para todo F b S existe z 2 S tal que z 2 F u.
(ii) S se dice consistente si todo subconjunto …nito de S tiene una cota superior en P, es
decir,
S es consistente , para todo F b S existez 2 P tal que z 2 F u .
Se usa la notación D v P y
F
D en lugar de
W
D cuando D es un conjunto dirigido en P.
Además, se usará la notación S 6 P cuando S es conjunto consistente en P.3
2.2.3
Ideales sobre conjuntos ordenados
De…nition 75 Sean P = (P; ) un conjunto ordenado y S µ P dirigido. S se dice ideal sobre
P si es inferior, es decir, para todo elemento en S se tiene que los elementos que estan por
debajo de él también están en S, en otras palabras,
S µ P es un ideal sobre P ,S v P y para todo x 2 S si y
x ) y 2 S:
La colección de los ideales de P es notada Idl (P) :
2.3
Retículos
De…nition 76 Sea (P; ) un conjunto ordenado no vacío,
(i) P es llamado un retículo si para todo x; y 2 P existen x _ y y x ^ y.
(ii) P es llamado un retículo completo si para todo S µ P existen
W
Sy
V
S.
Nota. Es claro que en un retículo completo siempre existen_> y ?; ya que si S = ; entonces
V
W
S = > y S = ?:
2
El simbolo b es usado para denotar subconjunto …nito, p or ejemplo, F b S , signi…ca que F es un sub conjunto
…nito de S .
3
Claramente el conjunto ; es consistente.
31
2.3.1
Semi-retículos
De…nition 77 Sea (P; ) un conjunto ordenado,
(i) P se llama un semi-retículo inferior si y solo si
P tiene infs de subconjuntos …nitos.
(ii) P se llama un semi-retículo superior si y solo si
P tiene sups de subconjuntos …nitos.
2.3.2
V
F existe para todo F b P, es decir,
W
F existe para todo F b P, es decir,
CPOs
De…nition 78 Un conjunto ordenado (P; ) se dice que es un CPO, Conjunto Parcialmente Ordenado Completo, si:
(i) Existe ?2 P tal que ?
x para todo x 2 P.
(ii) Para todo D v P se tiene que
Example 79 CPOs
F
D 2P.
1. Cualquier retículo completo es un CPO.
2. N? es un CPO.
3. Sea X un conjunto, partes de X , notado }(X), con el orden inducido por µ, es un retículo
W
S
V
S
completo en el cual fAi : i 2 Ig =
Ai e fAi : i 2 Ig =
Ai .
i2I
2.4
2.4.1
i2I
Dominios
Conjunto orden consistente
De…nition 80 Un conjunto ordenado (P; ) se dice orden consistente si todo subconjunto
consistente de P tiene sup en P; es decir4
4
En un conjunto orden consistente el conjunto vacio es consistente entonces sup ; debe existir en P; este hecho
garantiza la existencia de un elemento mínimo en P:
32
(P; ) es orden consistente , para todo S 6 P se tiene que
W
S 2 P:
Notación: Si un conjunto ordenado (P; ) es orden consistente se dira que es CCPO.
Lemma 81 Sea (P; ) un conjunto ordenado, existen sups de consistente , existen sups de
dirigidos y sups de acotados superiormente.
Demostración :
[)] Si D es conjunto dirigido en P es obvio que D es conjunto consistente en P por lo tanto sup
de D existe. Si D es acotado superiormente existe x 2 P cota superior de D. De esta manera
x es cota superior de todo F b D, entonces D es consistente y por lo tanto sup de D existe.
[(] Si D es consistente y F b D es claro que F es acotado superiormente entonces existe sup
W
W
W
de F , de…na D¤ = f F j F b Dg, y sean F1; F2 b D, por lo tanto F1 y F2 pertenecen
W
a D ¤, además, F1 [ F2 b D entonces (F1 [ F2 ) también pertenece a D ¤. Obviamente D ¤
W
es dirigido por lo cual D¤ existe, ahora D µ D¤, ya que todos los singletons están en D ¤,
W
entonces D ¤ es cota superior de D por lo tanto existe sup de D.¤
Corollary 82 Sea (P; ) un CCPO entonces (P; ) es CPO.
2.4.2
CPO algebráico
De…nition 83 Sea (P; ) un CPO.
(i) Sea k 2 P; k es llamado elemento …nito si para todo conjunto dirigido D en P se tiene
F
que si k
D entonces k d para algún d 2 D.
El conjunto de los elementos …nitos de P es notado F(P) o P 0. Evidentemente, el elemento
mínimo de un CPO es elemento …nito.
(ii) P es llamado algebraico si para cada a 2 P se tiene que a =
Estas nociones provienen de unas similares en retículos completos.
De…nition 84 Sea (P; ) un retículo completo.
33
F
fk 2 F(P) j k
ag.
(i) Sea k 2 P; k es llamado elemento compacto si para todo D subconjunto de P se tiene
W
que si k
D entonces k d para algún d 2 D. El conjunto de los elementos compactos
de P es notado K(P).
(ii) (P; ) se dice algebraico si para cada a 2 P se tiene que a =
De…nition 85 Un conjunto ordenado (D; )
W
fk 2 K(P ) j k
ag :
(i) Se dice dominio ( dominio de Scott )5 , si es CCPO algebraico.
(ii) Se dice dominio contable o $¡ dominio si es dominio y D0 es contable.
Lemma 86 Sea (D; ) un CPO y K b D0. Si
Demostración :
Sea S un conjunto dirigido de D tal que
W
K
W
F
K 2 D entonces
W
K 2 D0.
S;entonces para cada k 2 K existe sk 2 S tal
sk . Sea T el conjunto fomado por todos estos sk 2 S, claramente T b S y como S es
W
dirigido existe s 2 S cota superior de T. Por transitividad s es cota superior de K y K s,
W
entonces K es …nito.¤
que k
Corollary 87 Sea (D; ) un CCPO y S µ D0, S
D ,S
D 0.
Demostración :
[)] Sea S µ D 0 tal que S D. Si K b S se tiene que K es acotado superiormente, como D
W
W
es CCPO K 2 D y del lema se sigue que K 2 D 0.
[(] obvia.¤
2.5
Mor…smos entre Ordenes
De…nition 88 Sean (P; ) y (Q; ) conjuntos ordenados, un mor…smo ' : (P; ) ! (Q; ) se
llama
(i) Monótono o función que preserva el orden si x
y en P implica que '(x)
'(y) en
Q
5
Se da el nombre de dominio de Scott en lugar a dominio en honor a Dana Scott, quien desarrollo esta noción.
34
(ii) Inmersión de orden si x
y en P si y solo sí '(x)
'(y) en Q
(iii) Isomor…smo de orden si es una inmersión de orden sobreyectiva.
Cuando ' : (P; ) ! (Q; ) es una inmersión de orden se escribe ' : (P; ) ,! (Q; ): Si existe
un isomor…smo entre (P; ) y (Q; ) se dice que (P; ) y (Q; ) son orden-isomorfos y se
escribe (P; ) »
= (Q; ).
De…nition 89 Sean (P; ) y (Q; ) CPOs, un mor…smo ' : P ! Q se dice función continua si preserva los supremos de conjuntos dirigidos de P; es decir,
F
F
' : P ! Q es función continua , si para todo D v P se tiene que ' ( D) = ' (D).
De…nition 90 Sean (P; ) y (Q; ) CPOs, f : P ! Q, g : Q ! P funciones continuas. La
pareja (f; g) es llamada pareja inmersión proyección (pip), si para todo x 2 P; g± f (x) = x
y para todo y 2 Q; f ± g (y)
Q
y:
Example 91 Funciones continuas
1. Sea f : A ! B, } (f ) : } (A) ! } (B) es continua.
2. i1 : }(A) ! } (A
U
B) e i2 : }(B) ! } (A
U
B) son continuas.
3. ¼1 : }(A £ B) ! }(A) y ¼2 : } (A £ B) ! } (B) son continuas.
2.6
Categorías de Ordenes
Lemma 92 Sean (P; ), (Q; ) y (R; ) CPOs, f : P ! Q, g : Q ! R funciones continuas,
g ± f : P ! R es función continua.
Demostración : Sea D v P,
F
F
g ± f ( D) g (f ( D))
F
= g ( f (D))
F
= g (f (D))
F
= (g ± f (D))
(def. ± )
(f continua)
(g continua)
(def. ± ).¤
35
Lemma 93 Sea (P; ) un CPO, la función identidad idP : P ! P es función continua.
Demostración : (inmediata) Sea D v P,
F
F
idP ( D) = D
(def. idP )
F
= idP (D) (def. idP ).¤
Proposition 94 CPO es una categoría donde los objetos son CPOs y los mor…smos son las
funciones continuas.
Demostración: inmediata por los lemas 92 y 93.¤
De…nition 95 Sean D =(D;
f
Lemma 96 Sean D =(D;
respecto a
D)
y E =(E;
g , f (x)
D ),
E =(E;
E
E)
E)
CPOs, f; g : D ! E funciones continuas,
g (x) para todo x 2 D.
CCPOs y ffi : D ! Eg i2I dirigida (consistente)
.
1. ffi (x)g i2I es dirigida (consistente) en E para todo x 2 D:
2. f : D ! E de…nida por f (x) =
W
fi (x) es una función continua.
i2I
3. CPO(D; E) es un CPO (CCPO).
Demostración :
1: Sea W b I, como ffi gi2I es dirigido (consistente) existe g : D ! E tal que fk
k 2 W , por lo tanto fk (x)
E
g para todo
g (x) para todo x 2 D. Claramente, g (x) es cota superior de
ffk gk2W entonces ffi (x)gi2I es dirigido (consistente) en E.
2: Sea T v D y x 2 T.
(f (T ) dirigido) Si K b T existe z 2 T cota superior de K entonces como cada fi preserva el
W
W
orden se tiene que fi (k) E f i (z) para todo k 2 K. Ahora gracias a 1
fi (k) ; fi (z) 2 E y
i2I
i2I
W
W
a que cada fi preserva el orden
fi (k) E
f i (z), es decir, f (k) E f (z) para todo k 2 K.
i2I
i2I
Entonces f (T) es dirigido en E ya que f (z) 2 f (T ).
F
F
( f (T) E f ( T ))
36
W
fi (x)
E
fi (x)
E
i2I
F
fi ( T )
(fi preserva orden)
W
F
fi ( T) (fi preserva orden)
i2I
f (x)
F
f (T )
(def f)
F
F
( f (T) mínima cota superior).
E f ( T)
F
f (T ))
E
W
fi (x) (transitividad del orden)
fk (x)
E
E
F
f (T)
F
(f ( T)
i2I
E
F
fi (x)
E
x2T
f (x)
(def f)
F
f (x) (transitividad del orden)
x2T
F
fi (T )
F
fi ( T )
W
F
fi ( T )
E
E
E
i2I
F
f ( T)
3: Inmediata.¤
E
F
F
F
F
f (T )
(obvio)
f (T )
(fi continua)
W
F
( fi ( T ) mínima cota superior)
f (T )
i2I
f (T )
(def f).
Lemma 97 Sean C =(C;
C)
D =(D;
y fgi gi2I vCPO(D;E) -dirigida. Entonces
Demostración :
y E =(E; E) CPOs, ffi gi2I vCPO(C;D) -dirigida
F
F
gi ±
fj =
(gi ± f i).
D)
F
i2I
j2I
i2I
[ ] Sean i; j 2 I, como I es dirigido existe k 2 I tal que i
gi ± fj (x)
F F
i2I
[¸]
gi ±
F
fj (x)
j2I
F
gj ± fj (x)
F
fj (x)
gj ±
F
F
j 2I
gi ±
i2I
(gi ± fi ) (x)
(gi ± fi) (x) (gi continua).
i2I
j2I
i2I
fk y gi continua)
i2I
fj (x)
F
(fj
gk ± fk (x)
(gi gk)
F
(gi ± fi) (x) (obvio)
(gi ± fj (x))
i2I j2I
F
gi ± fk (x)
F
i2I
(obvio)
fj (x)
F
(gi continua)
fj (x) (obvia)
j2I
gi ±
F
kyj
fj (x) (obvia).¤
j2I
Corollary 98 CPO es una O-categoría.
37
k. Entonces
Lemma 99 DomS (DomS) donde los objetos son dominios (contables) es una subcategoría
plena CPO.
Corollary 100 DomSE (!DomSE) es la categoría donde los objetos son dominios (contables)
y los mor…smos son las inmersiones.
2.7
2.7.1
Construcciones
Levantado (lifting)
De…nition 101 Sea D =(D; ) un conjunto ordenado, el levantado de D se de…ne como
U
D? = (D f¤g ; ?) donde,
1. 0
?
2. (1; x)
x para todo x 2 D
?
(1; y) , x
U
f¤g.
y.
Lemma 102 Las siguientes a…rmaciones son equivalentes
1. 1 £ S [ 0 es orden consistente (dirigido) en D?.
2. 1 £ S es orden consistente (dirigido) en D? .
3. S es orden consistente (dirigido) en D.
Demostración : (obvia)¤
Corollary 103 Si S 6= ;,
W
(1 £ S [ 0) =
W
(1 £ S) = (1;
W
S).
0 = 1 £ D0 [ 0.
Proposition 104 Si D es un dominio, D? es un dominio en el cual D?
Demostración :
[CCPO] Directo del corolario anterior.
£ 0
¤
D? = 1 £ D0 [ 0
(µ) Sea (1; k) 2 D0? y S dirigido en D tal que k
38
F
S.
(1; k)
?
?
?
F
(1; S)
F
(1 £ S)
(def.
?
)
(corolario 103)
(1; x) para algún x 2 S ( (1; k) …nito)
k
x
(def. ? ).
0
0
(¶) Obviamente 0 2 D?, sea k 2 D y 1 £ S [ 0 dirigido tal que (1; k)
F
(1; k)
S)
(lema 102 y corolario 103)
? (1;
F
k
S
(def. ? )
k
?
F
(1 £ S [ 0).
x para algún x 2 S (k 2 D0 )
(1; k)
(def. ? )
? (1; x)
como (1; x) 2 (1 £ S [ 0) entonces (1; k) 2 D0? .
[algebraico] Sea (1; x) 2 D?,
ª
ª
¢
F©
F ¡©
k 2 D 0? j k ? (1; x) =
k 2 D0 j (1; k) ? (1; x) [ f0g (elementos …nitos)
¡ F©
ª¢
= 1;
k 2 D0 j k x
(corolario 103)
= (1; x)
2.7.2
(D algebraico).¤
Suma colapsada
De…nition 105 Sean D =(D;
D)
y E =(E;
de D y E se de…ne como D © E = (D © E;
E)
conjuntos ordenados, la suma colapsada
D©E ),
donde
1. D © E = (1 £ (Dn ?)) [ (2 £ (En ?)) [ 0,
2. 0
D©E
x para todo x 2 D © E,
3. (1; x)
D©E
(1; y) , x
D
y,
4. (2; x)
D©E
(2; y) , x
E
y.
Lemma 106 Sean X µ D © E, S µ D y T µ E.
1. Si X es consistente (dirigido) entonces existe Y µ D consistente (dirigido) tal que Xn0 =
1 £ Y o existe Y µ E consistente (dirigido) tal que Xn0 = 2 £ Y .
2. Si S es consistente (dirigido) entonces 1 £S es consistente (dirigido), y si T es consistente
(dirigido) entonces 2 £ T es consistente (dirigido).
39
Demostración: (obvia).¤
Corollary 107
W
(1 £ S [ 0) =
W
(1 £ S) = (1;
W
S) y
W
(2 £ T [ 0) =
W
(2 £ T ) = (2;
W
T)..
Proposition 108 Si D y E son dominios, D © E es un dominio en el cual (D © E)0 =
1 £ (Dn ?)0 [ 1 £ (En ?)0 [ 0.
Demostración :
[CCPO] Directo del corolario anterior.
h
i
(D © E)0 = 1 £ (Dn ?)0 [ 1 £ (En ?)0 [ 0
(µ) Sea (1; k) 2 (D © E)0 y S dirigido en D tal que k
F
(1; k)
S)
(def. D©E )
D©E (1;
F
(1 £ S)
(corolario 107)
D©E
D©E
k
D
F
S, entonces
(1; x) para algún x 2 S ( (1; k) …nito)
(def.
x
D©E
).
De forma similar se prueba k 2 E 0 cuando (2; k) 2 (D © E)0.
(¶) Obviamente 0 2 (D © E)0 , sea k 2 D 0 y 1£S [0 dirigido tal que (1; k)
F
(1; k)
S)
(lema 106 y corolario 107)
D©E (1;
F
k
S
(def. D©E )
k
(1; k)
D©E
F
(1 £ S [ 0).
x para algún x 2 S (k 2 D0 )
D©E
(1; x)
(def.
D©E
).
como (1; x) 2 (1 £ S [ 0) entonces (1; k) 2 (D © E)0 . De manera similar se prueba (2; k) 2
(D © E)0 cuando k 2 E 0.
[algebraico] Sea (1; x) 2 D © E,
¡ F©
ª¢
(1; x) = 1;
k 2 D0 j k D x
(D algebraico)
F¡
©
ª¢
=
1 £ k 2 D0 j k D x
(corolario anterior)
¡©
ª
¢
F
=
k 2 D 0 j (1; k) D©E (1; x) [ f0g (corolario anterior)
n
o
F
0
=
k 2 (D © E) j k D©E (1; x)
(elementos …nitos).
o
Fn
De manera similar se prueba que (2; y) =
k 2 (D © E)0 j k D©E (2; x) .¤
2.7.3
Suma separada
De…nition 109 Sean D =(D;
D)
y E =(E;
D y E se de…ne como D + E = (D + E;
E)
D©E ),
40
conjuntos ordenados, la suma separada de
donde
1. D + E = (1 £ D) [ (2 £ E) [ 0;
2. 0
D©E
x para todo x 2 D + E;
3. (1; x)
D+E
(1; y) , x
D
y;
4. (2; x)
D+E
(2; y) , x
E
y.
Proposition 110 Si D y E son dominios entonces D+E es un dominio en el cual (D + E)0 =
¡
¢ ¡
¢
1 £ D0 [ 2 £ E 0 [ 0.
Demostración : La prueba es similar a la de suma colapsada.¤
2.7.4
Producto
De…nition 111 Sean D =(D;
es D £ E = (D £ E;
D£E ),
D)
y E =(E;
donde (s; t)
Lemma 112 Sean D =(D;
D)
y E =(E;
E)
D£E
E)
conjuntos ordenados, el producto de D y E
(x; y) , s
D
xyt
E
y:
conjuntos ordenados, S µ D y T µ E.
1. S £T µ D £E consistente (dirigido) , S µ D consistente (dirigido) y T µ E consistente
(dirigido).
2.
W
W W
(S £ T ) = ( S; T).
Demostración : (obvia).¤
Proposition 113 Si D y E son dominios entonces D £ E es un dominio en el cual (D £ E)0 =
D0 £ E0.
Demostración :
[CCPO] Directa del corolario anterior.
h
i
(D £ E)0 = D0 £ E 0
(µ) Sea (k; l) 2 (D £ E)0 , S v D tal que k
F F
(k; l)
T)
D£E ( S;
F
(S £ T)
D£E
D£E
k
D
x yl
E
D
F
S y T v E tal que l
(def.
D£E
)
(corolario anterior)
(x; y) para algún x 2 S y y 2 T ( (k; l) …nito)
(def.
y
41
D£E
).
E
F
T.
Entonces k 2 D0 y l 2 E 0.
F
(¶) Sean k 2 D0 , l 2 E 0 y S £ T v D £ E tales que (k; l) D©E (S £ T).
F F
(k; l) D£E ( S; T)
(lema y corolario anterior)
F
F
k D Syl E T
(def. D£E )
k
D
(k; l)
xyl
D£E
E
y para algún x 2 S y y 2 T
(x; y)
(k …nito y l …nito)
(def.
D£E
).
0
Como (x; y) 2 S £ T entonces (k; l) 2 (D £ E) .
[algebraico] Sea (x; y) 2 D £ E,
¡F ©
ª F©
ª¢
(x; y) =
k 2 D0 j k D x ;
l 2 E0 j l E y
ª ©
ª¢
F ¡©
=
k 2 D0 j k D x £ l 2 E0 j l E y
ª
F©
=
(k; l) j k 2 D 0; l 2 E 0 y (1; k) D£E (1; x)
o
Fn
=
k 2 (D £ E)0 j k D£E (x; y)
(D y E algebraicos)
(corolario anterior)
(corolario anterior)
(elementos …nitos).¤
Corollary 114 ¼ 1 : D £ E ! D y ¼ 2 : D £ E ! E son funciones continuas.
Proposition 115 Sean C =(C;
C ),
D =(D;
D)
y E =(E;
E)
dominios, f : C ! D y g :
C ! E funciones continuas. La función
hf; gi : C ¡!
D £E
x 7¡! (f (x) ; g (x))
es continua.
Demostración : Sea S v C,
F
F
F
hf; gi ( S) = (f ( S) ; g ( S))
F
F
= ( f (S) ; g (S))
F
= (f (S) ; g (S))
F
= hf; gi (S)
(def. hf; gi )
(f y g continuas)
(lema producto)
(def. hf; gi ).¤
Corollary 116 El dominio D £ E con las funciones continuas ¼ 1 : D £ E ! D y ¼ 2 : D £ E ! E
forman un producto categórico para los dominios D y E.
Demostración :
[Existencia] Se usa hf; gi de la proposición. Es obvio que ¼1 ± hf; gi = f y ¼ 2 ± hf; gi = g.
[Unicidad] Sea h : C!D £ E función continua tal que ¼ 1 ± h = f y ¼ 2 ± h = g. Entonces
¼1 (h (x)) = f (x) y ¼ 2 (h (x)) = g (x), es decir, h (x) = (f (x) ; g (x)) = hf; gi (x) para todo
x 2 C. Por lo tanto h = hf; gi.¤
42
2.7.5
Espacio de funciones
De…nition 117 Sean D =(D;
D)
y E =(E;
E)
CPOs, el espacio de funciones de D y E
es [D ! E] = CPO(D; E).
Lemma 118 Sean D y E dominios, y f; g : D ! E continuas. Si f (k) = g (k) para todo
k 2 D0 entonces f = g.
Demostración :
¡F ©
ª¢
f (x) = f
k 2 D0 j k x
F©
=
f (k) j k 2 D 0 y k
©
F
=
g (k) j k 2 D 0 y k
¡F ©
ª¢
=g
k 2 D0 j k x
(D algebraico)
ª
x (f continua)
ª
x (f (k) = g (k) )
(g continua)
= g (x)
(E algebraico).¤
Proposition 119 Sean D y E dominios, w 2 D0 y v 2 E 0. La función
fw;v : D ¡! E
x
7¡! v si w
x
7¡! ? en otro caso
x
es continua y ademas fw;v 2 [D ! E]0 .
Demostración :
[continua] Sea S µ D dirigido, si w
w
f (x)
F
f (S)
Si w £
F
w
f (x)
F
S,
x para algún x 2 S (w elemento …nito)
=v
(def. f )
=v
(obvio)
F
= f ( S)
S entonces
(def. f ).
£ x para todo x 2 S (obvio)
=?
(def. f )
(obvio)
F
= f ( S)
(def. f ).
h
i
fw;v 2 [D ! E]0 Sea ffi : D ! Egi2I una familia de funciones continuas dirigida respecto a
F
tal que fw;v (x)
fi (x), para todo x 2 D. Sea x 2 D, si w x entonces
F
f (S)
=?
i2I
43
fw;v (x) = v
(def. fw;v (x) )
= fw;v (w)
F
fi (w)
(def. fw;v (x) )
(premisa)
i2I
fk (w) para algún k 2 I (fw;v (x) = v 2 E 0)
fk (x)
Si w £ x se tiene que
(w
f (x) =?
x y f monótona).
(def. f w;v (x) )
fi (x) para todo i 2 I ( ? elemento mínimo).
Claramente existe fk 2 ffi : D ! Eg i2I tal que fw;v
fk entonces fw;v 2 [D ! E]0.¤
Lemma 120 Sean D y E dominios, f : D ! E continua, w 2 D 0 y v 2 E0. Si v
entonces fw;v
f (w)
f.
Demostración :
Si w x
fw;v (x) = v
(def. fw;v)
f (w) (premisa)
f (x)
(f monótona).
Si w £ x
fw;v (x) =?
(def. fw;v )
f (x) ( ? elemento mínimo).¤
Corollary 121 f =
F©
fw;v j w 2 D0 , v 2 E0 y fw;v
Demostración :
£
F©
f (k) =
fw;v (k) j w 2 D0, v 2 E0 y fw;v
f
ª
f
ª
para todo k 2 D 0
¤
( ) Sea k 2 D0
ª
F©
f (k) =
v 2 E 0 j v f (k)
(E algebraico)
ª
F©
=
fk;v (k) j v 2 E 0
(def. fk;v )
ª
F©
fw;v (k) j w 2 D 0, v 2 E 0 y fw;v f
(se sigue del lema).
(¸) Obvio.
£
ª
¤
F©
f (x) =
fw;v (x) j w 2 D 0, v 2 E 0 y f w;v f para todo x 2 D Se sigue del lema 118.¤
Proposition 122 Si D y E son dominios entonces [D ! E] es un dominio.
44
Demostración : Se sigue del corolario anterior.¤
Lemma 123 Sean D =(D;
D)
y E =(E;
E)
dominios ev : [D ! E] £ D ! E de…nida por
ev ((f; x)) = f (x) es una función continua entre C = [D ! E] £D y E.
Demostración : Sea f(gi; xi )g i2I v [D ! E] £ D, la función
fi : D ¡! D
7¡! xi
x
con µi 2 I obviamente
es µcontinua. Entonces
¶
¶
F
F
F
ev
(gi ; xi)
= ev
gi; xi
(lema 112)
i2I
µi2I i2I ¶
F
F
= ev
gi; f i
(def. f i)
=
F
i2I
=
F
i2I
gi ±
F
i2I
(def. ev)
fi
i2I
(gi ± f i)
(CPO O-categoría)
(gi (xi ))
(def. f i)
ev (gi; xi )
(def. ev).¤
i2I
=
F
i2I
=
F
i2I
Proposition 124 Sean C =(C;
C ),
D =(D;
D)
y E =(E;
E)
dominios, f : C £ E!D
función continua y c 2 C. La función
fc : D ¡!
x
E
7¡! f (c; x)
es continua.
Demostración : Sea S v D,
F
F
fc (S) = f (c £ S)
(def. fc)
F
= f ( (c £ S)) (f continua)
F
= f (c; S)
(lema producto)
F
= fc ( S)
(def. fc).¤
Proposition 125 Sean C =(C;
C ),
D =(D;
función continua y c 2 C. La función
45
D)
y E =(E;
E)
dominios, f : C £ E ! D
curry(f ) : C ¡! [D ! E]
c
7¡!
fc
es continua.
Demostración : Sea S v
µC,
¶
F
F
F
( curry(f) (S)) (x) =
curry(f) (c) (x) (def curry(f) (S) )
µc2S ¶
F
=
fc (x)
(def. curry(f ))
c2S
=
F
fc (x)
(def
c2S
=
F
f c)
c2S
f (c; x)
c2S
µ
=f
F
(def fc)
¶
F
(c; x)
(f continua)
c2S
F
= f ( (S £ fxg))
F
= f ( S; x)
(lema producto)
(lema producto)
= fF S (x)
(def fF S )
F
= curry(f) ( S) (x)
(def. curry(f )).¤
Corollary 126 El dominio [D ! E] con la función evaluación ev : [D ! E] £ D ! E son un
exponencial categórico para los dominios D y E.
Demostración :
[Existencia] Se usa curry(f ) de la proposición 125,
f (c; x) = fc (x)
(def. fc)
= ev (fc ; x)
(def. ev)
= ev (curry(f ) (c) ; x)
(def. curry(f ) (c) )
= ev (curry(f ) ± ¼ 1 (c; x) ; 1D ± ¼2 (c; x)) (def. ¼1 y ¼ 2)
= ev ± hcurry(f ) ± ¼1 ; 1D ± ¼2 i (c; x)
(def. hcurry(f) ± ¼1 ; 1 D ± ¼ 2i ).
[Unicidad] Sea g : C ! [D ! E] tal que ev ± hg ± ¼ 1 ; 1D ± ¼2 i = f, entonces
(g (c)) (x) = ev (g (c) ; x)
(def. ev)
= ev (g ± ¼1 (c; x) ; 1D ± ¼2 (c; x)) (def. ¼ 1 y ¼2)
= ev ± hg ± ¼1; 1D ± ¼2i (c; x)
(def. hg ± ¼1 ; 1D ± ¼ 2i )
= f (c; x)
(ev ± hg ± ¼1 ; 1 D ± ¼ 2i = f )
= fc (x)
(def. fc )
= (curry(f) (c)) (x)
(def. curry(f ) (c) ).
46
Por lo tanto g (c) = curry(f) (c) para todo c 2 C, entonces g = curry(f ).¤
Theorem 127 DomS (!DomS) es una categoría cartesiana cerrada.
Demostración : directa de las proposiciones anteriores.¤
47
Chapter 3
Colecciones de Conjuntos
Aunque los dominios de Scott son un buen modelo para la realización de semantica denotacional
(cumple con las primeras cuatro características presentadas en la introducción), dihco modelo no
tiene una motivación natural y no es facil de describir El problema principal es que los elementos
de un dominio representan, de manera abstracta, tanto información parcial (imperfecta) como
información total (perfecta).
Una forma de evitar esta doble representación de los elementos es pensar que un dominio semántico es una colección de conjuntos de información consistente ordenados por la contenencia. Por
ejemplo, las \-estructuras algebraicas -sección 3.1- resultan ser equivalentes a los dominios de
Scott. El inconveniente con éstas es que no poseen una satisfactoria noción de elemento …nito
(un elemento …nito puede ser un conjunto de información in…nito).
Las colecciones de carácter …nito son colecciones de conjuntos que poseen las siguientes características:
1. Cada token de información es consistente.
2. Cada subconjunto de información de un conjunto de información consistente es consistente.
3. Un conjunto de información es consistente si cada subconjunto de información es consistente.
Además, las funciones continuas entre ellas garantizan que la información obtenida al computar
48
un conjunto de información consistente es consistente e igual a la unión de la información
obtenida al computar cada uno de sus subconjuntos …nitos de información.
Entre colecciones de carácter …nito es posible de…nir una noción de subcolección -secciones 3.6.1
y 3.6.2- que permite caracterizar ciertos mor…smos entre ellas. Una colección A es subcolección
de otra colección B si cada conjunto de información consistente en A es consistente en B y si
la restricción respecto a la colección A, de cada conjunto de información consistente en B es
consistente en A.
La siguiente tabla presenta las secciones en las que se desarrolla cada uno de los pasos propuestos
en la sección 1.6.1 semantica denotacional y O-categorías.
Paso Secciones
1:
3.3 Colecciones de carácter …nito y 3.4.1 funciones continuas.
2:
3.5.1 Categoría CCFF.
3:
3.6.2 Subcolección.
4:
3.5.1 Categoría CCFF.
5:
3.6.2 Subcategoría CCFFE
E.
6:
3.6.3 Producto y 3.6.7 espacio de funciones.
7:
3.6.4 Levantado, 3.6.5 suma colapsada y 3.6.6 suma separada.
8:
En la sección de cada operador se desarrolla este paso.
3.1
\-estructuras
De…nition 128 Sean X un conjunto y LX una familia no vacía de subconjuntos de X. LX es
T
llamada -estructura si para toda subfamilia no vacia de LX la intersección tambien pertenece
a LX, es decir,
LX es
T
T
-estructura , para toda fAigi2I µ LX no vacía, se cumple que
Ai 2 LX .
i2I
T
T
Si además X 2 LX , entonces L es llamada -estructura con tope o -estructura->.
T
A continuación se presentan algunos ejemplos de -estructuras.
Example 129 \-estructuras
1. Los subgrupos de un grupo G, Sub G.
49
2. Los subconjuntos cerrados de un espacio topológico.
3. Los subespacios de un espacio vectorial V, Sub V.
4. Los subanillos de un anillo.
5. Los ideales de una anillo.
6. Las relaciones de equivalencia sobre un conjunto X.
De…nition 130 Una
T
-estructura LX es llamada algebraica si para toda familia dirigida de
LX se tiene que su unión tambien esta en LX , es decir
LX es
T
-estructura algebraica , para toda familia dirigida fAi gi2I de LX se tiene que
S
Ai 2 LX .
i2I
Lemma 131 Sea fAigi2I una familia de conjuntos µ-dirigida . Si W b
fAi gi2I tal que W b Ak.
S
i2I
Ai existe Ak 2
Demostración:
S
Como W b
Ai entonces para todo w 2 W existe Aw 2 fAig i2I tal que w 2 Aw . Claramente
i2I
fAw j w 2 W g b fAigi2I . Por lo tanto, existe k 2 I tal que Aw µ Ak para todo w 2 W .
Entonces W b Ak :¤
Lemma 132 Sea LX una
periormente.
T
-estructura, entonces (LX ; µ) tiene sups de familias acotadas su-
Demostración : (inmediata)
Sea A = fAi gi2I µ LX familia acotada superiormente, entonces Au 6= ; y como LX es
estructura \Au 2 LX . Claramente \Au es la mínima cota superior de A.¤
Proposition 133 Si LX es
T
-
T
-estructura algebraica entonces (LX; µ) es un dominio donde
Y 2 LX es elemento …nito si y solo si existe F b Y tal que Y = \ fZ 2 LX j F b Zg.
Demostración :
Es obvio que (L; µ) es CCPO (gracias al lema 132 y a la de…nición de
50
T
-estructura algebraica).
Sean Y 2 LX y YF = \ fZ 2 LX j F b Zg para todo F b Y . Es claro que YF esta contenido en
Y , es decir YF µ Y . Ademas fYF gF bY es familia dirigida, (unión de conjuntos …nitos es …nito
S
y transitividad de la contenencia) y como todos los singletons de Y están en
YF se tiene
F bY
S
S
que Y µ
YF . De aquí que Y =
YF : Si Y es elemento …nito debe existir K b Y tal
F bY
FbY
que Y µ YK . Por lo tanto, existe K b Y tal que Y = YK = \ fZ 2 LX j K b Zg. Sea ahora
Y 2 LX tal que existe K b Y tal que Y = YK = \ fZ 2 LX j K b Zg y sea fAi gi2I µ LX
S
S
familia dirigida tal que Y µ
Ai. De aqui que K b
Ai entonces existe k 2 I tal que
i2I
i2I
K b Ak . Obviamente por de…nición de intersección Y µ Ak : Entonces Y es elemento …nito.
Ahora sea Y 2 LX , claramente para todo F b Y se tiene que YF es elemento …nito y como
S
Y =
YF entonces (L; µ) es algebraico.
F bY
Como (L; µ) es CCPO algebraico entonces es dominio.¤
©
ª
Theorem 134 Sea D = (D; ) un dominio, Da = k 2 D0 j k a para cada a 2 D. En¡ ¢
T
tonces LD = fDa : a 2 Dg = Idl D0 es una -estructura algebraica tal que (LD; µ) es isomorfa a (D; ).
Demostración :
£
¡ ¢¤
LD µ Idl D0 Al ser D dominio se tiene que Da es dirigido para todo a 2 D. Si. k1; k2 2 D 0
son tales que k1 2 Da y k2
k1, por transitividad k2
a y por de…nición k2 2 Da. Entonces
Da es ideal de D0:
£ ¡ 0¢
¤
Idl D µ LD Sea K ideal de D0 entonces K es dirigido en D0 , por lo tanto K es dirigido en
D y tK 2 D. Si k 2 D 0 es tal que k
tK existe k0 2 K tal que k
k0 . Como K es inferior
k 2 K, entonces K = DtK .
T
T
[LD -estructura] Sea fAig i2I una familia no vacia de conjuntos en LD. Si W b
Ai ,
i2I
entonces W b Ai para todo i 2 I. Como cada Ai dirigido W es acotado superiormente en
W
W
Ai, y por el lema 86 W 2 D. Gracias a que cada Ai es inferior W 2 Ai , por lo tanto
W
T
T
T
W2
Ai. Entonces W es acotado superiormente
Ai y asi
Ai es dirigido.
i2I T
i2I
i2I
Sean k 2
Ai y k0 2 D0 tales que k 0
k, como cada Ai es inferior k0 2 Ai por lo tanto
¡ ¢
T i2I
T
T
k0 2
Ai y así
Ai es inferior. Claramente
Ai es ideal de D0, entonces Idl D0 es
i2I
i2I
i2I
\-estructura.
[LD algebraica] Sea fAi gi2I una familia dirigida de conjuntos en LD. Si W b
51
S
i2I
Ai por el lema
131 existe k 2 I tal que F b Ak . Como Ak es dirigido existe s 2 Ak cota superior de W, y asi
S
S
s2
Ai . Entonces
Ai es dirigido.
i2I
i2I
S
S
Obviamente
Ai inferior, así
Ai es ideal de D0, entonces LD es \-estructura algebraica.
i2I
i2I
[isomor…smo] Sea f : D ! L D, tal que f (a) = Da . Es inmediato que f es un isomor…smo de
orden entre (D; ) y (LD; µ) :¤
Corollary 135 .
1. Toda
T
-estructura->, con el orden de la inclusión, es un retículo completo.
2. Todo retículo completo P es orden isomorfo con una
3.2
T
-estructura->.
Colecciones decrecientes y d-completas
De…nition 136 Sea A un conjunto, ; 6= A µ }(A), tal que [A = A
² A se dice decreciente si y solo si Y es subconjunto de X y X pertenece a A, se tiene
que Y pertenece a A, es decir
A es decreciente , ((Y µ X y X 2 A) ) Y 2 A)
² A se dice de d-completa si y solo si para toda familia µ-dirigida fAi gi2I , de conjuntos
de A, la unión también esta en A, es decir
A es d-completa , 8 fAig i2I µ A familia µ-dirigida
3.3
S
Ai 2 A
i2I
Colecciones de carácter …nito
De…nition 137 Sea A un conjunto, ; =
6 A µ }(A), tal que [A = A, A se dice de carácter
…nito si para X un subconjunto de A se tiene que todos sus subconjuntos …nitos están en A,
X también está en A, es decir,
A se dice de carácter …nito , [X 2 A , (8Y b X) (Y 2 A)].
Ab denota la colección de los conjuntos …nitos en A, es decir, X 2 Ab , [X 2 AyX b A].
52
Example 138 Colecciones de carácter …nito:
1. f;g es de carácter …nito.
2. ¤ = f;; ¤g es de carácter …nito.
3. }(A) es de carácter …nito.
4. Sea A = (A; Con; °) un sistema de información de Scott sobre A, (ver capítulo 4), Cons
es de carácter …nito.
5. Sea A µ }F (A) decreciente, Ab = fX µ A j Y b X ) Y 2 Ag, el completado de A, es de
carácter …nito.
6. Sea A = N £ N; A = fr b N £ N j r relación funcionalg µ } F (N £ N), entonces Ab =
[N (! N] es de carácter …nito.
7. Sea LX una \-estructura algebraica,
} (LX ) = fY µ X j existe Z 2 LX tal que Y µ Zg
es de carácter …nito.
Lemma 139 Sean A y B de carácter …nito, entonces A µ B , Ab µ Bb.
Demostración:
[)] Sea X 2 Ab, entonces X 2 Bb, pues A µ B, de aqui que Ab µ Bb:
[(] Sean X 2 A y F b X. Como A es de carácter …nito se tiene F 2 Ab , entonces F 2 Bb:
Por lo tanto X 2 B, pues B es de carácter …nito. Entonces A µ B:¤
Corollary 140 Sea A de carácter …nito, entonces A =d
Ab .
Proposition 141 A es de carácter …nito , A es decreciente y d-completa.
Demostración:
[)]
(decreciente) Sea Y µ X 2 A. Si W b Y se tiene que W b X y como A es de carácter …nito
W 2 Ab , entonces Y 2 A.
53
S
(d-completa) Sea fAig i2I µ A familia µ-dirigida, si W b
Ai por el lema 131 existe Ak 2
S i2I
fAi gi2I tal que W b Ak. Como A es de carácter …nito
Ai 2 A.
i2I
S
[(] Sea X µ A tal que } F (X) µ A, obviamente } F (X) es dirigido, entonces X =
Y 2A
Y bX
ya que A es d-completa.¤
S b
Lemma 142 Sea fAig i2I una familia de colecciones de carácter …nito, \
Ai es de carácter
i2I
…nito.
Demostración: (obvia)
S
Ab
i es decreciente.¤
i2I
S b
Corollary 143 Ai µ \
Ai , para todo i 2 I.
i2I
3.4
Mor…smos entre colecciones de carácter …nito
3.4.1
Funciones continuas
De…nition 144 Sean A y B colecciones de carácter …nito, f : A ! B es llamada continua si
S
f (X) =
f (W ) para todo X 2 A.
WbX
Lemma 145 Sean A y B colecciones de carácter …nito y f : A ! B una función,
f continua , f
µ
S
i2I
Demostración:
Xi
¶
=
S
i2I
f (Xi) para toda fXig i2I µ-dirigida en A.
[(] ( obvia ).
[)]
(µ) Sea fXi gi2I µ-dirigida en A, y W b
S
X i.
i2I
(por lema131 existe k 2 I tal que W b Xk)
W b Xk
f (W ) µ f (Xk )
(f continua)
S
S
f (W ) µ
f (X i) (obvio)
S
Wb
f
i2I
(¶)
i2I
Xi
µi2I
S
Xi
¶
µ
S
i2I
f (Xi)
(f continua).
54
f (Xi)
S
=
f (W )
(f continua)
WbXi
S
µ
Wb
µf
S
µf
f (W) (W b
Xi
µi2I
S
µi2I
S
Xi
Xi
i2I
f (Xi)
i2I
3.4.2
S
S
Xi)
i2I
¶
¶
(f continua)
(obvio).¤
Relaciones …nitarias
De…nition 146 Sean A y B colecciones de carácter …nito, r µ A £ B es llamada relación
…nitaria si r µ Ab £ Bb.
3.5
Categorías de colecciones de carácter …nito
3.5.1
Categoría de colecciones de carácter …nito con funciones (CCFF)
Lemma 147 id : A ! A es continua:
Lemma 148 Sean f : A ! B y g : B!C funciones continuas, g ± f : A!C es continua.
Demostración:
[µ] Si K b f (X)
S
Kb
f (W)
(f continua)
W bX
K b f (W ) para algún W b X (lema 131)
g (K) µ g ± f (W)
S
S
g (K) µ
g ± f (W )
Kbf(X)
g (X) µ
S
(g continua)
(obvio)
WbX
g ± f (W )
(g continua).
W bX
[¶] Si W b X
f (W ) µ f (X)
(f continua)
g ± f (W) µ g ± f (X )
(g continua)
S
g ± f (W ) µ g ± f (X) (obvio).¤
WbX
55
CCFF es la categoría de las colecciones de carácter …nito y los mor…smos son las funciones
continuas entre ellas, es decir,
(i) A es un CCFF-objeto , A es una colección de carácter …nito.
(ii) f : A ! B es un CCFF-mor…smo , f : A ! B es función continua.
Demostración: Se sigue de los dos lemas anteriores.¤
De…nition 149 Sean A y B colecciones de carácter …nito y f; g 2 CCFF (A; B),
f vCCFF(A;B) g , f (X) µ g (X) para todo X 2 A.
Lemma 150 Sea ffig i2I vCCFF(A;B) -dirigida entonces la función
f: A
¡! B
S
X 7¡!
fi (X)
i2I
es continua.
Demostración:
£
¤
vCCFF(A;B) relación de orden obvia.
[bien de…nida] Como ffigi2I es vCCFF(A;B) -dirigida si W b I existe k 2 I tal que fi (X) µ
fk (X) para todo i 2 W , entonces ffi (X)gi2I es dirigido en B para todo X 2 A. Como B es
S
d-completa
fi (X ) 2 B.
i2I
[continua]
f (X ) =
S
f i (X)
(def. f)
i2I
=
S S
fi (W) (fi continua para todo i 2 I)
i2I W bX
=
S S
fi (W) (prop. unión)
WbX i2I
=
S
f (W )
(def. f).¤
WbX
¡
¢
Corollary 151 CCFF (A; B) ; vCCFF(A;B) es un CPO, donde si ffigi2I es vCCFF(A;B) -dirigida
F
S
entonces
fi (X ) = f (X ) =. fi (X) para todo X 2 A.
i2I
i2I
Proposition 152 Sean A, B y C colecciones de carácter …nito, ff igi2I vCCFF(A;B) -dirigida y
F
F
F
fgi gi2I vCCFF(B;C) -dirigida. Entonces
gi ±
fj =
(gi ± fi).
i2I
j2I
56
i2I
Demostración:
Ã
!
F
F
[µ] Sea W b
gi ±
fj (X) entonces
i2I
j2I
Ã
!
S
S
F
F
W b
gi
fj (X)
(def.
gi ±
fj )
i2IÃ
j2I
i2I
j2I
!
S
b gi
fj (X )
(lema 131)
b
S
j 2I
gi (f j (X ))
(gi ; h continuas)
j2I
b gi (fj (X))
(lema 131).
Como ffi gi2I vCCFF(A;B) -dirigida y fgigi2I vCCFF(C;D) -dirigida entonces existe k 2 I tal que
fj (X) µ fk (X ) y gi (Y ) µ gk (Y ) por lo tanto,
(gi (Y ) µ gk (Y ) )
W b gk (fj (X))
(fj (X) µ fk (X) )
b gk (fk (X))
b gk ± fk (X)
(def. composición)
F
F
b
(gi ± f i (X)) ( gi ± fi (X ) sup).
i2IF
F
Fi2I
Entonces
gi ±
fj µ
(gi ± fi ).
i2I
[¶] obvia,
fi (X ) µ
j2I
i2I
S
f j (X )
Ã
!
S
gi (fi (X)) µ gi
fj (X)
j2I Ã
!
S
S
S
gi (fi (X )) µ
gi
fj (X)
i2I
i2I
j2I
Ã
!
S
S
S
(gi ± fi (X)) µ
gi
fj (X )
i2I
i2I
j2I
Ã
!
F
F
F
(gi ± fi (X)) µ
gi ±
fj (X)
(obvio)
j2I
i2I
Corollary 153
i2I
F
i2I
gi ± h ±
(gi continua)
(obvio)
(def. composición)
(def
j2I
F
j2I
fj =
F
F
hi ).¤
i2I
(gi ± h ± fi ).
i2I
Theorem 154 CCFF es una O-categoría.
Demostración:
[i] Directa del corolario 151.
[ii] Directa de corolario 153.¤
57
3.5.2
Categoría de colecciones de carácter …nito con relaciones (CCFR)
CCFR es la categoría de las colecciones de carácter …nito con las relaciones …nitarias entre ellas,
es decir,
(i) A es un CCFR-objeto , A es una colección de carácter …nito.
(ii) r : A ! B es una CCFR-mor…smo , r es …nitaria.
Demostración: (obvia).¤
3.6
3.6.1
Construcciones
Subcolección
De…nition 155 Sean A y B colecciones de carácter …nito, A es una subcolección de B, notado
A E B, si A µ B y para todo X 2 B se tiene que X \ ([A) 2 A.
Lemma 156 Sean A, B y C colecciones de carácter …nito.
1. A E A.
2. Si A E B y B E A entonces A = B.
3. Si A E B y B E C entonces A E C.
Demostración: Obvio.¤
Lemma 157 Sean A y B colecciones de carácter …nito tales que A E B. Las funciones
eAEB : A ¡! B
pAEB : B
X 7¡! X
¡! A
X 7¡! X \ ([A)
son continuas.
Demostración:
[eAEB y p AEB bien de…nidas] Obvio.
[eAEB continua] Obvio.
[pAEB continua]
58
pAEB (X) = X \ ([A)
(def pAEB)
µ
¶
S
=
W \ ([A) (B de carácter …nito)
W bX
=
S
(W \ ([A))
(propiedades unión e intersección)
p AEB (W )
( def pAEB).¤
WbX
=
S
WbX
Corollary 158 eAEB es una inmersión y pAEB = eR
AEB .
Demostración:
[pAEB ± eAEB = idA ] Sea X 2 A entonces
pAEB ± eAEB (X) = p AEB (X)
(def. eAEB )
= X \ ([A) (def pAEB )
=X
(X µ [A)
= idA (X)
(def. idA ).
[eAEB ± pAEB v idB] Sea X 2 B entonces
eAEB ± p AEB (X) = eAEB (X \ ([A)) (def pAEB)
3.6.2
= X \ ([A)
(def. eAEB)
µX
(obvio)
µ idB (X )
(def. idB).¤
¡
¢
Subcategoría CCFFE
E
E
Proposition 159 CCFFE
E de…nida de la siguiente manera es una subcategoría de CCFF :
E
1. A es un CCFFE
E -objeto si A es un CCFF -objeto.
2. f : A ! B es un CCFFE
E -mor…mo si A E B y f = eAEB .
Demostración:
[idA = eAEA ] Obvio.
[eAEC = eBEC ± eAEB]
eAEC (X) = X
= eBEC (X)
(def eAEC )
(def eBEC )
= eBEC (X) ± eAEB (X) (def eAEB (X) ).¤
59
S
\
Lemma 160 Sea 4 : I ! CCFFE
Ab
E un diagrama dirigido, entonces Ak E
i , para todo
i2I
k 2 I.
Demostración.
S
\
Ab
i es de carácter …nito gracias al lema 142.
i2I
S b
[i] Ak µ \
Ai por el corolario 143.
i2I
S b
S b
[ii] Sea X 2 \
Ai , si W b X se tiene que W 2
Ai . Por el lema 131 existe i 2 I tal que
i2I
i2I
W 2 Ab
i y como I es dirigido existe j 2 I tal que k
j ei
j, es decir Ak E Aj y Ai E Aj .
Por de…nición Ai µ Aj , por lo tanto W 2 Ab
j , nuevamente por de…nición W \ ([Ak ) 2 Ak .
S
Como fW \ ([Ak )gWbX es dirigida
(W \ ([Ak )) 2 Ak, entonces X \ ([Ak ) 2 Ak .¤
WbX
Notación: Para simpli…car la escritura de las demostraciones se usará la siguiente notación
ambigua.
1. i = 4 (i) para todo i 2 I.
2.
F
S b
I= \
Ai .
i2I
Lemma 161 Sea 4 : I ! CCFFE un diagrama principal, eE : 4 !
Demostración:
F
I es un O-colímite.
[cocono]
ekEF I ± 4 (i
k) (X) = ekEF I ± eiEk (X ) (def. 4 (i
= eiEF I (X)
[O-colímite]
k) )
(proposición 159).
[i] Sea X 2 4 (I), como I es dirigido si F b I existe k 2 I tal que Ai E Ak para todo i 2 F.
R F
F
Entonces eR
iE I (X) 2 Ai , y ekE I (X) 2 Ak . Como
F
F
eiEF I ± eR
iE I (X) = ekE I ± 4 (i
= ekE
F
I
± 4 (i
F
k) ± eR
iE I (X)
S b
(eE : 4 ! \
Ai cocono)
k) (X \ ([4 (i))) (def.
= ekEF I (X \ ([4 (i)))
i2I
R
eiEF I )
(def. 4 (i
µ ekEF I (X \ ([4 (k)))
k) )
(Ai E Ak )
F
µ ekEF I ± eR
kE I (X)
n
o
F
Entonces eiEF I ± eR
es dirigido.
iE I
F
(def. eR
kE I ).
i2I
60
[ii] Es claro que
S
i2I
S
\
F
eiEF I ± eR
Ab
i , si W b X por el lema 131 existe
iE I (X) µ X. Sea X 2
i2I
i 2 I tal que W 2 Ab
i , entonces
F
W = eR
iE I (W )
F
(def. eR
iE I )
F
µ eR
iE I (X)
F
(eR
iE I continua)
F
µ eiEF I ± eR
(continuidad y def. de eiEF I )
iE I (X)
S
F
µ
eiEF I ± eR
iE I (X) (obvio), entonces
i2I
X
µ
S
i2I
F
eiEF I ± eR
iE I (X) .¤
S b
Corollary 162 eE : 4 ! \
Ai es un colímite para 4 en CCFFE
E.
i2I
Demostración : Sea v : 4 ! E un cocono, entonces k E E para todo k 2 I.
F
S b
[ I µ E] Sea X 2 \
Ai , si W b X,
i2I
W2
Ab
k
para algún k 2 I (lema 131)
W 2 Eb
(Ak E E)
X2E
(E d-completa).
F
F
F
F
[X \ ([ ( I)) 2 I] Si W b X \ ([ ( I)) entonces W b X y W b [ ( I),
W b [Ab
k
¡
¢
W b X \ [Ab
k
para algún k 2 I (lema 131)
(obvio)
W 2 Ab
k
F
W2 I
F
F
X \ ([ ( I)) 2 I
£
¤
e¹;v = eF IEE
´
S³
F (X)
e¹;v (X) =
vi ± eR
iE I
i2I ³
´
S
F (X )
=
eiEE ± eR
iE I
i2I ³
´
S R
=
eiEF I (X)
i2I ³
´
S
F (X)
=
eiEF I ± eR
iE I
=
i2I
idF
I
(X)
=X
= eF IEE (X)
Por el corolario 56 eE : 4 !
(Ak E E y Ak decreciente)
F
(k E I)
F
( I d-completa).
(def. e¹;v )
(vi es CCFFE
E -mor…smo)
(def. eiEE )
(def. eiEF I )
(eE : 4 !
(obvio)
F
F
I O-colímite)
(def. eF IEE ).
I es un colímite para 4 en CCFFE
E .¤
61
Proposition 163 CCFF tiene CCFFE
E -colímites localmente determinados.
Demostración: Se sigue del lema 161 y de la unicidad de los colímites bajo isomor…smo.¤
Corollary 164 CCFFE
E es cocompleta.
Lemma 165 A = f;g es un objeto inicial en CCFFE
E.
3.6.3
Producto
De…nition 166 Sean A y B colecciones de carácter …nito, la colección producto de A y B
es A £ B = f1 £ X [ 2 £ Y j X 2 A y Y 2 Bg.
Lemma 167 Sean X; Y conjuntos, y fXig i2I familia de conjuntos.
1. a £ Y µ a £ X , Y µ X.
2. fXigi2I familia µ-dirigida , fa £ Xi gi2I familia µ-dirigida.
3.
S
(1 £ Xi) = 1 £
i2I
S
Xi.
i2I
Demostración : (obvia).¤
Lemma 168 Sean A y B colecciones de carácter …nito.
1. f(1 £ Xi ) [ (2 £ Yi)gi2I dirigida en A £ B , fXig i2I dirigida en A y fYig i2I dirigida en
B.
2.
S
i2I
µ
¶ µ
¶
S
S
((1 £ Xi ) [ (2 £ Yi)) = 1 £ Xi [ 2 £ Yi .
i2I
i2I
Demostración : (obvia).¤
Proposition 169 A £ B es de carácter …nito.
Demostración.
[decreciente] : Sea 1 £ S [2 £T µ 1£ X [ 2 £Y 2 A £B. Por el lema anterior S µ X y T µ Y ,
como A y B son decrecientes S 2 A y T 2 B entonces 1 £ S [ 2 £ T 2 A £ B.
62
[d ¡ completa] : Sea f(1 £ Xi ) [ (2 £ Yi)gi2I µ-dirigida, por el lema anterior fXµ
ig i2I y fYi g
¶i2I
S
S
S
son µ-dirigidas. Como A y B son d-completas
Xi 2 A y
Yi 2 B, entonces 1 £ Xi [
i2I
i2I
i2I
µ
¶
S
S
2 £ Yi 2 A £ B y por el lema anterior
(1 £ Xi [ 2 £ Yi) 2 A £ B.¤
i2I
i2I
Lemma 170 Sean f : C ! A y g : C ! B continuas, la función
hf; gi : C
¡! A £ B
X 7¡! 1 £ f (X) [ 2 £ g (X)
es continua.
Demostración:
hf; gi (X) = (1 £ f (X)) [ (2 £ g (X))
(def hf; gi )
µ
¶ µ
¶
S
S
= 1£
f (W ) [ 2 £
g (W)
(f y g continuas)
=
S
WbX
W bX
(1 £ f (W ) [ 2 £ g (W))
(lema 168)
hf; gi (W )
(def hf; gi ).¤
W bX
=
S
W bX
Proposition 171 A £ B, con las funciones
A £B
¡! A
1£ X [2 £Y
7¡! X
¼1 :
¼2 :
A£ B
¡! B
1£ X [2 £Y
7¡! Y
son un producto categórico de A y B.
Demostración:
[¼1 y ¼2 continuas] Obvio.
[Existencia de hf; gi] Se usa hf; gi del lema 170, entonces
¼1 ± hf; gi (X) = ¼1 (1 £ f (X) [ 2 £ g (X)) (def. hf; gi )
= f (X) :
(def. ¼1), y
¼2 ± hf; gi (X) = ¼2 (1 £ f (X) [ 2 £ g (X)) (def. hf; gi )
= g (X)
(def. ¼2).
[Unicidad] sea h : C ! A £ B tales que ¼ 1 ± h = f y ¼ 2 ± h = g y sea h (X ) = 1 £ S [ 2 £ T .
Entonces
¼1 ± h(X) = ¼ 1 (1 £ S [ 2 £ T) (def. h)
f (X )
=S
(def. ¼ 1 y de h). Por otro lado,
¼2 ± h(X) = ¼ 2 (1 £ S [ 2 £ T) (def. h)
g (X)
=T
(def. ¼ 1 y de h).
63
Entonces h (X) = 1 £ f (X) [ 2 £ g (X) = hf; gi (X).¤
Corollary 172 £ : CCFF £ CCFF ! CCFF construido como en la de…nición 24 es un functor.
Lemma 173 Sean f : A ! B y g : C ! D continuas, (f £ g) (1 £ X [ 2 £ Y ) = 1 £ f (X) [
2 £ g (Y ).
Demostración: obvia.¤
Lemma 174 Sean A, B, C y D colecciones de carácter …nitio tales que A E B y C E D.
1. A £ C E B £ D.
2. eAEB £ eCED = eA£CEB£D.
Demostración:
[A £ C µ B £ D] Si 1 £ X [ 2 £ Y 2 A £ C,
X2A
yY 2C
(def. A £ C)
X2B
yY 2D
(A E B y C E D)
1 £ X[ 2 £ Y 2 B £ D (def. B £ D).
[Z \ ([A £ C) 2 A £ C] Si Z = 1 £ X [ 2 £ Y ,
(1 £ X [ 2 £ Y ) \ ([A £ C) = (1 £ X [ 2 £ Y ) \ (1 £ ([A) [ 2 £ ([C)) (obvio)
= 1 £ (X \ ([A)) [ 2 £ (Y \ ([C))
(obvio)
Como A E B y C E D se tiene que X \ ([A) 2 A y Y \ ([C) 2 C, entonces por def. A £ C se
tiene que (1 £ X [ 2 £ Y ) \ ([A £ C) 2 A £ C.
[eAEB £ eCED = eA£CEB£D ] Obvia.
eAEB £ eCED (1 £ X [ 2 £ Y ) = 1 £ eAEB (X) [ 2 £ eCED (Y ) (def. eAEB £ eCED )
= 1£ X [2 £Y
(def. eAEB y eCED )
= eA£CEB£D (1 £ X [ 2 £ Y )
(def. eA£CEB£D).¤
E
E
E
Corollary 175 £E
E : CCFFE £CCFFE ! CCFFE es un functor.
Proposition 176 £ : CCFF £ CCFF ! CCFF es localmente continuo.
Demostración: Sea f(fi ; gi )g i2I colección dirigida en (CCFF £ CCFF) ((A; C) ; (B; D)) y X 2
A y Y 2 C. Entonces
64
£
µ
F
i2I
fi;
F
i2I
¶
µ
¶
S
S
F
gi (1 £ X [ 2 £ Y ) = £
fi; gi (1 £ X [ 2 £ Y ) (def
)
i2I
= 1£
=
S
S
i2I
f i (X) [ 2 £
i2I
S
i2I
gi (Y )
(def. £ )
i2I
(1 £ fi (X) [ 2 £ gi (Y ))
(lema 168)
£ (fi; gi) (1 £ X [ 2 £ Y )
(def. £ )
£ (fi; gi) (1 £ X [ 2 £ Y )
(def
i2I
=
S
i2I
=
F
i2I
F
):¤
i2I
E
E
E
Corollary 177 £E
E : CCFFE £CCFFE ! CCFFE es continuo.
Demostración: Se sigue de la proposición 163, el corolario 175 y del teorema 62.¤
3.6.4
Levantado
De…nition 178 Sea A una colección de carácter …nito, la colección levantada ( lifting) de
A es
A? = f1 £ X j X 2 Ag [ f1 £ X [ 0 j X 2 Ag :
Lemma 179 A? es de carácter …nito.
Demostración: (obvia) A? = A£¤.¤
De…nition 180 Sea f : A ! B, la función levantada de f es
f? :
A?
¡!
B?
1£ X
7¡!
1 £ f (X)
1 £ X [ 0 7¡! 1 £ f (X) [ 0
Lemma 181 f? es continua.
Demostración: Obvia f? = f £ id¤.¤
Lemma 182 Sean A y B colecciones de carácter …nitio tales que A E B.
1. A?E B?.
2. (eAEB)? = eA? EB? .
65
Demostración:
[A? µ B?] Si 1 £ X 2 A?,
X 2 A (def. A? )
X2B
(A E B)
1 £ X (def. B? ).
De manera similar se prueba 1 £ X [ 0 2 B? si 1 £ X [ 0 2 A?.
[Z \ ([A? ) 2 A?] Si Z = 1 £ X ,
(1 £ X ) \ ([A? ) = (1 £ X) \ (1 £ ([A) [ 0) (obvio)
= 1 £ (X \ ([A))
(obvio)
Como A E B se tiene que X \ ([A) 2 A, entonces por def. A? (1 £ X[) \ ([A? ) 2 A?.
De manera similar se prueba (1 £ X [ 0) \ ([A?) 2 A? .
£
¤
(eAEB )? = eA?EB? Obvia.
(eAEB)? (1 £ X ) = 1 £ eAEB (X)
= 1£ X
(def. eAEB)
(def. eAEB)
= eA?EB? (1 £ X) (def. eA?EB? ).
De manera similar se prueba (eAEB)? (1 £ X [ 0) = eA?EB? (1 £ X [ 0).¤
Proposition 183 ?: CCFF ! CCFF de…nido de la siguiente manera:
?: CCFF ¡! CCFF
A
7¡!
f#
B
A?
# f?
7¡!
B?
es un fuctor localmente continuo.
Demostración:
[functor] obvio.
[localmente continuo] Sea ffi : A ! Bgi2I colección dirigida en CCFF (A; B) y X 2 A. Entonces
66
µ
F
fi
i2I
¶
(1 £ X) =
µ
S
i2I
?
=1£
=
S
fi
S
¶
(1 £ X ) (def
)
i2I
?
fi (X)
F
(def. ? )
i2I
(1 £ f i (X))
(lema 167)
(f i)? (1 £ X )
(def. ? )
i2I
=
S
i2I
F
(f i)? (1 £ X )
(def
).
i2I
i2I
µ
¶
F
F
De manera similar se prueba
fi
(1 £ X [ 0) =
(fi)? (1 £ X [ 0). Por consiguiente,
i2I
i2I
?
µ
¶
F
F
fi
=
(fi)?.¤
=
i2I
?
F
i2I
E
E
Corollary 184 ?E
E : CCFFE ! CCFFE es un functor.
Demostración: Se sigue del lema 182.¤
E
E
Corollary 185 ?E
E : CCFFE ! CCFFE es continuo.
Demostración: Se sigue de la proposición 163, del corolario 184, y del teorema 62.¤
3.6.5
Suma colapsada
De…nition 186 Sean A y B colecciones de carácter …nito, la suma colapsada de A y B es
A © B = f1 £ X j X 2 Ag [ f2 £ Y j Y 2 Bg.
Lemma 187 fTi gi2I familia µ-dirigida en A © B , existe fXi gi2I familia µ-dirigida en A
tal que Ti = 1 £ Xi para todo i 2 I o existe fYig i2I familia µ-dirigida en B tal que Ti = 2 £ Yi
para todo i 2 I.
Demostración. Obvia, se sigue del lema 168 y de la de…nición de suma colapsada.¤
Proposition 188 A © B es de carácter …nito.
Demostración.
[decreciente] : Sea 1 £ Y µ 1 £ X 2 A © B. Por el lema 168 Y µ X, y como A es decreciente
Y 2 A entonces por de…nición 1 £Y 2 A © B. De manera similar se prueba que 2 £Y 2 A © B
cuando 2 £ Y µ 2 £ X y 2 £ X 2 A © B.
67
[d ¡ completa] : Sea f1 £ Xi gi2I µ-dirigida en A © B, gracias al lema 168. fXi gi2I es µ-dirigida
S
en A y como A es d-completa entonces
Xi 2 A. Por el lema 168 y por de…nición de A© B se
i2I
S
S
S
tiene que 1£ Xi =
(1 £ Xi ) 2 A©B. Una prueba similar muestra que (2 £ Yi) 2 A©B
i2I
i2I
i2I
cuando f1 £ Yig i2I es µ-dirigida en A © B.¤
De…nition 189 Sean f : A ! B y g : C ! D funciones continua. La función suma colapsada de f y g es
f © g : A © C ¡!
;
B©D
7¡!
;
1 £ X 7¡! 1 £ f (X )
2 £Y
7¡! 2 £ g (Y ) .
Lemma 190 f © g es una función continua.
Demostración:
(f © g) (1 £ X) = 1 £ f (X )
S
=1£
f (W )
=
S
(def f © g)
(f continua)
WbX
1 £ f (W )
(lema 168)
W bX
=
S
f © g (1 £ W ) (def f© ).
W bX
De manera similar se prueba similar f © g (2 £ Y ) =
S
f © g (2 £ V ).¤
V bY
Proposition 191 © : CCFF £ CCFF ! CCFF de…nido así:
© CCFF £ CCFF ¡! CCFF
7¡! A © C
(A,C)
# (f; g)
# f ©g
7¡! B © D
(B,D)
es un functor.
Demostración:
[idA © idC = idA©C ]
(idA © idC ) (1 £ X) = 1 £ idA (X) (def idA © idC )
= 1 £X
(idA © idC ) (2 £ Y ) = 2 £ idC (Y )
= 2 £Y
(idA identidad)
(def idA © idC )
(idC identidad).
68
[(f © g) ± (h © k) = (f ± h) © (g ± k)]
(f © g) ± (h © k) (1 £ X) = (f © g) (1 £ h (X))
(def h © k)
= 1 £ f ± h (X)
(def f © g)
= (f ± h) © (g ± k) (1 £ X) (def (f ± h) © (g ± k) ).
De manera similar se prueba (f © g) ± (h © k) (2 £ Y ) = (f ± h) © (g ± k) (2 £ Y ).¤
Lemma 192 Sean A, B, C y D colecciones de carácter …nitio tales que A E B y C E D.
1. A © C E B © D.
2. eAEB © eCED = eA©CEB©D.
Demostración:
[A © C µ B © D] Si 1 £ X 2 A © C,
X 2 A (def. A © C)
X2B
(A E B)
1 £ X (def. B © D).
De manera similar se prueba 2 £ Y 2 B © D si 2 £ Y 2 A © C.
[Z \ ([A © C) 2 A © C] Si Z = 1 £ X 2 B © D,
(1 £ X ) \ ([A © C) = (1 £ X) \ (1 £ ([A)) (obvio)
= 1 £ (X \ ([A))
(obvio)
Como A E B se tiene que X \ ([A) 2 A, entonces por def. A © C se tiene que (1 £ X) \
([A © C) 2 A © C.
De manera similar se prueba Z = (2 £ Y ) \ ([A © C) 2 A © C si 2 £ Y 2 B © D.
[eAEB © eCED = eA©CEB©D ] Obvia.
(eAEB © eCED ) (1 £ X) = 1 £ eAEB (X)
(def. eAEB © eCED )
= 1 £X
(def. eAEB)
= eA©CEB©D (1 £ X) (def. eA©CEB©D ).
De manera similar se prueba (eAEB © eCED ) (2 £ Y ) = eA©CEB©D (2 £ Y ).¤
E
E
E
Corollary 193 ©E
E : CCFFE £CCFFE ! CCFFE es un functor.
Proposition 194 © : CCFF £ CCFF ! CCFF es localmente continuo.
69
Demostración: Sea f(fi ; gi )g i2I colección dirigida en (CCFF £ CCFF) ((A; C) ; (B; D)) y X 2
A yµY 2 C. Entonces
¶
µ
¶
F
F
S
S
F
©
fi; gi (1 £ X) = ©
fi ; gi (1 £ X) (def
)
i2I
i2I
i2I
= 1£
=
S
S
i2I
i2I
(def. © )
fi (X)
i2I
(1 £ fi (X))
(lema 168)
©(fi ; gi) (1 £ X)
(def. £ )
©(fi ; gi) (1 £ X)
(def
i2I
=
S
i2I
=
F
i2I
F
).
i2I
Deµmanera similar
¶ se prueba (f © g) ± (h © k) (2 £ Y ) = (f ± h) © (g ± k) (2 £ Y ). Entonces
F
F
F
©
fi ; gi =
©(fi ; gi ) :¤
i2I
i2I
Corollary 195
i2I
©E
E
E
E
: CCFFE
E £CCFFE ! CCFFE es continuo.
Demostración: Se sigue de la proposición 163, del corolario 193, y del teorema 62.¤
3.6.6
Suma separada
De…nition 196 Sean A y B colecciones de carácter …nito, la suma separada de A y B es
A + B = f1 £ X j X 2 A? g [ f2 £ X j X 2 B? g
Proposition 197 A + B es de carácter …nito.
Demostración: Obvia, A + B = A?©B?:¤
De…nition 198 Sean f : A ! B y g : C ! D funciones continua. La función suma separada de f y g es f + g = f? © g?.
Corollary 199 f © g es una función continua.
Proposition 200 + : CCFF £ CCFF ! CCFF de…nido así:
+ CCFF £ CCFF ¡! CCFF
7¡! A + C
(A,C)
# (f; g)
# f +g
7¡! B + D
(B,D)
es un functor continuo.
Demostración: Obvio + = © ± (? £ ?).¤
70
3.6.7
Espacio de funciones
De…nition 201 Sean A y B colecciones de carácter …nito, W 2 Ab y V 2 Bb. La función
…nitamente generada por W y V , notada f ingenA;B (W; V ), es
f ingenA;B (W; V ) : A ¡! B
X 7¡! V , si W b X
X 7¡! ;, en otro caso.
Corollary 202 fingenA;B (W; V ) : A ! B es continua.
Demostración: obvio.¤
Lemma 203 Sea S 2 }(Ab £ Bb)
De…nition 204 Sean A y B de carácter …nito, de…na el espacio de funciones de A en B
como [A ! B] µ }(Ab £ Bb ), donde
S
S 2 [A ! B] ,
f ingen (W; V ) (X) 2 B, para todo X 2 A.
(W;V )2S
Lemma 205 Sea S 2 [A ! B], la función
f unA;B (S) : A ¡! B
X 7¡!
S
f ingenA;B (W; V ) (X)
(W;V )2S
es continua.
Demostración :
fun (S) (X) =
S
f ingen (W; V ) (X) (def fun (S) )
(W;V )2S
=
S
S
f (K)
(cada fingen (W; V ) continua)
f (K)
(prop. unión)
(W;V )2S KbX
=
S
S
K bX (W;V )2S
=
S
f un (S) (K)
(def fun (S) ).¤
K bX
Corollary 206 fun (S) (X) =
S
f un (K) (X).
K bS
Lemma 207 Sea f : A ! B una función continua, W 2 Ab y V b f (W). La función
71
fW;V : A ¡! B
X 7¡! V , si W b X
X 7¡! ;, en otro caso
es …nitamente generada.
Demostración : (obvia)¤.
Proposition 208 Sean f : A ! B una función continua, Para todo X 2 A se tiene que
S
S
f W;V (X) = f (X).
W2Ab V bf (W )
Demostración :
S
f (X ) =
f (W )
WbX
S
=
S
(f continua)
(B de carácter …nito)
V
WbX V bf (W )
=
S
S
fW;V (X) (def fW;V ).¤
WbX V bf (W )
Corollary 209 El conjunto con (f ) = f(W; V ) j W 2 Ab y V b f (W )g 2 [A ! B]. Además,
f = f un (con (f )) y si S 2 [A ! B] entonces S = con (fun (S)).
Proposition 210 [A ! B] es de carácter …nito.
Demostración :
[decreciente] Obvia.
[d-completa] Sea fAi gi2I una familia µ-dirigida en [A ! B],
S
S
S
fingen (W; V ) (X ) =
f ingen (W; V ) (X) (obvio)
S
(W;V )2
i2I (W;V )2Ai
Ai
i2I
=
S
f un (Ai ) (X )
(def. f un (Ai ) ).
i2I
Como fAi gi2I es µ-dirigida, si W b I existe k 2 I tal que Ai µ Ak para todo i 2 W ,
entonces f un (Ai) (X) µ f un (Ak ) (X) para todo X 2 A. De esta manera ffun (Ai ) (X)g i2I es
S
S
µ-dirigido en B, y como B es d-completa
f un (Ai) (X) 2 B. Por lo tanto
Ai 2 [A ! B].¤
i2I
i2I
Lemma 211 Sean A y C colecciones de carácter …nito, la función
ev : [C ! A] £C
1£ S [2£ Y
¡! A
7¡! fun (S) (Y )
72
es continua.
Demostración:
ev (1 £ S [ 2 £ Y ) = f un (S) (Y )
S
=
f un (W ) (Y )
WbS
S
=
S
(def ev)
(corolario 206)
f un (W ) (V )
(proposición 208)
ev (1 £ W [ 2 £ V )
(def ev)
WbS V bY
S
=
S
WbS V bY
=
S
ev (1 £ W [ 2 £ V ) (lema 168).¤
(1£W[2£V )b(1£S[2£Y )
Lemma 212 Sean f : A £ C ! B continua y X 2 A. La función
fX : C
Y
¡!
B
7¡! f (1 £ X [ 2 £ Y )
es continua.
Demostración:
fX (Y ) = f (1 £ X [ 2 £ Y )
(def f X )
S S
=
f (1 £ W [ 2 £ V ) (lema 168)
V bY WbX
=
S
f (1 £ X [ 2 £ V )
(lema 168)
fX (V )
(def f X).¤
V bY
=
S
V bY
Corollary 213 La función
curry (f ) : A ¡!
[C ! B]
X 7¡! con (fX )
es continua.
Demostración:
(¶) Sea W b X, si g 2 con (fW ) existen K µ W y V 2 Bb tales que g = fK;V . Como K b X
S
entonces g = fK;V 2 con (fX ), por lo tanto
con (fW ) µ con (fX ).
W bX
(µ) Si g 2 con (f X) existen W b X y V 2 Bb tales que g = f W;V . Como W b W entonces
S
g = fW;V 2 con (fW ), por lo tanto con (fX ) µ
con (fW ).¤
WbX
Proposition 214 La colección C ! B, con la función ev : [C ! B] £ C ¡! B forman un
exponencial categórico de C y B.
73
Demostración:
[Existencia de curry (f )] Se usa curry (f) del corolario 213. Entonces
ev ± (curry (f) £ idC ) (1 £ X [ 2 £ Y ) = ev (1 £ curry (f) (X) [ 2 £ Y ) (def. curry (f ) £ idC )
= ev (1 £ con (fX ) [ 2 £ Y )
(def curry (f) )
= f un (con (fX )) (Y )
(def ev)
= fX (Y )
(corolario 209)
= f (1 £ X [ 2 £ Y )
[Unicidad] Sea h : A ! [C ! B] tal que ev ± (h £ idC ) = f . Entonces
(def fX ).
ev ± (h £ idC ) (1 £ X [ 2 £ Y ) = ev (1 £ h (X) [ 2 £ Y ) (def. h £ idC )
fun (curry (f) (X)) (Y )
= fun (h(X)) (Y )
(def. curry (f) £ idC , h £ idC y ev)
con (fun (curry (f ) (X )))
= con (f un (h (X)))
(corolario 209)
curry (f ) (X )
= h (X)
(corolario 209).¤
Lemma 215 Sean f : B ! A y g : C ! D continuas, la función exponencial, notada
[f ! g], es
[f ! g] : [A ! C] ¡! [B ! D]
T
7¡! con (g ± f un (T ) ± f )
Demostración:
¡
¡
¢¢
¡
¢
g ± ev ± id[A!C] £ f T (Y ) = g ± ev ± id[A!C] £ f (1 £ T [ 2 £ Y ) (def. hT )
¡
¡
¢¢
g ± ev ± id[A!C] £ f T
= g ± ev (1 £ T [ 2 £ f (Y ))
(def. id[A!C] £ f)
= g (f un (T) (f (Y )))
(def. ev)
= g ± f un (T ) ± f (Y )
(obvio), entonces
= g ± f un (T ) ± f
.
³¡
¡
¢¢ ´
con (g ± f un (T) ± f) = con g ± ev ± id[A!C] £ f T
(corolario 209)
¡
¡
¢¢
= curry g ± ev ± id[A!C] £ f (T ) (def. curry)
= [f ! g] (T)
(def. [f ! g] ).¤
Lemma 216 Si A E B, C E D,
b
1. f ingenB;D (W; V ) (X) = eCED ± fingenA;C (W; V ) ± eR
AEB (X), para todo W 2 A y V 2
C b.
b
2. f ingenA;C (W; V ) (X ) = eR
CED ± f ingenB;D (W; V ) ± eAEB (X), para todo W 2 A y V 2
Bb .
74
3. Si S 2 [A ! C] funB;D (S) (X ) = eCED ± f unA;C (S) ± eR
AEB (X).
4. Si S 2 [B ! D] f unA;C (S \ ([ [A ! C])) (X) µ eR
CED ± f unC;D (S) ± eAEB (X )
5. [A ! C] E[B ! D].
£
¤
6. eR
AEB ! eCED = e[A!C]E[B!D] .
Demostración:
1: Como W 2 Ab entonces W b [A. Si W b X se tiene que W b X \ ([A) por lo tanto
fingenB;D (W; V ) (X) = V
(def. f ingenB;D (W; V ) )
= f ingenA;C (W; V ) (X \ ([A))
(def. f ingenA;C (W; V ) )
= eCED ± f ingenA;C (W; V ) ± eR
AEB (X) : (def. eAEB y eCED ).
Si W Ã X se tiene que W Ã X \ ([A) entonces,
fingenB;D (W; V ) (X) = ;
(def. f ingenB;D (W; V ) )
= f ingenA;C (W; V ) (X \ ([A))
(def. f ingenA;C (W; V ) )
R
= eCED ± f ingenA;C (W; V ) ± eR
AEB (X) : (def. eAEB y eCED ).
2: Si W b X se tiene que W b X por lo tanto
fingenA;C (W; V ) (X) = V
(def. fingenA;C (W; V ) )
= f ingenB;D (W; V ) (X )
(def. fingenB;D (W; V ) )
R
= eR
CED ± fingenA;C (W; V ) ± eAEB (X) (def. eAEB y eCED ).
Si W Ã X se tiene que W Ã X entonces,
fingenB;D (W; V ) (X) = ;
(def. f ingenA;C (W; V ) )
= f ingenA;C (W; V ) (X )
(def. f ingenB;D (W; V ) )
R
= eR
CED ± f ingenA;C (W; V ) ± eAEB (X) (def. eAEB y eCED ).
3: S 2 [B ! D] si f unB;D (S) (X ) 2 D, entonces
S
funB;D (S) (X ) =
fingenB;D (W; V ) (X)
(def. f unB;D (S) )
(W;V )2S
S
=
(W;V )2S
=
S
eCED ± f ingenA;C (W; V ) ± eR
AEB (X) (parte 1)
fingenA;C (W; V ) (X \ ([A))
(def. eAEB y eCED)
(W;V )2S
= f unA;C (S) (X \ ([A))
(def. f unA;C (S) )
= eCED ± fun (S)A;C (W; V ) ± eR
AEB (X)
(def. eAEB y eCED).
funB;D (S) (X ) 2 C
(S 2 S 2 [A ! C] )
2 D (C E D)
75
4: Sea (W; V ) 2 S \ ([ [A ! C]),
fingenB;D (W; V ) (X) µ f unB;D (S) (X)
(def. funB;D (S) )
R
R
eR
CED ± f ingenB;D (W; V ) ± eAEB (X) µ eCED ± f unB;D (S) ± eAEB (X ) (eCED y eCED continuas)
fingenA;C (W; V ) µ eR
CED ± funB;D (S) ± eAEB (X)
S
f ingenA;C (W; V ) µ eR
CED ± f unB;D (S) ± eAEB (X)
(parte 2)
(obvio)
(W;V )2S\([[A!C])
funA;C (S \ ([ [A ! C])) (X) µ eR
CED ± funC;D (S) ± eAEB (X)
(def. funA;C ).
eR
CED ± f unC;D (S) ± eAEB (X) 2 C (composición funciones continuas)
funA;C (S \ ([ [A ! C])) (X) 2 C
5: Se sigue de las parte 3 y 4.
(C decreciente).
6: Obvia.
£R
¤
¡
¢
eAEB ! eCED (S) = con eCED ± f un (S) ± eR
(def. [eAEB ! eCED ] )
AEB
= con (f unB;D (S))
(parte 4)
=S
(corolario 209)
= e[A!C]E[B!D] (S)
(def. e[A!C]E[B!D] ):¤
Theorem 217 !: CCFFop£CCFF ! CCFF de…nido como en 26, es un functor localmente
continuo.
Demostración:
op
Sea f(f
en µ
(CCFF
D)),
µ i; gi)gi2I colección
¸ dirigida
¶
µ £ CCFF) ((A; C) ; (B;
¶¶
F
F
F
F
fun
fi !
gi (T)
= f un con
gi ± f un (T) ± fi
(def.
i2I
i2I
=
F
i2I
gi ± f un (T) ±
i2I
=
F
F
i2I
fi
F
fi !
i2I
(corolario 209)
F
i2I
¸
gi )
i2I
(gi ± fun (T ) ± fi )
(corolario 153)
i2I
F
fun ([fi ! gi] (T ))
µ
¶
F
= f un
[fi ! gi] (T )
=
(def. [fi ! gi ] )
i2I
F
i2I
fi !
F
i2I
¸
gi (T)
=
F
(corolario 206)
i2I
[fi ! gi] (T)
(corolario 209):¤
i2I
E
E
E
Corollary 218 !E
E : CCFFE £CCFFE ! CCFFE es un functor continuo.
Demostración: Es un functor por la parte 6 del lema 216 y es continuo por la proposición
163 y el teorema 62.¤
76
Theorem 219 CCFF es una categoría cartesiana cerrada.
3.6.8
Espacio de relaciones
De…nition 220 Sean A y B colecciones de carácter …nito el espacio de funciones de A y
B se de…ne como [A Ã B] µ }(Ab £ Bb), donde
Z 2 [A Ã B] , (8W b Z) ([¼ 1 (W ) 2 A ) [¼ 2 (W) 2 B) :
Proposition 221 Sean A y B de carácter …nito entonces A ! B es de carácter …nito.
Demostración:
[decreciente] Sea V µ Z con Z 2 [A Ã B], y sea W b V , es claro que W b Z entonces por
de…nición de espacio de relaciones si [¼1 (W ) 2 A se tiene que [¼ 2 (W ) 2 B, de lo que se
concluye que V 2 [A Ã B].
[d-completa] Sea fXi gi2I µ [A Ã B] familia dirigida, y sea W b
S
Xi. Por el lema 131 existe
i2I
k 2 I tal que W b Xk . Si [¼1 (W ) 2 A, como Xk 2 [A Ã B] se tiene [¼ 2 (W) 2 B, por lo
S
tanto
Xi 2 [A Ã B].¤
i2I
3.7
Ecuaciones Recursivas de Dominios
Theorem 222 Los siguientes functores tienen un punto …jo,
E
E
E
1. £E
E : CCFFE £CCFFE ! CCFFE
E
E
2. ?E
E : CCFFE ! CCFFE
E
E
E
3. ©E
E : CCFFE £CCFFE ! CCFFE
E
E
E
4. +E
E : CCFFE £CCFFE ! CCFFE
E
E
E
5. !E
E : CCFFE £CCFFE ! CCFFE .
Demostración: Se sigue del teorema 44, los corolarios 177, 185, 195, 218 y la proposición
200.¤
77
Chapter 4
Sistemas de Información
Los sistemas de información fuerón desarrollados por Scott para tratar de dar una motivación
más natural y de facil descripción a la semántica denotacional. En un sistema de información
de Scott se tiene:
1. Un conjunto A de tokens de información.
2. Una colección de conjuntos de información consistente (todos …nitos), tales que:
(a) Cada token de información por si solo es consistente.
(b) Cada subconjunto de información de un conjunto de información consistente es consistente.
3. Una relación de inferencia entre conjuntos consistentes de información y tokens de información que a…rma lo siguiente:
(a) Todo conjunto de información consistente es consistente con cada token de información que in…era, es decir, si un conjunto de información consistente in…ere un token
de información, la unión de dicha información con este token también es consistente.
(b) Cada conjunto de información in…ere a cada uno de sus tokens.
(c) La inferencia es transitiva.
A pesar de tener una motivación muy natural y de ser equivalentes a los dominios de Scott, en
los sistemas de información de Scott la contrucción de operadores como productos, espacio de
78
relaciones, y la busqueda de soluciones a ecuaciones recursivas, resulta ser muy di…cil y poco
intuitivas.
Los sistemas de información presentados en este capítulo son equivalentes a los sistemas de información de Scott, pero con la relación de inferencia no de…nida entre conjuntos de información
consistente y tokes de información, sino solo entre conjuntos de información consistentes.
Los mor…smos entre sistemas de información son relaciones (llamadas relaciones aproximables),
entre las colecciones de conjuntos de información consistentes, que re‡ejan la noción de inferencia de información consistente en un sistema de información de llegada a partir de información
consistente a partir de información consistente en un sistema de información de partida. Estas
relaciones tienen las siguientes propiedades:
1. De un conjunto vacio de información se puede inferir.
2. La unión de toda colección …nita de conjuntos de información consistente que un conjunto
de información consistente in…ere es consistente.
3. La inferencia entre sistemas de información es transitiva.
Aunque con estos sistemas de información la demostración de la equivalencia con los dominios
de Scott, las construcciones y demostraciones se simpli…can, siguen siendo complejas.
4.1
4.1.1
De…nición
Sistema de información de Scott (SIS)
De…nition 223 Un Sistema de Información de Scott, es una estructura A = ( A, Con,
° ) donde A es un conjunto, Con es una colección no vacia de subconjuntos …nitos de A, y °
es una relación entre los conjuntos de Con y los elementos de A con las siguientes propiedades:
SIS1. Si Y µ X 2 Con entonces Y 2 Con:
SIS2. Si a 2 A entonces fag 2 Con:
SIS3. Si X ° a entonces X [ fag 2 Con:
SIS4. Si X 2 Con y a 2 X entonces X ° a:
79
SIS5. Si X; Y 2 Con; (8b 2 Y ) (X ° b) y Y ° c entonces X ° c:
4.1.2
Sistema de información (SI)
De…nition 224 Sea A un conjunto, un Sistema de Información, es una estructura A =
(A; `) donde A es de carácter …nito sobre A, y ` µ Ab £ Ab, es una relación que cumple:
SI1. Si Y µ X 2 Ab entonces X ` Y:
SI2. Si X ` Y1 y X ` Y2 entonces Y1 [ Y2 2 Ab y X ` Y1 [ Y2 :
SI3. Si X ` Y y Y ` Z entonces X ` Z:
4.1.3
Equivalencia de las de…niciones
Proposition 225 Sea A = (A; Con; °) un sistema de información de Scott, la estructura
SI (A) = (A; `) donde:
1. A = fX µ A j (8F b X) (F 2 Con)g;
2. Si X; Y estan en Con entonces X ` Y , X ° b para todo b 2 Y ,
es un sistema de información.
Demostración:
[Ab = Con]
(µ) Si Y 2 Ab,
Y bY
(obvio)
Y 2 Con (def. A).
(¶) Si F b Y 2 Con,
F 2 Con (SIS1)
Y 2A
(def. A).
[A de carácter …nito] Por construcción.
[SI1] Sea Y µ X 2 Ab.
X ° x para todo x 2 X (SIS4)
X ° y para todo y 2 Y
(Y µ X)
X`Y
(def. ` ).
80
[SI2] Sean X; Y1; Y2 2 Ab tales que X ` Y1 y X ` Y2 entonces
X ° y 1 y X ° y2 para todos y1 2 Y1 y y2 2 Y2 (def. ` )
X [ Y1 [ Y2 2 Con
(SIS3 repetidas veces)
X [ Y1 [ Y2 2 Ab
(Con = Ab )
Y1 [ Y2 2 Ab
(A decreciente)
X ° y para todo y 2 Y1 [ Y2
(obvio)
X ` (Y1 [ Y2)
(def. ` ).
b
[SI3] Sean X; Y; Z 2 A tales que X ` Y y Y ` Z entonces
X ° y y Y ° z para todos y 2 Y y z 2 Z (def. ` )
X ° z para todo z 2 Z
(SIS5)
X`Z
(def. ` ).¤
Proposition 226 Sea A = (A; `) un sistema de información, la estructura SIS (A) = (A; Con; °
), donde:
1. Con = Ab;
2. Si X 2 Con entonces X ° a , X ` fag,
es un sistema de información de Scott.
Demostración:
Con µ }F (A) (Con = Ab ).
[SIS1] Si X 2 Con = Ab y Y µ X entonces Y 2 Ab = Con (A decreciente).
[SIS2] Si a 2 A
a 2 X para algún X 2 A ( [ A =A)
fag 2 Ab
(A decreciente)
fag 2 Con
(Con = Ab).
[SIS3] Sean X 2 Con y a 2 A tales que X ° a.
X ` fag y X ` X (def. ° y SI1)
X [ fag 2 Ab
(SI2)
X [ fag 2 Con
(Con = Ab ).
[SIS4] Sean X 2 Con y a 2 X.
81
fag µ X (obvio)
X ` fag
(SI2)
X °a
(def. ° ).
[SIS5] Sean X; Y 2 Con, c 2 A, tales que X ° y pata todo y 2 Y y Y ° c.
X`Y
(SI2 repetidas veces)
X ` fcg (def. ° y SI3)
X °c
(def. ° ).¤
Theorem 227 Sean A = (A; `) un sistema de información y A0 = (A; Con; °) un sistema de
información de Scott,
1. SI (SIS (A)) = A.
2. SIS (SI (A0 )) = A0 .
Demostración:
1: Sea A = (A; `) un sistema de información, por las proposiciones 225 y 226 SI (SIS (A)) =
(A¤ ; `¤) es un sistema de información.
[A µ A¤] Sea X 2 A si Y b X,
Y 2 Ab
(A decreciente)
Y 2 ConSI (ConSI = Ab )
X 2 A¤
(def. A¤ ).
[A¤ µ A] Sea X 2 A¤ si Y b X,
Y 2 ConSI (def. A¤ )
Y 2 Ab
(ConSI = Ab )
X2A
(A de carácter …nito).
[X ` Y ) X `¤ Y ] Supongase que X ` Y ,
X ` fyg para todo y 2 Y
(SI1)
X °SI y para todo y 2 Y
(def. °SI )
X `¤ Y
(def. `¤ ).
[X `¤ Y ) X ` Y ] Supongase que X `¤ Y ,
X °SI y para todo y 2 Y
(def. `¤ )
X ` fyg para todo y 2 Y
(def. °SI )
X`Y
(SI2 repetidas veces).
82
2: Sea A0 = (A; Con; °) un sistema de información de Scott, por las proposiciones 225 y 226
SIS (SI (A0 )) = (A; Con¤; °¤) es un sistema de información de Scott.
(Con µ Con¤ ) Si X 2 Con,
X 2 Ab
SIS (def. ASIS )
X 2 Con¤ (def. Con¤).
(Con¤ µ Con) Si X 2 Con¤ ,
¤
X 2 Ab
SIS (def. Con )
X 2 Con (X b X y def. ASIS ).
(X ° a ) X °¤ a) Si X ° a,
X `SIS fag (def. `SIS )
X °¤ a
(def. °¤ ).
(X °¤ a ) X ° a) Si X °¤ a,
X `SIS fag (def. °¤ )
(def. `SIS ).¤
X °a
4.1.4
Sistemas de información contables y canónicos
De…nition 228 Sea A =(A; `) un sistema de información.
(i) A es contable si [A es contable.
(ii) A es canónico si satisface
(a) Si X 2 Ab entonces existe a 2 A tal que X ` fag y fag ` X;
(b) Sean a; b 2 A; si fag ` fbg y fbg ` fag entonces a = b:
4.2
4.2.1
Mor…smos entre sistemas de información
Relaciones aproximables
De…nition 229 Sean A = (A; `A) y B = (B; `B) sistemas de información una relación r µ
Ab £ Bb se dice aproximable si cumple:
(RA1) ;r;.
(RA2) X rY1 y XrY2 entonces Y1 [ Y2 2 Bb y X rY1 [ Y2.
83
(RA3) X1 `A X2, X2rY2 y Y2 `B Y1 se tiene que X1 rY1.
4.2.2
Inmersiones
De…nition 230 Sean A = (A; `A) y B = (B; `B ) sistemas de información una función f : A !
B es llamada una inmersión de A en B si
(i) f es inyectiva,
(ii) X 2 A , f (X ) 2 B;
(iii) X `A Y , f (X) `B f (Y ) :
Además, f es llamada isomor…smo de A en B si f es inmersión y sobre.
4.3
Categoría de sistemas de información (SISINF)
Lemma 231 Sean Sean A = (A; `A), B = (B; `B) y C = (C; `C ) sistemas de información, r :
A Ã B y s : B Ã C relaciones aproximables, entonces s± r es relación aproximable (composición
de relaciones).
Demostración :
[RA1]
;r; y ;s; (r y s relaciones aproximables)
;(s ± r) ; (composición).
[RA2] Sean X 2 Ab y Z1 ; Z2 2 C b tales que X (s ± r) Z1 y X (s ± r) Z2 .
XrY1 , X rY2, Y1rZ1 y Y2rZ2 para algunos Y1; Y2 2 Bb (composición)
Y1 [ Y2 2 Bb y Xr (Y1 [ Y2)
(RA2)
Y1 [ Y2 `B Y1 y Z1 `C Z1
(SI1)
(Y1 [ Y2) rZ1
De igual forma se prueba que (Y1 [ Y2 ) rZ2. Entonces
(RA3)
Z1 [ Z2 2 Bb y (Y1 [ Y2 ) s (Z1 [ Z2) (RA2)
X (s ± r) (Z1 [ Z2)
(Xr (Y1 [ Y2 ) y composición).
[RA3] Sean X1; X2 2 Ab y Z1 ; Z2 2 C b tales que X1 `A X2 , X2 (s ± r) Z2 y Z2 `C Z1.
84
X2rY y Y rZ2 para algún Y 2 Bb (composición)
X1rY y Y rZ1
(Y `B Y y RA3)
X1rZ1
(composición).¤
Lemma 232 Sea A = (A; `) sistema de información. Entonces ` es una relación aproximable.
Demostración :
[RA1] Como ; µ ; por SI1 se tiene ; ` ;.
[RA2] Sean X 2 Ab y Y1; Y2 2 Ab tales que X ` Y1 y X ` Y2, por SI2 se tiene Y1 [ Y2 2 Ab
y X ` Y1 [ Y2.
[RA3] Sean X1; X2 2 Ab y Y1; Y2 2 C b tales que X1 ` X2 , X2 ` Y2 y Y2 ` Y1 .
X1 ` Y2 (SI3)
X1 ` Y1 (SI3):¤
Lemma 233 Sean A = (A; `A)y B =(B; `B ) sistemas de información, r : A Ã B relación
aproximable,
1. r = r± `A.
2. r =`B ±r.
Demostración : Sean X 2 Ab y Y 2 Bb,
1: (µ)Si XrY entonces X (r± `A) Y (por SI1 X `A X y composición). (¶)Si X (r± `A) Y ,
X `A Z y ZrY para algún Z 2 Ab (composición)
XrY
(RA3).
2: (µ)Si XrY entonces X (`B ±r) Y (por SI1 Y `B Y y composición). (¶)Si X (`B ±r) Y ,
XrZ y Z `B Y para algún Z 2 Bb (composición)
XrY
(RA3).¤
Proposition 234 SISINF es una categoría donde los objetos son sistemas de información y
los mor…smos son las relaciones aproximables.
Demostración: Inmediata gracias a los lemas 231, 232 y 233.¤
85
Equivalencia de las categorías SISINF y DOMS
4.4
4.4.1
Estados de un sistema de información
De…nition 235 Sea A = (A; `) un sistema de información, los estados de A, son los conjuntos en A que son `-cerrados, es decir
x 2 A es un estado de A , si X b x y X ` Y entonces Y b x.
La colección de los estados de A es notada jAj :
Lemma 236 Sean A = (A; `) un sistema de información y X 2 Ab, el conjunto X =
fa 2 A j X ` fagg es un estado de A.
Demostración :
£
¤
X 2 A Si F b X,
X ` ff g para todo f 2 F
(def. X)
F 2 Ab y X ` F
(SI2 repetidas veces)
X2A
(A de carácter …nito).
£
¤
X estado Sea F b X si Y 2 Ab es tal que F ` Y entonces,
X`Y
(SI3)
X ` fyg para todo y 2 Y
(SI1)
Y bX
(def. X ).¤
4.4.2
Dominio inducido por un sistema de información
Proposition 237 La colección de los estados de un sistema de información forman una \estructura algebraica.
Demostración :
[\-estructura] Sea fAi gi2I µ jAj, como A es decreciente
son tales que X ` Y entonces
X b Ai para todo i 2 I (obvio)
Y b Ai para todo i 2 I
T
Y b
Ai
(Ai estado)
(obvio).
i2I
86
T
i2I
Ai 2 A. Si X b
T
i2I
Ai y Y 2 Ab
Por lo tanto
T
Ai es un estado y así jAj.es \-estructura.
i2I
[Algebraica] Sea fAigi2I µ jAj dirigida, como A es d-completa
Y 2 Ab son tales que X ` Y entonces
S
Ai 2 A. Si X b
i2I
S
Ai y
i2I
X b Ak para algún k 2 I (131)
Y b Ak
S
Y b
Ai
i2I
Por lo tanto
(Ak estado)
(obvio).
S
Ai es estado y así jAj es \-estructura algebraica.¤
i2I
Corollary 238 Sea A = (A; `) un sistema de información entonces (jAj ; µ) es un dominio
donde los elementos …nitos son los estados X con X 2 Ab.
Lemma 239 Sean A = (A; `A)y B =(B; `B ) sistemas de información, r µ Ab £ Bb relación
aproximable jrj : jAj ! jBj de…nida así:
jrj : jAj ¡!
x
jBj
7¡! [ fY 2 Bb j existe X b x con XrY g
es una función continua.
Demostración :
[Bien de…nida] Sean x 2 jAj, Y b jrj (x) y Z 2 Bb tales que Y `B Z.
para todo y 2 Y existe Xy b x tal que Xy r fyg (def. jrj )
S
Xy b x
(…nitud de cada Xy y de Y )
y2Y
S
y2Y
Xy 2 Ab
Ã
Y 2 Bb y
(A decreciente)
S
XrZ
(RA2 y RA3 repetidas veces)
Xy rY
y2Y
jrj (x) 2 B
!
(B de carácter …nito).
(RA3)
Z b r (x) (def. r (x) ).
Entonces r (x) 2 jBj.
[continua] Sean fxi gi2I µ-dirigida en jAj,
£
¤
fjrj (xi)gi2I dirigida Sean xi; xj 2 fxi gi2I y V b jrj (xi),
87
xi µ xk y xj µ xk para algún xk 2 fxi gi2I ( fxigi2I dirigida)
XrV para algún X b xi
(def. jrj (xi) )
V b jrj (xk )
(xi µ xk y def. jrj (xi) )
jrj (xi ) µ jrj (xk )
(obvio).
De la misma manera se demuestra que jrj (xj ) µ jrj (xk ), por lo tanto fjrj (xi )g i2I es dirigida
en jBj.
µ
¶¸
S
S
S
jrj (xi) µ jrj
xi
Si Y b
jrj (xi),
i2I
i2I
i2I
Y b jrj (xk ) para algún xk 2 fxi gi2I (lema 131)
XrY para algún X b xk
(def. jrj (xk ) )
µ
¶
µ
¶
S
S
S
Y b jrj
xi
(X b
xi y def. jrj
xi ).
i2I
i2I
µ
¶
¸
µ
¶i2I
S
S
S
jrj
xi µ
jrj (xi ) Si Y b jrj
xi ,
i2I
i2I
i2I µ
¶
S
S
XrY para algún X b
xi
(def. jrj
xi )
i2I
i2I
X b xk para algún xk 2 fxi gi2I (lema 131)
Y b jrj (xk )
S
Y b
jrj (xi)
(def. jrj (xk ) )
(obvio).¤
i2I
4.4.3
Sistema de información inducido por un dominio
Proposition 240 Sea D = (D; ) un dominio, SI (D) = (A; `), donde
¡ ¢
1. A µ } D0 tal que X 2 A , X es acotado superiormente en D,
2. X ` Y ,
W
Y
W
X,
es un sistema de información.
Demostración :
£ 0
¤
D = [A decreciente Si k 2 D0 es claro que fkg es acotado superiormente entonces fkg 2 A.
[A decreciente] Sea X 2 A si Y µ X,
existe x 2 D tal que k
x para todo k 2 X (X acotado superiormente)
existe x 2 D tal que k x para todo k 2 Y (Y µ X).
Entonces Y es acotado superiormente y asi Y 2 A.
88
[A d-completa] Sea fXigi2I µ-dirigida en A, si F b
existe k 2 I tal que F b Xk
existe x 2 D tal que k
S
Xi,
i2I
(lema 131)
x para todo k 2 Xk (Xk acotado superiormente)
existe x 2 D tal que k x para todo k 2 F (F b Xk ).
Entonces F es acotado superiormente.
S
Xi orden consistente en D
(def. orden consistente)
i2I
existe mínima cota superior de
S
S
Xi (D CCPO)
i2I
Xi 2 A
i2I
(
S
Xi acotado superiormente).
i2I
[SI1] Sea X 2 Ab si Y µ X,
W
W
Y
X (Y µ X)
X`Y
(def. ` ).
[SI2] Sean X; Y1; Y2 2 Ab tales que X ` Y1 y X ` Y2:
W
W
W
W
Y1
X y Y2
X
(def. ` )
W
X es cota superior de Y1 [ Y2 (obvio)
Y1 [ Y2 2 Ab
W
(Y1 [ Y2 ) 2 D
W
W
(Y1 [ Y2 )
X
Entonces X ` (Y1 [ Y2 ).
(def. A)
(lema 81)
(mínima cota superior).
[SI3] Sean X; Y; Z 2 Ab tales que X ` Y y Y ` Z,
W
W
W
W
Y
Xy Z
Y (def. ` )
W
W
Z
X
(transitividad del orden)
X`Z
(def. ` ).¤
Lemma 241 Sea f : D ! E una función continua entre los dominios D = (D;
(E;
W
Y
yE=
SI (f ) µ SI (D)b £ SI (E)b de…nida de la siguiente manera: (X; Y ) 2 SI (f) ,
W
E f ( X ), es una relación aproximable entre SI (D) y SI (E).
E ),
Demostración :
[RA1]
W
W
; =?D y ; =?E (D y E CPOs)
?E
D)
E
f (?D )
;SI (f ) ;
(f continua)
(def. SI (f ) ).
89
[RA2] Si XSI (f) Y1 y XSI (f ) rY2
W
W
W
W
Y1 E f ( X) y Y2 E f ( X) (def. SI (f ) )
W
f ( X) cota superior de Y1 [ Y2
(obvio)
W
W
W
(Y1 [ Y2 ) E f ( X )
(def.
)
Y1 [ Y2 2 SI (D)
(def. SI (D) )
XSI (f ) (Y1 [ Y2)
(def. SI (f ) ).
[RA3] Si X1 `SI(D) X2 , X2 SI (f ) Y2 y Y2 `SI(E) Y1 ,
W
W
W
W
W
W
X2 D X2, Y2 E f ( X2) y Y1 E Y2 (def. `SI(D) , SI (f ) y `SI(E) )
W
W
f ( X2) E f ( X1 )
(f monotona)
W
W
Y1 E f ( X1 )
(transitividad)
X1SI (f ) Y1
4.4.4
(def. SI (f) ).¤
functor jj : SISINF ! DOMS
Proposition 242 jj : SISINF ! DOMS es un functor.
Demostración:
[i] Gracias al corolario 238.
[ii a] Sea x 2 jAj,
jidAj (x) = fY 2 Ab j existe X b x con X ` Y g (def. jidAj )
=x
(x estado)
= idjAj
[ii b] Sea x 2 jAj,
(def. idjAj ).
(µ) Si Y b js ± rj (x)
X (s ± r) Y para algún X b x
(def. js ± rj )
XrZ y ZsY para algún Z 2 Bb (composición relaciones)
Z b jrj (x)
Y b jsj ± jrj (x)
(¶) Si Y b jsj ± jrj (x)
(def. jrj )
(def. jsj ).
ZsY para algún Z b jrj (x) (def. jsj )
XrZ para algún X b x
(def. jrj )
X (s ± r) Y
(composición relaciones)
Y b js ± rj (x)
(def. js ± rj ).¤
90
Proposition 243 SI () : DOMS ! SISINF es un functor.
Demostración:
[i] Gracias a la proposición 240.
[ii a]
(SI1) Si X; Y 2 SI (D) son tales que Y µ X,
W
W
Y
X
(X; Y acotados superiormente y Y µ X)
X (SI (idD)) Y (def. SI (idD) ).
(SI2) Si X (SI (idD)) Y1 y X (SI (idD)) Y2
W
W
W
W
Y1
X y Y2
X
(def. SI (idD) )
Y1 [ Y2 acotado superiormente (obvio)
W
W
W
(Y1 [ Y2 )
X
(def.
)
Y1 [ Y2 2 SI (D)
(def. SI (D) )
X (SI (idD)) (Y1 [ Y2)
(def. SI (idD) ).
(SI3) Si X (SI (idD)) Y y Y (SI (idD)) Z
W
W
W
W
Z
Y y Y
X (def. SI (idD ) )
W
W
Z
X
(transitividad)
X (SI (idD)) Z
(def. SI (idD ) ).
Entonces SI (idD) = `SI(D) .
[ii b] Sean f : C ! D y g : D ! E continuas
(µ) Si X (SI (g ± f )) Y ,
W
W
Y E g ± f ( X) (def. SI (g ± f) )
W
W
Y E g ( f (X)) (f continua)
f (X ) (SI (g)) Y
X (SI (f )) f (X )
(def. SI (g) )
W
W
( f (X) D f (X) )
X (SI (g) ± SI (f)) Y (def. SI (g) ± SI (f) ).
(¶) Si X (SI (g) ± SI (f )) Y
Z (SI (g)) Y y X (SI (f )) Z para algún Z 2 D
W
W
W
W
Y g ( Z) y Z f ( X )
W
W
g ( Z) g ± f ( X)
W
W
Y g ± f ( X)
X (SI (g ± f )) Y
91
(composición relaciones)
(def. SI (g) y SI (f ) )
(g monotona)
(transitividad)
(def. SI (g ± f ) ).¤
¡ ¢
Lemma 244 Sea D = (D; ) un dominio entonces Idl D0 = jSI (D)j
Demostración : Si SI (D) = (A; `)
¡ ¢
[µ] Sea X 2 Idl D0 .
X dirigido en D 0 (X ideal de D0)
X dirigido en D
F
X2D
(obvio)
(D CPO)
X 2 SI (D)
(def. SI (D) ).
Sean F b X y Y 2 Ab tales que F ` Y .
W
W
Y
F
(def. ` )
W
F 2 D0
(lema 86)
W
F
F
X
(F b X)
W
W
F k para algún k 2 X ( F …nito)
W
Y k
(transitividad)
Y bX
(X inferior)
Entonces X es un estado de SI (D).
[¶] Sea X 2 jSI (D)j.
[X inferior] Sean k1 2 X y k2 2 D 0 tales que k2
W
W
fk2g
fk1 g (obvio)
fk1 g ` fk2g
k1.
(def. ` )
k2 2 X
(X estado).
[X dirigido] Si F b X
F 2 Ab
(A decreciente)
F acotado superiormente (def. SI (D) )
W
Y 2D
(D CCPO)
W
F 2 D0
(lema 86)
W
W
W W
F ` f Fg
(def. ` y F = f Fg )
W
F 2X
(X estado).
Como X es inferior y dirigido entonces X es ideal de D0.¤
Corollary 245 Sea D = (D; ) un dominio entonces (D; ) es isomorfo a (jSI (D)j ; µ) :
Theorem 246 jj : SISINF ! DOMS es una equivalencia de categorías.
92
Demostración: Gracias al corolario anterior, y a las proposiciones 242 y 243 SISINF (A; B) =
SISINF (SI (jAj) ; SI (jBj)).¤
Corollary 247 SISINF es una categoría con productos y exponenciales.
93
Chapter 5
Operadores Clausura
Una noción de mor…smo clausura sobre O-categorías permite pensar, de manera muy abstracta,
sobre la máxima información que se puede obtener a partir de una información dada. Como es
usual una clausura debe poseer las siguientes características:
1. Toda información se puede obtener a partir de ella.
2. La máxima información obtenida a partir de una parte de una información esta contenida
en la máxima información obtenida a partir de toda la información.
3. Idempotencia o cerradura, es decir, existe una máxima información consistente que se
puede obtener a partir de una información.
Como la composición en las O-categorías es una operación continua, la segunda propiedad
siempre se tiene. Adicionalmente, una información es llamada cerrada si ella misma es la
máxima información que se puede obtener a partir de ella.
Un operador clausura es un objeto de la O-categoría dotado de una clausura, y los mor…smos entre ellos (los mor…smos compatibles) son aquellos que preservan las clausuras, es decir,
aquellos que al computar información de entrada es cerrada y es la misma información que la
obtenida al computar la información cerrada que la contiene.
La categoría de operadores clausura resulta ser una O-categoría, que hereda muchas de las
propiedades de la O-categoría. Por ejemplo, si la O-categoría tiene productos, la categoría de
operadores clausura también. Las siguientes son algunas de las propiedades que se heredan:
94
1. Producto.
2. Objeto inicial, terminal.
3. Exponencial (bajo una condición adicional).
4. Cartesiana cerrada.
5. Functores continuos.
El concepto de inmersión parcialmente compatible permite de…nir una subcategoría, llamada
alámbrica, de la O-categoría que facilita la busqueda de soluciones a ecuaciones recursivas
de dominios, ver sección 1.6.1. Una inmersión parcialmente compatible tiene las siguientes
propiedades:
1. La restricción de una información cerrada es igual a la información cerrada que contiene
a la restricción de la información.
2. La máxima información que se obtiene al computar una información es la misma que la
maxima obtenida al computar la máxima que la contiene.
El resultado más sorprendente es que a pesar de que la categoría de operadores clausura tiene
más estructura (se puede construir un functor inmersión de la O-categoría a la de operadores
clausura), para mostrar que es un buen modelo para la semántica denotacional es su…ciente
mostrar que la O-categoría es un modelo para la semántica denotacional.
5.1
Clausura
De…nition 248 Sea K una O-categoría.
Un K-mor…smo c : a ! a se dice mor…smo
clausura, o simplemente clausura, si
(C1) ida v c;
(C2) c = c ± c.
Es evidente que el mor…smo identidad, ida : a ! a; es una clausura.
De…nition 249 Sea K una O-categoría, un operador clausura (en K) es una pareja (a; c)
donde a es un K-objeto y c : a ! a es una clausura.
95
Lemma 250 Sea K una O-categoría. Si a es un K-objeto entonces (a; ida) es un operador
clausura.
De…nition 251 Sea K una O-categoría, un mor…smo f : a ! b es compatible con las
clausuras c a : a ! a y cb : b ! b si el siguiente diagrama conmuta:
Es decir, si f = cb ± f ± ca .
Lemma 252 Un mor…smo f : a ! b en una O-categoría K es compatible con las clausuras
ca : a ! a y cb : b ! b si y solo si los triangulos
Es decir, si f = f ± c a (FC1) y f = cb ± f (FC2).
Demostración:
[)] f = cb ± f
(FC1)
= cb ± f ± ca (FC2).
[(]
[FC1] f ± ca = cb ± f ± ca ± ca (f compatible)
= cb ± f ± ca
(C2)
=f
(f compatible).
96
[FC2] cb ± f = cb ± c b ± f ± c a (f compatible)
= cb ± f ± ca
(C2)
=f
(f compatible).¤
Proposition 253 Una clausura ca : a ! a es compatible consigo misma.
Demostración:
ca = c a ± ca
(C2)
= c a ± ca ± ca (C2).¤
Lemma 254 Sean ca : a ! a, cb : b ! b y c d : d ! d clausuras. Si f : a ! b es compatible con
ca y c b, y g : b ! d es compatible con cb y cd entonces g ± f es compatible con ca y c d.
Demostración:
g ± f = cd ± g ± f
(F C2)
= cd ± g ± f ± c a (F C1).¤
Dada una O-categoría K, se de…ne la categoría K (llamada la categoría de K-operadores
clausura) de la siguiente manera:
Objetos: operadores clausura (a; ca ) en K.
Mor…smo: un K-mor…smo entre operadores clausura (a; c a) y (b; cb) es cualquier K-mor…smo
f : a ! b compatible con ca y cb.
Lemma 255 K es una O-categoría, donde el orden en los mor…smos es el heredado de K, es
decir, f vK((a;ca );(b;cb )) g , f vK(a;b) g.
Demostración:
[i] Si ffi gi2I v-dirigido en K ((a; ca ) ; (b; cb ))
ffi gi2I v -dirigido en K(a; b) (obvio)
F
fi 2 K(a; b)
(K (a; b) CPO).
i2I
F
fi =
i2I
F
(cb ± fi ± Ca ) (lema 252)
i2I
F
= c b ± f i ± Ca
(K O-categoría).
i2I
F
Como
fi 2 K ((a; ca ) ; (b; cb )) entonces K((a; ca ) ; (b; cb)) es un CPO.
i2I
[ii] Obvio, ya que la composición es heredada de K.¤
97
5.2
Producto
Proposition 256 Sea K una O-categoría con productos binarios y (a £ b; ¼1; ¼2) un producto
en K.
1. ¼1 ± (ca £ cb) = c a ± ¼1 ± (ca £ c b) y ¼ 2 ± (ca £ c b) = c a ± ¼ 2 ± (ca £ c b).
2. Si f : (e; ce ) ! (a; ca ) y g : (e; ce ) ! (b; cb ) son K-mor…smos entonces hf; gi : (e; ce ) !
(a £ b; ca £ cb ) es un K-mor…smo.
3. ((a £ b; ca £ cb) ; ca ± ¼1 ± (ca £ cb ) ; cb ± ¼2 ± (c a £ cb )) es un producto en K.
Demostración:
1: ca ± ¼ 1 ± (ca £ cb ) = ca ± ¼1 ± hca ± ¼ 1; c b ± ¼ 2i (def. ca £ cb )
= ca ± ca ± ¼1
(def. ¼ 1)
= ca ± ¼1
(C2)
= ¼1 ± hc a ± ¼ 1; cb ± ¼ 2i
(def. ¼ 1)
= ¼1 ± (c a £ cb )
(def. ca £ cb ).
Una prueba similar se realiza para mostrar ¼ 2 ± (ca £ c b) = ca ± ¼ 2 ± (c a £ cb ).
2: (ca £ cb) ± hf; gi ± ce = hca ± f; cb ± gi ± ce
(lema 9)
= hca ± f ± c e; cb ± g ± ce i (lema 9)
= hf; gi
(lema 252).
3: ca ± ¼ 1 ± (ca £ cb ) ± hf; gi = ¼1 ± (ca £ cb ) ± hf; gi (parte 1)
= ¼1 ± hca ± f; c b ± gi
(lema 9)
= ¼1 ± hf; gi
(F C2)
=f
(¼ 1 proyección).
De igual manera se prueba que g = cb ± ¼ 2 ± (c a £ cb ) ± hf; gi.
[Unicidad] Sea h : (e; c e ) ! (a £ b; ca £ c b) tal que f = ca ± ¼ 1 ± (ca £ cb ) ± h y g = cb ± ¼2 ±
(ca £ c b) ± h.
98
f = ca ± ¼1 ± (ca £ cb ) ± h (premisa)
¼1 ± (ca £ cb ) ± h
(parte 1)
= ¼1 ± h
(F C2).
g = cb ± ¼2 ± (ca £ cb ) ± h (premisa)
= ¼ 2 ± (c a £ c b) ± h
(parte 1)
= ¼2 ± h
(F C2).
Entonces h = hf; gi pues (a £ b; ¼1; ¼ 2 ) es un producto en K.
4: Se sigue de la parte 3.¤
Corollary 257 Si K tiene productos binarios entonces K tiene productos binarios.
5.3
Objetos terminal e inicial
Proposition 258 Si 1 es un objeto terminal en la O-categoría K entonces (1; id1 ) es un objeto
terminal en K.
Demostración: Si 1 es un objeto terminal en K por el lema 250 (1; id1 ) es un operador
clausura.
[1a = c a ± 1a ± c1]
1a = c a ± 1a
(1 objeto terminal)
= c a ± 1a ± id1 (obvio)
= c a ± 1a ± c1 (def. c1 ).
[Unicidad] Sea f : (a; ca ) ! (1; id1 ) entonces
f : a ! 1 (f K-mor…smo)
f = 1a
(1 objeto terminal).¤
Corollary 259 Si K tiene objeto terminal entonces K tiene objeto terminal.
Proposition 260 Si 0 es un objeto inicial en la O-categoría K entonces (0; id0 ) es un objeto
inicial en K.
Demostración: Si 0 es un objeto inicial en K por el lema 250 (0; id0) es un operador clausura.
[0a = c 0 ± 0a ± c a]
99
0a = 0a ± ca
(0 objeto inicial)
= id0 ± 0a ± ca (obvio)
= c 0 ± 0a ± c a (def. c0 ).
[Unicidad] Sea f : (0; id0 ) ! (a; ca ) entonces
f : 0 ! a (f K-mor…smo)
f = 0a
(0 objeto inicial).¤
Corollary 261 Si K tiene objeto inicial entonces K tiene objeto inicial.
5.4
Exponenciación
Proposition 262 Sea K una O-categoría con exponenciación. Si [ida ! idb] vK([a!b];[a!b])
[ca ! cb] para todas c a : a ! a y cb : b ! b clausuras, entonces
1. [c a ! cb ] : [a ! b] ! [a ! b] es una clausura.
2. Si f : (d £ a; cd £ c a) ! (b; cb ) es K-mor…smo entonces curry (f ) : (d; cd ) ! ([a ! b] ; [c a ! cb ])
es un K-mor…smo.
¡
¡
¢¢
3. ([a ! b] ; [c a ! cb ]) ; c b ± eva;b ± id[a!b] £ ca es un exponencial en K.
Demostración:
1: [C1] Premisa.
[C2] [ca ! cb ] ± [c a ! cb ] = [c a ± ca ! cb ± c b] (composición)
= [c a ! cb ]
(C2).
2: [F C1] [ca ! cb] ± curry (f) = [ca ! idb] ± [ida ! cb ] ± curry (f) (obvio)
= [ca ! idb] ± curry (c b ± f )
(lema 17)
= [ca ! idb] ± curry (f )
(FC2)
= curry (f ± (idd £ ca ))
(lema 17)
= curry (f )
(FC1).
[FC2] curry (f ) ± c d = curry (f ± (c d £ ida )) (lema 17)
= curry (f )
(F C1).
3: [Existencia]
100
¡
¢
f = f ± id[a!b] £ c a
¡
¢
= cb ± f ± id[a!b] £ ca
(FC1)
¡
¢
= cb ± eva;b ± (curry (f) £ ida ) ± id[a!b] £ c a
(FC2)
(exponencial)
= cb ± eva;b ± (curry (f) £ ca )
(propiedad £ )
¡
¢
= cb ± eva;b ± id[a!b] £ ca ± (curry (f ) £ ca ) (propiedad £ y C2)
¡
¢
[Unicidad] Sea h : (d; cd) ! ([a ! b] ; [ca ! c b]) tal que f = c b ± eva;b ± id[a!b] £ ca ± (h £ c a).
¡
¡
¢
¢
curry (f ) = curry c b ± eva;b ± id[a!b] £ ca ± (h £ ca )
(unicidad del curry)
= curry (cb ± ev a;b ± (h £ ca ))
(propiedad £ y C2)
¡
¡
¢
¢
= curry c b ± eva;b ± id[a!b] £ ca ± (h £ ida) (propiedad £ y C2)
¡
¡
¢¢
= curry c b ± eva;b ± id[a!b] £ ca ± h
(lema 17)
= [ca ! cb] ± h
(def. [ca ! c b] )
=h
(FC2).¤
Corollary 263 Si K tiene exponenciales y !: Kop £ K ! K es localmente continuo entonces
K tiene exponenciales.
5.5
Continuidad
Proposition 264 Sea F : K ! K un functor localmente continuo, F : K ! K de…nido así:
F:
K
¡!
K
(a; c a) 7¡! (F (a) ; F (ca ))
f#
# F (f)
(b; c b) 7¡! (F (b) ; F (cb))
es un functor localmente continuo.
Demostración:
[F (c a) clausura]
(i) idF (a) = F (ida) (F functor)
v F (ca )
(F localmente continuo).
(ii) F (ca ) ± F (ca) = F (c a ± ca ) (F functor)
= F (c a)
£
¤
F (f) 2 K((a; ca ) ; (b; cb))
(C2).
101
F (f ) = F (cb ± f ± c a)
(lema 252)
= F (ca) ± F (f ) ± F (ca ) (F functor).
Entonces F : K ! K está bien de…nido.
£ ¡
¢
¤
F id(a;ca ) = id(F(a);F (ca ))
¡
¢
F id(a;ca ) = F (ca )
(def. id(a;ca ) )
= F (ca )
(def. F)
= id(F (a);F (ca )) (def. id(F (a);F(ca )) ).
£
¤
F (g ± f) = F (g) ± F (f )
F (g ± f ) = F (g ± f )
(def. F)
= F (g) ± F (f ) (F functor)
= F (g) ± F (f ) (def. F).
£
¤
Fµ
localmente
Sea ffigi2I v K((a; ca ) ; (b; cb)).
¶ continuo
µ
¶
F
F
F
fi
=F
fi
(def. F )
i2I
=
F
i2I
F (fi)
(F localmente continuo)
F (fi)
(def. F ).¤
i2I
=
F
i2I
De…nition 265 Sea K una O-categoría, (a; c a) y (b; cb ) operadores clausura. Una inmersión
f : a ! b se dice parcialmente compatible con ca y cb si:
1. c a ± f R = f R ± cb .
2. c b ± f = cb ± f ± ca ,
E
De…nition 266 Sea K una O-categoría, una subcategoría KE
¤ de K se dice alámbrica si
f; g : a ! b son KE
¤ -mor…smos implica f = g.
E
E
Proposition 267 Sea K una O-categoría, KE
¤ alámbrica. K¤ es la subcategoría de K tal que
E
cb ± f ± ca : (a; c a) ! (b; cb) es K¤ -mor…smo si f : a ! b es un KE
¤ -mor…smo e inmersión
parcialmente compatible con c a y cb . La composición es heredada de K y las identidades son las
clausuras.
E
Demostración: Sean h = c b ± f ± c a y k = cd ± g ± cb K¤ -mor…smos.
£
¤
id(a;ca ) = ca
102
h ± ca = c b ± f ± c a ± ca (def. h)
= cb ± f ± ca
(C2)
=h
(def. h).
cb ± h = cb ± cb ± f ± ca (def. h)
= cb ± f ± ca
(C2)
=h
[k ± h = cd ± g ± f ± ca ]
(def. h).
k ± h = c d ± g ± cb ± cb ± f ± ca (def. k y h)
= c d ± g ± cb ± f ± ca
(C2)
= c d ± g ± f ± ca
(propiedad 3 de g).
R
[Inmersión] Suposición h = ca ± f R ± c b.
hR ± h = ca ± f R ± c b ± cb ± f ± ca (def. hR y h)
= ca ± f R ± c b ± f ± c a
(C2)
= ca ± ca ± f R ± f ± c a
(propiedad 2 de f )
= ca ± f R ± f ± ca
(C2)
= ca ± ca
(f inmersión)
= ca
(C2).
h ± hR = cb ± e ± ca ± ca ± eR ± cb (def. hR y h)
= cb ± e ± ca ± eR ± c b
(C2)
= cb ± e ± eR ± cb
(propiedad 3 de f )
v cb ± cb
(K O-categoría)
v cb
(C2).¤
E
Corollary 268 olv : K¤ ! KE
¤ de…nido de la siguiente manera es un functor:
E
¡! KE
¤
olv : K¤
7¡! a
(a; ca )
# cb ± f ± ca
#f
7¡! b
(b; cb )
Demostración: Obvio.¤
Lemma 269 Sea K una O-categoría, KE
¤ alámbrica.
103
1. c a ± ¹ ± c : 4 ! (a; c a) es un cocono , ¹ : olv ± 4 ! a es un cocono.
2. c a ± ¹ ± c : 4 ! (a; c a) es un O-colímite , ¹ : olv ± 4 ! a es un O-colímite.
3. ¹ : olv ± 4 ! a es un colímite ) ca ± ¹ ± c : 4 ! (a; ca ) es un colímite.
Demostración:
1: ())
ca ± ¹k ± ck = c a ± ¹i ± ci ± ci ± 4 (k
= c a ± ¹i ± ci ± 4 (k
i) ± ck (ca ± ¹ ± c : 4 ! (a; ca ) cocono)
i) ± ck
(C2)
= c a ± ¹i ± 4 (k i) ± ck
Por unicidad ¹k = ¹i ± 4 (k i).
(propiedad 3 de ¹i ).
(()
ca ± ¹k ± ck = c a ± ¹i ± 4 (k
i) ± ck
= c a ± ¹i ± ci ± 4 (k
(¹ : olv ± 4 ! a cocono)
i) ± ck
(propiedad 3 de ¹i )
= c a ± ¹i ± ci ± ci ± 4 (k i) ± ck (C2).
Entonces ca ± ¹ ± c : 4 ! (a; ca ) cocono.
2: ())
µ
¶
¢
F
F¡
ca ±
¹i ± ¹R
± ca =
ca ± ¹i ± ¹R
i
i ± ca
i2I
i2I
=
F¡
i2I
=
F¡
i2I
ca ± ¹i ± c a ± ¹R
i ± ca
(K O-categoría)
¢
ca ± ¹i ± c a ± ca ± ¹R
i ± ca
= ca
= ca ± c a ± ca
Por unicidad ¹k = ¹i ± 4 (k i).
())
F¡
i2I
ca ± ¹i ± ca ± c a ± ¹R
i ± ca
¢
=
F¡
i2I
F¡
¢
(C2)
(ca ± ¹ ± c : 4 ! (a; ca ) O-colímite)
(C2)
¢
ca ± ¹i ± ca ± ¹R
(C2)
i ± ca
¢
ca ± ¹i ± ¹R
i ± ca
i2I
¢
F¡
= ca ±
¹i ± ¹R
i ± ca
=
(propiedad 3 de ¹i )
(propiedad 3 de ¹i)
(K O-categoría)
i2I
= ca ± ca
= ca
Entonces ca ± ¹ ± c : 4 ! (a; ca ) O-colímite.
(¹ : olv ± 4 ! a O-colímite)
(C2)
3: Si ca ± v ± c : 4 ! (d; cd ) es cocono
104
v : olv ± 4 ! d es cocono
(parte 1)
existe único f : a ! d mediador (¹ : olv ± 4 ! a colímite)
E
cd ± f ± ca : (a; c a) ! (a; ca)
(def. K¤ )
Entonces
cd ± f ± ca ± c a ± ¹i ± ci = c d ± f ± c a ± ¹i ± ci (C2)
= c d ± f ± ¹i ± c i
(propiedad 3 de f )
= c d ± vi ± c i
(f mediador).
Entonces cd ±f ± ca : (a; ca) ! (a; ca ) es mediador y como cd ± f ± ca es único entonces c a ±¹ ± c :
4 ! (a; c a) es colímite.¤
E
Proposition 270 Sea K una O-categoría, KE
¤ alámbrica y 4 : I ! K¤ un diagrama dirigido.
Si ¹ : olv ± 4 ! a es un O-colímite entonces
1. c a =
F
i2I
¹i ± c i ± ¹R
i : a ! a es una clausura.
R
2. c k ± ¹R
k = ¹k ± c a.
3. c a ± ¹k ± c k = ca ± ¹k .
Demostración:
1:
v ci ± ¹R
¹R
i
i
[C1]
(K O-categoría y C2)
v ¹i ± ci ± ¹R
(K O-categoría)
¹i ± ¹R
i
i
F
F
v ¹i ± c i ± ¹R
(obvio)
¹i ± ¹R
i
i
i2I
i2I
F
R
ida v ¹i ± c i ± ¹i (¹ : olv ± 4 ! a O-colímite).
i2I
[C2]
µ
F
i2I
¹i ±
ci ± ¹R
i
¶ µ
¶
F
F
R
R
±
¹i ± ci ± ¹i
=
¹i ± ci ± ¹R
(K O-categoría)
i ± ¹i ± ci ± ¹i
i2I
i2I
=
F
i2I
=
F
i2I
2: (v)
¹i ± ci ± ci ± ¹R
i
(¹i inmersión)
¹i ± ci ± ¹R
i
(C2).
105
R
ck ± ¹R
= ¹R
(¹k inmersión)
k
k ± ¹k ± ck ± ¹k
¢
F¡ R
F
v
¹k ± ¹i ± ci ± ¹R
(def.
fi)
i
v
i2I
¹R
k ±
F¡
i2I
¹i ± ci ±
¹R
i
v ¹R
k ± ca
¢
i2I
(K O-categoría)
(def. ca ).
(w)
R
m)R ± ¹R
m ± ci ± ¹i para algún m 2 I
(¹ : olv ± 4 ! a cocono)
= 4 (k
m)R ± ¹R
m ± ¹m ± 4 (i
(¹ : olv ± 4 ! a cocono)
= 4 (k
m)R ± 4 (i
m) ± ci ± ¹R
i
= 4 (k
m)R ± 4 (i
m) ± ci ± 4 (i
R = 4 (k
¹R
k ± ¹i ± c i ± ¹i
R
= 4 (k
m) ± 4 (i
v 4 (k
m)R ± c m ± ¹R
m
v ck ± 4 (k
m) ± c i ± ¹R
i
(¹m inmersión)
m)R ± ¹R
m
(¹ : olv ± 4 ! a cocono)
R
m) ± cm ± ¹R
m (propiedad 2 4 (i
m) ± 4 (i
(4 (i
m)R ± ¹R
m
m) inmersión)
(propiedad. 2 4 (k
v ck ± ¹R
k
m) )
m) )
(¹k inmersión).
Entonces
¢
F¡ R
¹k ± ¹i ± ci ± ¹R
v c k ± ¹R
(obvio)
i
k
i2I
¹R
k
±
F¡
i2I
¹i ± ci ± ¹R
i
¢
v c k ± ¹R
(K O-categoría)
k
¹R
v c k ± ¹R
(def. ca ).
k ± ca
k
3:
¹i ± ci ± ¹R
m)R ± ¹R
m ± ¹k para algún m 2 I (¹ : olv ± 4 ! a cocono)
i ± ¹k = ¹i ± ci ± 4 (i
m)R ± ¹R
m ± ¹m ± 4 (k
= ¹i ± ci ± 4 (i
= ¹m ± c i ± 4 (i
m)R ± 4 (k
m)
(¹ : olv ± 4 ! a cocono)
(¹m inmersión)
m)
= ¹m ± 4 (i
m)R ± cm ± 4 (k
m)
(propiedad 2 4 (i
m) )
= ¹m ± 4 (i
m)R ± cm ± 4 (k
m) ± c k
(propiedad 3 4 (k
m) )
(propiedad 2 4 (i
m) )
= ¹m ± c i ± 4 (i
m)R ± 4 (k
m) ± c k
= ¹i ± ci ± 4 (i
m)R ± ¹R
m ± ¹m ± 4 (k
= ¹i ± ci ± 4 (i
m)R ± ¹R
m ± ¹k ± ck
= ¹i ± ci ± ¹R
i ± ¹k ± ck
m) ± c k
(¹m inmersión)
(¹ : olv ± 4 ! a cocono)
(¹ : olv ± 4 ! a cocono).
Entonces
106
F¡
i2I
F¡
i2I
¹i ± ci ± ¹R
i ± ¹k
¢
=
¢
F¡
¹i ± c i ± ¹R
(obvio)
i ± ¹k ± ck
i2I
¢
F¡
¢
¹i ± ci ± ¹R
¹i ± c i ± ¹R
i ± ¹k =
i ± ¹k ± c k (K O-categoría)
i2I
ca ± ¹k
= ca ± ¹k ± ck
(def. ca ).¤
Corollary 271 ca ± ¹ : 4 ! (a; ca ) es un O-colímite.
Demostración:
¢
¢
F¡
F¡
ca ± ¹i ± ci ± ci ± ¹R
=
ca ± ¹i ± c i ± ¹R
(C2)
i ± ca
i ± ca
i2I
i2I
= ca ±
¢
F¡
¹i ± c i ± ¹R
i ± c a (K O-categoría)
i2I
= ca ± c a ± ca
(def. ca )
= ca
(C2).¤
E
Proposition 272 Sea K una O-categoría, KE
¤ alámbrica. Si K tiene K¤ -colímites localmente
E
determinados y KE
¤ es cocompleta entonces K
E
tiene K¤ -colímites localmente determinados y
E
K¤ es cocompleta.
E
Demostración: Sea 4 : I ! K¤ un diagrama dirigido.
existe ¹ : olv ± 4 ! a colímite
(KE
¤ cocompleta)
¹ : olv ± 4 ! a O-colímite
(KE
¤ -colímites localmente determinados)
µ
¶
F
¹ : 4 ! a; ¹i ± c i ± ¹R
O-colímite (proposición 270 y parte 2 lema 269)
i
µ i2I
¶
F
¹ : 4 ! a; ¹i ± c i ± ¹R
colímite
(parte 3 lema 269).¤
i
i2I
E
Corollary 273 Si F : K ! K es localmente continuo y F¤E : KE
¤ ! K¤ es un functor entonces
E
E
E
F ¤ : K¤ !K¤ es un functor continuo.
E
Demostración: Solo se necesita mostrar que F ¤ esta
bien de…nido.
³
´ ³
´R ³
´R ³
´¸
E
E
E
E
F ¤ (c a) ± F ¤ (f ) = F ¤ (f ) ± F ¤ (ca )
107
³ E
´ ³ E
´R
F ¤ (c a) ± F ¤ (f )
= F (c a) ± (F (f ))R
¡ ¢
= F (c a) ± F f R
¡
¢
= F ca ± f R
¡
¢
= F f R ± cb
¡ ¢
= F f R ± F (cb )
E
(def. F ¤ )
(F continuo)
(F functor)
(propiedad 2 de f )
(F functor)
= (F (f ))R ± F (c b)
(F continuo)
³
´R ³
´
E
E
E
= F ¤ (f) ± F ¤ (c a) (def. F ¤ ).
h E
i
E
E
E
E
F ¤ (cb ) ± F ¤ (f ) ± F ¤ (ca ) = F ¤ (cb ) ± F ¤ (f )
E
E
E
E
F ¤ (cb) ± F ¤ (f) ± F ¤ (ca ) = F (cb) ± F (f ) ± F (ca ) (def. F ¤ )
= F (cb ± f ± ca)
(F functor)
= F (cb ± f )
(propiedad 3 de f)
= F (cb) ± F (f )
(F functor)
E
E
= F ¤ (cb ) ± F ¤ (f )
108
E
(def. F ¤ ).¤
Chapter 6
Operadores clausura sobre
colecciones de conjuntos
Como se mostró en el capítulo 3, las colecciones de carácter …nito son un buen modelo para el
desarrollo de semántica denotacional. Las únicas fallas que presenta este modelo son:
1. No posee una noción de máxima información obtenible a partir de una dada.
2. No es un modelo equivalente a los dominios de Scott.
Como la categoría de colecciones de carácter …nito con funciones es una O-categoría, se puede
construir la categoría de operadores clausura, en la cúal la noción de máxima información
obtenible existe, y gracias a los resultados del capítulo anterior, ésta será un buen modelo para
la realización de semántica denotacional. Adicionalmente la categoría de operadores clausura
sobre colecciones de cáracter …nito resulta ser equivalente a la de dominios de Scott y más aún
isomorfa a la categoría de sistemas de información.
Independiente de los detalles técnicos, que resultan ser mucho más simples que en los otros
modelos, se pueden presentar los operadores clausura de una manera muy simple y natural de
la siguiente manera:
1. Una colección de conjuntos de información consistentes en la cúal:
(a) Cada token de información es consistente.
109
(b) Cada subconjunto de información de un conjunto de información consistente es consistente.
(c) Un conjunto de información es consistente si cada subconjunto de información es
consistente.
2. Una operación (la clausura) asociada a la colección tal que:
(a) Toda información consistente se puede obtener a partir de ella.
(b) La máxima información obtenida a partir de una parte de una información esta
contenida en la máxima información obtenida a partir de toda la información.
(c) Idempotencia o cerradura, es decir, existe una máxima información consistente que
se puede obtener a partir de una información.
Además, las funciones entre los operadores clausura garantizan que:
1. La información obtenida al computar un conjunto de información consistente es la misma
que la información obtenida de computar la información cerrada que la contiene.
2. La información obtenida al computar un conjunto de información consistente es la misma
que la información cerrada que contiene a la obtenida de computar la información.
3. La información obtenida al computar un conjunto de información consistente es consistente e igual a la unión de la información obtenida al computar cada uno de sus subconjuntos …nitos de información.
Como se puede apreciar los operadores clausura tienen una muy natural y facil descripción para
la teoría de la computabilidad, poseen un muy buen concepto de aproximación …nita. Además
gracias a los resultados de los capítulos 3 y 5 se pueden construir los operadores deseados y
las soluciones a las ecuaciones de dominios recursivas. Uno de los conceptos que se obtiene al
aplicar dichos resultados es el de suboperador, el cúal tiene una muy interesante interpretación.
Un operador clausura A es suboperador de otro B si:
1. Cada conjunto de información consistente en A es consistente en B.
110
2. La restricción respecto a A de cada conjunto de información consistente en B es consistente
en A.
3. La clausura de información consistente en B restringida a A es igual a la restricción a A
de la clausura de la información consistente en B.
6.1
Clausura …nitaria
De…nition 274 Sea A un conjunto, A µ } (A) decreciente. Una clausura sobre A es una
función C : A ! A que cumple:
C1. X µ C (X ) para todo X en A.
C2. Y µ X entonces C (Y ) µ C (X) para todo X; Y en A (monotonía).
C3. C(X ) = C(C(X)) para todo X en A. (idempotencia).
De…nition 275 Sea A es de carácter …nito y C : A ! A una clausura. C se dice …nitaria si
además cumple:
C4. La clausura de un conjunto X en A es igual a la unión de las clausura de sus subconjuntos
S
…nitos, es decir, para todo X 2 A se tiene que C(X) =
C (W ).
WbX
Esta de…nición es correcta ya que por la proposición 141 A es d-completa.
Lemma 276 Sea C : A ! A una función. Si C cumple C4 entonces cumple C2.
Demostración : Sean Y µ X,
S
C (Y ) =
C (W ) (def. C)
WbY
µ
S
C (W ) (si W b Y entonces W b X)
WbX
µ C (X)
(def. C).¤
Corollary 277 Si C : A ! A es una clausura …nitaria entonces C : A ! A es una clausura
en la categoría CCFF.
De…nition 278 La pareja (A; CA) es llamada un operador clausura …nitario si A es de
carácter …nito y C : A ! A es una clausura …nitaria.
Corollary 279 Un operador clausura …nitario es un operador clausura de la categoría CCFF.
111
6.2
Mor…smos entre operadores clausura …nitarios
De…nition 280 Sean (A; CA) y (B; CB ) operadores clausura …nitarios. Una función f : A ! B
es llamada …nitaria si
FF1. f (X) = f (CA (X)).
FF2. f (X) = CB (f (X )).
FF3. f (X) =
S
f (W).
W bX
Corollary 281 Sean (A; CA) y (B; CB ) operadores clausura …nitarios. En la categoría CCFF
una función f : A ! B …nitaria es compatible con las clausuras CA y CB .
6.3
Categoría de operadores clausura …nitarios (OCF)
OCF es la categoría de los operadores clausura …nitarios con las funciones …nitarias como
mor…smos. La identidad es la clausura …nitaria y la composición es la heredada de CCFF.
Demostración: Inmediata, OCF =CCFF.¤
6.4
6.4.1
Isomor…smo de las categorías OCF y SISINF
Sistema de información inducido por un operador clausura
Lemma 282 Sea C = (A; C) un operador clausura …nitario, de…nase, `C µ Ab£ Ab , de la
siguiente manera: para todo X; Y conjuntos …nitos de A, X in…ere a Y si y solo si Y está
contenido en la clausura de X, es decir, para X; Y 2 Ab,
X `C Y , Y µ C (X) :
La estructura SI(C) = (A; `C) es un sistema de información.
Demostración:
Por de…nición A es de carácter …nito.
[SI1] Si Y µ X 2 Ab ,
112
Y
µ C (Y ) (C1)
µ C (X) (C2)
X `C Y
(def. `C ).
[SI2] Si X `C Y1 y X `C Y2,
Y1 µ C (X)
(def. `C )
Y2 µ C (X)
(def. `C )
Y1 [ Y2 2 Ab
(A decreciente)
Y1 [ Y2 µ C (X) (obvio)
X `C (Y1 [ Y2) (def. `C ).
[SI3] Si X `C Y y Y `C Z,
Y µ C (X)
(def. `C )
Z µ C (Y )
(def. `C )
C (Y ) µ C (X ) (C2 y C3)
Z µ C (X)
(transitividad)
X `C Z
(def. `C ).¤
Lemma 283 Sean CA = (A; CA), CB = (B; CB ) operadores clausura …nitarios y f : CA ! CB
…nitaria. SI (f) µ Ab £ Bb , de…nida de la siguiente manera:
X (SI (f )) Y , Y µ f (X ) para todo X 2 Ab y todo Y 2 Bb ,
es una relación aproximable entre SI (CA) y SI (CB).
Demostración:
[RA1] Obvio, ; µ f (;) entonces ;rf ;.
[RA2] Sean X 2 Ab y Y1; Y2 2 Bb tales que X (SI (f )) Y1 y X (SI (f )) Y2 ,
Y1 µ f (X)
(def. SI (f ) )
Y2 µ f (X)
(def.SI (f ) )
Y1 [ Y2 2 Bb
(B decreciente)
Y1 [ Y2 µ f (X )
(obvio)
X (SI (f )) (Y1 [ Y2) (def. SI (f ) ).
[RA3] Sean X1; X2 2 Ab y Y1; Y2 2 Bb tales que X1 `CA X2 , X 2 (SI (f )) Y2 y Y2 `CB Y1,
113
µ f (X2)
Y2
(def. SI (f ) )
CB (Y2 ) µ CB (f (X2)) (C2)
µ f (X2)
(F F2)
µ f (X2)
Además, se tiene que
(def. `CB y transitividad).
µ CA (X1)
X2
(def. `CA )
f (X2 ) µ f (CA (X1 )) (FF 3)
µ f (X1)
(FF 1).
Por transitividad Y1 µ f (X1 ) entonces X1 (SI (f)) Y1.¤
6.4.2
Operador clausura inducido por un sistema de información
Lemma 284 Sea A = (A; `) un sistema de información, y CA : A ! A. La clausura inducida
por `, de…nida así:
CA : A ¡!
A
X 7¡! [ fY 2 Ab j 9F b X con F ` Y g
La estructura OpCl(A) = (A; CA) es un operador clausura …nitario.
Demostración:
[bien de…nido] Sea W b CA (X) y w 2 W
Fw
S
` fwg para algún Fw b X (def. CA)
Fw
(A de carácter …nito)
bX
w2W
W 2 Ab y F ` W
(aplicando repetidas veces SI1 y SI3).
Como A es de carácter …nito entonces CA (X) 2 A.
[C1] Sea W b X ,
W `W
(SI1)
W b CA (X) (def. CA)
X µ CA (X) (obvio).
[C2] Sean Y µ X conjuntos en A y W b CA (Y ),
F
` W para algún F b Y
W b CA (X)
Entonces CA (Y ) µ CA (X ).
(CA bien de…nido)
(F b X y def. CA).
[C3] Por C1 CA (X ) µ CA (CA (X)). Si W b CA (CA (X)),
114
F
` W para algún F b CA (X) (CA bien de…nido)
K
` F para algún K b X
(CA bien de…nido)
K
`W
(SI3)
W b CA (X)
Entonces CA (CA (X)) µ CA (X ) :
(def. CA ).
[C4] (µ) Sea F b CA (X),
` F para algún W b X (CA bien de…nido)
W
b CA (W )
S
CA (X ) µ
CA (W )
(def. CA)
F
(obvio).
WbX
(¶) Si W b X,
CA (W )
µ CA (X) (C2)
S
CA (W ) µ CA (X) (obvio).¤
WbX
Lemma 285 Sean A = (A; `A), B = (B; `B) sistemas de información y r : A ! B una
relación aproximable, OpCl (r) : OpCl(A) ! OpCl(B), de…nida de la siguiente manera:
OpCl (r) : OpCl(A) ¡!
X
OpCl(B)
7¡! [ fY 2 Bb j existe W b X con W rY g ;
es una función …nitaria.
Demostración:
[Bien de…nida] Sea Y b OpCl (r) (X) y y 2 Y
Wy
S
r fyg para algún Wy b X (def. OpCl (r) )
Wy
Y 2 Bb
(A de carácter …nito)
bX
y2Y
y
S
Wy ` Y
(aplicando repetidas veces RA2 y RA3).
y2Y
Como B es de carácter …nito entonces OpCl (r) 2 B.
[FF 1] (µ) Sea Y b OpCl (r) (X),
W rY para algún W b X (OpCl (r) bien de…nida)
Y b OpCl (r) (CA (X))
(W b CA (X) ).
Entonces OpCl (r) (X) µ OpCl (r) (CA (X )).
[FF 2] (µ) Obvia por C1. (¶) Sea Y b CB (OpCl (r) (X)),
115
F
`B Y para algún F b OpCl (r) (X) (CB bien de…nido)
K rF para algún K b X
(OpCl (r) bien de…nida)
K rY
(RA3)
Y b OpCl (r) (X )
(def. OpCl (r) (X) ).
Entonces CB (OpCl (r) (X)) µ OpCl (r) (X).
[FF 3] (µ) Sea Y b OpCl (r) (X ),
WrY para algún W b X
(OpCl (r) bien de…nida)
Y b OpCl (r) (W )
(def. OpCl (r) )
S
OpCl (r) (X) µ
OpCl (r) (W ) (obvio).
WbX
(¶) Si W b X y Y b OpCl (r) (W ),
KrY para algún K b W
(OpCl (r) bien de…nida)
Y b OpCl (r) (X )
(K b X y def. OpCl (r) )
OpCl (r) (W ) µ OpCl (r) (X)
(obvio)
S
OpCl (r) (W ) µ OpCl (r) (X ) (obvio).¤
WbX
6.4.3
functor SI : OCF ! SISINF
Proposition 286 Sean A = (A; `) un sistema de información y C = (A; C) un operador
clausura …nitario,
1. SI (OpCl (A)) = A.
2. OpCl (SI (C)) = C.
Demostración:
1: Sea A = (A; `) un sistema de información, entonces SI (OpCl (A)) = (A; `CA ) es un sistema
de información por los lemas 282 y 284. Sean X; Y 2 Ab tales que X ` Y ,
Y µ CA (X) (X b X y def. CA )
X `CA Y
(def. `C ).
b
Sean X; Y 2 A tales que X `CA Y , entonces
Y µ CA (X)
(def. `CA )
W ` Y para algún W b X (def. CA)
X`Y
(SI1 y SI3 ).
116
2: Sea C = (A; C) un operador clausura …nitario, OpCl (SI (C)) = (A; CAC ) es un operador
clausura por los lemas 282 y 284. Sea W b C (X),
W b C (Y ) para algún Y b X (C4)
Y `C W
(def. `C )
W µ CAC (Y )
(def. CAC )
W µ CAC (X)
(C2)
C (X) µ CAC (X )
Ahora sea W b CAC (X),
(obvio).
Y `C W para algún Y b X (def. CAC )
W b C (Y )
(def. `C )
W b C (X )
(C4)
CAC (X) µ C (X )
(obvio).¤
Proposition 287 Sean f una función …nitaria y r una relación aproximable entonces
1. OpCl (SI (f)) = f .
2. SI (OpCl (r)) = r.
Demostración:
1: Por los lemas 283 y 285 OpCl (SI (f )) es continua.
(µ) Sea X 2 A y V b OpCl (SI (f)) (X),
S
V b
OpCl (SI (f)) (W)
(FF 3)
WbX
V b OpCl (SI (f )) (W ) para algún W b X (lema 131)
W (SI (f )) V
(def. OpCl (SI (f)) )
V b f (W)
(def. SI (f) )
V b f (X)
(¶) Sea V b f (X),
S
V b
f (X)
(FF 3).
(F F3)
WbX
V b f (W) para algún W b X (lema 131)
W (SI (f )) V
(def. SI (f ) )
V b OpCl (SI (f )) (W )
(def. OpCl (SI (f )) )
V b OpCl (SI (f )) (X)
(F F3).
117
2: Por los lemas 283 y 285 SI (OpCl (r)) es una relación aproximable.
(µ) Sean X 2 A y Y 2 B tales que X (SI (OpCl (r))) Y ,
Y b OpCl (r) (X )
(def. SI (OpCl (r)) )
WrY para algún W b X (OpCl (r) bien de…nida)
XrY
(RA3).
(¶) Sean X 2 A y Y 2 B tales que XrY ,
Y b OpCl (r) (X ) (def. OpCl (r) )
X (SI (OpCl (r))) (def. SI (OpCl (r)) ).¤
Proposition 288 SI : OpClFin ! SysInf de…nido para objetos como en el lema 282 y para
los mor…smos como en el lema 283 es un functor.
Demostración:
£
¤
idSI(C) = SI (idC )
¡
¢
X idSI(C) Y , X `SI(C) Y
, Y µ C (X)
(def. idSI(C) )
(def. `SI(C) )
, X (SI (C)) Y (def. SI (C) ).
[SI (g ± f) = SI (g) ± SI (f )] Sean f : A ! B y g : B ! C …nitarias,
(µ) Si X (SI (g ± f )) Y
Y µ g ± f (X)
S
Y µ
g (W )
(def. SI (g ± f ) )
X (SI (f )) W y W (SI (g)) Y
(def. SI (f ) y SI (g) )
(g …nitaria)
Wbf(X)
Y µ g (W ) para algún W b f (X) (lema 131)
X (SI (g) ± SI (f)) Y
(¶) Si X (SI (g) ± SI (f )) Y
(composición de relaciones).
X (SI (f )) W y W (SI (g)) Y para algún W 2 Bb (composición de relaciones)
W b f (X) y Y b g (W )
(def. SI (f ) y SI (g) )
Y µ g ± f (X)
(F F3 y transitividad)
X (SI (g ± f )) Y
(def. SI (g ± f ) ).¤
Proposition 289 OpCl : SysInf ! OpClFin de…nido para objetos como en el lema 284 y
para los mor…smos como en el lema 285 es un functor.
Demostración:
118
£
¤
idOpCl(A) = OpCl (idA) Sea X 2 A entonces
idOpCl(A) (X) = CA (X)
(def. idOpCl(A) )
= [ fY 2 Ab j 9F b X con F ` Y g (def. CA (X ) )
= OpCl (`A )
[OpCl (s ± r) = OpCl (s) ± OpCl (r)]
(µ) Si Y b OpCl (s ± r) (X)
S
Y b
OpCl (s ± r) (X )
(def. OpCl (`A) ).
(FF3)
WbX
W (s ± r) Y para algún W b X
(lema 131)
WrV y V sY para algún V 2 Bb
(composición de relaciones)
V b OpCl (r) (W ) y Y b OpCl (s) (V ) (def. OpCl (r) y OpCl (s) )
Y b OpCl (s) ± OpCl (r) (W)
S
Y b
(OpCl (s) ± OpCl (r) (W ))
(FF3 y transitividad)
(obvio)
WbX
Y b OpCl (s) ± OpCl (r) (X)
(µ) Si Y b OpCl (s) ± OpCl (r) (X )
S
Y b
OpCl (s) (V )
(FF3).
(F F3)
V bOpCl(r)(X)
Y b OpCl (s) (V ) para algún V b OpCl (r) (X ) (lema 131)
S
V b
OpCl (r) (W )
(F F3)
WbX
V b W para algún W b X
(lema 131)
V sY y W rV
(def. OpCl (s) y OpCl (r) )
V sY y XrY
(RA3)
X (s ± r) Y
(composición relaciones)
Y b OpCl (s ± r) (X)
(def. OpCl (s ± r) ).¤
Theorem 290 SI : OpClFin ! SysInf es un isomor…smo de categorías.
Demostración: Inmediata por los lemas 282, 283, 284, 285 y las proposiciones 288 y 289.¤
119
Equivalencia de las categorías OCF y DOMS
6.5
6.5.1
Dominio inducido por un operador clausura …nitario
De…nition 291 Sea A =(A; C) un operador clausura …nitario, X 2 A se dice cerrado si X =
C (X). La subcolección de conjuntos cerrados de A se nota A.
Lemma 292 A es una \-estructura algebraica.
Demostración:
[\-estructura] Sea fXi gi2I µ A,
T
(µ)
Xi 2 A
(A decreciente)
i2I
µ
¶
T
T
Xi µ C
Xi
(C1).
i2I
Ti2I
(¶) Si W b
Xi ,
i2I
W b Xi para todo i 2 I (obvio)
C (W ) µ C (X i)
(C2)
C (W ) µ Xi
T
C (W ) µ X i
(Xi cerrado)
S
Wb
T
(obvio)
i2I
C (W ) µ
C (W ) µ
Xi
(obvio)
i2I
Xi
i2I
T
T
(C4).
Xi
i2I
[algebraica] Sea fXig i2I v A,
(µ)
S
Xi 2 A
i2I
S
Xi µ C
(A d-completa)
µ
S
Xi
Si2I
(¶) Si W b
Xi ,
i2I
¶
(C1).
i2I
120
W b Xi para algún i 2 I (lema 131)
C (W ) µ C (X i)
(C2)
C (W ) µ Xi
S
C (W ) µ X i
(Xi cerrado)
S
Wb
S
i2I
C (W ) µ
(obvio)
S
Xi
(obvio)
i2I
Xi
i2I
C (W ) µ
S
Xi
(C4).¤
i2I
Lemma 293 Sea f : A ! B una función …nitaria, f : A ! B de…nida así:
f: A
¡! B
X 7¡! f (X)
es continua.
Demostración:
[Bien de…nida]
f (X ) = CB (f (X)) (FF 2)
f (X ) 2 B
(obvio).
[Continua] Se sigue del lema 148.¤
6.5.2
Operador clausura …nitario inducido por un dominio
©
ª
Lemma 294 Sea D = (D; ) un dominio de Scott, D0 = S µ D 0 j S es orden consistente en D
es una colección de carácter …nito.
Demostración:
[Decreciente] obvia.
[d-completa] Sea fXi gi2I µ-dirigida en D0 , y F b
F b Xi para algún i 2 I
(lema 131)
F acotado superiormente (Xi orden consistente)
S
Xi orden consistente (obvio).
i2I
S
Entonces
Xi 2 D0 .¤
i2I
121
S
i2I
Xi,
¡
¢
Lemma 295 Sea D = (D; ) un dominio de Scott, OpCl (D) = D0 ; C , donde C : D0 !
©
W ª
D0 esta de…nido asi C (X) = x 2 D0 j x
X , es un operador clausura …nitario.
Demostración:
[Bien de…nido] Es claro que C (X) = DW X, y como DW X es dirigido en D, entonces C (X ) 2
D0 .
[C1, C2 y C3] Obvias.
[C4]
(µ) Sea X 2 A, por C2 se tiene que fC (W )gWbX es dirigido, sea F b
F b C (W ) para algún W b X (lema 131)
S
C (W).
WbX
F acotado en C (W )
(C (W ) dirigido en D)
S
F acotado en
C (W )
(obvio).
S WbX
Entonces
C (W) es dirigido en D. Si W b X,
WbX
µ C (W )
(C1)
S
X
µ
C (W )
(C2 y A d-completa)
WbX
µ
¶
W
F
S
X
C (W)
(obvio)
W
WbX
Sea x 2 C (X)
W
x
X
µ
F S
C (W )
WbX
y para algún y 2
¶
(def. C (X) )
(transitividad)
S
C (W)
(k …nito)
WbX
y para algún y 2 C (W ) con W b X (obvio)
W
W
(transitividad).
S
Entonces x 2 C (W ) y asi C (X) µ
C (W ).
WbX
(¶) Se sigue de C2.¤
Lemma 296 Sea f : A!B una función continua, OpCl (f ) : A ! B de…nida así:
OpCl (f) : A
¡! B
X 7¡! f (CA (X))
es …nitaria.
122
Demostración:
[bien de…nida] Obvio.
[FF 1] Por de…nición.
[FF 2]
OpCl (f) (X) = f (CA (X))
(def. OpCl (f ) )
(f (CA (X)) 2 B)
= CB (f (CA (X)))
= CB (OpCl (f) (X)) (def. OpCl (f ) ).
[FF 3] Sea X 2 A,
OpCl (f) (X) = f (CA (X))
(def. OpCl (f ) )
µ
¶
S
=f
CA (W )
(C4)
S
W bX
f (CA (W ))
(f continua)
OpCl (f) (W )
(def. OpCl (f ) ).¤
WbX
S
WbX
6.5.3
functor G : OCF ! DOMS
¡ ¢
Proposition 297 OpCl (D) = Idl D0 .
Demostración:
[µ] Obvia.
[¶] Sea a 2 D,
2 OpCl (D)
©
C (Da) = k 2 D0 j k
©
= k 2 D0 j k
Da
= Da
Da
2 OpCl (D)
Corollary 298
W
a
ª
Da
ª
(Da orden consistente)
(def. C )
W
( Da = a)
(obvio)
(Da cerrado).¤
³
´
OpCl (D); µ ' (D; ).
Corollary 299 Sea f : A ! B, entonces OpCl (f ) = f.
Proposition 300 G : OCF ! DomS de…nido de la siguiente manera:
123
G : OCF ¡! DomS
A
7¡! A
#f
#f
B
7¡! B
Es un functor.
Demostración:
£
¤
idA = idA
C (X) = C (C (X)) (def. C)
= C (X)
(C3)
=X
(X cerrado)
= idA (X)
(def. idA ).
£
¤
g ±f = g ± f
g ± f (X) = g ± f (CA (X))
(def. g ± f)
= g (CB (f (CA (X)))) (FF 2)
¡ ¡
¢¢
= g CB f (X)
(def. f )
= g ± f (X)
(def. g).¤
Theorem 301 : OCF ! DomS es una equivalencia de categorías.
Demostración: Inmediata de los corolarios 298 y 299.¤
6.6
6.6.1
Construcciones
Suboperador
De…nition 302 Sean A = (A; CA) y B = (B; CB ) operadores clausura …nitarios. A es suboperador de B, notado A E B, si
(i) A E B.
(ii) CA (X \ ([A)) = CB (X) \ ([A) para todo X en B:
124
6.6.2
Subcategoría OCFE
E
Lemma 303 Sean A y B operadores clausura …nitarios tales que A E B. eAEB es inmersión
parcialmente compatible con CA y CB .
Demostración:
[inmersión] Se sigue del corolario 158.
[i]
CA (eAEB (X)) = CA (X)
(def. eAEB )
= CB (X) \ ([A) (A E B)
= eR
AEB (CB (X))
(def. eR
AEB ).
[ii]
(µ) CB (eAEB (X)) µ CB (eAEB (CA (X ))) (CA clausura y CCF O-categoría).
(¶)
CB (eAEB (CA (X ))) = CB (CA (X))
(def. eAEB)
= CB (CB (X) \ ([A)) (A E B)
µ CB (CB (X))
(C2)
µ CB (X )
(C3)
µ CB (eAEB (X ))
(def. eAEB).¤
E
De…nition 304 OCFE
E es la categoría de operadores clausura generada por CCFE , es decir,
E
OCFE
E = CCFE
Proposition 305 OCFE
E es cocompleta, y tiene objeto inicial.
Demostración : Se sigue del corolario 164 y al lema 165.¤
Proposition 306 OCF tiene OCFE
E -colímites localmente determinados.
Demostración : Se sigue de la proposición 164.¤
6.6.3
Producto
Lemma 307 Sean A =(A; CA ) y B = (B; CB ) operadores clausura …nitarios el producto de A
y B es A £ B = (A £ B; CA£B), donde
125
( i ) A £ B es el producto de A y B.
( ii ) CA£B (1 £ X [ 2 £ Y ) = 1 £ CA (X) [ 2 £ CB (Y ).
Demostración : Se sigue de la proposición 256.¤
Corollary 308 Sean A = (A; C) y B = (B; CB) operadores clausura …nitarios. Entonces existe
¡
¢ ¡
¢
un isomor…smo de dominios A £ B; µ ' A £ B; µ , dado por:
Ã:
A£B
A £B
¡!
1 £ CA (X) [ 2 £ CB (Y ) 7¡! (CA (X) ; CB (Y )) :
Demostración :
[Ã bien de…nida] Obvio.
[Ã inmersión de orden]
())Si 1 £ CA (S) [ 2 £ CB (T ) µ 1 £ CA (X ) [ 2 £ CB (Y )
CA (S) µ CA (X) y CB (T ) µ CB (Y ) (lema 167)
(CA (S) ; CB (T )) (CA (X) ; CB (Y )) (def. producto dominios).
(() Sean 1 £ CA (S) [ 2 £ CB (T) y 1 £ CA (X ) [ 2 £ CB (Y ) tales que (CA (S) ; CB (T ))
(CA (X) ; CB (Y )),
CA (S) µ CA (X) y CB (T ) µ CB (Y )
(def. producto dominios)
1 £ CA (S) [ 2 £ CB (T ) µ 1 £ CA (X ) [ 2 £ CB (Y ) (lema 167).
[Ã sobre] : Sea (CA (X ) ; CB (Y )) 2 A £ B,
(1 £ CA (X) [ 2 £ CB (Y )) 2 A £ B
(def. A £ B)
à (1 £ CA (X ) [ 2 £ CB (Y )) = (CA (X) ; CB (Y )) (def. Ã):¤
Lemma 309 £ : OCF £ OCF ! OCF es un functor localmente continuo.
Demostración : Se sigue de la proposición 176 y de la proposición 264.¤
E
E
E
Corollary 310 £E
E : OCFE £ OCFE ! OCFE es continuo.
Demostración : Se sigue del corolario 177 y del corolario 273.¤
126
6.6.4
Levantado (Lifting)
De…nition 311 Sea A = (A; C) un operador clausura …nitario, el levantado de A es A? =(A?; C?),
donde
(i) A? es el levantado de A.
(ii) C? (;) = ;.
(iii) C? (1 £ X ) = C? (1 £ X [ 0) = 1 £ CA (X) [ 0.
Lemma 312 A? =(A?; C?) es un operador clausura …nitario.
Demostración : Se sigue de la proposición 183 y el corolario 185.¤
Corollary 313 Sea A = (A; C) un operador clausura …nitario. Entonces existe un isomor…smo
¡
¢ ¡
¢
de dominios A?; µ ' A; µ ?, dado por
Ã:
A?
¡!
A?
;
7¡!
0
1 £ CA (X) [ 0 7¡! (1; CA (X)) :
Demostración :
[Ã bien de…nida] : (obvia).
[Ã inmersión de orden] : Sean X; Y 2 A tales que 1 £ CA (Y ) [ 0 µ 1 £ CA (X) [ 0 entonces
CA (Y ) µ CA (X). De esta manera (1; CA (Y ))
(1; CA (X)).
[à sobre] : Si (1; CA (X)) 2 A? obviamente 1 £ CA (X) [ 0 2 A? y à (1 £ CA (X) [ 0) =
(1; CA (X)).¤
Lemma 314 ? : OCF ! OCF es un functor localmente continuo.
Demostración : Se sigue de la proposición 183 y de la proposición 264.¤
E
E
Corollary 315 ?E : OCFE
E ! OCFE es continuo.
Demostración : Se sigue del corolario 185 y del corolario 273.¤
127
6.6.5
Suma separada
De…nition 316 Sean A =(A; CA) y B = (B; CB ) operadores clausura …nitarios la suma de A
y B es A + B = (A + B; CA+B), donde
(i) CA+B (;) = ;
(ii) CA+B (1 £ X) = 1 £ CA? (X)
(iii) CA+B (2 £ X) = 2 £ CB? (X).
Proposition 317 A + B es un operador clausura.
Demostración : Se sigue de la proposición 200.¤
Corollary 318 Sea A = (A; C) un operador clausura …nitario. Entonces existe un isomor…smo
¡
¢ ¡
¢
de dominios A + B; µ ' A + B; µ , dado por
Ã:
A+ B
¡!
A+B
CA+B (1 £ X) 7¡! (1; CA? (X))
CA+B (2 £ X) 7¡! (2; CB? (X))
Demostración :
[Ã bien de…nida] : (obvia).
[Ã inmersión de orden] : Sean X; Y 2 A tales que 1£CA? (Y ) µ 1£CA? (X) entonces CA? (Y ) µ
CA? (X). De esta manera (1; CA? (Y ))
(1; CA? (X)). De igual manera se prueba (2; CB? (Y ))
(2; CB? (X )) si 2 £ CB? (Y ) µ 2 £ CB? (X).
[à sobre] : Si (1; CA? (X)) 2 A + B obviamente 1 £ CA? (X ) 2 A + B y à (1 £ CA? (X)) =
(1; CA? (X )). Una prueba similar se hace para (2; CB? (X )).¤
Lemma 319 + : OCF £ OCF ! OCF es un functor localmente continuo.
Demostración : Se sigue de la proposición 200 y de la proposición 264.¤
E
E
E
Corollary 320 +E
E : OCFE £ OCFE ! OCFE es continuo.
Demostración : Se sigue del corolario 200 y del corolario 273.¤
128
6.6.6
Espacio de funciones
De…nition 321 Sean A = (A; CA) y B = (B; CB) operadores clausura …nitarios, el espacio de
funciones de A y B es A ! B = (A ! B; CA!B ), donde
CA!B (S) = ff 2 F inGenA;B j f (X) µ CB ± fun (S) ± CA (X ) , para todo X 2 Ag,
con S 2 A ! B.
Lemma 322 CA!B = [CA ! CB ].
Demostración :
[CA ! CB ] (S) = con (CB ± f un (S) ± CA )
(def. [CA ! CB ] )
= ff 2 FinGenA;B j f (X) µ CB ± f un (S) ± CA (X)g (def. con (h) )
= CA!B (S)
(def. CA!B ).¤
Proposition 323 Sean A = (A; CA) y B = (B; CB ) operadores clausura …nitarios,
1. A ! B = (A ! B; CA!B ) es un operador clausura …nitario.
¡
¡
¢¢
2. A ! B; CB ± evA;B ± id[A!B] £ CA es un exponencial categórico en OCF.
Demostración: Por el teorema 217!: CCFFop £ CCFF ! CCFF es localmente continuo entonces por el corolario 263 se tiene [1] y [2].¤
Corollary 324 Sea A = (A; CA) y B = (B; CB) operadores clausura. Entonces existe un
³
´ ¡£
¤ ¢
isomor…smo de dominios [A ! B]; µ ' A ! B ; , dado por
Ã:
³
[A ! B]; µ
S
´
¡!
7¡!
¡£
¤ ¢
A !B ;
f un (S)
Demostración :
[Ã bien de…nida] Por las proposiciones 293 y 296.
[Ã inmersión de orden] (Inmediata)
()) Sean S; T 2 [A ! B] tales que T µ S y X 2 A. Si g 2 T entonces g (X) µ fun (S) (X),
S
por lo tanto f un (T) (X) =
g (X) µ fun (S) (X). Entonces fun (T ) f un (S).
g2T
129
(() Sea g 2 T entonces g (X) µ f un (T ) (X) y como f un (T )
f un (S) se tiene que g (X ) µ
f un (S) (X ), por lo tanto g 2 S.
[Ã sobre] Sea f : A ! B continua,
OpCl (f) : A ! B …nitaria
(proposición 293)
con (OpCl (f)) 2 A ! B
(corolario 206)
fun (con (OpCl (f))) = OpCl (f)
(corolario 206)
à (CA!B (fun (con (OpCl (f))))) = OpCl (f ) (def. Ã)
à (CA!B (con (OpCl (f)))) = f
(proposición 209).¤
Lemma 325 ! : OCFop £OCF ! OCF es un functor localmente continuo.
Demostración : Se sigue de la proposición 217 y de la proposición 264.¤
E
E
E
Corollary 326 !E
E : OCFE £ OCFE ! OCFE es continuo.
Demostración : Se sigue del corolario 218 y del corolario 273.¤
6.7
6.7.1
Solución a ecuaciones recursivas de dominios
El tipo de una lista de objetos de tipo A
Una lista de objetos de tipo A se de…ne sintácticamente de la siguiente manera:
Lista = A £ Lista.
Para encontrar el tipo de dicha lista, es decir, su signi…cado, es necesario encontrar un operador
E
clausura T = (T ; CT ) y un endofunctor ListaA : OCFE
E ! OCFE para los cúales el siguiente
isomor…smo se de:
ListaA (T) ' A £ ListaA (T ).
Es evidente que el functor ListaA se puede expresar como ListaA = £ ± (KA; Id), donde,
E
E
£ : OCFE
E £ OCFE ! OCFE , es el functor producto.
E
KA : OCFE
E ! OCFE , es el functor constante.
E
Id : OCFE
E ! OCFE , es el functor identidad.
Como cada uno de estos functores es continuo, también lo es ListaA. Utilizando el teorema de
punto …jo:
130
?
# e?E(A£?)
A£ ?
# e(AEA)£(?E(A£?))
A £ (A£ ?)
# e(AEA)£((AEA)£(?E(A£?)))
A £ (A £ (A£ ?))
# e(AEA)£((AEA)£((AEA)£(?E(A£?))))
:
:
A £ (A £ (A £ (A £ (A £ (:::: ?))::::)))
Entonces T ' A £ (A £ (A £ (A £ (A £ (:::: ?))::::))).
6.7.2
El tipo de un árbol binario de objetos de tipo A
Una árbol binario de objetos de tipo A se de…ne sintácticamente de la siguiente manera:
Arbol = Arbol £ A £ Arbol.
Para encontrar el tipo de dicha árbol, es decir, su signi…cado, es necesario encontrar un operador
E
clausura T = (T ; CT ) y un endofunctor ArbolA : OCFE
E ! OCFE para los cúales el siguiente
isomor…smo se de:
Arbol A (T) ' Arbol A (T ) £ (A £ Arbol A (T )).
Es evidente que el functor Arbol A se puede expresar como ArbolA = £ ± (Id; ListaA). Como
cada uno de estos functores es continuo, también lo es ArbolA. Utilizando el teorema de punto
…jo:
131
?
#
? £ (A£ ?)
#
(? £ (A£ ?)) £ (A £ (? £ (A£ ?)))
#
((? £ (A£ ?)) £ (A £ (? £(A£ ?)))) £ (A £ (? £ (A£ ?)) £ (A £ (? £ (A£ ?))))
#
:
:
((? £ (A£ ?)) £ (A £ (? £::::))) £ (A £ (? £ (A£ ?)) £ (A £ (? £::::)))
Entonces T ' ((? £(A£ ?)) £ (A £ (? £::::))) £ (A £ (? £(A£ ?)) £ (A £ (? £::::))).
132
Chapter 7
Relaciones de Consecuencia
Durante los últimos años se ha tratado de encontrar una de…nición formal abstracta de la
noción de ’lógica’, sin tener mayor exito. La noción de relación de consecuencia y/o nociones
estrechamente relacionadas con ésta, tales como sistema axiomático, sistema de verdad y sistema
clausura, han sido usadas para capturar varias de las facetas de dicha noción de ’lógica’.
A pesar de ser de…niciones hechas para el estudio de la noción de lógica, la conexión entre
operadores clausura y relaciones de consecuencia es inmediata; los sistemas clausura debiles
son \-estrucuturas algebraicas al igual que la colección de conjuntos cerrados de un operador
clausura. El único detalle es que los mor…smos de unos y los otros son muy diferentes.
7.1
7.1.1
Consecuencia tradicional …nitaria
Sistemas axiomáticos
De…nition 327 Un sistema axiomático es una estructura (A; ©), donde A es un conjunto
y © µ }b (A) £ A.
De…nition 328 Una función ¼ : (A; ©) ! (A0 ; ©0 ) es una función ¼ : A ! A0 tal que
si (¡; ®) 2 © entonces (¼ (¡) ; ¼ (®)) 2 ©0 .
De…nition 329 Sea (A; ©) un sistema axiomático, X µ A se dice ©-cerrado si (¡; ®) 2 © y
¡ µ X entonces ® 2 X. A la familia de conjuntos ©-cerrado se le nota cl (©).
133
Lemma 330 Sea (A; ©) un sistema axiomático, ¡ 2 }b (A) y ©¡ = fX j X es ©-cerrado y ¡ µ Xg.
\©¡ es ©-cerrado.
Demostración:
Sean ª µ \©¡ y ® 2 A tal que (ª; ®) 2 ©. Es claro que ª µ X para todo X 2 ©¡, como cada
X 2 ©¡ es ©-cerrado entonces ® 2 X para todo X 2 ©¡ . Por lo tanto ® 2 \©¡.¤
7.1.2
Relaciones de consecuencia
De…nition 331 Una relación de consecuencia es una sistema axiomático (A; `) que satisface:
(i) f®g ` ® (re‡exividad),
(ii) Si ¡ ` ® entonces ¡ [ f'g ` ® (monotonía),
(iii) Si ¡ ` ' y ¡ [ f'g ` ® entonces ¡ ` ® (transitividad).
Lemma 332 Sea (A; ©) un sistema axiomático, de…na `©µ }b (A) £A de la siguiente manera
¡ `© ® si y solo si ® 2 ©¡ . La estructura (A; `© ) es una relación de consecuencia.
Demostración:
[i] (obvia) ® 2 ©f®g.
[ii] Sea X 2 ©¡[f'g , entonces ¡ [ f'g µ X. Por transitividad ¡ µ X y por lo tanto X 2 ©¡ ,
entonces \©¡[f'g µ \©¡ .
[iii] Si ' 2 \©¡ entonces ¡ [ f'g µ \©¡. Como \©¡ es ©-cerrado entonces \©¡ 2 ©¡[f'g,
por lo tanto, \©¡[f'g µ \©¡.¤
Proposition 333 El functor inclusión CR ,! AS tiene un adjunto izquierdo AS ! CR que
asocia a cada sistema axiomático (A; ©) la relación de consecuencia (A; `© ).
7.1.3
Sistemas de verdad
De…nition 334 Un sistema de verdad es una estructura (A; M), donde A es un conjunto y
M µ } (A).
134
De…nition 335 Una función ¼ : (A; M) ! (A0 ; M 0 ) es una función ¼ : A ! A0 tal que
si X 2 M 0 entonces ¼ ¡1 (X) 2 M.
Proposition 336 Se puede construir un functor de AS ! T S el cual se factoriza AS ! CR !
T S. Más aun, CR ! T S tiene un adjunto derecho el cual asocia a cada sistema verdad (A; M)
una relación de consecuencia (A; j=M ), donde ¡ ²M ® si y solo si (8X 2 M) [¡ µ X ) ® 2 M].
7.1.4
Sistemas clausura
De…nition 337 Un sistema clausura es un sistema de verdad (A; M) que cumple
(i) \X 2 M para todo X µ M.
(ii) [X 2 M para toda familia µ-dirigida X µ M.
De…nition 338 Un sistema clausura debil es un sistema de verdad (A; M) que cumple
(i) \X 2 M para todo ; 6= X µ M.
(ii) [X 2 M para toda familia µ-dirigida X µ M.
7.2
Relaciones de consecuencia y operadores clausura …nitarios
¡
¢
Proposition 339 Sea A = (A; CA) un operador clausura …nitario, SC (A) = [A; A es un
sistema clausura debil.
Demostración: Obvia, se sigue del lema 292.¤
Proposition 340 Sea (A; M) un sistema clausura debil. OC (A; M) = (} (M) ; CA), con CA (X) =
\ fY 2 M j tal que X µ Y g es un operador clausura …nitario.
Demostración: Obvia, }(M) es de carácter …nito ejemplo 138.
[C1] Sea X 2 } (M)
existe Y 2 M tal que X µ Y
(def. } (M) )
CA (X) 6= ;
(def. CA (X) )
X µ CA (X)
(def. CA (X) ).
135
[C2] Sean Z µ X 2 }(M)
Z µ CA (X)
(C1)
CA (X) 2 fY 2 M j tal que Z µ Y g (def. CA (X ) )
CA (Z) µ CA (X)
[C3] Sea X 2 } (M) ;
(def. CA (Z) ).
CA (X) 2 M
(M es \ -estructura)
CA (X) 2 fY 2 M j tal que CA (X) µ Y g (def. CA (X) )
CA (X) = CA (CA (X))
(def. CA (X) ).
[C4] (µ) Por C2 fCA (W )g WbX es dirigida, entonces
S
CA (W ) 2 M
(M es \ -estructura algebraica)
WbX
Xµ
S
S
CA (W )
(C1)
WbX
CA (W ) 2 fY 2 M j tal que X µ Y g (def. CA (X) )
WbX
CA (X) µ
S
CA (W)
(def. CA (X) ).
W bX
(¶) CA (W ) µ CA (X)
(C2)
S
CA (W) µ CA (X) (obvio).¤
WbX
Theorem 341 Sean A =(A; CA ) un operador clausura …nitario y (A; M) un sistema clausura
debil.
1. OC (SC (A)) = A.
2. SC (OC (A; M)) = (A; M).
Demostración: Se sigue de las proposiciones 339 y 340.¤
136
Bibliography
[ACZEL92]
Aczel, Peter, Schematic Consequence, Lecture Notes in Computer Science
140.Proc. 9th Internat. Coll on Automata, Languages and Programming,
Springer-Verlag, pp 577-613, 1992.
[GOLDBLATT84] Goldblatt, Robert. Topoi: The Categorical Analysis of Logic, North Holland,
1984.
[GRAY92]
Gray, Jhon W., Categorical Semantics of Programming Languajes, AddisonWesley, 1992.
[GUNTER93]
Gunter, C., Semantics of Programming Languages: Structures and Techniques, MIT Press, 1993.
[GUNTER95]
Gunter, C., Comparing Categories of Domains, Lecture Notes in Computer
Science #183, pp 101-121, 1995.
[LFNINO95]
Niño, L.F., Extensiones y Caracterizaciones del Concepto de Sistema de
Información de Scott y sus Aplicaciones, Tesis de Posgrado, Universidad
Nacional de Colombia, 1995.
[MACLANE71]
Mac Lane, Saunders. Categories for the Working Mathematician, SpringerVerlag, 1971.
[PIERCE91]
Pierce, Benjamin C., Basic Category Theory for Computer Scientist, MIT
Press, 1991.
[SCOTT76]
Scott, Dana S., Data Types as Lattices, SIAM Journal on Computing, 5(3),
pp 522-587, 1976.
137
[SCOTT82]
Scott, Dana S., Domains for Denotational Semantics, Lecture Notes in Computer Science 140.Proc. 9th Internat. Coll on Automata, Languages and
Programming, Springer, pp 577-613, 1982.
[SCOT-GUNT90] Scott, D., Gunter, C., Semantic Domains, The Handbook of Theoretical
Computer Science, North Holland, 1990.
[STOY77]
Stoy, J., Denotational Semantics: The Scott-Strachey Approach to Programming Languages, MIT Press, UK, 1977.
[WINSKEL93]
Winskel, G. The Formal Semantics of Programming Languages, MIT Press,
1993.
[WINS-LARS84]
Winskel, G., Larsen, D., Using Information Systems to Solve Recursive Domain Equations E¤ectively, Lecture Notes in Computer Science #173, pp
110-131, 1984.
138