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UNIVERSIDAD NACIONAL AUNTONOMA DE MEXICO
FACULTAD DE CIENCIAS
POSGRADO EN CIENCIAS MATEMATICAS
ANALISIS NUMERICO
PROF. DR. PABLO BARRERA
ALUMNO
GONZALO PEREZ DE LA CRUZ
1
Tabla de contenido
INTEGRACION NUMERICA: REGLAS COMPUESTAS......................................................................................3
Problema y soluciones encontradas ........................................................................................................3
Problema con las soluciones encontradas y una solución a éste.............................................................5
Elección de N (Numero de intervalos) .....................................................................................................8
Ejemplo....................................................................................................................................................9
Conclusiones..........................................................................................................................................12
Anexo.....................................................................................................................................................13
2
INTEGRACION NUMERICA: REGLAS COMPUESTAS
Problema y soluciones encontradas
-Problema:
Estimar
-Soluciones encontradas
Las reglas básicas (regla del rectángulo, del punto medio, del trapecio, de Simpson y del trapecio
corregido) se derivan de manera que la integral de un polinomio sea la aproximación a la integral de la
función, el grado del polinomio se elige, y una vez elegido este, el polinomio se elige de manera que el
error que se comete sea “fácil de calcular o expresar” considerando ciertas propiedades de
, así
pues estas reglas requieren que se conozcan o puedan calcular los valores de la función a integrar
,
en
y en algunos casos en
el valor de
en
, además para el caso de la regla del trapecio corregido que se conozca
.
Todas las reglas básicas mencionadas a excepción de la del trapecio corregido se pueden expresar como:
Donde
son pesos que no dependen de la función
y los puntos
son
puntos equidistantes. Una de las características de estas reglas es que dan el valor exacto de la integral
para polinomios de grado
.
La idea básica para derivar las reglas gaussianas es tener la característica anterior pero para polinomios
de grado
escogiendo los puntos
de manera adecuada.
Para esto se reescribe
como:
3
Donde
es una función de peso que es integrable y no negativa en [
, y entonces los puntos
se eligen como los ceros de un polinomio de grado
que es ortogonal, con respecto
a la función de peso
sobre el intervalo
, a cualquier polinomio de grado
, y los
coeficientes
se calculan como:
con
.
A continuación se presenta una tabla que resume los resultados de las reglas básicas y de la regla
gaussiana con
(Regla de cuadratura Legendre-Gauss).
Reglas
Rectángulo
Valor aproximado de la integral
Error
Punto Medio
Trapecio
Simpson
Trapecio
corregido
Regla de
cuadratura
LegendreGauss
En cada caso es algún valor entre
.
es una constante que solo depende de k.
4
Problema con las soluciones encontradas y una solución a éste
-Problema: En general, las soluciones encontradas no producen estimaciones lo suficientemente
precisas, especialmente cuando el intervalo
es grande.
-Solución: Dividir el intervalo
en
subintervalos,
y en cada uno de estos aplicar alguna de las reglas de cuadratura mencionadas anteriormente.
Para lo anterior definamos
. Entonces
Donde
como el polinomio por tramos de grado
es un polinomio de grado
con puntos de ruptura
.
Usando las reglas de integración se tiene que:
y
De donde la idea es esencialmente aproximar
para
con
, es decir, aproximar
con
, y posteriormente sumar los resultados de las aproximaciones.
La aproximación de cada
con
se basa en alguna de las reglas de cuadratura
antes mencionadas.
En lo subsecuente se supondrá que las
se han elegido igualmente espaciadas, es decir,
y se derivaran completamente solo dos de las reglas compuestas, posteriormente se presenta un cuadro
que resume los resultados de varias reglas compuestas considerando que la derivada del orden del error
de las reglas básicas o de las reglas gaussianas son continuas.
5
 Regla compuesta del rectángulo
La regla compuesta del rectángulo se caracteriza por aplicar en cada subintervalo considerado la regla
del rectángulo, es decir,
Con
Y entonces
Con
Teorema 1: Si f es continúa en
y
son puntos en
, entonces para cualquier conjunto
de valores
donde todos positivos o bien todos negativos se cumple que:
Suponiendo que
como:
es continua en
podemos usar el teorema anterior para expresar el error
 Regla compuesta de Simpson
La regla compuesta del Simpson se caracteriza por aplicar en cada subintervalo considerado la regla de
Simpson, es decir,
6
con
y entonces
con
Suponiendo que
error como:
es continua en
podemos usar nuevamente el teorema 1 para expresar el
Las otras reglas compuestas se derivan de manera similar a las dos que se han derivado como ejemplo,
la característica principal de estas radica en el hecho de que en cada uno de los subintervalos se aplica
la regla básica o gaussiana correspondiente.
7
Reglas
compuestas
de
El Rectángulo
Valor aproximado de la integral
Error
El Punto
Medio
El Trapecio
Simpson
Del Trapecio
corregido
Cuadratura
LegendreGauss
En cada caso es algún valor entre
.
es una constante que solo depende de k.
Elección de N (Numero de intervalos)
-Problema. Para cada una de las reglas compuestas presentadas que se pueden aplicar es necesario
determinar primero el número de subintervalos (N).
-Soluciones
1. En la tabla resumen de los resultados de las reglas compuestas se observa que el error que se
comete teóricamente tiende a cero cuando N tiende a infinito, así sería posible teóricamente
8
probar varios valores de N hasta que uno obtenga un error lo “suficientemente pequeño”, sin
embargo este procedimiento en la práctica es muy peligroso ya que el error de redondeo puede
provocar problemas, este error se incrementa conforme N crece por dos razones esencialmente,
la primera es que
puede ser tan pequeño que por la precisión de la maquina no sea
distinguible del cero, y la segunda es que entre más grande N más son las operaciones que se
deben de realizar y por tanto son más los errores de redondeo, más adelante se presenta un
ejemplo de esta situación, otra desventaja de este procedimiento es el hecho de que tenemos
que ser capaces de evaluar la función y en algunos casos la derivada de ésta en más puntos, por
ejemplo, en la regla compuesta de Simpson se debe ser capaz de evaluar la función en los
puntos medios de cada subintervalo, así como en los extremos de estos, es decir, en
puntos.
2. Si tenemos o podemos dar una cota al valor absoluto de la derivada que aparece en el termino
del error, entonces es posible determinar N de manera que garantice un error menor a cierta
tolerancia dada, sin embargo, como en el caso anterior se debe tener cuidado con la tolerancia
dada ya que para valores muy pequeños quizás sea requerido una N muy grande y se tendrían
los problemas de redondeo que ya se mencionaron.
Ejemplo
 Se desea calcular la integral
i.
ii.
iii.
i.
. (el valor correcto a 8 cifras decimales es
)
Determine N de manera que la regla compuesta del trapecio dé el valor aproximado de
la integral con 6 dígitos correctos después del punto decimal.
Repita lo mismo que en i) pero con la regla compuesta del trapecio corregido.
Calcule para varios valores de N una aproximación a la integral con las dos reglas
anteriores y con la regla compuesta de Simpson.
En este caso se tiene que:
y
tiene segunda derivada continua, entonces el error con la regla compuesta
del trapecio se puede expresar como:
Como no se conoce
se puede buscar una cota a este error en valor absoluto de manera
que este no sea mayor a
9
Se puede verificar que
Y entonces
O
ii.
tiene cuarta derivada continua, entonces el error con la regla compuesta del
trapecio corregida se puede expresar como:
De manera similar al inciso anterior se busca una cota a este error con
Se puede verificar que
Y entonces
O
Observaciones:
Comparando los resultados obtenidos en i)y ii) se puede observar que el número necesario de
subintervalos se redujo de manera considerable con la regla compuesta que tiene un error que depende
de la derivada de orden mayor, este resultado se puede generalizar de la siguiente manera, si las
derivadas de orden mayor de la función a integrar son aproximadamente iguales o menores que las
derivadas de orden menor, el numero de subintervalos necesarios se reducirá con las reglas compuestas
que dependan de derivadas de orden mayor, en particular las reglas gaussianas serán más efectivas.
iii.
A continuación se presentan tablas con los resultados de las aproximaciones para varios
valores de N y las reglas solicitadas, estos se obtienen con los programas escritos en
MATLAB que se presentan en el anexo. Cabe mencionar que para ver el efecto del error de
redondeo se realizaron los cálculos en precisión simple y compuesta, además de siempre
considerar el caso de N=1 para realizar comparaciones con las reglas básicas. El error que se
presenta es en valor absoluto con respecto al valor correcto a 8 cifras.
10
Regla compuesta del trapecio
N
1
50
100
200
400
800
1200
1400
1600
I_simple
0.683939695358276
0.746799647808075
0.746817886829376
0.746822476387024
0.746823668479919
0.746824324131012
0.746824026107788
0.746823608875275
0.746824860572815
I_doble
0.683939720585721
0.746799607189351
0.74681800146797
0.746822599980145
0.746823749604595
0.746824037010484
0.746824090233786
0.74682410153016
0.746824108861943
Error_simple
0.0628844346417237
2.44821919250793e-005
6.24317062380975e-006
1.65361297610467e-006
4.61520080596856e-007
1.94131011932441e-007
1.03892211944512e-007
5.21124725372246e-007
7.30572814910957e-007
Error_doble
0.0628844094142789
2.45228106486861e-005
6.12853203030284e-006
1.53001985536694e-006
3.80395404731004e-007
9.29895160872718e-008
3.97662138773569e-008
2.84698397079453e-008
2.11380571935038e-008
*Resultados obtenidos con el programa 1 del anexo.
Se observa en la tabla anterior que en un principio tanto para precisión doble como simple el error se reduce al
aumentar el valor de N, sin embargo con precisión simple se observa que con N=1400 o 1600 este error no solo no se
reduce sino que empieza a aumentar, esto nos sugiere que el efecto del error de redondeo empieza a ser mucho
mayor con estos valores de N, con precisión doble aun no parece que el error de redondeo afecte de manera
considerable. Se observa también que considerar la regla compuesta con N=50 mejora mucho la aproximación con
respecto a solo considerar la regla básica del trapecio (N=1).
Regla compuesta del trapecio
N
1
10
11
12
13
14
15
100
1500
2000
I_simple
0.683939695358276
0.746210813522339
0.746317267417908
0.746398270130157
0.746461272239685
0.746511280536652
0.74655157327652
0.746817886829376
0.746824681758881
0.746824681758881
I_doble
0.683939720585721
0.746210796131749
0.746317272282115
0.746398247893441
0.74646126103669
0.746511256970259
0.746551589160412
0.74681800146797
0.746824105562098
0.746824117484119
Error_simple
0.0628844346417237
0.000613316477661163
0.000506862582092316
0.00042585986984256
0.000362857760314972
0.000312849463348419
0.000272556723480255
6.24317062380975e-006
5.51758880584785e-007
5.51758880584785e-007
Error_doble
0.0628844094142789
0.000613333868250687
0.000506857717884723
0.000425882106559472
0.000362868963310503
0.000312873029740701
0.000272540839588054
6.12853203030284e-006
2.44379023683905e-008
1.2515881331332e-008
Regla compuesta del trapecio corregida
N
I_simple
I_doble
1
0.745252907276154
0.745252960780962
10
0.746823966503143
0.746823928533702
11
0.746823966503143
0.746823993275464
12
0.746824085712433
0.746824034283685
13
0.746824085712433
0.746824061274531
14
0.746824085712433
0.746824079624317
15
0.746824085712433
0.746824092450169
100
0.746824026107788
0.746824132791989
1500
0.746824681758881
0.746824132812427
2000
0.746824681758881
0.746824132812429
*Resultados obtenidos con el programa 2 del anexo.
Error_simple
0.00157122272384647
1.63496856719902e-007
1.63496856719902e-007
4.42875671691212e-008
4.42875671691212e-008
4.42875671691212e-008
4.42875671691212e-008
1.03892211944512e-007
5.51758880584785e-007
5.51758880584785e-007
Error_doble
0.00157116921903844
2.01466298310748e-007
1.36724535582111e-007
9.57163147630169e-008
6.87254688713779e-008
5.03756834024927e-008
3.75498314664213e-008
2.79198919539425e-009
2.81242662492076e-009
2.81242873434451e-009
En la tabla anterior se observa que el efecto de redondeo en el caso de la regla compuesta del trapecio corregida
tanto en precisión simple como doble ya es notable, también se observa que con N pequeña en este ejemplo, la
regla compuesta del trapecio corregida proporciona mejores aproximaciones que la regla compuesta del trapecio, y
comparando la regla compuesta del trapecio corregida con la regla básica del trapecio se observa que la primera es
sumamente más precisa incluso con N=10.
En la tabla que se muestra abajo se observa que para el caso de precisión simple el efecto del error de redondeo es
ya notable con N=50, nuevamente se observa una mayor precisión cuando se usa la regla compuesta en lugar de la
regla básica de Simpson
11
Regla compuesta de Simpson
N
I_simple
I_doble
1
0.7471804022789
0.74718042890951
10
0.746824204921722
0.746824183875915
15
0.746824085712433
0.746824142902453
25
0.746824145317078
0.746824134120318
50
0.746824264526367
0.746824132894176
100
0.746824145317078
0.746824132817537
*Resultados obtenidos con el programa 3 del anexo.
Error_simple
0.000356272278900116
7.49217223816601e-008
4.42875671691212e-008
1.53170776062694e-008
1.34526367157051e-007
1.53170776062694e-008
Error_doble
0.000356298909510278
5.38759146184731e-008
1.29024532169453e-008
4.12031797569767e-009
2.89417600995989e-009
2.8175365374139e-009
Conclusiones

Las reglas compuestas presentadas para resolver el problema de estimar
Dan resultados más precisos que las reglas básicas e incluso que las reglas gaussianas, especialmente cuando
el intervalo
es grande,
.




Sin embargo, la elección de N debe realizarse con cuidado, ya que si bien teóricamente N muy grande mejora
las aproximaciones, en la práctica con el uso de computadoras para obtener los cálculos esto ya no es
necesariamente cierto dado el error de redondeo.
Otro inconveniente de las reglas compuestas es que debemos ser capaces de evaluar la función en un
número mayor de puntos que con las reglas básicas, este número aumenta conforme N aumenta.
Si la función es lo suficientemente suave, en general, las reglas compuestas cuyo error depende de un orden
mayor en la derivada de la función suelen ser más precisas con tamaños de N chicos.
El error de redondeo se genera esencialmente al considerar
, esta cantidad conforme N crece puede
ser indistinguible del cero computacionalmente, además de que conforme N crece el número de operaciones
que se realizan también aumentan.
12
Anexo
Programa 1.
%Ejemplo 7.4
%Ejemplo trabajo Regla compuesta del trapecio
clc
clear all
format long g
N=[1 50 100 200 400 800 1200 1400 1600]';
a=0;
b=1;
N1=size(N);
for j=1:N1(1,1)
xi=0;
for m=0:N(j,1)
xi(m+1,1)=a+m*(b-a)/N(j,1);
end
T(j,1)=0;
for k=1:N(j,1)-1
T(j,1)=T(j,1)+exp(-xi(k+1,1)^2);
end
T(j,1)=(b-a)/N(j,1)*T(j,1)+(b-a)/(2*N(j,1))*(exp(-xi(0+1,1)^2)+exp(-xi(N(j,1)+1,1)^2));
end
T;
Errord=abs(T-.74682413);
Ns=zeros(1,1,'single');
as=zeros(1,1,'single');
bs=zeros(1,1,'single');
N1s=zeros(1,1,'single');
Ts=zeros(1,1,'single');
xis=zeros(1,1,'single');
ms=zeros(1,1,'single');
js=zeros(1,1,'single');
ks=zeros(1,1,'single');
Ns=[1 50 100 200 400 800 1200 1400 1600]';
as=0;
bs=1;
N1s=size(Ns);
for js=1:N1s(1,1)
xis=0;
for ms=0:Ns(js,1)
xis(ms+1,1)=as+ms*(bs-as)/Ns(js,1);
end
Ts(js,1)=0;
for ks=1:Ns(js,1)-1
Ts(js,1)=Ts(js,1)+single(exp(single(-xis(ks+1,1)^2)));
end
Ts(js,1)=(bs-as)/Ns(js,1)*Ts(js,1)+(bs-as)/(2*Ns(js,1))*(single(exp(single(-xis(0+1,1)^2)))+single(exp(single(xis(Ns(js,1)+1,1)^2))));
end
Ts;
Errors=abs(double(Ts)-.74682413);
disp('
)
disp('
Error_doble')
Resultados=[ N double(Ts) T
disp(Resultados)
Regla compuesta del trapecio'
N
Errors
I_simple
I_doble
Errord];
Programa 2
13
Error_simple
%Ejemplo 7.5
%Regla compuesta del trapecio vs regla compuesta del trapecio corregida
clc
clear all
format long g
N=[1 10 11 12 13 14 15 100 1500 2000]';
a=0;
b=1;
N1=size(N);
for j=1:N1(1,1)
xi=0;
for m=0:N(j,1)
xi(m+1,1)=a+m*(b-a)/N(j,1);
end
T(j,1)=0;
for k=1:N(j,1)-1
T(j,1)=T(j,1)+exp(-xi(k+1,1)^2);
end
T(j,1)=(b-a)/N(j,1)*T(j,1)+(b-a)/(2*N(j,1))*(exp(-xi(0+1,1)^2)+exp(-xi(N(j,1)+1,1)^2));
Tcorr(j,1)=T(j,1)+((b-a)/N(j,1))^2/12*(-2*xi(0+1,1)*exp(-xi(0+1,1)^2)+2*xi(N(j,1)+1,1)*exp(-xi(N(j,1)+1,1)^2));
end
T;
Errord=abs(T-.74682413);
Tcorr;
Errordcorr=abs(Tcorr-.74682413);
Ns=zeros(1,1,'single');
as=zeros(1,1,'single');
bs=zeros(1,1,'single');
N1s=zeros(1,1,'single');
Ts=zeros(1,1,'single');
xis=zeros(1,1,'single');
ms=zeros(1,1,'single');
js=zeros(1,1,'single');
ks=zeros(1,1,'single');
Tscorr=zeros(1,1,'single');
Ns=[1 10 11 12 13 14 15 100 1500 2000]';
as=0;
bs=1;
N1s=size(Ns);
for js=1:N1s(1,1)
xis=0;
for ms=0:Ns(js,1)
xis(ms+1,1)=as+ms*(bs-as)/Ns(js,1);
end
Ts(js,1)=0;
for ks=1:Ns(js,1)-1
Ts(js,1)=Ts(js,1)+single(exp(-xis(ks+1,1)^2));
end
Ts(js,1)=(bs-as)/Ns(js,1)*Ts(js,1)+(bs-as)/(2*Ns(js,1))*(single(exp(-xis(0+1,1)^2))+single(exp(-xis(Ns(js,1)+1,1)^2)));
Tscorr(js,1)=Ts(js,1)+((bs-as)/Ns(js,1))^2/12*(-2*xis(0+1,1)*exp(-xis(0+1,1)^2)+2*xis(Ns(js,1)+1,1)*exp(xis(Ns(js,1)+1,1)^2));
end
Ts;
Errors=abs(double(Ts)-.74682413);
Tscorr;
Errorscorr=abs(double(Tscorr)-.74682413);
disp('
')
disp('
N
Error_doble')
Regla compuesta del trapecio
I_simple
I_doble
Error_simple
Resultados=[ N double(Ts) T Errors Errord];
disp(Resultados)
disp('
Regla compuesta del trapecio corregida
')
disp('
N
I_simple
I_doble
Error_simple
Error_doble')
Resultadoscorr=[ N double(Tscorr) Tcorr Errorscorr Errordcorr];
disp(Resultadoscorr)
Programa 3
14
%Ejemplo 7.6
%Regla compuesta de Simpson
clc
clear all
format long g
N=[1 10 15 25 50 100]';
a=0;
b=1;
N1=size(N);
for j=1:N1(1,1)
xi=0;
S(j,1)=0;
for m=0:N(j,1)
xi(m+1,1)=a+m*(b-a)/N(j,1);
end
T(j,1)=0;
for k=1:N(j,1)-1
T(j,1)=T(j,1)+exp(-xi(k+1,1)^2);
end
T(j,1)=2*T(j,1);
T2(j,1)=0;
for k=1:N(j,1)
T2(j,1)=T2(j,1)+exp(-((xi(k,1)+xi(k+1,1))/2)^2);
end
T2(j,1)=4*T2(j,1);
S(j,1)=(b-a)/(N(j,1)*6)*((exp(-xi(0+1,1)^2)+exp(-xi(N(j,1)+1,1)^2))+T(j,1)+T2(j,1));
end
S;
Errord=abs(S-.74682413);
Ns=zeros(1,1,'single');
as=zeros(1,1,'single');
bs=zeros(1,1,'single');
N1s=zeros(1,1,'single');
Ts=zeros(1,1,'single');
T2s=zeros(1,1,'single');
Ss=zeros(1,1,'single');
xis=zeros(1,1,'single');
ms=zeros(1,1,'single');
js=zeros(1,1,'single');
ks=zeros(1,1,'single');
Ns=[1 10 15 25 50 100]';
as=0;
bs=1;
N1s=size(Ns);
for js=1:N1s(1,1)
xis=0;
Ss(js,1)=0;
for ms=0:Ns(js,1)
xis(ms+1,1)=as+ms*(bs-as)/Ns(js,1);
end
Ts(js,1)=0;
for ks=1:Ns(js,1)-1
Ts(js,1)=Ts(js,1)+exp(-xis(ks+1,1)^2);
end
Ts(js,1)=2*Ts(js,1);
T2s(js,1)=0;
for ks=1:Ns(js,1)
T2s(js,1)=T2s(js,1)+exp(-((xis(ks,1)+xis(ks+1,1))/2)^2);
end
T2s(js,1)=4*T2s(js,1);
Ss(js,1)=(bs-as)/(Ns(js,1)*6)*((exp(-xis(0+1,1)^2)+exp(-xis(Ns(js,1)+1,1)^2))+Ts(js,1)+T2s(js,1));
end
Ss;
Errors=abs(double(Ss)-.74682413);
disp('
')
disp('
Error_doble')
Resultados=[ N double(Ss) S
disp(Resultados)
Regla compuesta de Simpson
N
Errors
I_simple
I_doble
Errord];
15
Error_simple