Modelo de Nivel de Líquido

Sistemas de control 67-22 versión 2007
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Modelos de nivel de líquido.
Buscamos una relación entre Q y H, por el teorema de Bernoulli tomemos la sección 1 en la
superficie libre del tanque y la sección 2 en la salida, en ese caso ambas presiones son iguales a
la ambiente. La diferencia de alturas es la profundidad del tanque H. Considerando que el fluido
es un líquido incompresible tomamos un peso específico
P
γ
1
+
J constante.
2
V
+ h1 = P2 + V 2 + h2
2g
2g
γ
2
1
P1 = P2 = Pambiente
h1 -h2 = H
y llamamos
E la relación de los diámetros de la salida y del tanque
φ
β=
φ
2
1
teniendo en cuenta la ecuación de continuidad
V • S =V • S
1
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1
2
2
=Q
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siendo la superficie de las secciones circulares
S=
π •φ
2
4
combinando estas últimas tres expresiones tenemos
V =V • β
1
2
2
reemplazando esta expresión en la del teorema de Bernoulli y teniendo en cuenta la igualdad de
las presiones a la ambiente en las secciones que tomamos queda
4

 = 2 g • H
1
•
−

β
V2 

2
la velocidad de salida del líquido del tanque queda
V2=
2g
1− β
4
• H
entonces la expresión del caudal de salida es:
Q =C D • S 2•V
2
= CD • S2 •
2g
1− β
4
• H
Donde CD es el coeficiente de descarga que tiene en cuenta la eficiencia del orificio de salida
agrupamos todo lo que antecede a la raíz de H como una constante K
Q=K• H
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Representamos esta relación de raíz cuadrada (no lineal) .
Tomemos el diferencial primero para linealizar la expresión del caudal
´
 dQ 
dQ = q =   • dh = K • h
 dh  Q , H
Definiremos dos conceptos que tienen aplicación cuando se hace la analogía del problema
mecánico a un circuito eléctrico ( en general R,L ,C en distintas configuraciones):
Capacitancia: es la razón entre el cambio en la cantidad de líquido acumulado y el cambio de
nivel. Se hace esta interpretación puesto que en la ecuación diferencial ocupa el lugar de la
superficie del tanque con lo cual se logra una equivalencia con el modelo de carga del capacitor
en un circuito RC.
Resistencia: es la razón entre el cambio en la diferencia de niveles y el cambio en el caudal de
salida
Suponemos el valor de la derivada en el punto de funcionamiento constante del valor K´ y a su
inversa la llamamos R pues coincide con la resistencia que opone el orificio a la salida de fluido,
1
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q
0
h
=
R
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las letras minúsculas indican variaciones alrededor del punto de funcionamiento, colocamos el
subíndice “o” para simbolizar en este caso las variaciones del caudal de salida , y le colocaremos
el subíndice i para simbolizar las variaciones del caudal de entrada
El volumen que se acumula en el tanque es la integral del caudal entrante menos el
saliente en el tiempo y un diferencial de volumen será
dV = S • dh = [Q + q − (Q + q ]• dt
i
1
o)
A la superficie del tanque se la considera como la capacidad en este modelo por lo que S1 = C
por otro lado los caudales de diseño entran sumando y restando , por lo que se cancelan
quedando
dh
C•
= q −q
i
o
dt
2
si transformamos las expresiones 1 y 2 nos queda el siguiente sistema que nos permitirá
despejar las variaciones del nivel en función del caudal modulado de entrada qo
C ⋅ h ( s ) ⋅ s = qi ( s ) − qo ( s )
R ⋅ q 0( s ) = h( s )
despejemos la relación entre el caudal modulado qi(s) y el aumento de nivel h(s):
C ⋅ h( s) ⋅ s = qi ( s) −
h( s )
R
1

h( s) ⋅  C ⋅ s +  = qi ( s)
R

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h( s )
R
=
qi ( s ) R ⋅ C ⋅ s + 1
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Sistemas con dos tanques
Q+q
H1 + h1
Tanque 1
H2 + h2
R1
C1
Q+q1
R2
C2
Tanque 2
Q+q2
Para resolver el problema planteo las expresiones de C y R para cada tanque.
Tanque 1
C1 ⋅
dh1
= q − q1
dt
(4)
⇒
(5)
C1 ⋅ h1(s) ⋅ s = q (s) − q1(s)
R1 =
h1 − h 2
q1
⇒
R1 ⋅ q1(s) = h1(s) − h 2(s)
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(6)
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Tanque 2
C2 ⋅
dh 2
= q1 − q 2
dt
⇒
C 2 ⋅ h 2(s) ⋅ s = q1(s) − q 2(s)
R2 =
(7)
h2
q2
R 2 ⋅ q 2(s) = h 2(s)
Con las ecuaciones transformadas (4), (5), (6) y (7) puedo calcular las distintas
transferencias que me pidan por ejemplo:
q 2(s )
q (s )
h 1( s )
h 2(s )
,
q (s )
q (s )
q 2(s )
Si sequiere
, se debe hacer :
q (s )
,
De (4) se eliminan las “h” utilizando (5) y (7).(**)
De (6) se elimina h2(s) usando la (7).
De lo que se obtiene se despeja q1(s) y se lo reemplaza en (**) y listo.
q 2(s)
1
=
q (s) C1 ⋅ R1 ⋅ C2 ⋅ R 2 ⋅ s 2 + (C1 ⋅ R1 + C1 ⋅ R 2 + C2 ⋅ R 2 ) ⋅ s + 1
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Sistemas con realimentación
Veamos en primer instancia como reacciona el tanque a una variación del valor deseado (Set
point) en principio ya hemos deducido la transferencia del tanque en sí
h
R
GT = =
q1 C ⋅ R ⋅ s + 1
el diagrama de bloques sin considerar la perturbación será:
Siendo G la productoria de las transferencias de la Rama directa es decir GC . GV . GT , y H la
productoria de las transferencias de la rama inversa o de realimentación aplicamos la fórmula
deducida para la transferencia total de lazo cerrado es decir:
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h
h
s
ref
G
=
1+ G.H
Demos valores literales a las transferencias y veamos a través del teorema del valor
final de la transformada como corrige por ejemplo un algoritmo de control GC solo proporciona,
cuando se da a href un escalón unitario.
En estas condiciones tomamos una realimentación unitaria es decir admitimos que la
transferencia de la rama de realimentación sea unitaria, de esta manera podemos comparar las
variaciones que le damos al valor deseado directamente con la salida sin hacer adaptaciones de
las magnitudes.
Demos ganancias estáticas genéricas (sin considerarles dinámica alguna) a las
transferencias del control y la válvula, admitiendo que reaccionan mucho mas rápido que el
tanque.
Entonces
GC = Kp ganancia proporcional (algoritmo de control solo proporcional).
Gv = Kv ganancia de la válvula (respuesta inmediata).
GT es la transferencia del tanque ya vista, es decir la salida es el nivel y la entrada es el caudal
que manipulamos a través de la válvula de control.
Como hemos dicho la realimentación se toma unitaria H = 1
apliquemos la fórmula del lazo cerrado.
•
•
G
c GV G T
hs = 1+GC•GV •GT •H • href
Haciendo los reemplazos según los valores mencionados arriba queda
hs =
K K
1+ K C • K
•
c
R
RCS +1
R
•
•H
V RCS +1
•
V
• S1
Operando sobre la misma nos queda
•
•
K
c KV R
1
=
•
hs R C S +1+ K C•K V •R S
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apliquemos entonces el teorema del valor final de la transformada del Laplace que vimos dice:
lim
t→ ∞
( f t ) = lim
s→ 0
(S •
F
S
)
cual será entonces la salida del sistema cuando le pido que se modifique en una unidad
 S • K c• K V • R
1 
•
lims→0  R C S +1+ K C•K V •R S 
Vemos que el resultado es menor que la unidad que es lo que le solicitamos como valor deseado
por lo que un algoritmo solo proporcional no corrige sin error a un sistema como el tanque que
es de primer orden , mas adelante estudiaremos esto en mas detalle.
 K c• K V • R
 1+ K C • K V • R
<
 1
En el caso de no modificar el valor deseado pero si se produce una perturbación como la
indicada con NS en la figura al comenzar este tema en principio se debe deducir con álgebra de
bloques la transferencia del nivel respecto de esa perturbación teniendo en cuenta el diagrama de
bloques que vemos a continuación.
GT
=
hs 1+GC•GV •GT • N s
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Si reemplazamos por los valores dados y aplicamos el teorema del valor final para un escalón
unitario den NS sucede los siguiente
hs =
R
1
•
R C S +1+ K C • K V • R S
S •R

1 
•
limS →0  R C S +1+ K C•K V •R S 
que resulta nuevamente con un error permanente pues no debiera variar el valor de la variable
controlada
R

>0
 1+ K C • K V • R 
Vemos que cuanto mas ganancia KC en el controlador menor será el error permanente, la inversa
de la carga R también influye , pero esta influencia disminuye al crecer.
Vemos que la válvula tiene importancia en el control , si su funcionamiento no nos asegura un
valor constante de KV o bien si este varía ,en forma no lineal ,o a saltos discretos tendremos ya
respuestas que se van de la posibilidad de un análisis con estas herramientas matemáticas
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