MATEMATICA-APLICADA-II

INSTITUTO SUPERIOR TECNOLÓGICO
NORBERT WIENER
Manual del Alumno
ASIGNATURA: Matemática Aplicada II
PROGRAMA: S3C
LIMA-PERU
2
Manual del Alumno
MANUAL DE MATEMATICA APLICADA II
INDICE.SECCION 1 : MATRICES
Ejercicios 1
SECCION 2 : OPERACIONES CON MATRICES
Ejercicios 2
SECCION 3 : TRANSFORMACIONES ELEMENTALES( inversa de una
Matriz: método de Gauss-Jordan (de orden 2x2))
Ejercicios 3
SECCION 4 : TRANSFORMACIONES ELEMENTALES( inversa de una
Matriz: método de Gauss-Jordan (de orden 3x3))
Ejercicios 4
SECCION 5 : DETERMINANTES
Ejercicios 5
SECCION 6 : RELACIONES Y FUNCIONES
Ejercicios 6
SECCION 7 : GEOMETRIA ANALITICA
Ejercicios 7
SECCION 8 : ANGULO ENTRE RECTAS
Ejercicios 8
SECCION 9 : LA ECUACION DE LA RECTA
Ejercicios 9
SECCION 10 : LA CIRCUNFERENCIA
Ejercicios 10
SECCION 11 : LIMITES
Ejercicios 11
SECCION 12 : LIMITES INDETERMINADOS
Ejercicios 12
SECCION 13 : LA DERIVADA
Ejercicios 13
SECCION 14 : REGLAS DE DERIVACION
Ejercicios 14
SECCION 15 : LA ANTIDERIVADA
Ejercicios 15
3
Manual del Alumno
SESION 1
MATRICES
DEFINICION :
Una matriz es un arreglo rectangular de números reales ordenados en filas o columnas
Ejemplo.
 Sen  , Cos , Tg 
4
3
5
4
Las matrices se denotan con letras mayúsculas A,B,C... etc. El conjunto de los elementos se denotan con letras
minúsculas subindicadas aij, bij, cij...etc.
A =  aij 
En general : el elemento aij ocupa la intersección de la i-esima fila y la
j-ésima columna.
ORDEN DE UNA MATRIZ
El orden de una matriz esta dado por el producto del número de filas con el número de columnas.
Ejemplo.
2 3 4
A=
-1 2 0
es una matriz de orden 2x3
TIPOS DE MATRICES
A- MATRIZ RECTANGULAR.Es la matriz donde el número de filas es diferente al número de columnas
1 0 5
A=
2 1 3
(2X3)
B- MATRIZ FILA.Es la matriz donde es una sola fila y varias columnas.
P =  3 -2 1 5  (1X4)
C- MATRIZ COLUMNA.Es la matriz que tiene varias filas y una sola columna.
G=
-3
1
4
(3X1)
4
Manual del Alumno
D- MATRIZ CERO.Es la matriz que todos sus elementos son cero.
0 0 0
0 0 0
0 0 0
K=
(3X3)
E- MATRIZ CUADRADA.Es aquella matriz que tiene el mismo numero de filas y columnas
3 4 5
6 7 -1
2 -5 0
A=
EJERCICIOS 1
Indicar que tipo de matrices y que orden tienen las siguientes matrices .
2 -5
1
3
0
A=
B= 0
4
0
2
-2
k
b
0
C=
F=
-3
1
7
G=
0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
5
Manual del Alumno
SESION 2
OPERACIONES CON MATRICES
SUMA DE MATRICES.Dados dos matrices A y B del mismo orden, se llama suma de A y B a otra matriz C.
Ejemplo.
Sí:
7
-2
A=
y
5
2
7
-2
-2
5
4
-1
-2
5
4
-1
5
3
B=
Hallar: A+B
Solución:
A=
+
5
B=
2
7 + -2 -2 + 5
A+B =
=
5
3
9
1
5 + 2 4 + -1
A+B =
PROPIEDADES
1.  A y B, (A+B) E K mxn
2. A + B = B + A
3. A + ( B + C ) = ( A + B ) + C
4. A + 0 = 0 + A = A
5. (-A ) + A = 0
Clausura
Conmutativa
Asociativa
Elemento neutro aditivo
Elemento inverso aditivo
DIFERENCIA DE MATRICES
Dado dos matrices A y B del mismo orden la diferencia entre A y B es otra matriz C.
Ejm:
7 -2
5
-1
A=
3
Hallar :
4
-2
B=
0
1
1
3
A-B
Solución:
7 -2
5
A-B=
-1
4
-2
1
3
3
3
0
1
3
9
1
6
Manual del Alumno
7-(-1)
-2 -4
5-(-2)
A -B =
8
-6
7
2
-3 -2
=
3 -1
0 -3
8
-6
7
2
-3 -2
1-3
A -B =
PRODUCTO DE UN ESCALAR
Dado una matriz y un escalar K que es un número real definimos como: KA
Ejm:
Sí
K= -2
-3
4
5
1/2
A=
Solución:
3
KA =
4
-2
(-2)(-3)
(-2)(4)
(-2)(5)
(-2)(1/2)
=
5
6
8
-10
-1
1/2
KA =
PROPIEDADES
p(qA) = (pq)A
(p+q)A = pA +qA
p(A+B) = pA +pB
Asociativa
Distributiva con respecto a escalares
Distributiva con respecto a matrices
MULTIPLICACION DE MATRICES
El producto de AxB nos da otra matriz C
Ejm:
8
Sí
6
4
A=
y
3
2
B=
1
5
4
7
5
2
3
Hallar A x B
Solución:
1 Paso: la matriz A es de orden 2x3 y la matriz B es de orden 3x2
Entonces:
2x3 = 3x2
y la matriz resultado tiene un orden de 2x2
2
Paso
8 6 4
3 2 1
3
5 5
4 2
7 3
8x5+6x4+4x7
8x5+6x2+4x3
92
60
3x5+2x4+1x7
3x5+2x2+1x3
30
22
Paso
92
60
30
22
AxB =
7
Manual del Alumno
PROPIEDADES
A(B.C) = (A.B)C
(A+B)C = AC + BC
AB = BA
Asociativa
Distributiva
Conmutativa
EJERCICIOS 2
1.
4 5 -7
2
A=
-2 0 1
Hallar :
*
*
*
*
*
2.
3 -1
B=
0 -4 8
A+B
A-B
AxB
BxA
B-A
Sí:
4
-1/2
D=
1/3
-1/4
2
3
E=
5
0
Hallar la matriz "X" de la siguiente ecuación.
3D - E = 2X + (E - D)
8
Manual del Alumno
SESION 3
TRANSFORMACIONES ELEMENTALES
INVERSA DE UNA MATRIZ : METODO DE GAUSS-JORDAN ( de orden 2x2 )
Ejemplo :
3
-1
5
-2
Determinar si A =
tiene inversa.
Solución:3
-1
1
0
5
-2
0
1
A -¹ =

Multiplicar 1/3 a la fila 1
F(1) (1/3)

-2
0
1
1/3
0
5/5
-2/5
0
-1/5
1
-1/3
1/3
0
1
-2/5
0
1/5
Multiplicar -1 por la fila 2
0
-1/3
1/15
1/3
-1/3
0
1/5
Multiplicar la fila 2 por 15
F(2)(-15)
1
-1/3
1/3
0
0
-15/15
15/3
-15/5
Multiplicar la fila 2 por 1/3
F(2)(1/3)

5
Restar la primera fila con la segunda fila
F(2)(-1)

0
-1/3
1

1/3
1
F1²

-1/3
Multiplicar 1/5 a la fila 2
F(2)(1/5)

3/3
1
-1/3
1/3
0
0
1
5
-3
Sumar la fila 2 y la fila 1
F2¹
1
-1/3
1/3
0
0
1/3
5/3
-3/3
9
Manual del Alumno

Multiplicar la fila 2 por 3
F(2)(3)

1
0
2
-1
0
1/3
5/3
-1
Hallamos la matriz inversa
1
0
2
-1
0
1
5
-3
2
-1
5
-3
A -¹ =
EJERCICIOS 3
Hallar la inversa de las matrices por el método de Gauss-Jordan
5
6
7
8
B=
-1
3
2
-4
1
2
-1
3
4
-1
2
6
C=
D=
E=
10
Manual del Alumno
SESION 4
TRANSFORMACIONES ELEMENTALES
INVERSA DE UNA MATRIZ :METODO GAUSS-JORDAN (de orden 3x3)
Hallar la A-1 para la matriz :
A=
3 2 1
4 5 2
2 1 4
Solución :
A-1 =
3 2 1 1 0 0
4 5 2 0 1 0
2 1 4 0 0 1
F1 (1/3)
F12 (-4)
F13 (-2)
F2 (3/7)
F21 (-2/3)
F23 (1/3)
F3 (7/24)
F31 (-1/7)
F32 (-2/7)
1 2/3 1/3 1/3 0 0
4 5
2
0 1 0
2 1 4
0 0 1
1 2/3 1/3 1/3 0 0
0 7/3 2/3 -4/3 1 0
0 -1/3 10/3 -2/3 0 1
1 2/3 1/3 1/3 0 0
0 1 2/7 -4/7 3/7 0
0 -1/3 10/3 -2/3 0 1
1 0 1/7 5/7 -2/7 0
0 1 2/7 -4/7 3/7 0
0 0 24/7 -6/7 1/7 1
1 0 1/7 5/7 -2/7 0
0 1 2/7 -4/7 3/7 0
0 0 1 -1/4 1/24 7/24
1 0 0 3/4 -7/24 -1/24
0 1 0 -1/2 5/12 -1/12
0 0 1 -1/4 1/24 7/24
 A-1 = (1/24)
18 -7 -1
-12 10 -2
-6 1 7
11
Manual del Alumno
EJERCICIOS 4
Hallar la inversa de las siguientes matrices :
1 2 3
B= 4 5 6
7 8 9
C=
-3 2 5
6 4 -2
1 1 1
D=
2 -5 -6
4 -2 7
3 2 1
E=
-2 3 4
1 2 5
-3 5 6
2 6 4
F= 5 4 2
-4 1 2
12
Manual del Alumno
SESION 5
DETERMINANTES
Definición.El determinante es un numero real o un escalar asociado a una matriz cuadrada que se denota por : D (A)
CALCULO DE UNA MATRIZ DE ORDEN 2X2
a11
a12
a 21
a22
D(A) =
= a11. a22 + a21. a12
Ejemplo. Hallar el determinante de
4
-3
1
2
A=
Solución :
4 -3
D(A) =
= 4x2 - 1x (-3) = 8 + 3 = 11
1
2
CALCULO DEUNA MATRIZ DE ORDEN 3X3
a11 a12 a13 a11 a12
D(A) = a21 a22 a23 a21 a22 = a11.a22.a33 + a12.a23.a31 +
a31 a32 a33 a31 a 32 a13.a21.a32 - a13.a22.a31 - +
+
+ a11.a23.a32 - a12.a21.a33
Ejemplo . Calcular el determinante de:
1 2 10
2 3 9
4 5 11
A=
Solución :
A=
1 2 10
2 3 9
4 5 11
1 2
2 3
4 5
= 1.3.11 + 2.9.4 + 10.2.5 - 10.3.4 - 1.9.5 - 2.2.11
D(A) = 33 + 72 + 100 - 120 - 45 -44
D(A) = -4
RESOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES EN DOS VARIABLES
Resolver el sistema :
3x + 4y = 6
5x + 3y = -1
Solución :
3
4
5
3
D(A) =
Luego
= 3.3 - 4.5 = 9 -20 = -11
x
3
= ( 1/-11 )
-4
6
3.(6) + (-4)(-1)
=
22
= (-1/11)
-2
=
13
Manual del Alumno
Y
5
-3
-1
-5.(6) + 3.(-1)
Siendo el conjunto solución : S =  ( -2,3 ) 
EJERCICIOS 5
1.- Hallar el determinante de:
A=
5 6 7
4 2 3
12 0
-5 -8 9
B = -2 3 5
4 5 2
C=
2 1 0
1 1 1
-3 6 -8
2.- Resolver las siguientes ecuaciones por determinantes :
 5x + 4y = 5
4x + 2y = 1
 3x + 7y = 0
-2x - 2y = 2
-33
3
14
Manual del Alumno
SESION 6
RELACIONES Y FUNCIONES
RELACIONES
Definición.Se llama relación entre los elementos de un conjunto A y los elementos de un conjunto B a todo subconjunto R
del producto cartesiano AxB ; esto es, una relación R consiste en lo siguiente :
1.- Un conjunto A ( conjunto de partida )
2.- Un conjunto B ( conjunto de llegada )
Simbólicamente se denota por:
R : AB  R A x B
DOMINIO DE UNA RELACION.Se llama dominio a todas las primeras componentes de los pares ordenados de la relación . Se denota Dom(R) y
se simboliza :
Dom (R)= x A /  y B , ( X,Y ) R
RANGO DE UNA RELACION.Se llama rango de una relación R de A en B al conjunto de las segundas componentes de los pares ordenados de
la relación. Se denota Ran (R) y es simboliza :
Ran (R)= y B /  x A , ( X,Y ) R
EJEMPLO: Hallar el dominio y el rango de las relaciones en A siendo A = 1,2,3,4,5 
y, R1 =  (x,y) AxA / x+y = 7 
Solución.R1 = ( 2,5);(3,4);(5,2);(4,3) 
Siendo :
Dom (R1) =  2,3,4,5
Ran (R1) =  2,3,4,5
FUNCIONES
Definición.Es un conjunto de pares ordenados en el que dos pares distintos nunca tienen la misma primera componente es
decir :
1.- f  AxB
2.- (x,y) f  (x,z) f (y=z)
EJEMPLO :
 Sea A = 1,2,3,4 y B = a,b,c,d,e si f es la función: f =  (1,a);(2,b);(3,c);(4,c) 
Solución .Dom f = 1,2,3,4
Ran f = a,b,c
 En la función y = f(x) = 3 x 0,4 hallar el dominio y el rango.
15
Manual del Alumno
Solución.Dom f =  0,4
Ran f = 3
 Hallar el dominio y rango de la función f(x) = (x-1) (x-9)
Solución.(x-1) (x-9) > 0
( X-1 0 X-9  0 )  ( X-1 0 X-9  0 )
( X1  X9)  ( X1  X9 )
(X 9 )  ( X 1)
<- ,1  9,  > = Dom f
y = f(x)
( x-1) (x-9) 0   0, >
y = f(x)   0, >
entonces el rango es : Ran f =  0, >
EJERCICIOS 6
 Hallar el dominio y rango de las relaciones en A siendo A =  1,2,3,4,5 
a.- R = (x,y)  AxA / x+y < 4
b.- R = (x,y)  AxA / y < 4
c.- R = (x,y)  AxA / x2-2  y
d.- R = (x,y)  AxA / x-3y = 12
 Hallar el rango de la función f(x) = (x+1) x   0,8 
 Hallar el dominio y rango de la función f(x) = x2-6x+8
 Hallar el dominio y rango de la función f(x) = x2+6x+8
16
Manual del Alumno
SESION 7
GEOMETRIA ANALITICA
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
Sean P1 = ( X1,Y1 ) Y P2 = ( X2,Y2 ) cualesquiera entonces podemos hallar su distancia que esta dado por :
| P1 P2 | =  [( X2 - X1 )² + ( Y2 - Y1 )²]
Ejemplo. Si A = ( -3,10 ) y B = ( 1,2 ).Hallar la distancia de AB
Solución.| AB | =  [( 1 - (-3) )² + ( 2 - 10 )²]
| AB | =  [( 4 )² + ( -8 )²]
| AB | =  [16+ 64]
| AB | =  [80]
| AB | = 4 [5]
EJERCICIOS
1.- Si los puntos A = ( -3,10 ) ; B = ( 1,2 ) y C = ( 4,-4 ) demostrar que:
| AC | = | AB | + | BC |
2.- Hallar el perímetro del triángulo formado por los puntos A = ( 4,7 ) ; B = ( -1,-8 ) y C = ( 8.-5 )
3.- Hallar X ,si A = ( X,8 ) ; B = ( 5,-2 ) y su distancia es 2√41.
4.- Demostrar que el cuadrilátero con vértices en A = ( -2,-1 ) ; B = ( 5,-4 ) ; C = ( -1,-18 ) y D = ( -8,-15) es un
rectángulo.
17
Manual del Alumno
SESION 8
ANGULO ENTRE DOS RECTAS
Dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales :
L1  L2  m1 = m2
Donde :
L1 y L2 : son dos rectas
m1 y m2 : son pendientes
La Pendiente :
m=
y2 - y1
x2 - x1
;
x1  x2
Dos rectas son perpendiculares si y solo si e producto de sus pendientes es -1 .
L1  L2  m1 . m2 = -1
Ejemplo : Determinar si L1 y L2 son paralelas o perpendiculares, L1 esta formado por ( 1,-1 ) y
( 3 ,2 ) . L2 esta formado por ( 3,2 ) y ( 7,8 ) .
Solución .
mL1= 2 - (-1) = 3
3-1
2
mL2 =
8-2 =3
7-3
2
Por lo tanto: L1  L2  m1 = m2
EJERCICIOS 8
1.-Determinar si las rectas L1 y L2 son paralelas o perpendiculares.
a- L1 = ( 9,2 ) y ( 11,6 ) ; L2 = ( 3,5 ) y ( 1,1 )
b- L1 = ( 2,1 ) y ( 1,5 ) ; L2 = ( 3,5 ) y ( 1,1 )
2.- Dados los puntos A= ( -1,5 ) ; B= ( 3,2 ) ; C= ( 4,3 )hallar la pendiente de la recta L que pasa por C y que
divide al segmento AB en la razón -3/2.
3.- Una recta de pendiente 7/3 pasa por P ( 1,2 ) . Hallar las coordenadas de dos puntos sobre la recta que distan
58 unidades de P.
4.- Si la recta L1 que contiene los puntos A (a,2) y B (0,2a) es paralela a la recta L2 que contiene a los puntos C (
-a,3 ) y D (1;-2a).Hallar el valor de a.
18
Manual del Alumno
SESION 9
LA ECUACION DE LA RECTA
ECUACIONES PARA UNA RECTA :
1.- LA FORMA PUNTO PENDIENTE.- es cuando una recta pasa por el punto P 1 = (x1,y1) y de pendiente m es
:
y-y1 = m(x-x1)
2.- LA FORMA DE LOS DOS PUNTOS.- es la recta que pasa por dos puntos dados P 1 ( x1,y1) y P2 ( x2,y2)
tiene la ecuación :
(y - y1) / ( x - x1) = (y2 - y1 ) / (x2 - x1 )
x2  x1
3.- LA FORMA PENDIENTE Y ORDENADA AL ORIGEN.- es la recta cuya pendiente es m y ordenada
esta en el origen es b, tiene por ecuación
y = mx + b
4.- LA FORMA DE LAS COORDENADAS AL ORIGEN.- es la recta cuya intersección con los ejes x e y
son a  0 y b  0 respectivamente , tiene por ecuación:
x/a +y/b = 1
5.- LA FORMA GENERAL.- su ecuación es :
Ax + By + C = 0
EJEMPLO.Hallar la ecuación de la recta que tiene por pendiente -4/3 y pasa por el punto ( 1,-1 ).
Solución.Aplicando : y -y1 = m ( x -x1)
Reemplazando : y - (-1) = -4/3 ( x -1 )
y + 1 = -4/3 ( x -1 )
3y + 3 = -4x + 4
Entonces la ecuación de la recta es : 4x + 3y -1 = 0
EJERCICIOS .1.- Hallar la ecuación de la recta cuya ordenada y abscisa en el origen suman cero y que contiene al punto P
(2,4).
2.- Dado el triángulo de vértices A (-10,-1) ; B (-3,7) y C (2,5) ;Hallar las ecuaciones de las rectas que pasa por
el vértice B y trisecan al lado opuesto AC.
3.- Una recta pasa por el punto P (2,3) y la suma de los segmentos que determina sobre los ejes coordenadas es
10.Hallar la ecuación de la recta.
4.- Hallar la ecuación de la recta cuya ordenada y abscisa en el origen suman 2 y cuya pendiente es 9/5.
19
Manual del Alumno
SESION 10
LA CIRCUNFERENCIA
ECUACION GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA
( x - h )² + ( y - k )² = r² ..................(1)
Desarrollando la ecuación (1)
x² + y² - 2hx - 2ky + ( h² + k² - r² ) = 0
Esta ecuación tiene la forma :
X² + Y² + DX + EY+ F = 0 .................( Ec. General )
Ejemplo.
Que tipo de circunferencia es representada por la ecuación 9x² + 9y² - 72x - 6y + 1 = 0
Solución :
Dividimos entre 9
.
(1/9) 9x² + 9y² - 72x - 6y + 1 = 0
x² + y² - 8x - (2/3)y + 1/9 = 0
Completando cuadrados
( x² - 8x + 16 ) + ( y² -- 2/3y + 1/9 ) = - 1/9 +16 + 1/9
Entonces :
( x - 4 )² + ( y - 1/3 )² = 16
Por lo tanto: la ecuación representa una circunferencia de centro
c = ( 4 , 1/3 ) y el radio r = 4
EJERCICIOS 10
Determinar el centro y el radio de cada ecuación siguiente:

9x² + 9y² - 144x + 12y + 580 = 0

4x² + 4y² - 12x + 8y + 77 = 0

36x² + 36y² - 48x - 36y + 16 = 0

4x² + 4y² - 16x + 20y + 25 = 0

x² + y² + 4x + 16y - 39 = 0
20
Manual del Alumno
SESION 11
LIMITES
Definición.El numero L se llama limite de una función en el punto X0 ( X0 no necesariamente  Dom f ) si para cada   0,
es posible hallar   0, que depende de X0 y  tal que :
x Dom f  0  X - X0     f(x) - L  
Se denota :
Lim f(x) = L
XX0
Ejemplo : Demostrar
Lim
XX0
X² - 9 = 6
X-3
Solución.X0 = 3
L=6
f(x) =
(X-3)(X+3)
(X+3)
donde :
f(x) = X + 3  X  3
Entonces   0, hallamos   0 tal que : x Dom f  0  X - 3     f(x) - 6  
f(x) - 6 = X - 9 - 6 = X + 3 - 6 = X - 3     = 
X+3
Hemos comprobado
Lim
X3
X² - 9 = Lim ( X - 3 ) ( X + 3 )
X-3
X3
(X-3)
EJERCICIOS 11
Demostrar por la definición de limites

Lim ( 3x ) = 12
X4

Lim ( 4x - 3 ) = 9
X3

Lim
X4

Lim x - 9 = 2
X-7 x - 1
4
=2
x-2
= Lim ( x + 3) = 3 + 3 = 6
X3
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Manual del Alumno
SESION 12
LIMITES INDETERMINADOS
Definición.La función f tiene limite +. En si los limites laterales en x0 son iguales a + y tienen limite - en
x0 si los limites laterales en x0 son iguales a - y se denota :
Lim f(x) = +
xx0
Lim f(x) = -
xx0
EJEMPLO.Hallar el limite de :
Lim x+1
x3+ x2-9
Solución.Lim
x+1
x3+ (x+3)(x-3)
Lim
3+1
= 4 = +
x3+ (3+3)(3-3) 0
EJERCICIOS 12
Calcular con limites infinitos los siguientes ejercicios :
1.- Lim x2-4
x2 (x-2)3
2.- Lim x2+3
x- x+1
3.- Lim
 ( x2+7x+10 )
x
x
4.- Lim x- x
x0 x2+x
5.- Lim
z0
1-cosz
z
CONTINUIDAD
CONTINUIDAD DE UNA FUNCION EN UN PUNTO
Definición.La función f es continua en x0  Dom f si para cada   0 existe un   0 ( que depende de  y x0 ) tal que :
XDom f  x- x0    f(x) - f(x0)  
Si x0 es además un punto de acumulación del Dom f entonces tiene en forma equivalente que f es continua en x=
x0 si y solo si cumple :
1.- f(x0) esta definido.
2.- Existe el limite de f en x0.
3.- Lim f(x) = f(x0).
x x0
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Manual del Alumno
EJEMPLO.Probar que f es continua en x0 =0 para
X2+2
, x<0
2senx
x
x>0
F(x) =
Solución.1.- f(0) esta definido por f(0) = 2.
2.- x0 = 0 es punto de acumulación de Dom f = -,
Lim (x2-4) = 2
x0
Lim 2senx = 2
x0 x
Lim f(x) = 2
x0
3.- Lim f(x) = f(0) =2 entonces f es continua en x0 = 0.
x0
EJERCICIOS 12.1.- Probar que la función es continua
xsen(1/x) ,x 0
f(x) =
0
, x=0
2.- Probar que la siguiente función es continua
3
,x=2
f(x) =
3x2-7x+2
x-2
,x 2
3.- Probar si la función es continua en todo R
x3/2
f(x) =
2x
,x>2
, x<2
4.- Dada la función probar si f es continua en -,3
x-2
f(x) =
x+1
,x>3
,x<3
23
Manual del Alumno
SESION 13
LA DERIVADA
Definición.Dado una función f y x0 que pertenece al dominio de f se llama derivada de f en el punto x 0 al valor.
f (x0 ) = lim f (x0 +h ) - f ( x0 )
h0
h
Hallar la derivada de  x
Solución.f (x0 ) = lim
h0
f (x +h ) - f ( x )
h
f (x0 ) = lim
h0
 ( x+h ) -  x
h
f (x0 ) = lim
h
h0 h  ( x+h ) -  x 
f (x0 ) = lim
h0
1
 ( x+h ) -  x
= 1
,x0
2x
EJERCICIOS 13.Hallar la derivada de las siguientes funciones :
 f(x) = (  x ) 3
 f(x) = x2 - 7
 f(x) = 1/(x4 +3)
 f(x) = cos x
 f(x) = 3x2 + 4x - 2
24
Manual del Alumno
SESION 14
REGLAS DE LA DERIVACION
1.- Dc = 0 , c= funcion constante
2.- Dx (x) = 1
3.- Dx (x) = 1
2(x)
4.- Dx senx = cosx
5.- Dx (xn) = nxn-1
6.- D  f + g (x) = Df(x) + Dg(x)
7.- D  f .g x = f(x)Dgx) + g(x)Df(x)
8.- D  f /g x = g(x)Dfx) - f(x)Dg(x)
(g(x))2
EJERCICIOS 14.Derivar las siguientes funciones usando las reglas de derivación :
 f(x) = 5x + 4x2 - 7x6
 f(x) = (3cosx).(4x)
 f(x) = senx
x
 f(x) = senx
cosx
 f(x) = x²(senx)
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Manual del Alumno
SESION 15
LA ANTIDERIVADA ( integracion)
FORMULAS DE INTEGRACION
1.-  dx = x + c , c = constante
2.-  xndx = xn+1 + c
n+1
3.-  kf(x)dx = k  f(x)dx
4.-  ( u + v )dx =  udx +  vdx
5.-  audx = au + c
lna
6.-  senudu = -cosu +c
7.-  cosudu = senu +c
8.-  tgudu = lnsecu + c
9.-  ctgudu = lnsenu + c
10.-  secudu = lnsecu + tgu + c
11.-  cscudu = lncscu - ctgu + c
12.-  sec²udu = tgu + c
13.-  csc²udu = -ctgu + c
14.-  secu.tgudu = secu + c
15.-  cscu.ctgudu = -cscu + c
EJERCICIOS 15.  5a²x²dx
  (x4+x2+1)(x-1) dx
  cos3xsen33xdx
  dx
cos6x
  sen²xcos²xdx
  2x-3dx
(x2-3x+2)3
  (x3+x+1)dx
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Manual del Alumno
BIBLIOGRAFIA.

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
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VENERO BALDEON , Armando j.(1997) : Análisis Matemático I .Lima-Perú. Editorial San Marcos.
FIGUEROA GARCIA ,Ricardo (1998) : Vectores y Matrices, Lima-Perú W.H. Editores.
FIGUEROA GARCIA ,Ricardo (1998) : Matemática básica , Lima-Perú W.H. Editores.
FIGUEROA GARCIA ,Ricardo (1998) : Vectores y Matrices , Lima-Perú W.H. Editores.
FIGUEROA GARCIA ,Ricardo (1991) : Geometría Analitica , Lima-Perú W.H. Editores.
ESPINOZA RAMOS ,Eduardo (1993) : Análisis Matemático II (solucionario de DEMIDOVICH ).