Tema 2 - ONDAS 2.1. Concepto de onda

Tema 2 - ONDAS
Sergio Andrés García.
Apuntes Fis202. V.01-Ene-2016
2.1. Concepto de onda
Onda:
• propagación de una perturbación de alguna propiedad de un medio, por ejemplo,
densidad, presión, campo eléctrico o campo magnético, a través de dicho medio,
(Según el tipo de perturbación el medio perturbado puede ser agua, gas, metal, el vacío…)
• implicando un transporte de energía sin transporte de materia.
Ondas mecánicas:
• Las ondas mecánicas necesitan un medio elástico (sólido, líquido
o gaseoso) para propagarse.
• Las partículas del medio oscilan alrededor de un punto fijo, por lo
que no existe transporte neto de materia a través del medio.
• La velocidad puede ser afectada por algunas características del
medio como: la homogeneidad, la elasticidad, la densidad y la Tª
Ondas electromagnéticas: • La perturbación es una variación senoidal simultánea del campo
(No mecánicas)
eléctrico y del magnético
• Puede propagarse en el vacío.
Ondas transversales:
• Las partículas del medio oscilan perpendicularmente a la
dirección de propagación de la onda.
• Ej: Ondulaciones en una cuerda
Olas
Ondas electromagnéticas.
Ondas longitudinales:
• Las partículas del medio oscilan en la misma dirección que la
dirección de propagación de la onda
• Ej: Ondas sonoras.
2.2. Ondas armónicas
La fuente de la perturbación describe un Movimiento Armónico Simple (M.A.S.)
Ecuación de la perturbación: y(t) = A · cos (ω
ω·t) ó y(t) = A · sin (ω
ω·t) ó y(t) = A · sin (ω
ω·t + ϕ)
• La ecuación en concreto depende de la posición inicial de la perturbación
• El seno y el coseno tienen la misma forma, simplemente tienen un desfase de π/2
cos (ω
ω·t) = sin (ω
ω·t + π/2)
sen (ω
ω·t) = cos (ω
ω·t - π/2)
Esa perturbación produce una onda,que si se propaga hacia la derecha la ecuación es:
y(x,t) = A · cos (k·x - ω·t) ó y(x,t) = A · sen (k·x - ω·t) ó en general: y(x,t) = A · sin (k·x - ω·t +ϕ
ϕ)
y si se propaga hacia la izquierda es:
y(x,t) = A · cos (k·x + ω·t) ó y(x,t) = A · sen (k·x + ω·t)
ó en general:
y(x,t) = A · sin (k·x + ω·t +ϕ
ϕ)
En general: si k·x y ω·t tienen el mismo signo la onda va hacia la izquierda
si k·x y ω·t tienen distintos signos la onda va hacia la derecha
λ: la longitud de onda, es la distancia entre los 2 puntos más cercanos que están en fase (que hacen
lo mismo), por ejemplo la distancia entre dos máximos. Unidad: Metros.
k: el número de onda, es el nº de ondas, es decir, cuántas ondas caben en una distancia igual a 2π
, Unidad: m-1.
T: el periodo, el tiempo en que se repite la perturbación, (puedes contar el tiempo entre 2 picos)
también es el tiempo en segundos que tarda una onda en recorrer una distancia = λ
f: la frecuencia, es el nº de veces que ocurre la perturbación en un segundo.
-1
Unidad: Hz, veces/seg, ciclos/seg, ó seg .
Se puede deducir del periodo, ya que son inversos: v: la velocidad de la onda: ,
Unidad:
m/seg
á
ω: La pulsación, o frecuencia angular, o velocidad angular: 2
Se mide en radianes/seg, o seg-1.
ϕ: la fase inicial (en radianes)
La amplitud es siempre positiva
A: La amplitud de la oscilación, desde el centro hasta un pico. Unidad: Depende de la naturaleza de la onda
Ejemplo.1: Una persona que observa el movimiento de las olas en el océano, ve pasar 15 crestas en
2’5 minutos. ¿Cuál es la frecuencia y periodo de las ondas oceánicas? [T= 10s , f=0’1 Hz ]
Ejemplo.2: La velocidad del sonido en el aire a 20°C es de 343 m/s.
Si su longitud de onda es de 1’31m, ¿Cuál es el periodo de la onda sonora? [T= 3’8mseg]
Ejemplo.3: La onda transversal en una cuerda es y (x,t)= 0.45 sen (3π t + π x) con [y]= [x]=m,[t]=s.
Hallar:
a) Amplitud
b) Frecuencia
c) Longitud de onda
d) Velocidad
e) Periodo
f) Pulsacion (frec.angular)
g) Sentido de desplazamiento de la onda (+x ó –x).
h) Ecuación del movimiento de los puntos situados en x=8m, x=9m y en x=10m
¿Cuál es la relación entre esos puntos?
i) Dibuja la onda en t=0 seg, y en t = 0’167 seg = 1/6 seg
Velocidad de una onda en un cuerda de densidad lineal µ =
estirada con una tensión o fuerza F:
!
!$
#%
#
$
Ejemplo.4: La μ de una cuerda la de un violín es de 0’78 g/m . Una onda en esa cuerda tiene tiene
como tono fundamental un LA (440Hz, ver formulario con las notas musicales y sus frecuencias) con λ= 65cm.
¿Cuál es la tensión en la cuerda?[F=63’8N]
!
"
Ejemplo.5: Una Cuerda de 200 g se estira entre dos puntos separados 20m con tensión de 90N. La
cuerda se golpea ligeramente en un extremo y un pulso transversal se propaga hacia el otro
extremo. ¿En qué tiempo recorre el pulso toda la cuerda? [t = 0’21 seg]
SUPERPOSICION DE ONDAS. INTERFERENCIAS
Sean dos ondas que se generan en un mismo punto de una cuerda larga, ambas viajan hacia la
derecha y tienen la misma amplitud, diferentes frecuencias, una diferencia de constantes de fase
Φ, y diferentes longitudes de onda:
&₁ '(, *+ , -./ '₁( 0 ₁* +
&₂ '(, *+ , -./ '₂( 0 ₂* 1 2+
Puse – Pero
Puede Ser +
& '(, *+ & '(, *+ 1 & '(, *+ , -./ ' ( 0 * + 1 , -./ ' ( 0 * 1 2+ , 3-./ '45 6 0 75 8 + 1 -./ '49 6 0 79 8 1 :+;
=>?
Aplicando que: sen A + sen B = 2 -./ <
=D?
@ cos <
@
quedaría:
'₁ 1 ₂+( – '₁ 1 ₂+ * 1 2
'₁ 0 ₂+( – '₁ 0 ₂+ * 0 2
& '(, *+ 2, -./ E
I JK- E
I
2
2
Caso de ondas componentes coherentes.
Éstas tienen la misma frecuencia y la misma longitud de onda. Entonces k₁ = k₂ = k, ω₁= ω₂ = ω.
L8M8 '6, 8+ 2, -./ E( – * 1
• Interferencia destructiva pura:
2
2
2
2
I JK- E I 2, JK- E I -./ E( – * 1 I
2
2
2
2
Se produce cuando L8M8 '6, 8+ N para todo x y todo t. La condición es que:
P
JK- O Q 0
S
P
T U
,
,
,……
W , 3, 5,
'>+
7, …
S
Nº impar de veces π
.
2 '2/ 1 1+,
'/ 0, 1, 2, 3, … . +
• Interferencia constructiva pura:
La amplitud de la onda resultante es la máxima posible = 2·A
P
2
]2, JK- E I] 2,
2
0, , 2, 3, …
W 0, 2, 4, 6, …
S
S
La condición es:
2
] JK- E I] 1
2
Nº par de veces π
2 2/ ,
'/ 0, 1, 2, 3, … . +
Con Φ = 0 rad (0º): interf. Construct. pura, onda resultante de amplitud=2A,doble de y1 e y2
Con Φ = π rad (180º): interferencia destructiva pura, la onda resultante de amplitud=0
`
`
Si Φ∈<N, @ rad (0º,120º) ó Φ∈<0 , N@ rad (-120º,0) →interf. parc construc, amplitud entre A y 2A
a
` 9`
Si Φ∈< ,
a
a
a
@ rad (120º,240º) hay interf. parc destruct, amplitud entre 0 y A MALO
ATENCION: Las ecuaciones de y1 e y2 las dos en seno o las dos en coseno.
Si hay una ecuación de cada, usar la conversión de coseno a seno o viceversa
&₁ '(, *+ 5 -./ '10( 0 40*+,
Ejemplo [6]: Las ondas coherentes
Hallar:
&₂ '(, *+ 5 -./ '10( 0 40* 1 0.5) se interfieren.
a) Su frecuencia, velocidad, longitud de onda,
& '(, *+ de la interferencia. 3&; 3(; J#,
b) La onda resultante
c) & '( 7J#, * 2-+
a) 40 -¹ 2
10
»
» g
b
d
cd
6.37 ef »
0.63J#
h '0.63J#+' 6.37 ef+ 4.0
6.37 ef
0.63J#
»
»
h 4.0
b) & '(, *+ 2 5 JK- '0.25+ -./ '10( – 40 * 1 0.25+ 9.7 -./ '10( – 40 * 1 0.25+
c) & '7, 2+ 9.7 -./j10 7 – 40 2 1 0.25k 9.7 -./'09.75+ 9,7 0.32 3.1 J#
Ejemplo [7]: Con 3&; 3(; J#, las ondas coherentes &₁ '(, *+ 3 -./ '2( 0 3*+
&₂ '(, *+ 3 -./ '2( 0 3* 1 3+
a) ¿Se interfieren constructiva o destructivamente?
[W 3, # impar de π » interferencia destructiva pura]
b) Ecuación de ysuma(x,t)
[ysuma(x,t) = 0]
Ejemplo [8]: Con 3&; 3(; J#, las ondas coherentes &₁ '(, *+ 1.5 -./ '6( 0 2*+
&₂ '(, *+ 1.5 -./ '6( 0 2* 1 10+
a) ¿Se interfieren constructiva o destructivamente?
W 10, # par de π » interferencia constructiva pura
b) Ecuación de ysuma(x,t)
Ejemplo [9]: Sea y1(x,t) = 6·sen(7x+8t)
y2(x,t) = 6·cos(7x+8t)
[ ysuma(x,t) = 3·sen(6x-2t+5π) ]
Parcialmente constructiva
`
Halla ysuma(x,t) [ ysuma(x,t) = 8’49·sen(7x + 8t + ) ]
l
3. Ondas no coherentes. Interferencia temporal. Pulsaciones (si ω1 y ω2 son diferentes pero parecidas).
Estudiamos el caso más simple que se da cuando ( 0, 2 0.
₁ 0 ₂
₁ 1 ₂
Q * -./ E0
I*
2
2
₁ 0 ₂
₁ 1 ₂
,
2
2
& '0, *+ 2, JK- O0
mm
Aunque estén los signos menos pondremos:
& '0, *+ 2, JK- 3
mm
*;-./ 3
*; ,'*+ -./3 *;
La envolvente ,'*+ tiene como ecuación: A(t) =2·A·cos 'D *+
Por cada ciclo de ,'*+ hay dos máximos de & '(, *+, los cuales se llaman pulsaciones.
La frecuencia de estas pulsaciones es :
|₂ 0 ₁|
la velocidad que lleva la onda roja es vf, es diferente a la velocidad de la envolvente, que es vg.
Ejemplo [10]: • Si pulso la cuerda LA de una guitarra junto con un diapasón de f= 440Hz se escucha
una pulsación de frecuencia o₁ 5ef.
• Luego pulso la misma cuerda junto con un diapasón de 436 Hz y se escucha ahora
una pulsación de frecuencia o₂ 9ef.
Suena LA(440Hz) sin pulsaciones
a) ¿Cuál es la frecuencia de la cuerda? [445Hz]
b) Si afino la cuerda a 440Hz y hago sonar el diapasón de 440HZ, ¿habrá pulsaciones?[NO]
• de igual frecuencia e igual amplitud
• que viajan en sentido contrario
• y llevan un desfase de media longitud de onda
Típicamente ocurre cuando una onda se refleja en un extremo fijo
θ=π
Si se observa, parece una onda que no se mueve, por eso se llama onda estacionaria.
ONDAS ESTACIONARIAS:
Ocurren por la superposición de dos ondas:
Los puntos fijos de amplitud cero los llamaremos nodos.
Los puntos fijos de amplitud máxima los llamaremos vientres
La distancia entre nodos consecutivos es
p
9
La distancia entre vientres consecutivos es
La distancia entre un nodo y el siguiente vientre es
p
l
p
9
& , -./' * 1 (+ 1 ,m -./' * 0 (+
En el punto fijo donde rebota (x=0) tenemos que y=0
0 , -./' *+ 1 ,m -./' *+ ', 1 ,m + -./' *+ q ,m 0,
& , -./' * 1 (+ 0 , -./' * 0 (+
O sea, que
No conviene poner amplitudes negativas, por eso, como sen(θ
θ+π
π) = -sen(θ
θ) queda:
& , -./' * 1 (+ 1 , -./' * 0 ( 1 +
Si aplicamos las propiedades de la suma de senos obtenemos la ecuación:
y = 2·A·sen(k·x)·cos(ω·t)
y = 2·A·sen(k·x)·cos(ω·t) y = Atot(x)·cos(ω·t)
Se produce NODO si sen(k·x) = 0
Por tanto:
eso ocurre si: k·x = 0, π, 2π, 3π,….
p
( / quedando las posiciones de los nodos: 6r r 9
Caso de cuerda fija por sus extremos: $ / s
sólo pueden aparecer las frecuencias f1, f2, f3, …
n=1,
frec. fundamental = f1
n=2,
2º armónico, f2 = 2· f1
Con n=3 3er armónico, f3 = 3· f1
Las distintas posibles frecuencias son:
t
s
t
uv
s
t
w
t
w
Ejemplo [11]: una cuerda vibra con f= 3.0 Hz y la distancia entre nodos=0.23cm, Halla v [v=1’38cm/s]
x
Ejemplo [12]: En un violonchelo, la cuerda de mayor densidad lineal es la Do (" 1.56(10D ).
La frecuencia fundamental de esta cuerda (la más baja) es de 65.4Hz.
Si su longitud entre los extremos fijos es de 80.0cm, a) halle la tensión en la cuerda [F=170’8N]
b) Halla f y λ del 2º y 3er armónico.[f2=130’8Hz, f3=196’2Hz, λ2=0’8m, λ3=0’533m], observa: λ1·f1=λ2·f2=λ3·f3 =v
V=0’0138m/s
Absorción.
Toda onda al viajar por un medio material va siendo absorbida poco a poco (es decir, su amplitud
va disminuyendo.
En principio su velocidad y frecuencia se mantienen si el medio es homogéneo.
Los medios transparentes homogéneos se caracterizan por un número llamado índice de refracción
/
t
c = 3·108 m/s es la velocidad de la luz en el vacío ( es la máxima velocidad que puede tener)
v = velocidad de la luz en ese medio (siempre sale que v<c)
por tanto siempre sale n ≥ 1
nvacio = 1
naire ≈ 1
nagua=1’33 nvidrios= de 1’4 a 1’6 tipico
Reflexión y refracción cuando la luz cambia de medio.
Cuando la luz cambia de un medio con un índice de refracción n1 a otro con valor n2:
- Parte rebota y se produce reflexión
- Parte se transmite pero se produce un cambio de ángulo (refracción)
Ley de la reflexión
idente, el rayo reflejado y la normal
(recta perpendicular a la superficie
• El rayo incidente,
están en el mismo plano
justo en el punto donde incide el rayo)
rayo
• θi = θreflex
Los angulos se miden desde la normal
Ley de la refracción
• El rayo incidente, el rayo refractado y la normal (recta perpendicular al punto donde incide)
incide
están en el mismo plano
• n1 · sen θ1 = n2 · sen θ2 (Ley de Snell)
Nota 1:: Los ángulos se miden siempre respecto a la normal
Nota 2: Cuando paso de un medio a otro tal que n1 < n2 (p.ej. del aire al agua)
el rayo se acerca a la normal
Nota 3:: Cuando paso de un medio a otro tal que n1 > n2 (p.ej. del agua al aire)
el rayo se aleja de la normal
Nota 4:: Cuando paso de un medio a otro tal que n1 > n2 si el ángulo de incidencia es mayor que un
cierto ángulo límite θL se produce la reflexión total
Laa reflexión es realmente total 100%.
Es decir, mejor que los espejos
metálicos (plata, aluminio) que solo
reflejan 96% de la potencia
luminosa incidente.
θL se calcula haciendo θL = 90º,
u
n1 · sen θ1 = n2 · sen 90º = n2 ⇒ yw z{J-./ < @
|
Ejemplo de reflexión total: Periscopios y fibra óptica.
Difracción
Es la desviación de la luz de su trayectoria real cuando pasa a través de aberturas pequeñas.
También ocurre cuando la luz “toca” los bordes de un obstáculo
a) Difracción por una rendija rectangular de ancho “a”.
Llamo Xn la distancia de las franjas oscuras al eje:
JK#K
Ejemplo.1:
-./ y }s
~s
€.z
}s
~s
‚
}s
-./ y ƒ
Observad que como Xn << b resulta que dn ≈ b cerca del eje
a) Hallar si z 0.30##, „ 2# & …₁ 3.87##.
j0.3(10T #kj3.87(10T #k
; 580.5/#
3
1( 2#
-./ y
b) ¿Cuanto tiene de ancho la franja de luz central?
Efecto Doppler
Cuando una fuente (S) emite una onda con frecuencia f, ésta es percibida por un observador (O)
el observador se dirige hacia la fuente,
Si o la fuente se dirige hacia el observador, el observador notará una frecuencia f’ mayor que f
o ambos casos
el observador se aleja de la fuente,
Si o la fuente se aleja del observador, el observador notará una frecuencia f’ menor que f
f: frec. que emite la fuente
o ambos casos
f’: frec. que percibe el observador
v: velocidad de las ondas en ese medio
t>t
‡ tDtˆ
vo: Velocidad del observador (si el observador se aleja de la fuente cambiar
‰
su signo en la fórmula)
vs: Velocidad de la fuente (si se alejara cambiaríamos el signo en la fórmula)
Ejemplo.1: Un carro de la policía se mueve a 144km/h tocando su bocina de 500Hz.
¿Cuál es la frecuencia escuchada por un observador cuando el carro: a) Se acerca a él,[566Hz]
b) Se aleja de él? [447’9Hz].Dato: vsonido=343m/s
Ejemplo.2: Explicar por qué sabemos que el universo se expande
Intensidad percibida.
Se define la intensidad de una señal como la energía percibida por unidad de tiempo y de área.
Š
‹
Œ
<

u
@
Ž
Œ
<

u
@
Si una onda se propaga en todas las direcciones la llamamos onda esférica.
La superficie de una esfera es S=4πR2 entonces a una distancia R del emisor la intensidad es:
Š
Ž
c u
<

u
Ej: Comparar
@
láser de 1mW que ilumina con un punto de D=3mm
bombilla tradicional de 100W,
a una distancia de 1m, 2m y 100m
Percepción de las ondas electromagnéticas:
Rango del visible: Longitudes de onda entre aproximadamente de 400 a 700nm, de 4000 a 7000 ‘
Percepción de las ondas sonoras (ondas de presión):
Frecuencias entre 20 y 20000 Hz
Una cosa es la intensidad física, la que va en W/m2. Pero el cerebro la percibe distinta.
La intensidad percibida por el cerebro es subjetiva, se le denomina
I0 es una referencia que se toma igual a: Šd 
10D u

•–
que es el umbral de audición.
Este umbral de audición no es igual a todas las frecuencias, se define a 1000Hz
Por ejemplo a 100Hz necesitamos 30dB para que sea un sonido perceptible
Umbrales en decibelios:
•
’ 10 “K” < @ dB
El umbral de audición es Š Šd 10D u
que se corresponde con 0 dB
El umbral del dolor está a unos 120dB, que se corresponde con 1W/m2
A.
En una lavadora se ha medido un β = 70 dB. ¿Cuál es la I de este sonido en W/m2?
B. Sabiendo que I es inversamente proporcional r2, y con β1= 90 dB a r1 = 2.0 m de una fuente
sonora Se pide:
a) El nivel β2 a la distancia r2 = 4.0 m de la fuente,
b) ¿Cuán lejos se debe encontrar la fuente para medir un nivel de 45 dB?
INTENSIDAD DE SONIDO DE DIFERENTES FUENTES
FUENTES DE SONIDO
Umbral de audición
Susurro, respiración normal, pisadas suaves
Rumor de las hojas en el campo al aire libre
Murmullo, oleaje suave en la costa
Biblioteca, habitación en silencio
Tráfico ligero, conversación normal
Oficina grande en horario de trabajo
Conversación en voz muy alta, gritería, tráfico intenso de ciudad
Timbre, camión pesado moviéndose
Aspiradora funcionando, maquinaria de una fábrica trabajando
Banda de música rock
Claxon de un coche, explosión de petardos o cohetes de pirotecnia
Umbral del dolor
Martillo neumático (de aire)
Avión de reacción durante el despegue
Motor de un cohete espacial durante el despegue
DECIBELES
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
150
180
Un sonido de 70 dB produce efectos psicológicos negativos en tareas que requieren
concentración y atención, mientras que entre 80 y 90 dB puede producir reacciones de
estrés, cansancio y alteración del sueño.
FATIGA AUDITIVA: Respuesta fisiológica de protección del oído hacia sonidos de
intensidad elevada (>87 dB), que se manifiesta con una elevación temporal del umbral
de audición persistente después de haber cesado la emisión del ruido. Sordera temporal
Asegurar que la exposición de ningún trabajador sea superior al valor límite de exposición
LAeq,d = 87 dB(A) y Lpic = 140 dB(C) y adoptar inmediatamente las medidas necesarias
en caso de que se superen (art. 5 y 8).
El RD 286/2006 establece la obligatoriedad de uso del protector auditivo cuando se
superan los valores superiores de exposición: LAeq,d = 85 dB(A) y Lpic= 137 dB(C).