Formulas Teoría de Colas

Investigación Operativa
Teoría de Colas - Fórmulas
λ = tasa media de llegadas (número de llegadas por unidad de tiempo)
1/λ
λ = tiempo medio entre llegadas
µ=
tasa media de servicio (número de unidades servidas por unidad de tiempo cuando el
servidor está ocupado)
1/µ
µ = tiempo medio requerido para prestar el servicio
ρ = factor de utilización del sistema (proporción de tiempo que el sistema está ocupado)
Pn = probabilidad de que n unidades se encuentren en el sistema
Lq = número medio de unidades en la cola (longitud de la cola)
Ls = número medio de unidades en el sistema
Wq = tiempo medio de espera en la cola
Ws = tiempo medio de espera en el sistema
_
λ = Tasa promedio de llegadas de clientes dentro de las instalaciones de servicio
Ws(t) = Probabilidad de que un cliente permanezca más de t unidades de tiempo en el sistema
Wq(t) =
Probabilidad de que un cliente permanezca más de t unidades de tiempo en la cola
Modelo de Colas Sencillo
Para un sólo servidor (s = 1)
ρ=λ/µ
Para servidores múltiples (s >1)
ρ = λ / (s. µ)
P0 = 1 – ρ
s –1
P0 = 1 / {[ n=0
∑ (λ / µ)n / n!] + (λ / µ)s }
s!(1 - ρ)
Pn = P0 ρn
_
λ=λ
Pn = P0 [(λ / µ)n / n!]
para 0 ≤ n ≤ s
Pn = P0 [(λ / µ)n / (s! . sn – s)] para n ≥ s
_
λ=λ
Lq = λ2 / [µ . (µ - λ)] = ρ Ls
Lq = [P0 . (λ / µ)s . ρ] / [s! (1 - ρ)2]
Ls = λ / (µ - λ)
Ls = Lq + (λ / µ)
W q = λ / [µ . (µ - λ)] = Lq / λ
W q = Lq / λ
W s = 1 / (µ - λ) = Ls / λ
W s = W q + (1 / µ)
W s(t) = e- t / Ws
(t ≥ 0)
W s(t) = e- µ.t 1 + (s.ρ)s . p0.(1 – e-µ t (s – 1 - s . ρ))
s! (1 - ρ) (s – 1 – s.ρ)
W q(t) = ρ . e- t / Ws
(t ≥ 0)
W q(t) = (sρ)s p0 . e- s µ t (1 - ρ)
INGENIERÍA INDUSTRIAL
s! (1 - ρ)
1
Investigación Operativa
Teoría de Colas - Fórmulas
Modelo Básico con una Cola Finita (Nro. de clientes ≤ M)
Para un sólo servidor (s = 1)
ρ=λ /µ
ρ = λ / (s. µ)
P0 = 1 - ρ
M+1
1-ρ
Si ρ ≠ 1
P0 = 1
M+1
Si ρ = 1
Pn = P0 ρn
s
M
P0 = 1 / {[ ∑ (λ / µ) / n!] + (λ / µ) ∑ ρ
}
n=0
n=s+1
s!
n
s
n-s
Para cualquier valor de ρ
para 0 ≤ n ≤ M
_
λ = λ (1 – PM)
Ls =
Para servidores múltiples (s >1)
ρ - (M+1) ρM+1
1-ρ
1 - ρM+1
Si ρ ≠ 1
Pn = (λ / µ)n P0
n!
para 0 ≤ n ≤ s
Pn = (λ / µ)n P0
s! sn-s
para s ≤ n ≤ M
Pn = 0
_
λ = λ (1 – PM)
para n > M
s-1
s -1
Ls = [ ∑ n Pn] + Lq + s (1 - ∑ Pn)
n=0
n=0
Si ρ = 1
LS = M / 2
Lq = Ls - 1 + P0
Lq = P0 (λ / µ)s ρ [1 - ρM-s - (M - s)ρM-s(1 - ρ)]
2
s! (1 - ρ)
W s = Ls / [λ (1 - P0 ρM)]
W s = Ls / [λ (1 - P0 ρM)]
W q = Lq / [λ (1 - P0 ρ )]
W q = Lq / [λ (1 - P0 ρ )]
M
M
Modelo Básico con una Fuente de Entrada Limitada
INGENIERÍA INDUSTRIAL
2
Investigación Operativa
Teoría de Colas - Fórmulas
Para un sólo servidor (s = 1)
ρ=λ /µ
Para servidores múltiples (s >1)
ρ = λ / (s. µ)
M
P0 = 1 / ∑ [
n=0
s -1
M! ρ ]
(M - n)!
n
Pn = M! ρ P0
(M - n)!
para 0 ≤ n ≤ M Pn = M! (λ / µ) P0
(M - n)! n!
Pn = 0
para n > M
n
M
P0 = 1 / { ∑ [ M! (λ / µ) ] + ∑ [ M! (λ / µ) ] }
n=0
n=s
n-s
(M - n)! n!
(M - n)! s! s
n
n
para 0 ≤ n ≤ s
Pn = M! (λ / µ) P0
n-s
(M - n)! s! s
para s ≤ n ≤ M
_
λ = λ (M – LS) = µ (1 - P0)
Pn = 0
_
λ = λ (M – LS)
para n > M
Lq = M - (λ + µ ) (1 - P0)
λ
∑ (n - s) Pn
Lq = n=s
Ls = Lq + 1 - P0
n
n
M
s-1
s -1
Ls = [∑
n Pn] + Lq + s (1 - n=0
∑ Pn)
n=0
W q = Lq / [µ (1 - P0)]
W q = Lq / [λ (M - Ls)]
W s = Ls / [µ (1 - P0)]
W s = Ls / [λ (M - Ls)]
Otros Modelos de Colas
Un solo servidor (s = 1) con entrada
tipo Poisson y cualquier distribución
del tiempo de servicio
ρ=λ /µ
P0 = 1 - ρ
Pn = P0 ρn
Lq = λ2σ2 + ρ2
2 (1 - ρ)
Ls = Lq + ρ
W q = Lq / λ
W s = Ls / λ = W q + 1/µ
INGENIERÍA INDUSTRIAL
Un solo servidor (s = 1) con entrada
tipo Poisson y tiempos de servicio
constantes (⇒ varianza σ2 = 0)
ρ=λ /µ
P0 = 1 - ρ
Pn = P0 ρn
Lq =
ρ2
2 (1 - ρ)
Ls = Lq + ρ
W q = Lq / λ
W s = Ls / λ = W q + 1/µ
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