universidad de managua - MSc. Ing. Julio Rito Vargas Avilés

UNIVERSIDAD DE MANAGUA
Al más alto nivel
SIMULACIÓN DE SISTEMAS
Modelos de Simulación
Guía práctica #4
Prof.: MSc. Julio Rito Vargas A.
Febrero 2013
Objetivos:

Aplicar las técnicas estudiadas para desarrollar un modelo de simulación.

Usar herramientas de software (Excel y Promodel - Fit ) para apoyar el desarrollo de un
modelo de simulación.
Modelo de una línea de espera con un servidor
I.
Planteamiento del Problema:
El tiempo que transcurre entre llegada de ciertas piezas a una inspección sigue una distribución
exponencial con media de 5 minutos/pieza. El proceso está a cargo de una operario y la duración
de la inspección sigue una distribución normal con media 4.0 y desviación estándar de 0.5
minutos/pieza. Calcular el tiempo promedio de permanencia de las piezas en el proceso de
inspección.
Para solucionar el problema se debe:
Variable de Estado
Tiempo en el Sistema de inspección (7)
Entidades
Piezas
Eventos
Tiempo de llegada (2)
Fin de la inspección (5)
Evento secundario
Inicio de la Inspección (3)
Actividades
Tiempo entre llegadas (1)
Tiempo de Inspección (4)
Los números entre paréntesis indican la columna que ocupa cada elemento en las tablas
4.1 y 4.2.
II.
Definir las relaciones lógico-matemáticas entre los elementos; en la tabla 4.1
se describen las siguientes relaciones:
a) El tiempo entre llegadas (1); es una variable aleatoria, simulada utilizando
el generador RAND() o ALEATORIO() de la hoja de cálculo de Excel y la
función generadora de variables exponenciales Ei=-5ln(1-ri).
b) El evento tiempo de llegada de la pieza (2); corresponde al valor
acumulado de la columna (1).
Julio Rito Vargas Avilés
Pág.# 2
c) Tomando en cuenta que solo existe un operador encargado de la tarea, el
inicio de la inspección (3) puede ocurrir cuando la pieza entra al sistema, en
caso de que el operario esté ocioso (2) o cuando termina de inspeccionar la
pieza anterior (5).
d) El tiempo de Inspección (4); es una variable aleatoria Normal con media 4.0
y desviación estándar 0.5, generada mediante la función interna normal
acumulada inversa, DISTR.NORM.INV (probabilidad, media, desviación
estándar) la probabilidad será el generador ALEATORIO().
e) El fin de la inspección (5); se calcula sumando el tiempo de inspección (4) al
tiempo de inicio de la inspección (3).
f) La Variable, tiempo en inspección (6); se calcula, finalmente, como la
diferencia entre el tiempo de llegada (2) y el fin de la inspección.
g)
Tiempo de espera (7) de una pieza antes de ser inspeccionada; es igual a
la diferencia entre el tiempo de inicio de inspección (3) y el tiempo de
llegada de la pieza (2).
h) Esta última columna permite calcular el tiempo promedio de inspección (8)
como promedio móvil: cada vez que una pieza es simulada, el tiempo
promedio de inspección se recalcula.
Tabla 4.1 : Relación entre los eventos y actividades involucradas en proceso del problema planteado.
3
4
C
D
E
F
G
H
I
J
K
Pieza
Tiempo
entre
llegadas (1)
Tiempo
de
llegada
(2)
Inicio de la
Inspección
(3)
Tiempo de
Inspección
(4)
Fin de la
inspección
(5)
Tiempo en
Inspección
(6)
Tiempo en
Espera (7)
Tiempo
promedio en
Inspección (8)
=E4
=DISTR.NOR
M.INV(ALEA
TORIO(),4,0.
5)
=F4+G4
=H4-E4
=F4-E4
1
=-5*LN(1ALEATORIO())
=D4
5
2
=-5*LN(1ALEATORIO())
=D5+E4
=MAX(E5,H4)
6
3
=-5*LN(1ALEATORIO())
=D6+E5
=MAX(E6,H5)
7
4
=-5*LN(1ALEATORIO())
=D7+E6
=MAX(E7,H6)
9
5
=-5*LN(1ALEATORIO())
=D8+E7
=MAX(E8,H7)
Julio Rito Vargas Avilés
=PROMEDIO($I$4)
=DISTR.NOR
M.INV(ALEA
TORIO(),4,0.
=F5+G5
5)
=DISTR.NOR
M.INV(ALEA
TORIO(),4,0.
5)
=F6+G6
=DISTR.NOR
M.INV(ALEA
TORIO(),4,0.
5)
=F7+G7
=DISTR.NOR
M.INV(ALEA
TORIO(),4,0.
5)
=F8+G8
=H5-E5
=F5-E5
=PROMEDIO($I$4:I
5)
=H6-E6
=F6-E6
=PROMEDIO($I$4:I
6)
=H7-E7
=F7-E7
=PROMEDIO($I$4:I
7)
=H8-E8
=F8-E8
=PROMEDIO($I$4:I
8)
Pág.# 3
III.
Una vez definidas las relaciones, se simula el proceso, teniendo cuidado de
que el tamaño de la réplica o experimento grande para asegurar la estabilidad
del resultado final. La réplica cuyos resultados se ilustran en la tabla 4.2
Se realizará con 1500 piezas; la información nos indica que el tiempo promedio
de espera es de 11.52 minutos/pieza. Además de este resultado, la columna 8
permite visualizar la estabilización del sistema mediante una gráfica de líneas.
Tabla 4.2 Simulación del proceso de inspección (en hoja de calculo de Excel)
Pieza
Tiempo
entre
llegaadas
(1)
Tiempo
de
llegada
(2)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2.29
2.22
7.28
11.29
4.80
9.01
4.08
0.38
2.98
5.25
1.74
1.56
2.16
0.66
0.86
10.80
2.29
4.51
11.79
23.08
27.89
36.90
40.98
41.37
44.35
49.59
51.33
52.89
55.05
55.71
56.57
67.36
Inicio de Tiempo de
la
Inspección
Inspección
(4)
(3)
2.29
6.58
11.79
23.08
27.89
36.90
40.98
44.66
48.82
53.31
57.43
61.96
65.75
70.47
75.30
80.17
4.29
2.85
3.17
3.90
4.37
3.66
3.68
4.16
4.49
4.11
4.54
3.79
4.72
4.82
4.87
3.61
Fin de la
inspección
(5)
Tiempo en
Inspección
(6)
Tiempo en
Espera (7)
Tiempo
promedio en
Inspección (8)
6.58
9.42
14.96
26.98
32.25
40.56
44.66
48.82
53.31
57.43
61.96
65.75
70.47
75.30
80.17
83.77
4.29
4.92
3.17
3.90
4.37
3.66
3.68
7.46
8.97
7.84
10.63
12.86
15.43
19.58
23.60
16.41
0.00
2.07
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
3.29
4.48
3.72
6.10
9.07
10.71
14.76
18.73
12.80
4.29
4.60
4.13
4.07
4.13
4.05
4.00
4.43
4.93
5.22
5.72
6.31
7.01
7.91
8.96
9.42
……………………………………………………………………………………………………………………
1488
1489
1490
1491
1492
1493
1494
1495
1496
1497
1498
1499
1500
5.69
0.26
10.50
2.66
7.45
9.30
0.64
1.04
9.45
4.08
2.67
10.61
0.45
7569.84
7570.10
7580.60
7583.26
7590.71
7600.02
7600.66
7601.70
7611.15
7615.23
7617.90
7628.51
7628.96
Julio Rito Vargas Avilés
7571.59
7575.69
7580.60
7583.90
7590.71
7600.02
7603.53
7607.58
7612.24
7615.65
7620.24
7628.51
7633.12
4.10
3.91
3.30
4.44
3.95
3.51
4.05
4.66
3.41
4.59
4.13
4.61
3.83
7575.69
7579.60
7583.90
7588.34
7594.67
7603.53
7607.58
7612.24
7615.65
7620.24
7624.37
7633.12
7636.95
5.85
9.50
3.30
5.08
3.95
3.51
6.92
10.54
4.50
5.01
6.47
4.61
7.99
1.75
5.59
0.00
0.63
0.00
0.00
2.86
5.88
1.08
0.42
2.34
0.00
4.16
11.56
11.56
11.56
11.55
11.55
11.54
11.54
11.54
11.53
11.53
11.52
11.52
11.52
Pág.# 4
IV.
La gráfica de estabilización que se obtuvo a partir de la columna 8 (tiempo
promedio en inspección) se muestra en la figura 4.3. Dicha gráfica nos indica
que el tamaño de la réplica es lo suficientemente grande para asegurar la
convergencia del resultado. Cabe señalar que esta gráfica de estabilización
corresponde a una réplica diferente a la tabla de eventos.
Gráfico de estabilización
Tiempo promedio en Inspección (8)
14.00
12.00
10.00
8.00
6.00
4.00
2.00
1
41
81
121
161
201
241
281
321
361
401
441
481
521
561
601
641
681
721
761
801
841
881
921
961
1001
1041
1081
1121
1161
1201
1241
1281
1321
1361
1401
1441
1481
0.00
Este gráfico lo podemos generar desde Excel seleccionando la columna 8 y usando el
menú Insertar – gráfico recomendado.
Al trabajar con procesos donde se involucran variables, actividades y eventos aleatorios,
las variables de estado o variables respuestas serán, en consecuencias, aleatorias. La
figura 4.4 muestra las gráficas de 5 diferentes réplicas del mismo modelo. Si bien la
estabilización está asegurada, el resultado final nunca es el mismo; es evidente que
replicar el experimento debe ser una práctica común en cualquier simulación.
Julio Rito Vargas Avilés
Pág.# 5
Gráfico 4.4: Gráficas de Estabilización de 5 réplicas independientes.
Tiempo de Inspección (4)
6.00
5.00
4.00
3.00
2.00
1.00
0.00
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
Gráfico 4.5: Tiempo de Inspección
Julio Rito Vargas Avilés
Pág.# 6
V.
Al replicar el experimento 50 veces se obtienen los resultados que se muestran
en la tabla 4.5. Para comprender el comportamiento de la variable es necesario
analizar estadísticamente estos resultados.
10.44
11.52
14.58
11.43
14.27
12.83
15.22
10.66
12.00
10.23
11.06
10.22
17.09
14.62
13.90
12.01
11.30
12.55
12.25
16.34
13.49
12.52
11.55
11.73
15.31
10.57
10.47
10.05
11.85
13.12
10.97
10.41
11.66
10.48
10.59
13.75
11.88
15.09
10.12
9.69
12.97
12.34
11.21
13.17
13.66
12.36
11.63
10.19
11.56
10.59
Tabla 4.5 Resultados de las 50 réplicas del experimento
(Tiempo promedio en Inspección)
El análisis estadístico de las réplicas realizado con la herramienta Promodel –
Stat::Fit permite concluir a través de una prueba de bondad de ajuste, que el
tiempo promedio de espera en el proceso de inspección sigue una distribución de
Erlang con los siguientes con los siguientes parámetros:






Media 12.19 minutos/pieza
Desviación estándar 1.76889 minutos/pieza
Valor mínimo en la muestra: 9.69 minutos/pieza
Valor máximo en la muestra: 17.09 minutos/pieza
Coeficiente de asimetría: 0
Curtosis: 0
Aplicamos a los datos prueba de Auto::Fit del menú Fit. Con el objetivo de determinar el tipo de distribución
de los tiempos promedios de Inspección. Obteniendo que no se puede rechazar que la distribución se
comporta como una distribución Lognormal o Exponencial. La consideraremos Lognormal con media=8.96 y
desviación estándar =1.04.
Julio Rito Vargas Avilés
Pág.# 7
tabla 4.6: Bondad de ajuste de las distribuciones analizadas.
Gráfico 4.7: Distribución Lognormal de las 50 réplicas.
VI.
Intervalos de Confianza
Debido a la naturaleza aleatoria de los resultados de este tipo de modelos, es
necesario determinar su distribución de probabilidad y su intervalo de
confianza en las diferentes réplicas, por tanto, aquí nos ocuparemos de los
intervalos de confianza.
Si la variable aleatoria sigue una distribución normal, el intervalo de confianza
está dado por:
[ ̅
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√
(
)
̅
√
(
)]
Pág.# 8
En caso de que la variable aleatoria sigue otro tipo de distribución, el intervalo
de confianza es relativamente más amplio y se calcula como:
[ ̅
√
̅
]
√
En ambas ecuaciones:
r: Número de réplicas
α: Nivel de rechazo
∑
̅
[
(Media aritmética)
∑
̅ ]
(Desviación estándar)
En nuestro caso la distribución es lognormal por lo que usaremos el IC para
distribuciones no normales. (datos de la descriptiva)
r=50
α=0.05
̅
S=1.768
√
√
[
[
]
[
]
[
Julio Rito Vargas Avilés
]
]
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