Al cilindro de la figura se le imprime un impulso angular adquiriendo

Dpto. de Física y Química – Escuela de Formación Básica
FÍSICA I
UNIDAD Nº 8: INTEGRALES DEL MOVIMIENTO
Nota: en esta unidad se aborda el estudio del movimiento de los cuerpos desde otro enfoque más integral del
problema. Es conveniente realizar un esquema claro de la situación a resolver, indicando los distintos estados de
movimiento por los que pasa el sistema. Debe establecerse además un sistema de referencia, que será utilizado
para indicar los desplazamientos y/o giros, y para efectuar los cálculos correspondientes. Una vez obtenido el
resultado, realizar el análisis dimensional del mismo, observando su lógica y sentido físico.
1)
En la figura se muestra la variación de una fuerza en función del tiempo, que actúa sobre un bloque de
madera de 3 kilogramos de masa.
Fx (N)
a) Calcular el impulso que produce la fuerza sobre el
2
bloque.
b) Si el bloque se mueve inicialmente en el sentido
1
positivo del eje x con velocidad de 2 m/s, ¿cuál es la
velocidad después del impulso?
y
B
0
0
15 cm
C
30 cm
A
x
1
2
3
4 t (s)
2) Tres esferas idénticas de 2 kilogramos de masa, se conectan por barras
indeformables y de peso despreciable, como se representa en la figura. El
sistema está en reposo sobre una mesa horizontal lisa. Se aplica a la esfera
A un impulso instantáneo de 10 Ns, en el sentido positivo del eje x, y otro a
la esfera C de 15 Ns en el sentido positivo del eje Y. Calcular el movimiento
resultante del sistema.
3) Un reno arrastra el trineo de Papá Noel por una superficie
horizontal nevada, un tramo de 70 metros a velocidad constante,
hasta comenzar a volar. El trineo está sujeto al reno mediante
unas cuerdas que forman una ánguloθ = 10º con la horizontal . La
masa de Papá Noel más la del trineo y la de los regalos es de 320
kilogramos y el coeficiente de fricción entre el trineo y la nieve es
0,15.
a) Determinar el trabajo efectuado por cada una de las fuerzas
actuantes sobre el trineo mientras se desplaza por la nieve,
b) ¿Es posible optimizar el traslado del trineo? ¿De qué depende?
Justificar la respuesta determinando la mejor forma de hacerlo.
θ
4) Un automóvil de 1500 Kg de masa con una carga de 300 Kg, parte del reposo, alcanzando al cabo de 8
segundos una velocidad de 40 Km/h. Considerando que actúa una fuerza de rozamiento constante de
500N, para ese intervalo de tiempo (0 – 8 segundos) calcular:
a) el impulso recibido por el automóvil,
b) el trabajo realizado por la fuerza que produce el motor, supuesta constante,
c) el trabajo realizado por la fuerza resultante,
d) la variación de la energía cinética,
e) la variación de la cantidad de movimiento,
f) la potencia promedio desarrollada por el motor,
g) la potencia transmitida por el motor.
Unidad N° 8 – Física I
1/6
A
C
hA
hC
B
5) Un pequeño ladrillo de masa m, parte
del reposo desde el punto A y desliza
por la trayectoria lisa mostrada en la
figura, hasta llegar al punto C.
Determinar la velocidad del ladrillo en
los puntos B y C.
6) Un juego para niños lanza pequeñas esferas de 20 g de masa y de dimensiones despreciables, con un
lanzador accionado por un resorte de constante K = 300 N/m. Estas esferas recorren la pista mostrada,
dando un giro completo por el rizo vertical de 20 cm de radio, y abandonando dicha pista en el punto A, a
una altura h = 30 cm del piso, y con un ángulo de inclinación θ = 30º . Suponiendo que la masa del lanzador
y los efectos de fricción sean despreciables en todo el recorrido, y que la esferita se lance con la mínima
velocidad para poder dar un giro completo por el rizo, calcular:
a) la compresión del resorte,
b) la velocidad en el punto A,
vA
c) el vector velocidad un
A
R
instante antes de llegar al
θ
piso.
h
K
d) el trabajo efectuado por
la fuerza gravitacional
sobre la partícula durante
d
su movimiento desde A
hasta llegar al piso.
7) Se arroja un bloque de masa m desde el punto A de la pista representada en la figura, con velocidad vo.
Sabiendo que el coeficiente de roce dinámico entre el cuerpo y la pista es 0,25 y que el cuerpo no se
despega de la pista en todo el movimiento, calcular:
a) el valor mínimo de vo para que el cuerpo pueda llegar hasta el punto B,
b) la velocidad en el punto C, si su
D
velocidad inicial es la calculada
B
medidas en
en el punto a),
metros
3
2
v
o
m
c) el mínimo valor de vo para que
C
A
pueda llegar hasta el punto D.
4
1
2
1
4
6
8) Un cuerpo de 0,2 Kg de masa desliza por un plano inclinado 30º con respecto a la horizontal. Cuando se
encuentra a una distancia l = 1,5 m del resorte ubicado en la base del plano, su velocidad es de 2 m/s, tal
como se indica en la figura. El cuerpo comprime al resorte de
l’=?
V0
constante k = 100 N/m, y este luego lo proyecta hacia arriba del plano.
Considerando que el resorte deja de actuar cuando recupera su
l
longitud natural y que el coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y el
µ
plano es 0,2, determinar:
α
a) la distancia l’ que recorra hasta detenerse,
b) la energía perdida en todo ese recorrido.
9) Resolver el problema anterior para el caso que el cuerpo sea una esfera y ruede sin deslizar.
10) El dispositivo representado en la figura se denomina péndulo balístico. Es utilizado para determinar la
velocidad de salida de una bala, la cual se dispara horizontalmente contra el bloque suspendido de la
cuerda. Para determinar dicha velocidad, se debe medir el ángulo que se desvía la cuerda después de que
la bala se haya incrustado en el bloque. Suponiendo que la cuerda es inextensible y de masa despreciable,
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que la bala se incrusta en la mitad de la altura del bloque, y que L es la distancia
desde el punto O hasta el centro de masa del bloque, calcular:
a) la velocidad del proyectil si la cuerda se desvía un ángulo de 30º,
b) la mínima velocidad del proyectil para que el péndulo dé una vuelta completa
alrededor del punto O.
Datos: L = 0,5 m
M = 1,5 Kg
m = 0,2 Kg
θ
v0
m
M
11) Una locomotora de 103 toneladas que marcha con velocidad constante de 1,5 m/s, alcanza a otra de 80
toneladas, y que marcha a 1 m/s, en la misma dirección y sentido.
a) Si las locomotoras quedan enganchadas después de la colisión, calcular la velocidad final de las mismas
y la pérdida de energía cinética debida el choque.
b) Si el choque es elástico, las locomotoras no se enganchan sino que se separan después del choque.
Calcular sus velocidades. ¿Qué ocurre con la energía cinética?
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS
1)
Una pelota de béisbol es lanzada horizontalmente por un jugador a
una velocidad de 10 m/s. Al golpear contra el bate, éste la desvía un
ángulo de 20º con la horizontal, ejerciendo una fuerza que sigue la
ley que se muestra en el gráfico. Calcular la velocidad alcanzada por
la pelota luego de ser bateada.
Datos: Fmáx = 2500 N
m = 142 g
t1 = 5 x 10-3 s
F (N)
Fmáx
t1
t (s)
2) Se dispara un proyectil de masa m mediante un tubo lanzador accionado por un resorte de constante K,
en la dirección de la vertical y sentido hacia arriba. El proyectil recorre una distancia d dentro del tubo,
antes de abandonar el mismo. Mediante un censor electrónico, se mide la velocidad de salida del proyectil
(vo). Con todos estos datos, determinar:
a) la máxima altura alcanzada por el proyectil,
b) el trabajo realizado por la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre el proyectil en el interior
del tubo.
c) Despreciando el rozamiento en el interior del tubo, calcular la constante del resorte.
3) El problema 1) de los complementarios de la práctica de la unidad nº 7
decía: “La polea de la figura, de radio R, puede girar alrededor de un eje
M, R
horizontal sin roce. Las dos masas (m1 y m2) están conectadas por una
cuerda inextensible de masa despreciable. Se sueltan las masas desde el
reposo, y se observa que la más pesada cae 75 centímetros en 5 segundos.
A partir de estos datos, determinar el momento de inercia de la polea.
Datos: R = 5 cm m1 = 0,5 Kg
m2 = 0,6 Kg”.
o
m1
m2
Volver a resolverlo a partir de lo aprendido en esta unidad.
4) Una pelota de 100 gramos de masa se deja caer desde una altura de 1,5 metros, y rebota hasta una altura
de 1,2 metros. Si se desprecia el rozamiento con el aire, determinar el cambio en la energía cinética de la
pelota al chocar con el piso. ¿Por qué ocurre ese cambio?
5)
Un ciclista que recorre una pista horizontal, necesita una potencia de 200 watt
para mantener constante su velocidad en 30 Km/h.
a) ¿Cuál es la resultante de todas las fuerzas que se oponen al movimiento del
ciclista?,
Unidad N° 8 – Física I
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b) Bajo esas mismas condiciones ambientales, y suponiendo ahora que la pista tiene una pendiente
ascendente del 2% (cada 100 metros asciende 2 metros) ¿cuál es la potencia necesaria para seguir
moviéndose a 30 Km/h?
c) Repetir el item b) para el caso que la pendiente sea descendente.
d) ¿Cuál será la pendiente que le permita mantener la velocidad de 30 Km/h constante, sin necesidad de
pedalear?
Datos: masa del ciclista más la de su bicicleta = 90 Kg.
6) Un disco homogéneo de radio R y masa M puede girar alrededor de un eje que pasa por su centro. Se lleva
a una velocidad angular de 100 RPM en 2 segundos por medio de un motor que ejerce un momento
constante sobre su eje. Luego gira a esa velocidad hasta que se apaga el motor. Entonces el disco da 40
vueltas más antes de detenerse debido al rozamiento con su eje, supuesto constante.
a) ¿Cuál es la potencia del motor?
b) Qué porcentaje de esa potencia es empleada para vencer la fricción?
R = 10 cm M = 3 Kg
7) Al rodillo mostrado en la figura se le aplica una fuerza F de
manera que comienza a moverse sin deslizar, sobre una
superficie plana. Determinar:
a) la velocidad del rodillo después de haber recorrido una
distancia de 4 metros,
b) la energía cinética en ese instante.
Datos: M = 5 Kg
R = 0,25 m
F = 28 N
θ = 30º
8) Resolver el problema anterior, para el caso en el que la fuerza
se aplica a través de una cuerda enrollada, como muestra la
figura. También en este caso el rodillo rueda sin deslizar.
9) El problema 2) de integración de la práctica de la unidad nº 5
decía: “El auto A de 1000 Kg de masa, circula por una calle
recta con una velocidad de modulo vA, cuando colisiona con
otro auto B (mB = 1200 Kg) que está estacionado.
vA
B
Inmediatamente después del impacto, el auto A bloquea los
frenos, deteniéndose luego de recorrer 3 metros, y B sale
v’B
despedido (ambas direcciones se indican en la figura). El
20º
coeficiente de roce dinámico entre el auto A y la superficie
del pavimento cuando están aplicados los frenos es 0,8. En
v’A
30º
base a esta información, se desea determinar la velocidad de
A antes del impacto. Discutir el modelo físico adoptado.” Calcular la variación de la energía cinética
debido a la colisión.
10) Un cubo de madera se masa m se encuentra inicialmente en reposo, en la posición correspondiente al
punto A. Mediante un golpe de martillo recibe un impulso, desplazándose sobre la pista mostrada.
Sabiendo que el coeficiente de rozamiento entre ambas superficies es µ, determinar:
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k
L0
J
L1
m
A
α
h
a) el trabajo efectuado por todas las fuerzas no
conservativas que actúan sobre este cubo,
entre las posiciones correspondientes a los
puntos A (instante posterior a la aplicación
del impulso) y el de máxima compresión del
resorte,
b) la distancia recorrida en su desplazamiento
sobre la pista, medida desde su posición
inicial (punto A)
c) el trabajo efectuado por todas las fuerzas conservativas que actúan sobre él, en todo el movimiento.
Datos: m = 1 Kg
J=5Ns
k = 500 N/m L1 = 1 m
h = 0,5 m
α = 45º
µ = 0,3
11) Al mismo cubo de madera del problema anterior, se le imprime un impulso para que desde la posición
inicial A, en la que se encuentra en reposo, recorra la pista mostrada hasta engancharse del extremo de
una cuerda de masa despreciable, elevándose una altura h1. Determinar:
a) el trabajo de la fuerza de roce que actúa sobre el cubo, en el tramo comprendido entre las posiciones
correspondientes a los puntos A y B,
b) el trabajo de la fuerza
Peso, en el mismo tramo
del ítem anterior,
c) la altura h1 que alcanza en
µ≠0
m J
su ascenso.
Datos: vB = 2m/s h0 = 1 m
h0
h1
A
J = 5 Ns
B
PROBLEMAS DE INTEGRACIÓN
1)
Al cilindro de la figura se le imprime un impulso angular adquiriendo una velocidad angular ω0. La masa m1,
sujeta al mismo, se desliza por un riel con rozamiento.
R
r
a) Determinar la altura h hasta la cual asciende la masa m1 antes
de que el sistema se detenga.
b) Calcular el trabajo de la fuerza resultante entre el inicio del
movimiento y el momento en que m1 alcanza la máxima altura.
m2
c)
Calcular el trabajo que realiza la fuerza peso en el bloque de
m1
masa m1, para el mismo tramo.
d)
Calcular el impulso J que recibe el bloque de masa m1,
fr
30º
suponiendo que en un principio estaba en reposo.
Datos: ω0 = 10 rad/s fr = 10 N
m1 = 2 Kg
m2 = 0,5 Kg
r = 0,2 m
R = 0,5 m
2
CM
Ip = 0,2 Kgm
2) El problema 11) de los complementarios de la práctica de
la unidad nº 7 decía: “Dos esferas macizas están unidas
mediante un cilindro de menor radio. El sistema,
inicialmente en reposo, se coloca en un plano inclinado de
manera que las esferas cuelguen a los lados y baje
rodando por el cilindro sin deslizar…”. Determinar:
h
a) la velocidad en el punto más bajo del plano inclinado,
b) la velocidad cuando rueda en el plano horizontal,
suponiendo que lo hace sin deslizar.
Datos: me = 2 Kg re = 8 cm
mcil. = 1,5 Kg
rc = 5 cm
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μ
α
h=1m
α = 30º
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3) El dispositivo de la figura consta de una esfera de masa m y radio r, vinculada a un eje que pasa por el
punto O mediante un resorte de constante elástica k1, masa despresiable y longitud natural Lo. En la
posición inicial se encuentra en equilibrio
posición
inestable y su movimiento es inminente sobre el
k1
O
m,r
inicial
carril mostrado. Al producirse éste, rueda sin
k2
deslizar hasta alcanzar la osición angular
α,
α
Lo
comprimiendo al resorte de constante elástica k2.
Determinar:
h1
posición
h2
a)
¿cuánto se comprime este último resorte
final
cuando la esfera se encuentra en la posición
final?
b) Si este resorte no estuviese ¿cuál sería la velocidad del centro de masa de la esfera en esa misma
posición angular α?
4) Un juego de golf de oficina consiste en la pista mostrada, que contiene un “loop”. Determinar:
a) el mínimo impulso posible de aplicar a
k
la pelota, para que esta recorra toda
R
la pista sin despegarse en ningún
momento de ella, suponiendo que
rueda sin deslizar
h2
b) para esa condición ¿cuánto comprime
J m, r
h1
la pelota al resorte de constante
elástica k?
Datos: m = 0,4 kg r = 2 cm
R = 4 cm
h1 = 5 cm
h2 = 15 cm
k = 630 N/m
5) Una esfera de masa mA, ubicada en el punto A de la pista mostrada, comprime un resorte de constante K.
Desde esa posición se suelta el cuerpo, el cual rueda sin deslizar hasta chocar elásticamente con la masa
mB, en el punto B de la pista. Calcular:
k A
a) la velocidad de la esfera en el punto B,
mA
b) la distancia que mB ascenderá por la rampa,
c) el trabajo que realiza de la fuerza Peso sobre la mA,
h
mB
µ
d) el trabajo que realiza la fuerza del resorte.
α
B
Datos: mA= 500 g mB= 700 g
RA= 10 cm
h=1m
K = 500 N/m ∆x = 10 cm
µ = 0,3 α = 25º
6) La polea que se muestra en la figura tiene un momento de inercia I y un radio R. La masa m2 está
conectada a un resorte de constante k y a m1 mediante una cuerda que no desliza respecto a la polea. La
fuerza de fricción entre m2 y el plano inclinado es fr. Estando en
R,I
la posición de equilibrio, se baja m1 20 cm provocando un
estiramiento en el resorte, y luego se la suelta desde el reposo:
a) encontrar la velocidad angular de la polea cuando el resorte
está nuevamente con su longitud propia,
m1
m2
b) encontrar la máxima compresión del resorte.
k
Datos: I = 0,7 Kg m2
R = 30cm
m1 = m2 = 0,5 Kg
k = 70 N/m fr = 2 N
37º
Unidad N° 8 – Física I
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