Solución a los Ejercicios Propuestos

CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA: Solución a los
Ejercicios Propuestos
Tutor Carmen Aleisy Rodrı́guez
Junio de 2009
Solución a los Ejercicios propuestos
1. El grafico muestra las rectas paralelas m y n y la recta tranversal q. Usando la figura completa los siguientes
items:
a) La medida del ∠2 = medida del ∠ 3, por lo tanto ellos son ángulos verticales
b) La medida del ∠3 = medida del ∠ 6, por lo tanto ellos son ángulos alternos internos
c) La medida del ∠6 = medida del ∠ 7, por lo tanto ellos son ángulos verticales
d ) Por los resultados anteriores la medida del ∠2 debe ser igual a la medida del ∠ 7, lo cual demuestra
que los ángulos alternos externos tienen igual medida
2. En los siguientes ejercicios asuma que las rectas m y n son paralelas y encuentre la medida de los ángulos
indicados en cada figura
1
a)
Estos dos ángulos son alternos internos por lo tanto sus medidas son iguales, esto indica que:
2x − 5 = x + 22 Solucionando esta ecuación lineal se obtiene:
2x − x = 5 + 22 −→ x = 27 Es decir que cada ángulo mide: 2x − 5 = 2(27) − 5 = 49
b)
Los ángulos indicados son consecutivos por lo que, su suma debe ser igual a 180◦ , de lo anterior
planteamos la ecuación lineal: x + 1 + 4x − 56 = 180◦ Cuya solución se obtiene mediante el siguiente
procedimiento:
5x − 55 = 180◦ −→ 5x = 235◦ −→ x = 47◦
Por lo tanto la medida del primer ángulo será: x + 1 = 47 + 1 = 48◦
Y la medida de su consecutivo: 4x − 56 = 4(47) − 56 = 188 − 56 = 132◦
3. El suplemento de un ángulo sumado a su complemento da un ángulo de 210◦ . ¿cuál es la medida del ángulo?
Sea x la medida del ángulo buscado. Recordando que los ángulos suplementarios suman 180◦ y los complementarios suman 90◦ , tenemos las siguientes relaciones:
180◦ − x −→ medida del suplemento de x.
90◦ − x −→ medida del complemento de x.
Del enunciado del problema deducimos la ecuación lineal: (180◦ − x) + (90◦ − x) = 210◦ Resolviendo...
270◦ − 2x = 210◦ −→ 270◦ − 210◦ = 2x −→ 60◦ = 2x −→ x = 30◦
La medida de ángulo buscado es 30◦
2
4. La mitad del suplemento de un ángulo es 12◦ menor que dos veces el complemento del ángulo. Encuentra
la medida del ángulo
Sea x la medida del ángulo buscado
180◦ − x −→ medida del suplemento de x.
180◦ −x
−→ mitad de la medida del suplemento de x.
2
90◦ − x −→ medida del complemento de x.
Del enunciado del problema obtenemos la ecuación lineal:
180◦ −x
2
= 2(90◦ − x) − 12◦ Resolviendo...
180◦ − x = 4(90◦ − x) − 24◦ −→ 180◦ − x = 360◦ − 4x − 24◦ −→ 3x = 156◦ −→ x = 52◦
La medida de ángulo buscado es 52◦
5. Usa la figura para encontrar la medida de los ángulos numerados. Asuma que p y q son paralelas (pkq).
∠1 = 55◦ Por ser ángulos verticales
∠6 = 120◦ Por ser ángulos verticales
∠7 = ∠8 Por ser ángulos verticales
2(120◦ ) + 2(∠7) = 360◦ −→ 240◦ + 2(∠7) = 360◦ −→ ∠7 =
360◦ − 240◦
2
De donde ∠7 = 60◦
∠5 = ∠7 = 60◦ Por ser ángulos alternos internos
∠5 + ∠4 + 55◦ = 180◦ Porque forman un ángulo llano, de esta ecuación obtenemos:
∠4 + 60◦ + 55◦ = 180◦ −→ ∠4 = 65◦
En resumen tenemos:
∠1 = 55◦
∠2 = ∠4 = 65◦ Por ser ángulos verticales
∠3 = ∠5 = 60◦ Por ser ángulos verticales
∠6 = 120◦
∠7 = ∠8 = 60◦
∠9 = ∠1 = 55◦ Por ser alternos externos
∠10 = ∠9 = 55◦ Por ser ángulos verticales
3
Polig
lados
N. de 4
Suma de ∠ internos en cada 4
Suma de ∠ internos en cada poligono
I
II
III
IV
V
VI
3
4
7
5
6
8
1
2
5
3
4
6
180◦
180◦
180◦
180◦
180◦
180◦
1 ∗ 180◦
2 ∗ 180◦
5 ∗ 180◦
3 ∗ 180◦
4 ∗ 180◦
6 ∗ 180◦
= 180◦
= 360◦
= 900◦
= 540◦
= 720◦
= 1080◦
Cuadro 1:
6. Divide cada uno de los poligonos que aparecen en la figura en triángulos, dibujando todas las posibles
diagonales de cada poligono, a partir del vertice A. Con las contrucciones anteriores completa el cuadro 1.
Podemos ver en la grafica los diferentes poligonos con las diagonales correspondientes. (ver el cuadro
completo)
7. Clasifica los siguientes triángulos como acutángulo, obtusángulo o rectángulo
4
I Obtusángulo: Tiene un ángulo mayor que 90◦
II Acutángulo: Sus ángulos son agudos
√
I Rectángulo: Cumple con el teorema de Pitágoras: (4 2)2 = 42 + 42
IV Isósceles: Dos de sus lados son iguales
8. Una escalera de 10 metros de longitud tiene su extremo inferior ubicado a 6 metros de la pared. ¿a que
altura se encuentra la escalera?
La escalera, la pared y el suelo forman un triángulo rectángulo, tal como se indica en la figura
Para encontrar la altura a la que se encuentra la escalera debemos hallar x para esto utilizaremos el
teorema de Pitágoras:
x2 = (10m)2 − (6m)2 −→ x2 = 100m2 − 36m2 −→ x2 = 64m2
√
x = 64m2 −→ x = 8m
La altura a la que se encuentra la escalera es 8m.
9. Encuentra el área del cuadrilatero ABCD si los ángulos A y C son rectos
5
Dividimos el cuadrilátero ABCD en los triángulos rectángulos I y II (ver figura). El área total del
cuadrilátero será la suma de las áreas de los dos triángulos, las cuales denotaremos por A1 y A2 . Como los triángulos I y II son rectángulos su base y su altura corresponden a sus catetos, por esta razón para
el triánguo I, tenemos: A1 = (6)(8)
= 24 Para el triángulo II es neceseracio, en primer lugar encontrar la
2
medida de su base la cual hemos denotado por x para esto se debe hallar la hipotenusa, la cual es común
para ambos triángulos, para esto utilizamos la longitud de los catetos del 4I:
c2 = (8)2 − (6)2 −→ c2 = 64 + 36 −→ c2 = 100
√
c = 100 −→ c = 10
Teniendo la hipotenusa c ahora se hace posible encontrar la medida del cateto x
x2 = (10)2 − (2)2 −→ x2 = 100 − 4 −→ x2 = 96
p
√
√
x = 96 = 16(6) −→ x = 4 6
√
√
2(4 6)
A2 =
=4 6
2
√
Denotamos área total por AT , entonces: AT = A1 + A2 = 24 + 4 6
10. El perı́metro del triángulo isósceles ABC (con AB = BC) es 180 pulgadas. La altura BD es 48 pulgadas.
¿cuál es el área del triángulo ABC?
6
El perı́metro del triángulo isósceles es: P = 2x + y = 180, despejando y, y = 180 − 2x. Para hallar el área
de este triángulo requerimos la longitud de su base, para hallarla utilizaremos el teorema de Pitágoras
aplicado al triángulo rectángulo BDC.
¡ y ¢2
¡
¢2
= x2 − (48)2 −→ 180−2x
= x2 − (48)2 Donde sustituimos a y de la relación anterior
2
2
2
2
2
(90 − x) = x − (48) Elevando al cuadrado y reduciendo términos semejantes
180x = 8100 + 2304 = 10404 −→ x = 10404
180 = 57 · 8 in Por tanto:
y = 180 − 2x = 180 − 2(57 · 8) = 180 − 115 · 6 = 64 · 4 in. Teniendo base y altura, ahora podemos hallar el
área del triángulo:
A=
(64 · 4in)(48in)
= 1545 · 6in2
2
11. En la siguiente figura el pentágono PQRST esta formado por un cuadrado y un triángulo equilátero, tal
que PQ = QR = ST = PT. El perı́metro del pentágono es 80 pulgadas. Encontrar el área del pentágono
Como todos los lados del pentágono son iguales tenemos: P = 5L = 80in −→ L = 16in. El área del
pentágono se puede hallar descomponiéndolo en un cuadrado y un triángulo equilátero. Denotemos por
A4 al área del triángulo, A¤ el área del cuadrado y AT al área del pentágono. A¤ es hallada facilmente,
del siguiente modo:
A¤ = L2 = 162 = 256 in2
7
Para hallar A4 es necesario encontrar la altura h de triángulo, para esto apliquemos el teorema de
Pitágoras al triángulo rectángulo ROS (ver figura):
h2 = 162 − 82 = 256 − 64 = 192
p
√
√
h = 192 = 64(3) = 8 3 in
Por tanto el área
del triángulo es:
√
√
3 in)
A4 = (16 in)(8
= 64 3 in2 Ahora hallemos el área del pentágono
2
√
AT = A4 + A¤ = 64 3 in2 + 256 in2
12. La hipotenusa de un triángulo rectángulo es un metro mas larga que su lado mas largo, y su lado mas
corto mide 7 metros. Encuentra la longitud del lado más largo.
Llamemos z a la hipotenusa, x el cateto más largo y y el cateto más corto en el triángulo rectángulo.
Según el enunciado del problema, tenemos las siguientes relaciones:
z = 1 + x y y = 7 Para hallar el valor de x apliquemos el teorema de Pitágoras utilizando las relaciones
anteriores:
z 2 = x2 + y 2 −→ (1 + x)2 = x2 + 72 Aplicando el producto notable correspondiente obtenemos
1 + 2x + x2 = x2 + 49 Simplificando términos semejantes
2x = 49 − 1 −→ x = 24metros. El lado más largo mide 24 metros
13. Un lote de forma triangular es tal que el primero de sus lados es 100 pies mas largo que su lado más corto,
mientras que el tercer lado es 200 pies más largo que el lado mas corto. El perı́metro de este lote es 1200
pies. Encuentra la longitud de los lados del lote.
Llamemos z al lado más corto, y el lado más largo y x el lado restante. Según el enunciado del problema,
tenemos las siguientes relaciones:
x = 100 f t + z
y = 200 f t + z
Aplicando la definición de perı́metro y las relaciones anteriores:
P = x + y + z = 1200 f t −→ (100 f t + z) + (200 f t + z) + z = 1200 f t Reduciendo términos semejantes:
300 + 3z = 1200 −→ z = 300 f t, utilizando el valor de z calculamos x y y
x = 100 f t + z = 100 f t + 300 f t = 400 f t
y = 200 f t + z = 200 f t + 300 f t = 500 f t
Los lados del triángulo son z = 300 f t, x = 400 f t y y = 500 f t
14. La ventana de una iglesia tiene forma de cuadrado. El perı́metro de la ventana es siete veces la longitud de uno de sus lados (en metros), disminuido en 12 metros. Encuentra la longitud del lado de la ventana.
El perı́metro de un cuadrado esta dado por P = 4L, Según el enunciado del problema, 4L = 7L − 12
solucionando esta ecuación lineal obtenemos:
3L = 12 −→ L = 4 metros
El lado de la ventana mide 4 metros
15. En cada una de las siguientes figuras se indica su perı́metro. Encuentra el valor de x.
8
a) Cuadrado: P = 4x −→ 4x = 58 −→ x =
29
2
b) Triángulo: P = x + (x + 2) + (x + 7) = 42 Solucionamos esta ecuación lineal
3x + 9 = 42 −→ 3x = 33 −→ x = 11
c) Rectángulo: P = 2(2x − 3) + 2(x + 1) = 38 Solucionamos esta ecuación lineal
4x − 6 + 2x + 2 = 38 −→ 6x − 4 = 38 −→ 6x = 42 −→ x = 7
d ) Rectángulo: P = 2x + 2(5x + 1) = 278 Solucionamos esta ecuación lineal
2x + 10x + 2 = 278 −→ 8x + 2 = 278 −→ 8x = 276 −→ x = 34 · 5
16. En cada una de las siguientes figuras se indica su área. Encuentra el valor de x.
9
a) Cuadrado: A = x2 −→ x2 = 26 · 01 −→ x = 5 · 1
b) Triángulo: A = x(x+2)
= 15 Aplicando factorización para solucionar esta ecuación cuadrática:
2
x2 + x = 30 −→ x2 + x − 30 = 0 −→ (x + 6)(x − 5) = 0
Aplicando la propiedad: a ? b = 0 −→ a = 0 ó b = 0, tenemos:
x = −6 ó x = 5, la primera solución no se tiene en cuenta ya que una longitud no puede ser negativa,
por tanto la solución será x = 5
c) Rectángulo: A = x(x + 3) = 28 Aplicando factorización para solucionar esta ecuación cuadrática:
x2 + 3x = 28 −→ x2 + x − 28 = 0 −→ (x + 7)(x − 4) = 0
En este caso la solución posible es x = 4
d ) Trapecio: A = 3(x+x+4)
= 30 Solucionamos esta ecuación lineal
2
3(2x + 4) = 60 −→ 2x + 4 = 20 −→ 2x = 16 −→ x = 8
17. Encuentra el área de las siguientes figuras planas descomponiendolas en figuras con área conocida.
a) La primera figura se encuentra formada por un triángulo (denotamos por A2 ) y un paralelogramo
(denotamos por A1 ) el área total de la figura será la suma de estas dos áreas: AT = A1 + A2
A1 = (10)(6) = 60, A2 = (10)(4)
= 20
2
AT = A1 + A2 = 60 + 20 = 80
b) La segunda figura se encuentra formada por un triángulo (denotamos por A1 ), un rectángulo (denotamos por A2 ) y un paralelogramo (denotamos por A3 ), el área total de la figura será: AT = A1 +A2 +A3
= 20, A2 = (10)(9) = 90 y A3 = (3)(10) = 30
A1 = (10)(4)
2
AT = A1 + A2 + A3 = 20 + 90 + 30 = 140
18. En las siguientes figuras encuentra el área de la parte sombreada.
10
a) En el primer caso el área de la parte sombreada (denotamos por As ) se halla restando el área del
triángulo (denotamos por A4 ) del área del trapecio (denotamos por AT )
As = AT − A4
= 6(29) = 174 f t2
AT = 12(18+11)
2
(12)(7)
A4 = 2 = 42 f t2
As = AT − A4 = 174 f t2 − 42 f t2 = 132 f t2
b) En el segundo caso el área de la parte sombreada (denotamos por As ) se halla restando el área del
triángulo (denotamos por A4 ) del área del trapecio (denotamos por AT )
AT = 24(28+19+38)
= 12(85) = 1020 f t2
2
(19)(16)
A4 =
= 152 f t2
2
As = AT − A4 = 1020 f t2 − 152 f t2 = 868 f t2
c) En el tercer caso el área de la parte sombreada (denotamos por As ) se halla restando el área de los
dos triángulos -los cuales tiene área igual- del área del rectángulo (denotamos por AR ). Denotamos
por A4 el área común de los triángulos
As = AR − 2A4
AR = (96m)(74m) = 7104 cm2
A4 = (48)(36)
= 864 cm2
2
2A4 = 1728 cm2
As = AR − 2A4 = 7104 cm2 − 1728 cm2 = 5376 cm2
11