1 Teoría de Circuitos

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TEMA I
Teoría de Circuitos
Electrónica II 2009
1
1 Teoría de Circuitos
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
Introducción.
Elementos básicos
Leyes de Kirchhoff.
Métodos de análisis: mallas y nodos.
Teoremas de circuitos:
Thevennin y Norton.
Fuentes reales dependientes.
Condensadores e inductores.
Respuesta en frecuencia.
2
1
1.8 Respuesta en
frecuencia
Circuitos de primer orden
Circuitos de orden superior
Impedancia, reactancia y admitancia
Frecuencia de resonancia
Circuito RLC Serie
Circuito RLC Paralelo
3
Resistencias y C.A.
◊
◊
Son los únicos elementos pasivos para los cuales la
respuesta es la misma tanto para C. A. como para C.C.
Se dice que en una resistencia la tensión y la corriente
están en fase.
4
2
Capacidad y C.A.
◊
◊
En C.C. su comportamiento es similar a las resistencias.
En cambio en C.A. las señales tensión y corriente
mantienen la forma de onda pero desfasadas 90º.
La corriente se adelanta 90º a la tensión.
La corriente no depende exclusivamente del valor de la tensión y de la
reactancia capacitativa, sino también de la frecuencia, siendo
directamente proporcional a esta.
5
Capacidad y C.A.
◊
El parámetro que mide el valor de la reactancia
capacitativa:
XC = 1/2  f C = 1/w C
Donde XC se expresa en ohms
◊
Como XC = V/I por la Ley de Ohm entonces tenemos:
i(t) = V(t)/XC = 2fC V(t) = wC V(t)
6
3
Inductancia y C.A.
◊
◊
En C.C. su comportamiento es similar a las resistencias.
En cambio en C.A. las señales tensión y corriente
mantienen la forma de onda pero desfasadas 90º.
La corriente atrasa 90º con respecto a la tensión.
La corriente no depende exclusivamente del valor de la tensión y de la
reactancia inductiva, sino también de la frecuencia, siendo
inversamente proporcional a esta.
7
Inductancia y C.A.
◊
El parámetro que mide el valor de la inductancia es la
reactancia inductiva:
XL = 2  f L = w L
Donde XL se expresa en ohms
◊
Como XL = V/I por la Ley de Ohm entonces tenemos que:
i(t) = V(t)/XL = V(t)/2fL = V(t)/wL
8
4
Resistencia y reactancia
◊
La resistencia es el valor de oposición al paso de la
corriente (sea continua o alterna) de la resistencia.
resistencia
◊
La reactancia es el valor de la oposición al paso de la
corriente alterna que tienen los condensadores y las
bobinas.
◊
Existe la reactancia capacitativa debido a los
condensadores y la reactancia inductiva debido a las
bobinas.
◊
Cuando en un mismo circuito se tienen resistencias,
condensadores y bobinas y por ellas circula corriente
alterna, la oposición de este conjunto de elementos al
paso de la corriente alterna se llama impedancia.
9
Impedancia
◊
La impedancia tiene unidades de Ohmios (Ohms). Y es la
suma de una componente resistiva (debido a las
resistencias) y una componente reactiva (debido a las
bobinas y los condensadores).
Z=R+jX
La jota ( j ) que precede a la X, nos indica que la X es un número
imaginario.
◊
La bobina y el condensador causan una oposición al paso
de la corriente alterna; además de un desfase, pero
idealmente no causa ninguna disipación de potencia,
como si lo hace la resistencia (La Ley de Joule).
Joule)
◊
El desfase que ofrece un bobina y un condensador son
opuestos, y si estos llegaran a ser de la misma
magnitud, se cancelarían y la impedancia total del
circuito sería igual al valor de la resistencia.
10
5
Impedancia
◊
Las reactancias se muestran en el eje Y (el eje
imaginario) pudiendo dirigirse para arriba o para abajo,
abajo
dependiendo de si es mas alta la influencia de la bobina
o el condensador y las resistencias en el eje X. (solo en
la parte positiva del eje X). El valor de la impedancia (la
línea diagonal) será:
Z = R + j(
j(XL - XC)
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Impedancia y Admitancia
◊ Al ser la impedancia un valor complejo (suma
vectorial),
t i l) se mide
id su módulo
ód l y fase:
f
◊ La inversa de la impedancia es la Admitancia
(Y):
Y = 1/Z
12
6
Orden del circuito
Circuitos de p
primer orden
Circuitos de segundo orden
Se reducen al equivalente
de Thévenin/Norton conectado
a un condensador o bobina.
13
Combinaciones R-C
◊
Se combinan resistencias e inductancias:
En el diagrama vectorial de las tensiones del circuito ,vemos
cómo VR está en fase con la corriente, VC está retrasada
90º con respecto a ésta.
14
7
Combinaciones R-L
◊
Se combinan resistencias e inductancias:
En el diagrama vectorial de las tensiones del circuito ,vemos
cómo VR está en fase con la corriente, VL está adelantada
90º con respecto a ésta.
15
Combinaciones R-L-C
◊
Se combinan resistencias, capacitancias e inductancias:
La tensión resultante total es función de las tres tensiones
presentes, resultando la tensión total (VT) adelantada a
la corriente si XL > XC, atrasada si XC > XL y estará en
fase con la corriente si XC = XL.
16
8
Circuitos resonantes
◊
◊
Un circuito de resonancia está compuesto por una
resistencia
i t
i un condensador
d
d y una bobina
b bi
en ell cuall se
alimentan de corriente alterna.
Hay dos tipos de circuitos resonantes: serie y paralelo.
Cuando el circuito entra en resonancia, tanto el de serie como el de paralelo, la
tensión en la bobina es la misma tensión del condensador, entonces eso quiere
decir que el valor óhmico se iguala ( XL = XC ).
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Frecuencia de resonancia
◊
◊
◊
◊
La reactancia de un condensador o de una bobina es el
valor óhmico que se opone al paso de electrones.
electrones
Cuando la frecuencia crece la reactancia de la bobina
aumenta, en tanto que al del condensador disminuye.
Pero hay una determinada frecuencia en la que los
valores absolutos de ambas reactancias se igualan y a
este fenómeno se llama "Frecuencia de resonancia". Su
valor se deduce de esta manera:
XC = 1/2fC
XL = 2fL ;
Para la frecuencia de resonancia:
2ff = 1/√(LC)
/√( )
El factor de calidad es algo más amplio, puede definirse
en el caso de una bobina, como la reacción:
Q = XL/RL
El ancho de banda es el margen de frecuencias.
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9
Circuito RC.
Respuesta natural
◊
◊
El interruptor ha estado cerrado para tiempo anterior al
instante cero y por tanto el condensador ha almacenado
energía
De modo que en el instante cero entre sus placas tiene un
potencial V0
Circuito RC.
Respuesta natural
◊
◊
A partir del instante cero el interruptor está abierto y por
tanto tenemos el siguiente circuito
La energía almacenada en el condensador se disipa en
forma de calor a través de la resistencia
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Circuito RC.
Respuesta natural
Ecuación homogénea diferencial de
primer orden:
◊
◊
◊
◊
◊
Ordinaria  una sola variable independiente (el tiempo)
Primer orden  primera derivada del voltaje
Lineal  la variable dependiente y sus derivadas no
incluyen términos de segundo orden
Coeficientes constantes  C y R no dependen del tiempo
Homogénea  no hay términos que no incluyan el
potencial o su derivada
Circuito RC.
Respuesta natural
Integrando a ambos lados:
Condiciones
iniciales
11
Circuito RC.
Respuesta natural
Régimen
permanente
El condensador se descarga sobre
la resistencia siguiendo una
evolución exponencial desde el
valor inicial V0 hasta 0=V∞
Régimen
transitorio
Circuito RC.
Respuesta natural
◊
◊
◊
◊
◊
El producto RC (Ohmios x Faradios) tiene unidades de tiempo
T= RC recibe el nombre de constante de tiempo del circuito
Vemos que para t=T el voltaje ha caído un 63% del valor V0
Como este circuito no tiene ninguna fuente la solución que hemos
hallado se llama respuesta natural (o no forzada)
Y T recibe el nombre de constante de tiempo natural
12
Circuito RC.
Respuesta natural
Energía en el condensador:
Circuito RC.
Respuesta forzada
◊
◊
Ahora tenemos una ecuación no homogénea
Solución: suma (superposición) de la homogénea y la
solución de la ecuación particular
13
Circuito RC.
Respuesta forzada
Homogénea
Particular
◊
◊
◊
Para el cálculo del parámetro A tenemos en cuenta las
condiciones iniciales
En el instante cero el voltaje en el condensador es V0
Así A= V0 - VS
Circuito RC.
Respuesta forzada
◊
◊
Gráfica con el tiempo normalizado respecto a la constante de
tiempo
Después de 5 veces la constante de tiempo el voltaje en el
condensador alcanza el 99% del voltaje Vs
14
Circuito RC.
Entrada pulso
◊
◊
Ell switch
i h ha
h estado
d en lla posición
i ió “a”
“ ” por un tiempo
i
suficientemente largo para que el condensador esté
completamente descargado
En el instante inicial el switch cambia a la posición “b” y
permanece en ella por un tiempo t1 y posteriormente
retorna a la posición “a”
Circuito RC.
Entrada pulso
Hasta t1 el circuito se comporta como un RC con respuesta
forzada y voltaje inicial cero
A partir de t1 el circuito es un RC con respuesta natural. Para
conocer su condición inicial necesitamos hallar el voltaje
en el instante t1
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Circuito RC.
Entrada pulso
Gráfica normalizada respecto a la constante de tiempo
Circuito RL.
Respuesta natural
◊
◊
◊
Estamos en una situación similar a la anterior
El inductor tiene almacenada una energía y en el instante
inicial se conecta en serie con una resistencia
Por tanto comienza a fluir corriente y la energía
almacenada en la bobina se disipa en la resistencia
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Circuito RL.
Respuesta natural
Asumiendo q
que la
solución tiene la forma
Solución
no trivial
Condiciones
iniciales
Circuito RL.
Respuesta natural
◊
◊
◊
◊
◊
El producto L/R (henrios/ohmios) tiene unidades de tiempo
T= L/R recibe el nombre de constante de tiempo del circuito
Vemos que para t=T el voltaje ha caído un 63% del valor V0
Como este circuito no tiene ninguna fuente la solución que hemos
hallado se llama respuesta natural (o no forzada)
Y T recibe el nombre de constante de tiempo natural
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Circuito RL.
Respuesta natural
Procedimiento análisis
transitorio RC y RL
◊
1 – Calcular la inductancia/ capacitancia equivalente
◊
2 – Calcular la resistencia de Thévennin vista por la
inductancia/ capacitancia equivalente
◊
3 – La constante de tiempo es ReqCeq o Req/Leq
◊
4 – Calcular el valor inicial de V o I en el circuito
◊
5 – Buscar el valor final de Vc o IL para tiempo infinito
◊
6 – Solución =valor final+[valor inicial-valor final]
18
Circuito con dos constantes
de tiempo
◊
◊
El switch ha estado en la posición “a” por un tiempo
suficientemente largo para que el condensador esté
completamente descargado
En el instante inicial el switch cambia a la posición “b” y
permanece en ella por un tiempo t1 y posteriormente
retorna a la posición “a”
Circuito con dos constantes
de tiempo
◊
Las ecuaciones dependen de las dos constantes de tiempo
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Circuito con dos constantes
de tiempo
para
para
Respuesta a un impulso
Respuesta general
20
Respuesta a un impulso
respuesta
◊
Si el impulso es más estrecho la salida no alcanzará el
valor máximo
Circuito RLC serie
◊
◊
La intensidad que pasa por todos los elementos es la misma.
La suma (vectorial) de las tensiones de los tres elementos.
El vector resultante de la suma de los tres vectores es:
Se denomina impedancia del circuito al término:
42
21
Circuito RLC serie
KVL
C i t circuito
Corriente
i it
43
Circuito RLC serie
Ecuación de segundo orden
44
22
Circuito RLC serie
Ecuación de segundo orden
Sol. Particular + sol homogénea
particular
homogénea
45
Circuito RLC serie
homogénea
Asumiendo que la solución tiene la forma
Ecuación característica:
46
23
Circuito RLC serie
Raices
Ecuación característica
Solución de la homogénea
Solución completa
A1 y A2 
condiciones
iniciales
47
Circuito RLC serie
Respuesta subamortiguada
◊
◊
Las raíces son complejas.
El sistema presenta un comportamiento oscilatorio
48
24
Circuito RLC serie
Respuesta Críticamente amortiguada
◊
◊
Las raíces son números reales y de igual valor
El sistema no presenta oscilaciones
49
Circuito RLC serie
Respuesta Sobreamortiguada
◊
◊
Las raíces son números reales y son distintas
No hay oscilación
50
25
Circuito RLC serie
Parámetros
Frecuencia de resonancia:
Frecuencia natural del sistema.
Factor de amortiguamiento:
Críticamente amortiguado
Sobreamortiguado
Subamortiguado
◊
Cuando se aumenta el valor de la resistencia aumenta el
valor de alfa  respuesta sobreamortiguada
51
Circuito LC serie
Asumiendo que la
solución
l ió es d
de
la forma:
Ecuación
característica:
Frecuencia de
resonancia
◊
En el límite cuando la resistencia se hace cero el circuito
RLC serie se reduce a el circuito LC serie
52
26
Circuito RLC paralelo
◊
Determinar la corriente y la tensión en el inductor:
1
2
3
4
–
–
–
–
Establecemos las condiciones iniciales del sistema.
sistema
Determinamos la ecuación que describe el sistema.
resolvemos la ecuación.
Distinguimos las características de operación en
función de los parámetros de los elementos del
circuito.
53
Circuito RLC paralelo
La caída de tensión es
igual en los tres elementos:
Condiciones
iniciales:
KCL:
54
27
Circuito RLC paralelo
Ecuación diferencial que describe
al sistema
La solución de la ecuación es la suma
de la sol. homogénea y la sol. particular
Solución Particular
Ecuación homogénea
55
Circuito RLC paralelo
Ecuación homogénea
La solución es de la forma:
Ecuación característica
Frecuencia resonancia
Coeficiente amortiguamiento
56
28
Circuito RLC paralelo
Ecuación característica:
Raíces de ecuación característica
La solución de la homogénea es una combinación lineal de:
Solución general
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Circuito RLC paralelo
Críticamente amortiguado. S1 y S2 son iguales y
reales. No respuesta oscilatoria
Sobreamortiguado.
Sobreamortig
ado S1 y S2 son distintos y reales
reales. No
respuesta oscilatoria
Subamortiguado. S1 y S2 son complejos. Respuesta
oscilatoria
58
29
Circuito LC paralelo
En el circuito LC no hay amortiguamiento
◊
◊
Resistencia infinita
 coeficiente de amortiguamiento nulo
59
RLC respuesta transitoria
Sumario
Paralelo
Serie
Críticamente
amortiguado
Sobreamortiguado
Subamortiguado
Respuesta
60
30
Descargar