Sistemas con parámetros distribuidos Régimen Transitorio Líneas y

Sistemas con parámetros
distribuidos
Régimen Transitorio
Líneas y Máquinas
65-10. Teoría de Campos
Régimen Transitorio
Interesa en: conexiones, sobretensiones,
caída de rayos, etc.
Líneas sin pérdidas: mayoría de los casos.
Líneas con pérdidas: ensayos analógicos,
cálculos computacionales (EMTP, etc)
Línea sin pérdidas
Las ecuaciones del telegrafista para una onda cualquiera, con r ≈ 0, g ≈ 0 resultan :
∂i
∂i
 ∂u
- ∂x = r ⋅ i + l ⋅ ∂t ≈ l ⋅ ∂t
∴

- ∂i = g ⋅ u + c ⋅ ∂u ≈ c ⋅ ∂u
 ∂x
∂t
∂t
2
∂ 2u
∂ 2i
∂ 2u 1 ∂ 2u
seg
= −l ⋅
= l ⋅c⋅ 2 = 2 ⋅ 2
donde [l ⋅ c ] =
2
m2
∂x
∂x ⋅ ∂t
∂t
v ∂t
∴v = 1
(velocidad de propagación)
l ⋅c
Cuya solución (D' Alembert) es : u = f 1 ( x − v ⋅ t ) + f 2 ( x + v ⋅ t )
Analogamente :
i = F1 ( x − v ⋅ t ) + F2 ( x + v ⋅ t )
Entonces dada i = F1 ( x − v ⋅ t ) + F2 ( x + v ⋅ t )
∂i
∂i
∂u
y reemplazándola en = r ⋅i + l ⋅ ≈ l ⋅
∂t
∂t
∂x
∂u
∂

 ∂f ∂f 
−
= −  ( f1 + f 2 ) = −  1 + 2  =
∂x
 ∂x

 ∂x ∂x 
 ∂f1

∂(x − v ⋅ t )
= −
+ ... = − f1′ − f 2′
∂x
 ∂(x − v ⋅ t )

 f1′ = l ⋅ v ⋅ F1′
= l ⋅ [F1′⋅ (− v ) + F2′ ⋅ (v )]∴ 
 f 2′ = −l ⋅ v ⋅ F2′
1
l
=
c
l ⋅c
es la impedancia de onda ó impedancia característica
pero como [l ⋅ v ] = Ω
 f1 = Z C ⋅ F1
∴
 f 2 = − Z C ⋅ F2
∴ ZC = l ⋅ v = l ⋅
1
∴i =
[ f1 (x − v ⋅ t ) − f 2 (x + v ⋅ t )]
ZC
Para resolver un problema se requiere conocer la
longitud L de la línea y uno de los siguientes pares de
valores: l-c; ZC – v o ZC – τ , siendo τ el tiempo de
travesía de la onda.
Todo sistema de cargas libres, que origina una cierta
distribución de tensiones, estará moviéndose a lo largo
de la línea con velocidad v y originando la corriente i.
Si hay más de un conductor asociado a la línea, las
ecuaciones pasan a ser matriciales, por ejemplo:
 ∂u 
 ∂i 
− ∂x  = [r ] ⋅ [i ] + [l ] ⋅  ∂t 
y el problema puede ser muy complicado . Para líneas
polifásicas transpuestas pueden usarse los valores “de
servicio” y considerarla como línea única.
Las expresiones u = f 1 ( x − v ⋅ t ) + f 2 ( x + v ⋅ t ) e
i = F1 ( x − v ⋅ t ) + F2 ( x + v ⋅ t ) pueden escribirse también como :
u = u d + u i

ud
ui

i = i d − ii = Z − Z
C
C

y admiten la representación de la figura para una onda cualquiera
directa, siendo análoga para la inversa
Circuito equivalente
En la salida de la línea, la relación entre u e i será :
u L = Z L ( p ) ⋅ iL
 Z L ⋅ iL = u d + ui
∴ (*)
 Z C ⋅ iL = u d − ui
2 ⋅ ud
2 ⋅ ud
⇒ iL =
⇒ uL =
⋅ ZL
Z L + ZC
Z L + ZC
i
iL
+
+
ud
u
ZL
-
-
CARGA
El circuito equivalente de parámetros concentrados ,sin propagación, da
uL e iL (transmitidos):
Restando (*), se calcula ui e ii en función de ud:
ZC
2 ⋅ ud
2 ⋅ u i = (Z L − Z C ) ⋅ i L = (Z L − Z C ) ⋅
Z L + ZC
∴ ui = K r ⋅ u d
con K r =
ii =
Z L − ZC
factor de reflexión .
Z L + ZC
ui
u
= K r ⋅ d ∴ ii = K r ⋅ id
ZC
ZC
uL
2ud
iL
+
ZL
uL
-
Ejemplo: las ondas de sobretensión (por ejemplo las
producidas por una descarga atmosférica) tienen un frente
de onda muy escarpado respecto a las ondas de
frecuencia industrial. Aparecen simultáneamente:
id
ud
U
I=U/ZC
v
v
x
x
y al llegar a la carga se reflejan según el valor de estas:
2U
Línea abierta:
ZL=infinito ρL =1
v
I
v
U
x
x
La tensión llega a 2U, la i es I=0, en el extremo en un instante posterior a la
llegada de la onda incidente.
Línea en CoCo:
ZL=0, ρL= -1
2I
v
I
U
x
v
x
Ejemplo: Línea de transmisión alimentada con fuente de cc
con impedancia interna nula, sufre un CoCo a una distancia d
de la fuente. Hallar i(t) en el lugar del CoCo y en la fuente.
Línea de transmisión
Línea de transmisión
l dx
1
+
E
-
2
c dx
ZC (real)
d
l dx
3
c dx
RL
R=0
ZC (real)
dx
En t<= 0-, la u a lo largo de la línea es cte. (c cargados, l
no afecta) iL= E/RL= cte.
En t>= 0+ el flujo regular de cargas hacia RL se detiene de
inmediato al producirse el CoCo ; hay un transitorio por
descarga de los c a través de las l (la fuente es un CoCo
para las i transitorias; y en fuente y en CoCo siempre puede
considerarse u=0)
La tensión incidente para t>0 será ui=E, entonces:
ut = τ 1 E
ur = ρ L E
ir = ρ L I =
E
RL
v
ir
it
v
it = τ 1 I
iL
En el corto (punto 1) tendremos:
R − ZC R − ZC
=
= −1
R + ZC R + ZC
2R
=0
R + ZC
iL + ii + ir ⇒ iL = −ii − ir
ur = − E
ut = 0
iL = − ( − I ) − ( − I ) = 2 I
ir = − I
it = 0
ρ1 =
τ1 =
RL
Diagrama espacial
Sea t12=d/v el tiempo de travesía entre la fuente y el corto y t23=(Long-d)/v el
tiempo de travesía entre el corto y la carga:
1
2
u
3
E
Para t < 0
i
I
1
u
Para
E
E
t12 > t > 0
t 23 > t > 0
0V
E
E
1
2
i
Para
t12 > t > 0
2I
I
I
iL
0V
t 23 > t > 0
ir=I
0A
ii=I
Condiciones de borde: en el CoCo siempre u2=0, en fuente
siempre u1=E.
Cuando se aplica el CoCo , una onda de amplitud –E se
dirige hacia la fuente haciendo u=0. La acompaña una
i=id-ii=0-(-E/ZC)=E/ZC. Cuando las ondas alcanzan la
fuente, las condiciones de borde imponen la iniciación de
una nueva onda asociada a una id=E/ZC, que se
superpone a la preexistente. Al volver a incidir en el CoCo :
R − ZC 0 − ZC
Kr =
=
= −1;
R + ZC 0 + ZC
i1
fuente
4I
2I
u 2 = 0 = u d + u i = E + u i ∴ u i = − E;
E
E
i = i d − ii = i d − K r i d =
⋅ [1 − (− 1)] = 2
ZC
ZC
τ
i2
falla
3τ
t
3I
I
2τ
4τ t
Línea con derivación o discontinuidad
Línea con discontinuidad (más ejemplos en NS p 338)
Antes de la discontinuidad se propagan:
u = ud = U


ud
i
=
i
=
=U
=I
 d
ZC1
ZC1
Al llegar a la discontinuidad se generan las ondas inversas ui e ii que subsisten
mientras no aparecen otras ondas debidas a reflexiones, etc. El análisis de lo
que pasa en la discontinuidad puede hacerse:
Z D ⋅ ZC 2
2⋅
Z D + ZC 2
2 ⋅ Z //
uL = U ⋅
=U ⋅
Z D ⋅ ZC 2
Z C1 + Z //
Z C1 +
Z D + ZC 2
Dado el, ejemplo anterior si ahora la discontinuidad es un capacitor Z D = 1
Del circuito se ve que C se carga a través de un divisor resistivo
formado por ZC1 y ZC2 (números reales), cuya solución temporal es :
uL = 2 ⋅U ⋅
con
τ=
ZC 2
−t
⋅ 1 − e τ 

Z C1 + Z C 2 
Z C1 ⋅ Z C 2
⋅ C (fuente pasivada)
Z C1 + Z C 2
∀x,t: u = ud + ui que para la posición de C (x = cte) es :
u L = U + ui ∴ ui = u L − U que sería la onda inversa que retorna
Estas mismas curvas en función de x son las de la figura 27 :
Si ZC2 es una máquina de AT (ZC2 = 200 a 1000 Ω) y ZC1 una línea
aérea (ZC1 ≈ 300 Ω), el C constituye una eficaz protección contra
sobretensiones pues suaviza la pendiente de la onda (menores
sobretensiones en las 1eras espiras) aunque la alarga; si el alargamiento
es excesivo, ui (uTRANSM ) puede reflejarse nuevamente y volver a la
máquina dando lugar a oscilaciones peligrosas.
Cp
.
Evolución de las ondas, cuando llega a la carga en 3-3 se repite el fenómeno
A REVISAR
Descarga atmosférica
1. Previo a la descarga. La
línea acumula
progresivamente cargas a
través de aisladores de signo
contrario al de la nube.
2. Se inicia la descarga sobre
la línea. Las cargas se van
recombinando, las “-” más
concentradas en el frente. En
tierra las “+” casi inmóviles.
3. Se completa la bajada de
“-”; la línea y el C entre espiras
y a masa del transformador
quedan cargados.
Nube (Base (“-”)
- - - - - - - - - - - - MV
+ + + + + + + + + +
Transformador
0V
+ + + + + + + + + +
- - - - - - - - - - - - -
+ + - - - - - - + + + + +
Transformador
U=Max
0V
+ + + + + + + + +
- - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - Transformador
U
- + +
+ + + + + + + + + + + +
4. Se descarga C sobre el
bobinado del transformador,
asimilable a
uC = U ⋅ e −α ⋅t ⋅ cos (ω ⋅ t )
ω = ω 02 − α 2 ;
α=
ω0 = 1
R
;
2⋅ L
L ⋅C
Las máximas amplitudes no superan U,
pero estas oscilaciones en el
transformador se superponen a la
variación real que impone el rayo.
A REVISAR
Parámetros distribuidos en máquinas
Las máquinas eléctricas presentan parámetros distribuidos en
forma análoga al caso de las líneas. El caso más importante
para analizar es el del transformador por estar frecuentemente
conectado a líneas aéreas susceptibles de recibir descargas
atmosféricas que originan ondas de alta tensión aunque de
breve duración (del orden de los microsegundos). En estos
casos es indispensable protegerlos con descargadores de
sobretensiones (de carburo de silicio u óxido de zinc) que, no
obstante, imponen una tensión muy superior, abrupta, a la
nominal de diseño. Esto obliga a adoptar algunas providencias
constructivas en los transformadores. El caso más exigido, y
felizmente el más fácil de analizar, es el de un transformador
con neutro puesto a tierra (que es el que se verá).
Con las máquinas rotativas acontece una situación similar, pero
usualmente están sometidas a las sobretensiones internas del
sistema (por desconexiones, etc.). Estas sobretensiones en
ocasiones pueden ser importantes y deben preverse
protecciones acordes a las mismas.
Transformador con neutro a tierra
Considérese el caso de un bobinado de
transformador puesta a tierra que recibe un rayo.
La distribución de potenciales dependerá de las
capacidades a masa y entre espiras. Llamando:
C1 = n ⋅ CS = capacidad entre 2 espiras, Cs capacidad total serie
CP
= capacidad de 1 espira a tierra, C P capacidad total paralelo
n
o también :
C1 =
CS ⋅ l = capacidad serie por unidad de longitud,
C P
 l = capacidad paralelo por unidad de longitud
con esta última nomenclatura se observa en la figura :
CS ⋅ l ⋅ dx = capacidad serie por dx
C P
 l ⋅ dx = capacidad paralelo por dx
L1 = L = inductancia por espira
n
L ⋅ dx = inductancia por dx
l
( )
La corriente de descarga no puede atravesar inicialmente (t=0) la L y la
tensión se reparte en los capacitores
dx

∂u

(
)
(
)
u
x
i
dt
u
x
dx
=
⋅
⋅
+
+
(
)
(
)
u
x
dx
u
x
+
=
+
⋅ dx
∫


CS ⋅ l
∂x
; pero 

dx
C
⋅
u
∂
i( x + dx ) = i ( x ) + ∂i ⋅ dx
i( x ) = P
⋅
+ i( x + dx )


∂x
l
∂t
1
 ∂u
=
−
⋅ i ⋅ dt 2
 ∂x
 ∂ u 
CS ⋅ l ∫
1  ∂i

 ⋅ ∫ ⋅ dt
=
−

 2 
C
⋅
l
 ∂x
S

 ∂x
 ∂i = − CP ⋅ ∂u
 ∂x
l ∂t
⇒

1   CP  ∂u
 −
 ⋅  −
=
 ∫ ⋅ dt o sea que para t ≈ 0 :
2
∂x
 C S ⋅ l   l  ∂t
∂ 2u
d2u
dx 2
=
α2
l2
α
⋅u
α
⋅x
− ⋅x
x = 0 → u = U
CP
l
con α =
cuya solución resulta : u = A1 ⋅ e
y con 
+ A2 ⋅ e l
CS
x = l → u = 0
U = A1 + A2

0 = A1 ⋅ eα + A2 ⋅ e −α

 x 
sh
α
α ⋅  
 − ⋅x
l 
∴ A1 , A2 ⇒ u = U ⋅ e l − e −α ⋅ 
sh(α ) 





Más simple resulta usar la coordenada y ( Ver figura).
La solución es de la misma forma anterior :
d 2u
dy
2
=
α2
l2
y = 0 → u = 0
∴
⋅ u , y con : 
y
=
l
→
u
=
U

0 = A1 + A2

U = A1 ⋅ e α + A2 ⋅ e −α
y

sh α ⋅ 
l
∴u = U 
sh (α )
En la figura 33 se da la distribución de
tensiones para t ≈ 0.
Si α → ∞ : la U queda aplicada en las
1eras espiras.
α ⋅ yl
y
, y la distribución
α
l
de tensiones es la misma que en regimen
Si α ≈ 0 : u = U ⋅
permanente .
=U ⋅
Para un tramo ∆x se tiene la figura 34, y el ∆U variará de
un valor inicial ∆U i hasta uno final ∆U f , ( figura 35).
Temporalme nte implica una oscilación ∆U 2 para x2 como

muestra la figura 36, por tratarse de una descarga LC  con ω 0 = 1

LC


∴La máxima amplitud que se alcanza en cada punto está dada por los " ∆U 2 "
(figura 37)
Los sucesivos “capacitores” se irán cargando con cierto
retraso (carga RC) por lo que las oscilaciones en cada
sección no serán contemporáneas.
Como α conviene que sea chico, de [52] se concluye que
conviene aumentar Cs y disminuir Cp. Ambas condiciones
son difíciles de cumplir por necesidades de aislación. En
transformadores de AT existen varias disposiciones
constructivas para lograrlo. Una de ellas consiste en
reforzar la aislación de las primeras espiras (ver fig 33) e
interponer anillos conductores (aislados) entre ellas para
que Cs no se vea reducida.