Intervalos de Confianza para la varianza

Intervalos de Confianza
para la varianza
(ó desviación estándar)
INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA VARIANZA
Si tenemos una muestra de tamaño n tomada de una población
normal, podemos obtener un intervalo de confianza del nivel dado
(90%, 95%, 99%, etc) para la varianza sabiendo que el valor de chi
cuadrada es para este caso:
( n − 1) s 2
σ2
El cual es una variable aleatoria que tiene una distribución Chi
cuadrada con n -1 grados de libertad. Por lo tanto, podemos emplear
esta definición para estimar un intervalo de confianza ya que lo que
necesitamos es que
⎡
( n − 1) s
2
2⎤
P ⎢ χ 1− α <
< χα ⎥ = 1−α
2
2
2
σ
⎣
⎦
χ2
donde
es el valor de Chi cuadrada para los grados de libertad y
nivel de confianza (1 - α) especificado.
Entonces podemos despejar la varianza σ2:
2⎤
⎡ ( n − 1) s 2
(
−
1
)
n
s
2
⎥ = 1−α
<
σ
<
P⎢
2
2
⎢ χ 1− α
⎥
χα
2
2
⎣
⎦
los valores de Chi cuadrada
χ 1− α
2
2
χα
2
2
corresponden a lo que se muestra en la siguiente figura (notar que el
valor mayor define el límite de la izquierda del intervalo y el menor el
derecho, ya que están dividiendo)
Suponiendo un nivel de confianza de 95% y 5 grados de libertad
Distribution Plot
Chi-Square, df=5
0.16
0.14
Density
0.12
0.10
0.08
0.06
95% del área = 0.95
0.04 0.025
0.02
0.00
0.025
00.831
X
12.8
α/2= 0.025 =2.5% del área
χ2 α/2
χ2 (1−α/2)
Por lo que el intervalo de confianza para la varianza estará dado por
( n − 1) s 2
χ 1− α
2
2
<σ2 <
( n − 1) s 2
χα
2
2
Podemos encontrar el intervalo de confianza correspondiente para la
desviación estándar , σ, obteniendo las raíces cuadradas de los límites
de confianza para la varianza.
Ejemplo.
En 16 recorridos de prueba, el consumo de gasolina de un motor
experimental tuvo una desviación estándar de 2.2. litros. Construir un
intervalo de confianza del 99% para la varianza y para la desviación
estándar esperadas de este motor.
Solución.
Suponiendo que los datos pueden considerarse como una muestra
aleatoria tomada de una población normal, usamos n = 16 y s=2.2.
Ahora necesitamos los valores de Chi cuadrada para el caso
específico.
Distribution Plot
Chi-Square, df=15
0.08
0.07
4.6
32.8
Density
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
99% del área = 0.99
0.005
0.00
0
0.005
4.60
X
32.8
Por lo que el intervalo de confianza para la varianza estará dado por
2
15( 2.2) 2
15
(
2
.
2
)
<σ2 <
32.8
4.6
Es decir:
2.21 < σ 2 < 15.78
Y, por lo tanto, el intervalo de confianza para la desviación estándar
sería:
2.21 < σ < 15.78
1.49 < σ < 3.97
litros