Método de Circuitos Magnéticos

Cálculo del flujo en un material y método de Circuitos Magnéticos
Si la relación entre B y H es la permeabilidad magnética del medio por donde fluyen las líneas de
campo, para calcular el flujo necesitamos entonces calcular primero el valor de H. Para iniciar el cálculo,
partiremos del principio de que en todo conductor por donde circule una corriente se induce un campo
magnético concéntrico. También utilizaremos la Ley de Ampere, que establece que el valor de la
corriente neta atravesando un área definida por una trayectoria cerrada, es igual a la sumatoria del
producto escalar entre el vector de campo magnético H en cada punto, y el vector de trayectoria en ese
mismo punto, a lo largo de toda la trayectoria cerrada.
Para simplificar el cálculo, se define la trayectoria cerrada como una circunferencia equidistante que
rodea al conductor, ubicándolo en el centro. De este modo, el producto entre el campo constante H,
siempre tangencial a la circunferencia y constante a una distancia R fija desde el conductor, y el vector
de la trayectoria, también tangencial en cada punto, hace que ambos sean colineales y por esto el
producto escalar es una multiplicación de módulos. La sumatoria de todos estos productos a lo largo de
la trayectoria completa resulta de multiplicar el módulo de H por la longitud total de la circunferencia.
Este valor debe ser igual a la corriente del conductor (según Ampere): I=2πRH. De aquí se despeja el
valor de H = I / (2πR). Esta relación nos permite calcular el campo magnético H, a una distancia R de
un conductor por el que circula una corriente I.
Si necesitamos el valor del campo inducido: B = μH , entonces B = (μ I) / (2πR).
Utilizando una estrategia parecida vamos a calcular ahora el campo en una bobina. Haremos una
trayectoria cerrada dividida en cuatro partes, cuatro segmentos rectos en un mismo plano, y la suma
total será el aporte de cada producto parcial.
El primer segmento del recorrido se hará por dentro de la bobina, desde
un extremo al otro en una distancia que llamaremos L, Aquí el campo H
tiene la misma dirección que el recorrido (tangencial a todas las espiras
de los conductores que forman la bobina), por lo que el producto del
recorrido parcial será H * L.
El segundo segmento será perpendicular al primero y va desde el borde
saliendo de la bobina hasta el infinito. Al ser perpendicular el ángulo
entre H y el vector de recorrido el producto entre ellos es cero, El cuarto
recorrido es igual al segundo, desde el infinito hasta el borde de la
bobina, y al igual que el segundo, el aporte de este recorrido también
será cero. Falta sólo el tercer recorrido, por el infinito, donde H vale cero
( H = I / (2πR) con R = ∞ ).
En la gráfica se puede ver la representación de los cuatro recorridos y la bobina.
Aplicamos de nuevo la Ley de Ampere y tenemos que la suma de los cuatro recorridos parciales de la
trayectoria cerrada debe ser igual a la corriente neta que atraviesa el área que define. La corriente
parece una sola, pero si nos fijamos con atención el conductor que forma la bobina entra y sale del
área, y cada vez que entra añade un valor de corriente “I” al conteo de la corriente neta. Así pues, la
corriente neta que atraviesa el área es I multiplicado por el número de espiras de la bobina: I NETA = n * I.
Poniendo todo junto: H*L + 0 + 0 + 0 = n*I, luego H = n*I/L.
La inducción B = μH , entonces B = [ μnI ] / L, y el flujo Φ = B * A = [A * μ * n * I] / L.
Reagrupando los términos: Φ = [ (Aμ) / L] [nI] . Recordar que μ = μR μ0
Definiendo la reluctancia Rel = [ L / (Aμ) ] y la fuerza magnetomotriz FMM = [nI]
Nos queda Φ = FMM / Rel (expresión parecida a la Ley de Ohm: Amperios = Voltios / Resistencia)
El parecido de esta expresión y su equivalencia analítica con el comportamiento de un circuito eléctrico
de resistencias es lo que permite intercambiar cada elemento por su equivalente. En la gráfica se
muestra la equivalencia entre componentes utilizando como referencia los puntos con letras azules en
ambos esquemas, la reluctancia de cada rama se muestra como una resistencia y las bobinas como
fuentes. La rama central tiene dos reluctancias en serie, una de la propia rama y la otra por el
entrehierro δ (se detallará mas adelante).
La técnica de los circuitos magnéticos permite representar (convertir) un núcleo magnético y las bobinas
instaladas en una especie de circuito eléctrico equivalente en el que se pueden aplicar las técnicas
convencionales de análisis de redes para hallar el flujo magnético en cada rama del núcleo de un
transformador (lo que serían las corrientes de un circuito eléctrico). Así podemos utilizar los resultados
para dimensionar el núcleo y sus bobinas a partir de los requerimientos del diseño.
Quiero dejar claro que esta estrategia de recorridos para calcular el campo de una bobina puede
parecer tremenda piratería. Sin embargo, no viola ninguna regla o principio y por lo tanto pudiéramos
asumir que funciona. De hecho, todo el cálculo que se realiza a partir de este planteamiento está
basado en este procedimiento y no hay razones para invalidar su eficacia al dimensionar los
transformadores. La mejor muestra de ello es que, utilizando esta metodología de cálculo, el diseño
final funciona. La experiencia con diferentes diseños mejora las aproximaciones y los resultados reales.
El procedimiento de cálculo tiene varios pasos simples que deben ser ejecutados sin mucha precisión
numérica pero sí con mucho apego al método. Lo primero es definir lo que se llama el recorrido del
camino medio. Con referencia a la figura anterior, el camino medio se comienza colocando un punto
(nodo) en cada ángulo del núcleo, cuidando de ubicarlo en el centro de cada columna que llega al
ángulo. El trazado se puede ayudar dibujando una diagonal (líneas rojas) entre los vértices y colocando
el punto en la mitad (puntos azules). El recorrido se debe hacer por el trazado azul, entre los puntos
azules. Por ejemplo, para la rama a-b. La distancia sería a/2 + a + a/2, según las dimensiones
indicadas.
Las fuentes FMM's están indicadas con su valor, obtenidas al multiplicar el número de vueltas por la
corriente. La polaridad se establece según la regla de la mano derecha, atendiendo al sentido de giro
de las bobinas.
El entrehierro es una inserción de aire o material no magnético que se hace en algunas columnas, con
la finalidad de reducir intencionalmente la cantidad de flujo magnético en la rama, por ejemplo, para
evitar que se sature.
Al ser una sección de columna sin área (aire), el método supone que se hace una ampliación de las
líneas de flujo en un ángulo de 45 grados desde cada borde, con lo que se define un área ficticia
rectangular que tiene como lados el ancho de cada columna original más la longitud del entrehierro. En
el caso mostrado y sus dimensiones, el área para el cálculo de la reluctancia considerando este efecto
sería Ac = (ancho + δ) * (fondo + δ). En la gráfica se muestra la supuesta deformación de las líneas de
flujo formando una ampliación del área con un ángulo de 45 grados, origen del incremento en la medida
para el cálculo del área modificada.
Cabe señalar que por lo general el valor de la reluctancia de un entrehierro es muchísimo mayor a la de
todas las ramas. Un entrehierro de tan solo 2mm puede tener una reluctancia de 4 a 5 veces la de toda
la rama. Esta particularidad hace que cuando se mide la distancia de una rama que incluya un
entrehierro no vale la pena restar su longitud del total, ya que el esfuerzo de cálculo no tiene sentido
para valores que pueden llegar a tener hasta diferentes grados de magnitud. Es más sencillo tomar
completa la longitud de la rama incluyendo el entrehierro, se calcula y se le añade la reluctancia del
antrehierro en serie, tal cual está en la ilustración.
Una vez convertidas todas las ramas en reluctancias, finalmente, la reducción del circuito se hace igual
que con resistencias en serie o paralelo, y una vez reducido a su mínima expresión se puede calcular
el flujo total en cada rama hallando el valor de la “corriente” del circuito magnético.
Nota: es muy importante no confundir las corrientes que entran a las bobinas con las “corrientes” que se
calculan en el circuito magnético equivalente. Estas “corrientes” calculadas no son más que los flujos
por las ramas del núcleo. Este error es muy común y conduce a resultados inesperados.
Importante:
La permeabilidad magnética μ tiene dos componentes: μ 0 , que es la constante de permeabilidad
magnética del vacío y es igual a 4π *10-7; y μR que es la relación de la permeabilidad en un material
cualquiera respecto a la del vacío. Los materiales diamagnéticos (μ R < 1) no permiten el paso de las
líneas de flujo, mientras que los magnéticos (μR > 1) sí lo hacen. Hay otros materiales, como el aire, los
plásticos, el vidrio, etc. que no afectan el flujo, y para los que se considera que tienen una
permeabilidad prácticamente “igual” a la del vacío (μ R = 1).