4. el primer eslabón de las matemáticas en las facultades de cc

El Primer Eslabón de las Matemáticas en las Facultades de CC. Económicas y Empresariales: Los Análisis…
EL PRIMER ESLABÓN DE LAS MATEMÁTICAS EN
LASFACULTADES DE CC. ECONÓMICAS Y
EMPRESARIALES: LOS ANÁLISIS ECONÓMICOS
LINEALES
Gabriela Mónica Fernández Barberis
María del Carmen Escribano Ródenas
Universidad San Pablo – CEU
RESUMEN
Los programas de la asignatura Matemáticas de primer curso de las Facultades de CC.
Económicas y Empresariales, en muy pocos casos, suelen incluir un primer capítulo
introductorio destinado a familiarizar a los alumnos con los principales conceptos de la
ciencia económica y con la formulación matemática de los problemas económicos,
incluso, si este tema aparece en la relación de contenidos, en la realidad no se imparte.
En la Universidad San Pablo – CEU, la experiencia nos ha conducido a incorporar un
capítulo que denominamos “Análisis Económicos Lineales”. De esta manera se
introduce el concepto de relación lineal en el ámbito del análisis económico,
distinguiendo así, distintos tipos de relaciones y diferentes formulaciones matemáticas
apropiadas para cada una de aquellas.
Teniendo en cuenta que un análisis económico cuantitativo se inicia mediante un
proceso de modelación que finaliza con la formulación de un modelo matemáticoeconómico, se distinguen distintos tipos de modelos económicos lineales, poniendo
especial énfasis no sólo en la formulación matemática de los modelos sino también en la
utilización de las herramientas matemáticas apropiadas para su resolución. Si bien son
numerosos los campos de la Economía en los que se realizan análisis cuantitativos que
dan lugar a modelos económicos lineales, es de la programación de la producción de la
empresa en el corto plazo con tecnología lineal el que permite formular algunos
modelos lineales de compatibilidad y de programación lineal que pueden servir de guía
para la formulación de cualquier otro modelo económico lineal. De esta forma, los
alumnos adquieren la motivación por la asignatura desde el principio, y conocen
algunas de las necesidades matemáticas de la ciencia económica que les permitirá
afrontar más satisfactoriamente el resto de la asignatura.
Palabras clave: Formulación matemática, modelo matemático-económico,
modelos económicos lineales.
XIII Jornadas de ASEPUMA
1
Fernández Barberis, G.M.; Escribano Ródenas, M.C.
1. INTRODUCCIÓN
Desde comienzos del siglo XIX las Matemáticas han hecho inmersión en la
Economía, y su empleo continúa siendo cada vez mayor y de más utilidad.
“La gran variedad de análisis económicos existentes motiva que sean muy diversas
las necesidades matemáticas de la Economía”.1
En la mayoría de los análisis económicos rige el carácter hipotético-deductivo
siendo ésta una característica que potencia la utilización de las Matemáticas como un
instrumento que facilita la formulación de los análisis y prioriza la deducción.
Por ello es muy importante familiarizar a los alumnos con los principales conceptos
de la ciencia económica y con la formulación matemática de los problemas económicos,
ya desde el primer curso en las Facultades de CC. Económicas y Empresariales.
“El gran reto en la enseñanza de la Matemática a los alumnos de las facultades de
Ciencias Económicas y Empresariales consiste en compatibilizar el rigor en la
exposición, imprescindible si queremos dar un carácter formativo a la asignatura, con
el necesario “acercamiento” a los entes matemáticos, sus propiedades y las relaciones
entre ellos para conseguir una flexibilidad en su manejo como instrumento en el
proceso de modelación económica”.2
La gran variedad de análisis económicos existentes motiva que sean muy diversas
las necesidades matemáticas de la Economía, pero en esa etapa inicial de sus estudios,
se pone énfasis en los Análisis Económicos Lineales y en la noción de equilibrio
económico. Es imprescindible presentar la asignatura de Matemáticas a los alumnos con
una didáctica que les motive en la utilización de las propias Matemáticas como
herramienta para todas las demás asignaturas de su carrera económica.
“Desafortunadamente, estudiar matemáticas es, para muchos, algo semejante a
tomar una amarga medicina, necesaria e ineludible, pero extremadamente tortuosa. Tal
actitud, referida como “mate-ansiedad”, en general tiene sus raíces – creo yo – en la
manera poco propicia en la que a menudo se han presentado las matemáticas a los
estudiantes”.3 La necesidad de este uso matemático en la Economía es fundamental
para incentivar al alumno en el estudio de las Matemáticas. La adecuación de los
programas de Matemáticas para estas titilaciones en concreto es imprescindible en
nuestra realidad docente, y en la mayoría de los casos, esta adecuación se limita a
1
Gutiérrez, S. (1987): Álgebra Lineal para la Economía. Editorial AC. Madrid, pág. 1.
Gutiérrez, S. (1987): Álgebra Lineal para la Economía. Editorial AC. Madrid, pág. ix.
3
Chiang, A. (1987): Métodos Fundamentales de Economía Matemática. Edit. McGraw Hill, pág. xiii.
2
2
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El Primer Eslabón de las Matemáticas en las Facultades de CC. Económicas y Empresariales: Los Análisis…
colocar en el “título” de la asignatura o del libro de la misma, algún adjetivo o
determinativo, relativo a la empresa o a la economía, empezando y terminando con
temas puramente matemáticos, con ejemplos y ejercicios totalmente matemáticos, en los
que pocas veces se incluyen enunciados de tipo económico cuando debe ser casi al
contrario.
“A veces damos importancia a lo económico no solamente para motivar un tema
matemático, sino para ayudar a tener una intuición matemática” 4.
A continuación, se presenta una propuesta de tema introductoria en la asignatura de
Matemáticas que puede ayudar a mejorar la motivación de nuestros alumnos hacia
nuestra asignatura, siguiendo la metodología didáctica del profesor Silesio Gutiérrez5,
del que intentamos ser sus discípulas.
2. LA IDEA DE EQUILIBRIO ECONÓMICO
Todo sistema económico requiere la existencia de agentes económicos (productores,
consumidores, etc.), de disponibilidades de factores productivos y de la disponibilidad
de cierto tipo de tecnología, conforme a la cual se combinan los recursos para obtener
bienes y servicios destinados a satisfacer las múltiples necesidades, reales o potenciales.
Así pues, cada sistema económico se enfrenta al complejo problema de cómo
organizar la producción y como efectuar la distribución de bienes y recursos.
La factibilidad de los planes de producción está condicionada por la tecnología
disponible y por la disponibilidad de recursos; pero ello no es suficiente ya que, es
necesario conocer los comportamientos de los agentes económicos y las reglas de
funcionamiento del sistema económico, para determinar cuáles de los planes de
producción considerados como factibles son los que, en definitiva, deben llevarse a
cabo.
Es lógico que la actitud de los agentes económicos esté encaminada a lograr, dentro
de todas las asignaciones factibles, aquella que resulte ser la más satisfactoria para ellos;
bien puede decirse que es aquella que les reporte el máximo rendimiento. Por
consiguiente, puede decirse que los agentes económicos están orientados por
comportamientos optimizadores.
4
Sydsaeter, K.; Hammond, P. (1996): Matemáticas para el Análisis Económico. Editorial Prentice Hall,
pág.xvii.
5
Capítulo 1 “Análisis Económicos Lineales” del libro Matemáticas aplicadas a la economía y la empresa
(1997). Editorial AC. Madrid.
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3
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El sistema económico debe funcionar de manera tal que, conduzca a una asignación
de recursos mediante la cual, los comportamientos de todos los agentes económicos
sean compatibles simultáneamente. Para lograr esa compatibilidad se requiere de algún
mecanismo que sea capaz de coordinar la actuación de los agentes, es decir, que revele
y transmita la información relevante que posee cada agente, posibilitando así que el
proceso de asignación de recursos conduzca a un equilibrio.
Se observa que, la noción de equilibrio económico se fundamenta en dos pilares
esenciales: los comportamientos optimizadores de los agentes económicos y la
compatibilidad de sus acciones simultáneas.
Los comportamientos optimizadores de los agentes económicos individuales son los
que determinan sus demandas y ofertas que, una vez agregadas, dan origen a las
demandas y ofertas de los mercados. Sabemos que, por la ley de la oferta y la demanda,
un mercado alcanza su equilibrio al igualarse la oferta y la demanda, es decir, cuando se
hacen compatibles los comportamientos optimizadores de los agentes individuales que
intervienen. Si a su vez, existiera compatibilidad en los equilibrios de los diferentes
mercados, se llegaría a lograr el equilibrio del sistema económico en su conjunto.
Si ahora analizamos lo expuesto hasta aquí desde el punto de vista matemático, un
comportamiento optimizador equivaldría al problema matemático de encontrar los
valores que han de alcanzar n variables para que hagan máximo o mínimo el valor de
una función que depende de ellas, llamada función objetivo. Por lo general, dichas
variables están sometidas a un conjunto de restricciones, dado que en la realidad, la
disponibilidad de recursos no es ilimitada. Este problema matemático pertenece a la
llamada optimización matemática, en sus distintas variantes y grados de complejidad.
En cuanto a la compatibilidad de los comportamientos de los agentes económicos, el
problema matemático que subyace detrás, es el equivalente a encontrar la solución, si
existe, de un sistema de ecuaciones.
Puede concluirse, pues, que las técnicas de optimización matemática y de sistemas
de ecuaciones son las necesidades matemáticas esenciales para los análisis de equilibrio
económico.
4
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3. LOS ANÁLISIS ECONÓMICOS LINEALES
Los análisis económicos lineales representan un enfoque sumamente importante
para la Ciencia Económica y al que también se le conoce como “análisis de procesos o
actividades”.
Dado
que
las
necesidades
matemáticas
de
los
análisis
lineales
son,
fundamentalmente, las técnicas que se derivan del álgebra lineal, es imprescindible que
el alumno maneje con soltura los conceptos económicos y relacione los mismos con las
herramientas matemáticas apropiadas para resolver los problemas económicos a los que
se enfrente.
Asimismo, en los equilibrios de los agentes individuales se precisa, dentro de la
optimización matemática, de la programación lineal y, en los equilibrios que
compatibilizan las acciones de los agentes económicos se requieren técnicas de
resolución de sistemas lineales.
3.1. Las Relaciones Lineales
Dentro de las Ciencias Sociales, aquella que requiere de un mayor nivel de
cuantificación es la Ciencia Económica. La mayoría de las magnitudes económicas se
expresan mediante variables que tienen una correspondencia biunívoca con el conjunto
de los números reales. Dentro de dichas magnitudes, las que se utilizan más
frecuentemente en este capítulo introductorio de la asignatura Matemáticas, se
encuentran las cantidades y los precios, ya sean cantidades de factores productivos o de
productos terminados.
Es muy importante tener en cuenta que, dichas variables económicas no aparecen
aisladamente sino, vinculadas entre sí a través de distintos tipos de relaciones.
Las relaciones más sencillas que pueden establecerse entre las n variables
x1 , x 2 ,..., x n son las relaciones lineales, tanto de igualdad como de desigualdad, esto es:
a x + a x + ... + a x = b
1 1 2 2
n n
a x + a x + ... + a x ≤ b
1 1 2 2
n n
a x + a x + ... + a x ≥ b
1 1 2 2
n n
En la mayoría de los análisis económicos más elementales, dentro de las relaciones
lineales, suelen distinguirse tres tipos:
a) Relaciones Contables
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b) Relaciones de Restricción
c) Relaciones Lineales de Comportamiento.
Se comentará brevemente cada una de ellas:
a)
Las relaciones contables son aquellas que se utilizan para expresar una magnitud
como suma de sus elementos componentes. Así por ejemplo, el coste puede expresarse
como:
C ( x1 , x 2 ) = c1 x1 + c 2 x 2 donde c1, c2, representan el coste de los factores
productivos, y x1, x2, representan las cantidades de dichos factores utilizados en un
determinado proceso.
Asimismo, el ingreso que se obtiene de la venta de los productos ya terminados puede
expresarse en función de los precios de los productos (p1, p2) y de las cantidades
vendidas (x1, x2): I ( x1 , x 2 ) = p1 x1 + p 2 x 2 .
Estos ejemplos en los que sólo se han considerado dos factores productivos o dos
productos, pueden generalizarse para n.
b)
Este tipo de relaciones se utilizan para expresar las limitaciones que impone el
propio contexto económico. Dichas limitaciones se representan mediante restricciones,
ya sea en la disponibilidad de los factores productivos, en los niveles de satisfacción de
la demanda, etc.
Por ejemplo, para expresar la limitación en la disponibilidad de algún factor productivo,
en el cual la utilización del mismo no puede superar su disponibilidad, se usa una
restricción de la forma: a i1 x1 + a i 2 x 2 ≤ d i .
c)
Cuando el valor de una magnitud depende de un conjunto de variables, y dicha
dependencia es de carácter lineal, se utilizan relaciones lineales de comportamiento.
Con ellas se expresa cómo el comportamiento de la magnitud viene explicado por el de
las variables independientes.
En el modelo sencillo de equilibrio del mercado aislado de un bien, suele suponerse que
tanto la función de demanda (Qd ) como la función de oferta (Qs ) , dependen del precio
del bien en cuestión, siendo esa dependencia de naturaleza lineal. Por lo tanto, se
expresan como:
Qd ( p ) = a − b p
Qs ( p ) = − c + d p
6
( a , b , c , d ≥ 0)
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4. LOS MODELOS ECONÓMICOS LINEALES
El proceso de modelación mediante el cual se inicia un análisis económico
cuantitativo comprende las etapas siguientes:
1º. Efectuar una selección del conjunto de variables que tendrán especial relevancia
en el análisis, es decir, que del conjunto de variables potenciales hay que elegir el
subconjunto que estará operativo en cada situación particular.
2º. Clasificar las variables relevantes, asignándoles el carácter de exógenas o
endógenas, según se trate de aquellas cuyo valor viene fijado exteriormente o aquellas
cuyo valor debe determinarse, respectivamente. Las primeras son los datos del problema
y las segundas sus incógnitas.
3º. Determinar las relaciones que pueden establecerse entre las variables
seleccionadas, distinguiendo el tipo de relación de que se trate y formulándolas en
términos matemáticos.
Este proceso, una vez llevado a cabo, permite obtener un modelo matemáticoeconómico. Si todas las relaciones que vinculan a las variables son de naturaleza lineal,
entonces se trata de un modelo económico lineal.
Pero, el análisis cuantitativo quedaría incompleto y carecería de utilidad, si no se
completa el mencionado proceso con la formulación de un conjunto de conclusiones
adecuadamente fundamentadas con la utilización de herramientas matemáticas
apropiadas.
“Formulado el modelo como un conjunto de relaciones matemáticas, se precisa de
técnicas analíticas adecuadas al mismo para poder extraer las conclusiones. Para la
elaboración de las diferentes técnicas analíticas son determinantes las propiedades de
las funciones que intervienen (continuidad, diferenciabilidad, convexidad, etc.)”. 6
Existen diversos criterios para llevar a cabo la clasificación de los modelos
económicos lineales, pero el más utilizado es aquel que los agrupa teniendo en cuenta
cuál es el objetivo del análisis. De esta forma, distinguimos:
1.
Modelos Lineales de Comportamiento.
2.
Modelos Lineales de Compatibilidad.
3.
Modelos de Programación Lineal.
6
Vilar; Gil; Gutiérrez; Heras (1993): Cálculo Diferencial para la Economía. Un enfoque teóricopráctico. Editorial AC, pág.v.
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1.
Modelos Lineales de Comportamiento:
Este tipo de modelos consiste en la formulación de relaciones lineales que permitan
conocer el comportamiento de la magnitud (y) que depende de n variables
{x1 , x2 ,..., xn }.
Así pues, la relación lineal:
y = c0 + c1 x1 + c 2 x 2 + ... + c n x n permite
estudiar el comportamiento de y en función de n variables. Los valores de los
coeficientes
{c
c ,..., c n } se obtienen mediante estimaciones, disponiendo de
0, 1
información empírica respecto de los valores que toman las variables en una muestra de
m individuos. Este tipo de análisis recurre a técnicas matemáticas de tipo matricial.
2.
Modelos Lineales de Compatibilidad:
Estos modelos no son sino sistemas de ecuaciones lineales que tienen como objetivo
determinar los valores de n variables
{x1 , x2 ,..., xn },
endógenas al modelo. Las
ecuaciones representan las relaciones lineales que deben satisfacerse simultáneamente.
Cuando el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas, el modelo lineal de
compatibilidad es un sistema lineal consistente, pero esto no garantiza que siempre
exista solución, dado que dos ecuaciones pueden ser contradictorias, y en consecuencia,
no existir solución; lo cual equivale a decir que el modelo lineal es incompatible. A su
vez la ausencia de incompatibilidad no garantiza que la solución sea única. Así,
podemos distinguir dos situaciones: los modelos indeterminados y los modelos
determinados.
En los modelos indeterminados pueden existir ecuaciones que surgen como
consecuencia de una o todas las restantes, éstas son las llamadas ecuaciones
redundantes. Por cada ecuación de este tipo que aparezca, hay un grado de libertad ya
que suele considerarse a una de las incógnitas como parámetro conocido. Por lo tanto,
se manifiesta la existencia de infinitas soluciones y por ello el modelo lineal se dice que
es indeterminado.
Sólo puede garantizarse la existencia de solución única en un sistema consistente
cuando se ha eliminado la redundancia y no existe incompatibilidad. Estos sistemas
reciben el nombre de sistemas determinados. Asimismo, en el caso de que los valores
de la solución tengan significado económico, nos encontramos ante un modelo de
equilibrio económico, siendo aquellos los valores de equilibrio.
Con respecto a las herramientas matemáticas que debemos utilizar para la discusión y
resolución, en caso de ser posible, de un sistema lineal consistente representativo de un
modelo lineal de compatibilidad, éstas dependen de la complejidad del sistema.
8
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En los sistemas que poseen un número reducido de ecuaciones y variables, los métodos
elementales del álgebra lineal, reducción, sustitución, igualación y gráfico, son las
herramientas matemáticas que necesitamos. Mientras que en aquellos sistemas con un
mayor número de variables se necesitan métodos más potentes que sirvan, sea cual
fuere, el número de variables. Tales métodos toman como punto de referencia las teorías
del álgebra lineal, en particular, la teoría de los espacios vectoriales y la teoría de las
matrices.
3.
Modelos de Programación Lineal:
Cuando nos encontramos frente a sistemas lineales indeterminados surge el problema de
elegir entre las infinitas soluciones posibles, aquella o aquellas que sean óptimas. Si
nuestro objetivo consiste en optimizar, ya sea maximizar o minimizar, una determinada
magnitud que depende linealmente de las incógnitas del sistema, estamos frente a un
modelo de programación lineal.
El método que se utiliza para la resolución analítica de estos programas, es el
desarrollado por Dancing y conocido como Método del Simplex. Las herramientas
matemáticas que utiliza la axiomática del Método del Simplex se fundamentan en las
teorías de los espacios vectoriales, de las matrices y de los conjuntos convexos.
5. LA FORMULACIÓN DE MODELOS ECONÓMICOS LINEALES
Si bien son numerosos los campos de la Ciencia Económica que requieren la
realización de análisis cuantitativos que a su vez dan origen a modelos económicos
lineales, en el tema introductorio de la asignatura Matemáticas de los primeros cursos
de las Licenciaturas de las Facultades de CC. Económicas y Empresariales, se hace
especial énfasis en la llamada “programación de la producción de la empresa en el corto
plazo, con tecnología lineal”7. Es aquí donde se intenta enseñar a los alumnos a
formular modelos lineales de compatibilidad y de programación lineal, que constituyen
la base fundamental para la formulación de cualquier otro modelo económico lineal.
Un primer paso consiste en explicar qué se entiende por tecnología lineal. Así
pues, se considera que la tecnología aplicada en el proceso de fabricación es lineal
cuando la producción de los bienes se efectúa combinando los factores productivos en
7
Gutiérrez, S.; Franco, A. (1997): Matemáticas aplicadas a la economía y a la empresa. Editorial AC,
Madrid, pág. 11.
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proporciones fijas. A su vez, cada una de las posibles formas de combinar los factores
productivos en proporciones fijas genera un proceso productivo.
De esta manera, si se dispone de m factores productivos que se combinan, y a su
vez hay n procesos productivos que utilizan los mismos factores, se genera un conjunto
de coeficientes, que configuran una tabla de doble entrada, es decir, una matriz. Cada
uno de esos números, recibe el nombre de coeficiente tecnológico, aij, que indica la
cantidad del factor productivo i que utiliza el proceso productivo j. La información que
contiene dicha matriz es muy importante, se la conoce con el nombre de matriz de
información tecnológica y se representa de la manera siguiente:
Procesos
Factores
Productivos
1
2
…
I
…
m
1
2
…
j
…
n
a11
a21
…
ai1
…
am1
a12
a22
…
ai2
…
am2
…
…
…
…
…
…
a1j
a2j
…
aij
…
amj
…
…
…
…
…
…
a1n
a2n
…
ain
…
amn
Matriz de Información Tecnológica
Cuando se lleva a cabo la producción puede suceder que de cada proceso
productivo se obtenga un producto diferente, o que sea el mismo producto el que se
obtiene en todos los procesos productivos. Esto permite diferenciar entre
multiproducción de proceso único, en el primer caso y monoproducción de proceso
múltiple en el segundo.
Lógicamente que, la información tecnológica no es suficiente para decidir cuál
será el plan de producción más conveniente. Es necesario completar dicha información
con la información económica que proporcionan los precios de venta de los productos.
Al hablar de precios nos referimos tanto, al precio de venta de los productos terminados,
como al precio de los factores productivos.
Si se trata de un mercado de Competencia Perfecta sabemos que los precios de
venta de los productos los fija el mercado, por lo tanto para la empresa son datos y no
tiene ningún tipo de influencia sobre ellos. Consideramos que los factores productivos,
también tienen precios de mercado, pero en el corto plazo, la empresa posee una
dotación fija de factores que puede asignarlos a usos alternativos dentro de ella, pero
que no están en el mercado.
10
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El objetivo de la empresa, en el corto plazo, es llevar a cabo la asignación de los
factores productivos de la forma más eficiente y eficaz posible, esto implica, determinar
el plan de producción “óptimo”. Es importante señalar que el término óptimo siempre se
utiliza en el sentido paretiano que se fundamenta en la idea de la eficiencia.
Se analizarán los modelos económicos lineales más importante que pueden
formularse según los tipos de producción señaladas: la multiproducción de proceso
único y la monoproducción de procesos múltiples. Asimismo, se hará una breve
referencia a los modelos de equilibrio de mercados.
5.1. Multiproducción de Proceso Unico
Cuando se lleva a cabo un plan de producción con estas características, el
proceso de producción es único pero a través del mismo se pueden obtener productos
diferentes y múltiples. Los principales modelos que se utilizan aquí son:
1.
Modelo de procesos rentables.
2.
Modelo de maximización de ingresos.
3.
Modelo de precios internos.
1.
Modelo de procesos rentables.
Los productos que se obtienen en cada proceso son distintos y cada unidad producida
genera un ingreso y un coste. El proceso productivo es rentable cuando el ingreso
supera al coste, en cada uno de los productos obtenidos.
Si {p1 , p 2 ,..., p n } representa los precios de mercado de los n productos y {c1 , c2 ,..., cm }
representa los precios (costes) de los m factores productivos, cada unidad producida en
el proceso j genera:
Ingreso: su precio de venta pj.
Coste: a1 j c1 + a 2 j c 2 + ... + a mj c m
La diferencia entre el ingreso y el coste:
p j − (a1 j c1 + a 2 j c 2 + ... + a mj c m ) mide el
rendimiento neto (ganancia o pérdida) de cada unidad producida en el proceso j.
2.
Modelo de maximización de ingresos.
Mediante este modelo se pretende determinar cada una de las cantidades a producir en
cada proceso de forma tal que el ingreso obtenido sea el máximo posible.
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Si denominamos {b1 , b2 ,..., bm } a las disponibilidades fijas de los m factores productivos
y
{p1 , p2 ,..., pn } a los precios de venta de los n productos, el ingreso que se obtenga
dependerá de las unidades producidas en cada proceso, lo cual indica el nivel alcanzado
por cada proceso productivo.
Las cantidades a producir de cada bien, es decir, lo que representa cada plan de
producción, constituyen el vector de incógnitas
{x1 , x2 ,..., xn }.
En consecuencia, el
ingreso de la producción y la cantidad empleada de cada factor productivo son:
I = p1 x1 + p 2 x 2 + ... + p n x n
Ingreso
q i = a i1 x1 + a i 2 x 2 + ... + a in x n
Factor i-ésimo empleado.
El modelo de maximización de ingresos se formula como un modelo de programación
lineal cuya forma canónica es:
Maximizar
sujeto a :
I
qi ≤ b j
j = 1, ...m.
xi ≥ 0
i = 1, ..., n.
Si el modelo de programación lineal anterior se formula en forma estándar, mediante la
incorporación de las correspondientes variables de holgura, y posteriormente se resuelve
mediante el procedimiento del simplex, se obtiene información muy relevante referida
a:
•
el plan de producción óptimo: esto es averiguar las unidades que deben producirse
en cada proceso;
•
las cantidades de cada factor productivo utilizadas en la producción;
•
las cantidades de factores productivos que quedan sin utilizar, es decir aquellas
cantidades ociosas cuyos valores vienen dados por los valores de las holguras;
•
el ingreso máximo posible.
Una vez que cada empresa establece su plan de producción, es posible calcular el
ingreso esperado y, conforme a estos cálculos, se podrían establecer los costes (o los
precios) que los factores productivos pudiesen tener para que cada unidad producida
tuviese el mismo coste que el precio de venta del producto terminado. Estos costes de
los factores productivos, se denominan económicamente, precios sombra o precios
internos, cuando se trata de optimizar.
3.
12
Modelo de precios internos.
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Otro de los modelos que pueden obtenerse a partir del plan de producción óptimo es el
de los precios imputables a los factores productivos. Para la formulación del modelo de
precios internos, hay que determinar, en primer lugar, cuáles son los procesos que
intervienen en el plan de producción, dado que puede haber ciertos procesos que no
intervengan. A continuación, para cada uno de los procesos deben igualarse el ingreso
obtenido de cada unidad producida con el coste en que se incurre para obtenerla. Dicho
coste se obtiene considerando los precios imputables a los factores productivos, que en
definitiva son las incógnitas a determinar por el modelo. El modelo de referencia no es
más que un modelo lineal de compatibilidad que se formula como un sistema que
contiene tantas ecuaciones como procesos intervengan en el plan de producción y un
número n-ésimo de incógnitas.
El ingreso que se obtiene de cada unidad producida, en esta ocasión, se denomina
precio de mercado. Sean {p1 , p2 ,..., pn } ingresos, todos conocidos. Sean {c1 , c2 ,..., cm }
los precios internos a imputar a los m factores productivos. El coste de una unidad del
producto j viene dada por:
k j = a1 j c1 + a 2 j c 2 + ... + a mj c , j = 1, ..., n. . El modelo
económico se obtiene al igualar, h ingresos, 1 ≤ h ≤ m , elegidos de entre todos los
posibles:
kj = pj
j = 1, ..., h.
Cuando el número de procesos elegidos, h, que intervienen en el plan de producción
óptimo coincide con el número de factores productivos, m, se obtiene un modelo que
constituye un sistema lineal consistente determinado, es decir, que los precios internos
obtenidos son únicos, en el caso de ser, matemáticamente, un sistema lineal compatible
y determinado.
5.2. Monoproducción de Procesos Múltiples
Si se lleva a cabo un plan de producción en el que se obtiene un solo bien
empleando m factores productivos a través de n procesos productivos, en cada proceso
se obtiene una parte de la producción del bien. Este tipo de producción se conoce en el
ámbito económico como monoproducción de procesos múltiples.
Si representamos los niveles de los n procesos por {x1 , x2 ,..., xn } , la suma de dichos
niveles x1 + x 2 + ... + x n , expresa la producción total del bien. Por lo tanto, cada unidad
producida generará el mismo ingreso y el modelo de maximización de ingresos, visto
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anteriormente,
se convierte en uno equivalente que es el modelo económico de
maximización de la producción.
1.
Modelo de maximización de la producción.
Para determinar cuál es el plan de producción óptimo, es decir, para maximizar la
producción total se plantea el problema de determinar qué cantidad debe producirse en
cada proceso (x j , j = {1,2,..., n}) . Los coeficientes tecnológicos de los n procesos (aij =
unidades del factor productivo i empleadas en el proceso j para obtener una unidad de
producto) y las disponibilidades de cada factor (bi , i = {1,2,..., m}) son valores conocidos.
Así pues, para determinar las cantidades de producto a obtener en cada proceso se
formula el modelo siguiente:
Maximizar I = x1 + x 2 + ... + x n
sujeto a :
a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n ≤ b1
a 21 x1 + a 22 x 2 + ... + a 2 n x n ≤ b2
.............................................
a m1 x1 + a m 2 x 2 + ... + a mn x n ≤ bm
x1 , x 2 ,..., x n ≥ 0
Dentro de estos modelos, también cabe la posibilidad de calcular los precios internos
imputables a los factores productivos, previo conocimiento del plan de producción
óptimo.
5.3. Modelos de Equilibrio de Mercados
Para la modelación económica de análisis de equilibrio de mercados competitivos se
recurre, generalmente, a modelos lineales de compatibilidad.
En particular, se recurre a este modelo porque es el que se les explica en la
asignatura Microeconomía al comienzo del curso, considerando que es muy importante,
que el alumno reconozca la vinculación existente entre el planteamiento puramente
económico y las herramientas matemáticas necesarias para su comprensión, ya que se
establecen mercados interrelacionados de varios bienes para calcular todos los precios
posibles que permitan el equilibrio simultáneo de dichos mercados.
Si se parte del supuesto que, en los mercados interrelacionados de n bienes, tanto la
demanda como la oferta de cada bien dependen linealmente de los precios de los n
bienes, se pretende determinar si existe un conjunto de precios para los n bienes que
igualen la demanda con la oferta de cada uno de dichos bienes.
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Si consideramos que la cantidad demandada del bien i-ésimo viene dada por la
ecuación:
Di = d i 0 + d i1 p1 + d i 2 p 2 + ... + d in p n
y, la oferta correspondiente es:
S i = s i 0 + s i1 p1 + s i 2 p 2 + ... + s in p n , para la formulación del modelo lineal de referencia
debe procederse a la igualación de ambas ecuaciones, para cada uno de los bienes
considerados.
En ciertas ocasiones, se determina el exceso de la demanda respecto de la oferta para
cada uno de los bienes (d ij − sij ) y llamando lij a esa diferencia, se obtiene otra
formulación del modelo como un sistema lineal consistente cuyas incógnitas son los
precios:
l11 p1 + l12 p 2 + ... + l1n p n = − l10
l 21 p1 + l 22 p 2 + ... + l 2 n p n = − l 20
..................................................
l n1 p1 + l n 2 p 2 + ... + l nn p n = − l n 0
Los modelos económicos lineales que se han enunciado anteriormente no hacen una
exposición exhaustiva de todos los modelos lineales posibles utilizados por los
economistas, sin embargo pretenden ser una pequeña muestra de las herramientas que
ofrecen las Matemáticas y que se pueden utilizar para formular simbólicamente
problemas económicos para después resolverlos, sencillamente, con la elegancia de las
Matemáticas.
6. CONCLUSIONES
1.
Los alumnos de primer curso de las distintas titulaciones de las Facultades de CC.
Económicas y Empresariales se encuentran, por lo general, completamente
desmotivados para la asignatura de Matemáticas.
2.
La incorporación de un primer tema introductorio en los programas de la
asignatura Matemáticas dedicado a los “Análisis Económicos Lineales”, constituye un
paso esencial para familiarizar a los alumnos con los conceptos económicos más
elementales y para enseñarles a identificar las herramientas matemáticas necesarias en
cada situación particular. Es imprescindible que estos alumnos sean conscientes de la
utilidad y de la necesidad de esta asignatura en sus estudios.
3.
La comprensión por parte de los alumnos de las connotaciones, tanto matemáticas
como económicas, que encierra el capítulo introductorio de referencia, les facilitará la
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formulación de otros modelos económicos más complejos, así como también la
identificación y utilización de las herramientas matemáticas necesarias para resolver
problemas económicos de otra naturaleza.
4.
La elaboración de casos prácticos en los que el alumno deba formular,
inicialmente, el modelo económico lineal que resulte apropiado y luego, identificar las
herramientas matemáticas que debe aplicar para la resolución del problema, constituye
el “broche de oro” indispensable para la adecuada comprensión y aprehensión de los
conocimientos que se pretenden transmitir, así como para su utilización en otras
asignaturas.
5.
Los intentos de cambio de metodología didáctica en Matemáticas, deben estar
actualizados en nuestra realidad cada vez más europea.
6.
Se incluye un Anexo que contiene algunos de los problemas propuestos a los
alumnos, y que representan la parte práctica del tema, necesaria para complementar los
conocimientos teóricos previamente impartidos.
7. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Anthony, M.; Biggs, N. (1996): Mathematics for Economics and Finance. Cambridge
University Press.
Balbás, A.; Gutiérrez, S. Gil Fana, J.A. (1989): Análisis Matemático para la Economía
I. Cálculo Diferencial. Editorial AC. Madrid.
Balbás, A.; Gutiérrez, S. Gil Fana, J.A. (1989): Análisis Matemático para la Economía
II. Cálculo Integral y Sistemas Dinámimcos. Editorial AC. Madrid.
Calvo Martín, M.; Escribano Ródenas, M.C.; Fernández Barberis, G.M.; García
Centeno, M.C.; Ibar Alonso, R.; Ordás Amo, P. (2003): Problemas Resueltos de
Matemáticas Aplicadas a la Economía y la Empresa. Editorial Thomson. Madrid.
Chiang, A.C. (1987): Métodos Fundamentales de Economía Matemática. Editorial Mc
Graw Hill.
Grafe, J. (1990): Matemáticas para Economistas. Editorial Mc Graw Hill. Madrid.
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Güemes García, A. (1992): Matemáticas Aplicadas a la Empresa. Editorial AC.
Madrid.
Gutiérrez Valdeón, S. (1987): Álgebra lineal para la Economía. Editorial AC. Madrid.
Gutiérrez Valdeón, S.; Franco Rodríguez-Lázaro, A. (1997): Matemáticas Aplicadas a
la Economía y a la Empresa. Editorial AC. Madrid.
Sydsaeter, K.; Hammond, P. (1996): Matemáticas para el Análisis Económico. Editorial
Prentice Hall.
Vilar; Gil; Gutiérrez; Heras (1993): Cálculo Diferencial para la Economía: Un enfoque
teórico-práctico. Editorial AC. Madrid.
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ANEXO 1:
PROBLEMAS DE MATEMÁTICAS
ANÁLISIS ECONÓMICOS LINEALES
1.
Una empresa dedicada a la fabricación de coches emplea tres factores según tres procesos
productivos. Los factores que utiliza son: empleados cualificados, limpia-parabrisas y cinturones
de seguridad; obteniendo del Proceso 1: coches deportivos, del Proceso 2: coches utilitarios y del
Proceso 3: mono-volúmenes.
La tabla adjunta recoge la tecnología lineal de la empresa, donde cada elemento aij de la tabla
expresa las unidades del factor i necesarias para obtener una unidad de producto en el proceso j:
Proceso
Factor
Empl. Cual.
Limpia Parabr.
Cinturones Seg.
Coches
Deportivos
1
1
2
2
Coches
Utilitarios
2
2
3
3
MonoVolúmenes
3
2
1
4
La empresa tiene unas disponibilidades fijas de factores, que son: 20, 40 y 30 unidades,
respectivamente. Los precios de mercado de los productos son: 25, 10 y 20 u.m.
respectivamente.
a) Comprobar si es factible producir 3, 4 y 3 unidades en los procesos 1, 2 y 3,
respectivamente.
b) Determinar las cantidades de factores no empleados y el ingreso obtenido en el plan de
producción del apartado a).
c) Formular el modelo de precios imputables a los factores productivos con el plan de
producción del apartado a).
d) Formular el modelo de maximización de ingresos.
2.
Una empresa monoproductora se dedica a la fabricación de zapatos, obteniendo el mismo
producto pero en lugares diferentes. Los factores productivos que utiliza para la obtención de los
zapatos son: empleados, fuerza motriz y cuero vacuno. Los procesos vienen representados por el
lugar de fabricación de los zapatos:
Proceso 1: zapatos fabricados en Elche
Proceso 2: zapatos fabricados en Madrid
Proceso 3: zapatos fabricados en La Coruña.
La tabla adjunta indica en cada columna las unidades de cada factor necesarias para obtener una
unidad del producto (zapatos) en cada proceso:
Proceso
Factor
Empleados
Fuerza Mot.
Cuero Vac.
Elche
1
2
3
1
Madrid Coruña
2
3
1
2
2
0
4
1
La empresa tiene unas disponibilidades fijas de factores que son: 12, 10 y 15 unidades,
respectivamente.
a) Si los precios imputables a los factores productivos son: 3, 1.5 y 2 u.m. respectivamente,
¿cuál es el mínimo precio al que tendrían que vender el producto para que los tres procesos
fueran rentables?.
b) Formular el modelo lineal que proporcione el plan de producción (nivel de cada proceso)
con el que se agotan las disponibilidades de todos los factores productivos.
c) Formular el modelo de maximización de la producción.
3.
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Una empresa dedicada a la fabricación de pasta alimenticia combina dos factores productivos
según dos procesos productivos obteniendo un producto diferente en cada proceso. Los factores
que utiliza son: harina de trigo y huevos. Del Proceso 1 se obtienen Macarrones y del Proceso 2
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se obtienen Espaguetis. En la tabla siguiente cada elemento aij indica las unidades del factor i
necesarias para obtener una unidad de producto en el proceso j:
Proceso
Factor
Macarrones
1
Espaguetis
2
Harina de trigo
Huevos
1.5
3
2
2.5
La empresa tiene unas disponibilidades fijas de factores productivos que son: 10 y 18 unidades,
respectivamente.
a) Formular el modelo lineal que represente el plan de producción con el que agotan las
disponibilidades de los dos factores.
b) Resolverlo gráfica y analíticamente.
c) Formular el modelo lineal de maximización del ingreso, siendo los precios de mercado de
los productos: 2 y 1.5 u.m. respectivamente.
d) Resolverlo gráficamente.
e) Formular el modelo de precios internos de los factores para el plan de producción óptimo.
4.
Una empresa monoproductora dedicada a la fabricación de mesas de jardín emplea sólo dos
factores productivos: mármol y hierro forjado, en dos procesos productivos. Del Proceso 1 se
obtienen las mesas fabricadas en Torrevieja y del Proceso 2 se obtienen las mesas fabricadas en
Cartagena. La información tecnológica aparece en la tabla siguiente:
Proceso
Factor
Torrevieja
1
Cartagena
2
Mármol
Hierro Forjado
4
2
2
3
La empresa dispone de unas dotaciones fijas de factores productivos que son: 12 y 18 unidades
respectivamente.
a) Formular el modelo lineal que dé el plan de producción (unidades a producir en cada
proceso) con el que se agotan las disponibilidades de los dos factores.
b) Resolverlo gráficamente.
c) Formular el modelo lineal que maximice la producción.
d) Resolverlo gráficamente.
5.
6.
Formular el modelo lineal de equilibrio de tres mercados cuyas funciones de demanda y oferta
son:
Qd 1 =18 − 4 p1 + 2 p2 + p3
Qs1 = − 10 + 6 p1
Qd 2 = 25 + p1 − 5 p2 + 2 p3
Qs 2 = − 15 +10 p2
Qd 3 =16 + p1 + 4 p2 − 6 p3
Qs 3 = − 14 + 8 p3
Un horticultor utiliza dos tipos de fertilizantes: M1A y M2B, para producir tres productos:
potasa, nitratos y fosfatos. La tabla adjunta expresa las unidades de cada producto que obtiene
por cada unidad de fertilizante utilizado:
Producto
Fertilizante
M1A
M2B
Potasa
Nitratos
Fosfatos
3
1
1
5
3
2
El horticultor se ha comprometido a mezclar los fertilizantes de forma tal que proporcionen
un mínimo de 15 unidades de potasa, 20 unidades de nitratos y 24 unidades de fosfatos. El coste
del fertilizante M1A es de 120 u.m. y el del M2B es de 60 u.m.
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a)
Formular el modelo lineal que determine el plan de producción conel que se minimiza el
coste de los factores.
b) Resolverlo gráficamente.
7.
Un fabricante de suplementos dietéticos utiliza cuatro ingredientes: cereales integrales, leche de
soja, azúcar integral y frutos rojos disecados en la elaboración de un producto alimenticio
utilizado como complemento a la dieta.
Una unidad de cada ingrediente proporciona Vitaminas A, B y C en las cantidades, en
miligramos, que se expresan en la siguiente tabla, así como los gramos de sodio que también
aparece reflejado:
Contenido
Ingrediente
Cereales integrales
Leche de soja
Azúcar integral
Frutos rojos
Vitamina A
Vitamina B
Vitamina C
Sodio
0.24
0.18
0.35
0.52
0.30
0.21
0.40
0.35
0.17
0.05
0.10
0.20
2.2
1.8
1.5
2.1
Formular el modelo lineal que determine las unidades a emplear de cada ingrediente para que la
composición del producto alimenticio tenga: 36 mg de Vitamina A, 28 mg de Vitamina B, 32 mg
de Vitamina C y 8 gr de sodio.
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