PROCESOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR

PROCESOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR
LUIS FERNANDO HERRERA DÍAZ
31 de agosto de 2005
Índice general
1. GENERALIDADES
1.1. Conceptos generales. . . . .
1.1.1. Energía. . . . . . . .
1.1.2. Calor. . . . . . . . .
1.1.3. Temperatura. . . . .
1.2. Tipos de calor . . . . . . . .
1.3. Mecanismos de transferencia
1.4. Flujo de calor . . . . . . . .
2. CONDUCCIÓN
. . . . .
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. . . . .
de calor.
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6
6
6
6
6
7
7
8
13
2.1. Ley de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2. La conductividad térmica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.1. Variación de la conductividad térmica con la temperatura. . . . . . 16
2.2.2. Conductividades térmicas de alimentos . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.3. Per…l de temperaturas en una pared plana. . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3. Flujo de calor en paredes compuestas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.1. Paredes en serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.2. Paredes en paralelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4. Flujo de calor en cilindros huecos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.5. Flujo de calor en esferas huecas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.6. Ecuación general de conducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.6.1. Ecuación general de conducción unidimensional. . . . . . . . . . . . 34
2.6.2. Ecuación general de conducción en tres dimensiones. . . . . . . . . 35
2.7. Flujo de calor bidimensional en estado estacionario. . . . . . . . . . . . . . 36
ÍNDICE GENERAL
1
3. CONVECCIÓN
44
3.1. Determinación del coe…ciente convectivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.1.1. Modelos para la determinación del coe…ciente convectivo en convección forzada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.1.2. Modelos para la determinación del coe…ciente convectivo en convección natural. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4. CONVECCIÓN Y CONDUCCIÓN EN ESTADO ESTACIONARIO
54
4.1. Cálculo del espesor óptimo para un aislante de tubería. . . . . . . . . . . . 54
4.2. Super…cies extendidas o aletas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5. CONVECCIÓN Y CONDUCCIÓN EN REGIMEN NO ESTACIONARIO 69
5.1. Determinación del per…l de temperaturas de un alimento. . . . . . . . . . . 69
5.1.1. Procesos para números de Biot menores a 0.1 . . . . . . . . . . . . 74
5.1.2. Procesos para números de Biot mayores a 0.1 . . . . . . . . . . . . 75
ÍNDICE GENERAL
2
INTRODUCCIÓN
Las diferentes operaciones unitarias que tienen lugar en la industria de alimentos implican la generación y/o absorción de energía, igualmente los procesos de esterilización y
conservación de alimentos requieren de tratamientos térmicos por lo que se hace indispensable para el ingeniero de alimentos el conocimiento de las leyes que rigen el ‡ujo de calor
y su aplicación en el diseño y manejo termodinámico de los equipos que se usan en los
procesos alimenticios para la optimización de tan costoso y apreciado recurso energético
introducción
3
NOTACIÓN
log
M
área, L2
número de Biot hL
K
capacidad calorí…ca MET
número de Fourier L2
c
entalpia (E)
coe…ciente convectivo de transferencia de calor LE2 T
E
conductividad térmica LT
conductividad térmica a presión atmosferica ecuación (2.5)
longitud (L)
longitud de la tuberia
= logaritmo con base e (Ln)
= masa (M )
P
Pc
PM
Q
Q
=
=
=
=
=
presión M L2
presión reducida PPc
peso molecular
calor (E)
‡ujo volumetrico (L3 =t) para la ecuación (??)
Q
R
R
r
T
Tr
=
=
=
=
=
=
‡ujo de calor E
resistencia eléctrica
costante de los gases ideales 0;008314
radio (L)
temperatura (T )
temperatura reducida TTc
A
Bi
Cp
Fo
H
h
K
KG
L
t
=
=
=
=
=
=
=
=
=
3
= tiempo ( )
= volumen molar
V
Z
M P a m3
kmolK
L3
mol
= velocidad L
= factor de compresibilidad
Letras griegas y simbolos
Notación
4
1
= denota las condiciones del medio
= difusividad térmica
= calor latente de vaporización
= viscocidad cinemática
= densidad LM3
= densidad reducica
r
= viscosidad
E
M
L2
c
M
L
Subindices
c
f in
ini
liq
=
=
=
=
propiedad crítica
condición …nal
condición inicial
líquidos
Superindices
= indica ‡ujo. dd
Notación
5
1. GENERALIDADES
1.1. Conceptos generales.
Antes de comenzar a estudiar la transferencia de calor se hará un breve repaso sobre
los conceptos básicos.
1.1.1. Energía.
La energía es una abstracción matemática utilizada por los físicos que representa la
capacidad de realizar un trabajo, sin embargo aquí se ampliara el concepto a la capacidad
para producir un cambio o una transformación.
1.1.2. Calor.
A partir de lo anterior se puede de…nir el calor como un tipo de energía que se trans…ere de un cuerpo a otro en virtud de una diferencia de temperaturas y por lo tanto no
puede ser almacenado.
1.1.3. Temperatura.
La temperatura es asociada con la movilidad de las moléculas de un cuerpo, de tal
forma que a mayor movilidad mayor temperatura.
GENERALIDADES
6
1.2. Tipos de calor
En la naturaleza cuando se trans…ere calor a un cuerpo, éste puede experimentar
diferentes cambios los cuales de…nen el tipo de calor. Los tipos de calor más comunes son:
Calor sensible: Durante la transferencia de calor ocurre un cambio de entalpía
directamente asociada a un cambio en la temperatura, su expresión matemática
está dada por Q = M Cp
T
Calor latente: El cambio de entalpía es caracterizado por un cambio de fase a
temperatura constante. Su expresión matemática esta dada por Q = M
.
Calor de reacción: El calor es liberado o requerido por una reacción química, su
expresión esta relacionada con las entalpías de los productos y compuestos como
sigue Q = HPr oductos
HRe activos :
Calor eléctrico: Es el calor que se trans…ere a causa del paso de una corriente
eléctrica a través de un material aislante y su valor esta dado por Q = I 2 R
1.3. Mecanismos de transferencia de calor.
La termodinámica como ciencia estudia en la primera ley, la naturaleza y transformación de la energía en sus diferentes formas: energía interna, entalpía, trabajo y calor. En
la segunda ley explica porque el calor no puede ser transformado totalmente en trabajo.
La herramienta con la cual se aplican los conceptos de la primera ley de la termodinámica a los procesos industriales se denomina balance de materia y energía. Sin embargo
ninguna de las dos explica como se trans…ere el calor de un cuerpo a otro. Dicha explicación es trabajada en los Procesos de Transferencia de Calor.
[9] , de…ne la Transferencia de Calor como “el estudio de las velocidades a las cuales
el calor se intercambia entre fuentes de calor y receptores”, mientras que los Procesos
de Transferencia de Calor están relacionados con las razones de intercambio térmico que
ocurren en los equipos.
Por el momento se dirá que existen tres formas de transmitir calor, conducción,
convección y radiación.
TIPOS DE CALOR
7
En la conducción, dos materiales sólidos a diferente temperatura se ponen en contacto
directo, de tal forma que las moléculas del material a mayor temperatura, con mayor
movimiento molecular, trans…eren energía en forma de movimiento a las moléculas del
cuerpo a menor temperatura, sin que exista un movimiento aparente de las moléculas de
los dos sólidos. Por tal razón la velocidad de transferencia de energía estará dada por
una propiedad de los materiales asociada a la capacidad de transferir la movilidad de sus
moléculas, dicha propiedad es conocida como conductividad térmica (K).
En la convección, la transferencia de calor se da entre dos puntos de un ‡uido, de tal
forma que debido a la altísima movilidad de sus moléculas, la mezcla entre ellas pasa a ser
el comportamiento predominante. Dicho comportamiento se puede presenciar cuando se
pone a calentar agua en un recipiente, luego de un tiempo determinado se puede observar
en la super…cie la creación de remolinos debido a la diferencia de densidades entre puntos
“calientes” y “fríos”. Si la mezcla es debido solo a la diferencia de temperaturas dicho
comportamiento es conocido como convección natural.
En algunas ocasiones se requiere que el calentamiento se realice más rápidamente, es
decir los puntos “calientes”deben ser distribuidos con mayor velocidad en el ‡uido, para
lo cual se suele recurrir a introducir un agente externo como un agitador para que aumente
los niveles de mezcla, en este caso se habla de convección forzada.
Finalmente el último mecanismo de transferencia de calor es la radiación, que a diferencia de las dos anteriores no requiere un contacto directo entre los puntos “calientes” y
“fríos”, sino que debido a la diferencia de temperatura cada material posee un movimiento
de partículas determinado, el cual está asociado a un nivel de radiación, la diferencia neta
entre las emanaciones de radiación de ambos cuerpos es la transferencia de calor.
1.4. Flujo de calor
Siempre que ocurre una transferencia interactúan dos factores, uno a favor de la transferencia denominada fuerza impulsora o diferencia de potencial y otra que se opone denominada resistencia, es así como se puede construir la siguiente relación matemática.
Transferencia
Fuerza impulsora
Resistencia
(1.1)
Dicha expresión puede ser expresada en términos de una conductancia así:
FLUJO DE CALOR
8
Transferencia
Conductancia
Fuerza impulsora
(1.2)
Figura 1-1 Jean-Louis Marie Poiseuille (1799-1869)
Tomado de: [18]
Esta expresión ha sido desarrollada en diferentes ámbitos según la naturaleza de la
transferencia. En el caso de la transferencia de momento en el ‡ujo de ‡uidos , Poiseuille
encuentra que en régimen laminar dentro de una tubería el caudal esta determinado por
la ecuación (1.3). [3]
Q = r4
(P2 P1 )
8 l
(1.3)
Figura 1-2 Esquema de ‡ujo
En el caso del ‡ujo eléctrico fue George Ohm en 1827 estableció que el ‡ujo de
electrones sobre un material conductor está dado por la ecuación (1.4) en el documento
FLUJO DE CALOR
9
Figura 1-3 Georg Simon Ohm (1789-1854)
titulado Die galvanische Kette, mathematisch bearbeitet. (Trabajos matemáticos sobre los
circuitos eléctricos).
Tomado de: [18]
I=
V
R
(1.4)
Figura 1-4 Trabajos matemáticos sobre los circuitos eléctricos
Tomado de: [18]
El esquema de ‡ujo de corriente electrica puede ser esquematizado como:
FLUJO DE CALOR
10
Figura 1-5 Esquema del ‡ujo de electrones en un material conductor
Figura 1-6 Joseph Fourier (1768–1830)
De la misma forma el matemático francés Fourier propone la ecuación (1.5) para el
‡ujo de calor.
Tomado de: [2]
Q = KA
T
L
(1.5)
Dicha expresión puede ser aplicada para el ‡ujo de calor a través de una pared plana
cuyos lados se encuentran a diferentes temperaturas, como se muestra en la …gura 1-7
Figura 1-7 Esquema de ‡ujo de transferencia de calor.
Expresando la ecuación (1.5) en términos de la fuerza impulsora y la resistencia se
FLUJO DE CALOR
11
puede encontrar la ecuación (1.6)
R=
FLUJO DE CALOR
L
KA
(1.6)
12
2. CONDUCCIÓN
Cuando se transmite calor a través de un sólido, se deben tener en cuenta dos conceptos
importantes, la velocidad de transferencia de calor y el per…l de temperaturas
dentro del sólido. La velocidad de transferencia de calor se re…ere al ‡ujo de entrada o
salida de energía en forma de calor y el segundo hace referencia a la forma como cambia
la temperatura con respecto a la posición dentro del sólido.
Inicialmente en este capítulo se estudiará la ley de Fourier que relaciona estos dos conceptos y sus aplicaciones, aplicadas al ‡ujo de calor en una sola dimensión para diferentes
geometrías, luego se abordará el tema de la conductividad térmica, su relación con la
temperatura y la forma de estimar su valor para los alimentos, …nalmente se desarrollará
brevemente el tema de conducción en más de una dimensión. El estudio de ‡ujo de calor
en estado no estacionario se verá en capítulos posteriores
2.1. Ley de Fourier.
Hace más de un siglo Fourier propuso que la relación entre el ‡ujo de calor y el
gradiente de temperaturas es de carácter lineal, de tal forma que se puede expresar como
lo indica la ecuación (2.1)
Q=
KA
T
L
(2.1)
En donde; Q representa el ‡ujo de calor, K es la conductividad térmica de los materiales, A es el área de transferencia y T es la diferencia de temperaturas entre dos puntos
del sólido que se encuentran separados por una distancia L .
Por otra parte el ‡ujo de calor puede entrar o salir del sólido, por lo tanto es necesario
tener un sistema de referencia que permita distinguir entre estos dos eventos. Se crea
entonces un sistema de referencia donde el ‡ujo de calor es positivo si lleva el mismo
sentido del eje x, como lo indica la …gura 2-1
De esta forma la expresión (2.1) puede ser escrita como Q =
CONDUCCIÓN
KA
T1
T2
L
13
Figura 2-1 Diagrama de ‡ujo de calor en una pared plana.
En algunas ocasiones conviene expresar la ecuación (2.1) en forma diferencial, de tal
forma que la expresión se puede escribir como:
Q=
KA
dT
dx
(2.2)
En resumen se puede decir que con el …n de determinar el valor de cada una de las
variables relacionadas en la ley de Fourier, se pueden seguir las siguientes pautas.
1. Realizar un esquema en donde se especi…que la geometría del sistema y la caída de
temperaturas. …gura 2-2.
Figura 2-2 Esquema de ‡ujo de calor en una pared plana
2. Trazar la línea de ‡ujo de calor perpendicular a la disminución de la temperatura.
(T2 < T1 ).
LEY DE FOURIER.
14
Figura 2-3 Determinación del área y la longitud para el cálculo del calor por conducción.
3. Encontrar el camino que recorre el ‡ujo de calor (L1 ) y el área de…nida por la
super…cie perpendicular al ‡ujo de calor. A = L2 L3
Ejemplo 2.1: Las caras de una pared de ladrillo de caolín (KCaolin = 0;15) se encuentran a 932 F y 300 F , si la pared mide 13 17 F t y tiene un espesor de 5 in, ¿Cuanto
calor se pierde por la pared?
Solución: Siguiendo el las pautas que permiten reconocer el valor de cada una de las
variables dentro de la ley de Fourier se puede realizar la …gura.
Figura 2-4 Esquema para el ejercicio 2-1.
Luego:
A = 13f t
17f t = 221f t2
LEY DE FOURIER.
15
L = 5in
1f t
= 0;417f t
12in
T = (300 F
932 F ) =
632 F
Aplicando la ecuación (2.1) se encuentra
632 F
BT U
2
Q = 0;15
221f
t
= 50241;727 BTh U
F
0;417f t
hf t2 f t
2.2. La conductividad térmica.
Hasta el momento se ha descrito la conductividad térmica como una propiedad de los
materiales que resulta del modelo lineal entre el ‡ujo de calor y el gradiente de temperaturas, sin embargo su signi…cado físico puede partir del concepto de temperatura, entendida
como la magnitud que permite determinar el grado de movilidad de las partículas, por
esto la conductividad térmica puede verse como una capacidad para transmitir dicha
movilidad de unas partículas a otras, sin embargo éste concepto implica que la conductividad térmica varíe según la naturaleza del material y la temperatura, a continuación
se estudiarán ambos casos:
2.2.1. Variación de la conductividad térmica con la temperatura.
La conductividad térmica de los materiales varía con la temperatura pero de manera
distinta si es un sólido, líquido o un gas.
En sólidos: Para el caso de los sólidos, según [7], la conductividad térmica varía en
forma lineal con la temperatura, como lo indica la ecuación 2.3.
K = K0 [1 + (T
T0 )]
(2.3)
En donde:
K0 es el valor de la conductividad térmica a la temperatura T0
T0 es la temperatura de referencia.
LA CONDUCTIVIDAD TÉRMICA.
16
Figura 2-5 Variacion de la conductividad térmica con la temperatura para algunos sólidos
Cuadro 2.1 Valores de las constantes parala
líquidos
Familia
Hidrocarburos saturados
Ole…nas
Ciclopara…nas
Aromáticos
Alcoholes
Ácidos orgánicos
evaluación de la conductividad térmica de los
A
0;00350
0;03610
0;03100
0;03460
0;00339
0;00319
1;2
1;2
1;2
1;2
1;2
1;2
0;5
1;0
1;0
1;0
0;5
0;5
0;167
0;167
0;167
0;167
0;167
0;167
T es la temperatura a la cual se está calculando la conductividad.
es una constante dependiente del material.
Líquidos: Para los líquidos [15] indica como uno de los métodos de estimación para
la conductividad térmica el de Latini.
Kliq =
A (1
Tr )0;38
1
6
(2.4)
Tr
A Tb
y los parámetros A ; ;
P M Tc
Tomado de [15].
En donde: A =
y
se muestran en la Cuadro 2.1
En la …gura 2-6 se presenta una grá…ca de la variación de la conductividad térmica
con la temperatura para algunos líquidos.
LA CONDUCTIVIDAD TÉRMICA.
17
Figura 2-6 Variación de la condictividad térmica de algunos líquidos con la temperatura
Cuadro 2.2 Valores de las constantes para la conductividad de los gases
A
B
C
<
0.5
2.702
0.535
-1.000
r
0.5 < r < 2.0 2.528 0.670 -1.069
2.0 < r < 2.8 0.574 1.155 -2.016
Gases: Para gases a presión atmosférica, [14] cita el método de Stiel y Thodos, el cual
indica que para estimar la conductividad térmica de un gás en el sistema internacional de
unidades se tiene la ecuación (2.5):
Kg = KG +
A
10
4
(exp(B r ) + C)
1
1
Tc6 P M 2
2
Pc3
(2.5)
Zc5
Los valores de las constantes estan dados en la Cuadro 2.2.
Tomado de: [14].
Mayor bibliogra…a sobre estimación de la conductividad térmica de los gases se puede
encoentrar en: [19],
2.2.2. Conductividades térmicas de alimentos
LA CONDUCTIVIDAD TÉRMICA.
18
Según [17]. Los modelos que permiten predecir la conductividad térmica de los alimentos están divididos en modelos teóricos y empíricos. Los modelos empíricos relacionan en
su gran mayoría la conductividad térmica con la temperatura para algunos productos determinados, los teóricos relacionan la composición pero es necesario considerar una forma
especí…ca de distribución de los componentes constitutivos.Dentro de los modelos teóricos
se pueden encontrar:
Modelo en serie: En este modelo los componentes forman láminas en arreglo en serie,
como se estudiará en la sección 2.5.1, el valor del inverso de la resistencia corresponde a
la sumatoria de los inversos de las resistencias de cada lámina. Es así como:
K=
1
N
X
i=0
(2.6)
i
Ki
Donde: Ki es la conductividad térmica de cada componente, i es la fracción volumétrica de cada componente
[1] recomienda este modelo para alimentos cuasihomogeneos, como proteínas, geles,
carnicol ya sean congelados o no.
Modelo en paralelo: La diferencia con el anterior radica en que las capas siguen la
misma trayectoria del ‡ujo de calor (ver 2.5.2), de tal forma que la conductividad térmica,
se puede evaluar como:
K=
N
X
Ki
i
(2.7)
i=o
Modelo aleatorio: En este se considera que varias fases dispersas se encuentran
distribuidas en una mayor. Dentro de estos modelos [17], hace referencia a entre otros a
[8]. Quien combina el modelo en serie con el de paralelo de tal forma que:
1
=
K
(1
1 f
1
+f
+
) Ks + K g
Ks
Kg
(2.8)
Donde:
X
Ks =
! i Ki : para todos los compuestos menos el aire.
! i : es la fracción másica de cada componente.
es la porosidad.
Kg es la conductividad térmica del aire.
f es el factor de distribución, cuyo valor es cero si el arreglo es en paralelo y uno en
serie.
LA CONDUCTIVIDAD TÉRMICA.
19
Cuadro 2.3 Valores de las constantes
A1
A2
a 0;44735
0;22601
b 0;873233
14;3434
c
0;43634
25;5292
d 2;18646
9;22053
para la conductividad de los gases
A3
A4
1;83405
0;394814
0;619566
5;44528
75;18500
53;41450
53;01440
41;87700
Para valores intermedios [13] proponen la siguiente ecuación. f = A1 + A2 (
A3 (
0;4)2 + A4 (
0;4)3 con Ai = a + b + c 2 + d 3
0;4) +
Los valores de a,b,c,d están dados en la Cuadro 2.3:
Si i = 1 y 2 entonces
= X; para i = 3; = (X
0;25) y si i = 4 ,
= (X
0;1627)
[10], encontraron las ecuaciones que correlacionan la conductividad térmica de algunos
constituyentes de los alimentos con la temperatura, en la …gura 2-7 se presenta su comportamiento.
Figura 2-7 Variación de la conductividad térmica con la temperatura para diferentes
componentes de los alimentos
En Colombia se han realizado algunos estudios para determinar las conductividades
térmicas de algunos alimentos como el trabajo de [16].
2.2.3. Per…l de temperaturas en una pared plana.
LA CONDUCTIVIDAD TÉRMICA.
20
El per…l de temperaturas para una pared plana como la que se muestra en la …gura
2-8, puede ser determinado a partir del balance de energía sobre una lámina de pared de
ancho x.
Figura 2-8 Per…l de temperaturas en una pared plana.
Partiendo de la ecuación general de balance.
Entradas
Salidas + Generacion
(2.9)
Consumo = Acumulacion
En donde:
Entradas: dadas por el ‡ujo de calor Qx
Salidas: dadas por el ‡ujo de calor Qx+ x
Acumulación: Término asociado al calentamiento interno del material, termodinámimCp T
camente expresado como un cambio en la entalpía1 .Q =
Remplazando en 2.9 se tiene:
Qx
Qx+
x
A xCp T
=
Rearreglando
Qx
1
Qx+
x
x
=
ACp T
Por comodidad expresaremos la masa en términos del volumen m =
LA CONDUCTIVIDAD TÉRMICA.
V luego m =
A
x
21
Considerando un cambio en x muy pequeño, se puede expresar como el límite cuando
x tiende a cero.
lm
x!0
Qx
dQ
=
dx
Esto puede ser expresado como:
tiene
Qx+
x
x
=
ACp T
ACp T
;si la pared no acumula energía se
dQ
= 0:
dx
Remplazando la ecuación 2.2.
d
dx
KA
dT
dx
=0
Teniendo en cuenta que K y A son constantes con valores diferentes de cero se tiene
d2 T
que KA
=0
dx
Luego
dT
= C1
dx
Resolviendo por separación de variables.
Z dT = C
Z 1 dx
dT = C1 dx
T = C1 x + C2
De la …gura 2-8 se pueden tener las siguientes condiciones de frontera Tx=0 = T0 y
Tx=L = T1 . Remplazando.
T0 = C1 (0) + C2
C2 = T0
T1 = T0 + C1 L
C1 = L1 (T0 T1 )
LA CONDUCTIVIDAD TÉRMICA.
22
Finalmente se tiene que el per…l de temperaturas esta dado por la ecuación:
T =
1
(T0
L
T1 )
x + T0
(2.10)
Si se compara el valor de la pendiente con la ecuación 2.1 se puede encontrar que:
T =
Q
KA
x + T0
(2.11)
Dicho grá…co corresponde a una línea recta como la que se muestra en la …gura:
Figura 2-9 Per…l de temperaturas para conducción.
Ejemplo 2 2: Encuentre el per…l de temperaturas para el ejercicio 2-1.
Solución: Del ejercicio 2-1 se tiene:
T0 = 932 F
T1 = 300 F
L = 5in = 0;417f t
A = 221f t2
K = 0;15
Remplazando en la ecuación 2.10 se tiene:
T =
300 F 932 F
x + 932 F
0;417 f t
Dicha ecuación corresponde a la siguiente …gura:
LA CONDUCTIVIDAD TÉRMICA.
23
Figura 2-10 Per…l de temperaturas para el ejemplo 2-2
2.3. Flujo de calor en paredes compuestas.
En muchas ocasiones en la industria de alimentos es necesario encerrar espacios que
aíslen muy bien un lugar del ‡ujo de calor externo, tal es el caso de los cuartos fríos,
en donde se acostumbra colocar una pared formada de varias capas de material como lo
muestra la 2-11(A), en este caso se puede observar que una sola línea de ‡ujo de calor
atraviesa todos los materiales, a este tipo de arreglo se le denomina paredes en Serie.
En otras ocasiones las capas de material son colocadas de tal forma que cada una tiene
su ‡ujo de calor propio, como se ve en la 2-11(B), a este tipo de arreglo se le denomina
Paralelo.
2.3.1. Paredes en serie
Con el …n de analizar las paredes en serie se estudiará una pared compuesta por tres
capas como lo muestra la siguiente …gura.
FLUJO DE CALOR EN PAREDES COMPUESTAS.
24
Figura 2-11 Esquema para paredes compuestas.
Figura 2-12 Diagrama para paredes en serie.
Como se puede observar la misma línea de ‡ujo de calor cruza todas las capas de la
pared, por lo tanto el ‡ujo de calor es el mismo para todas las capas. Las ecuaciones de
‡ujo de calor para cada pared serán:
Q=
K1 A
T1
=
x1
K1 A
Q=
K2 A
T2
=
x2
K2 A
Q=
K3 A
T3
=
x3
K3 A
T2
T1
x1
T3
T2
x2
T4
T3
x3
Escribiendo las ecuaciones en términos de las resistencias térmicas.
FLUJO DE CALOR EN PAREDES COMPUESTAS.
25
Q=
T2
T1
T2
=
x1
K1 A
T4
Q=
T1
R1
T3
x3
K1 A
De (d) se tiene: QRT = T4
De (c) se tiene:QR3 = T4
De (b) se tiene: QR2 = T3
De (a) se tiene:QR1 = T2
=
(A) : Q =
T4
R3
T3
T2
x2
K1 A
T4
T3
(C) : Q =
T3
=
T2
R2
T1
RT
(B)
(D)
T1
T3 ! QR3 + T3 = T4
T2 ! QR2 + T2 = T3
T1 ! QR1 + T1 = T2
Combinando las ecuaciones anteriores se tiene:
QR3 + QR2 + QR1 + T1 = T4
Con la ecuación del calor total (d):
QR3 + QR2 + QR1 = T4
T1
QR3 + QR2 + QR1 = QRT
Finalmente se tiene .R3 + R2 + R1 = RT
Generalizando se puede decir que para las paredes en serie.
Qi = QT
X
RT =
Ri
(2.12)
(2.13)
Ejemplo 2 3: Una pared compuesta por 2.5 mm de acero (Kacero = 54W=mK) y 1
cm de corcho (Kcorcho = 0;043W=mK) separan dos ambientes que se encuentran a 4 C y
FLUJO DE CALOR EN PAREDES COMPUESTAS.
26
Figura 2-13 Esquema para el ejemplo 2-3.
80 C, si el área de la pared es de 2;5m2 , ¿cual será el ‡ujo de calor que ‡uye a través de
la pared y la temperatura entre las láminas de metal y corcho?.
Respuesta:
Como se puede observar una misma línea de ‡ujo de calor cruza las dos secciones de
la pared, por lo tanto se comprueba que se encuentran en arreglo en serie, para lo cual se
tienen las ecuaciones 2.12,2.13.
Se tendrán entonces:
QAcero =
QCorcho =
T3
80 C
R1
RAcero =
4 C T3
R2
QT =
1;8519
RCorcho =
4C
80 C
RT
10
5 C
W
9;3023
0;0025m
=
54 mWC 2;5m2
0;01m
0;043 mWC
2;5m2
1: 851 9
=
9;302 3
10
5 C
W
10
2 C
W
RT = RAcero + RCorcho =
10
2 C
W
=
9;3042
10
2 C
W
Por lo tanto:
QT =
4 C 80 C
= 816;84W
9;3042 10 2 WC
Encontrando T3 con el ‡ujo de calor para el acero.
FLUJO DE CALOR EN PAREDES COMPUESTAS.
27
816;84W =
T3 80 C
1: 851 9 10
5 C
W
T3 = 79;985 C
Veri…cando con la ecuación del calor para el corcho se encuentra que:
QCorcho =
4 C 79;985 C
= 816;84W
9;302 3 10 2 WC
2.3.2. Paredes en paralelo.
En paralelo el ‡ujo de calor no atraviesa todas las capas sino que cada una tiene su
propio ‡ujo de calor (ver Figura 2 14), por lo tanto el calor que pasa a través de toda la
pared será la suma de cada uno de los calores.
Figura 2-14 Diagrama para paredes en paralelo.
Escribiendo las ecuaciones de conducción para cada pared y el total se tiene:
Q1 =
T2
T1
x1
K1 A
=
T2
T1
R1
(A) : Q2 =
FLUJO DE CALOR EN PAREDES COMPUESTAS.
T3
T2
x2
K1 A
=
T3
T2
R2
(B)
28
Q3 =
T4
T3
x3
K1 A
=
T4
T3
R3
(C) : QT =
T4
T1
RT
(D)
Sabiendo que el calor total es la suma de cada uno de los calores se tiene:
Q1 + Q2 + Q3 = QT
T2
T1
R1
+
T2
T1
R2
+
T2
T1
R3
=
T2
T1
RT
Luego:
1
1
1
1
+
+
=
R1 R2 R3
RT
En conclusión se puede decir que para las paredes en paralelo se tiene:
QT =
1
RT
=
X
Qi
(2.14)
X 1
Ri
(2.15)
Ejemplo 2 4: Un horno en forma de cubo como el que indica la …gura, es construido
en concreto cuya conductividad térmica es 0;81W=m C, si la geometría y la diferencia de
temperaturas están indicadas en la …gura, Encontrar el ‡ujo de calor que escapa por las
paredes y la resistencia total del sistema.
Respuesta: Como se puede observar en la …gura, hay una línea de ‡ujo de calor por
cada pared del horno, lo cual corresponde al modelo presentado por las paredes en paralelo.
Con el …n de realizar más fácilmente el cálculo, se desarmará el horno como lo indica la
Figura 2 16.
De acuerdo a la …gura se tienen 6 paredes todas con la misma geometría, por tal razón
y según la ecuación 2 14
FLUJO DE CALOR EN PAREDES COMPUESTAS.
29
Figura 2-15 Diagrama para el ejemplo 2-4.
Q=6
Qpared =
Qpared
KA
Rpared =
T
L
L
KA
Remplazando.
Rpared =
0;05m
=
(2 2) m2
0;81 mWC
1;5432
10
2 C
W
El ‡ujo de calor por pared es:
Qpared =
T
Rpared
=
15 C 120 C
= 6804;0W
1;5432 10 2 WC
Luego el ‡ujo de calor total. Q = 6 6804;0W = 40824:W
1
1
=
De la ecuación 2.15 se tiene:
=6
RT
1;5432 10 2 WC
FLUJO DE CALOR EN PAREDES COMPUESTAS.
388: 8 WC
30
Figura 2-16 Diagrama unidimensional para el ejemplo 2-4
RT =
2;572
10
3 C
W
Comprobando el cálculo del calor total.
Qpared =
15 C 120 C
= 40824:W
2;572 10 3 WC
Todos los cálculos realizados hasta el momento consideran la transferencia de calor en
paredes planas, a continuación se estudiará el caso de los cilindros huecos.
FLUJO DE CALOR EN PAREDES COMPUESTAS.
31
2.4. Flujo de calor en cilindros huecos.
En muchas ocasiones es necesario calcular el ‡ujo de calor en un cilindro hueco, como
en el caso de las tuberías. Para poder calcular este ‡ujo de calor es necesario acudir
nuevamente a la ecuación 2 1, que tomaría la forma de la ecuación 2 15.
Q=
KA
dT
dr
(2.16)
Esta expresión corresponde a la representación indicada en la siguiente …gura.
Figura 2-17 Esquema para el cilindro hueco.
Como se ve en la …gura el área de transferencia de calor esta dada por A = 2 r, luego
dT
el ‡ujo de calor es Q = K 2 r
dr
Resolviendo por variables separables:
FLUJO DE CALOR EN CILINDROS HUECOS.
32
Zr1
dr
=
r
r0
Ln
ZT1
K
Q=
=
dT
Q
T0
r1
r0
2
2 KL
(T1
T0 )
Q
2 KL
(T1
r1
Ln
r0
T0 )
(2.17)
El término de resistencia para los cilindros huecos es:
r1
r0
2 KL
Ln
R=
(2.18)
2.5. Flujo de calor en esferas huecas.
Realizando un análisis similar al anterior, ver ejercicio 2, se puede encontrar que el
‡ujo de calor esta dada por:
Q=
4 r0 r1 K (T1
r 0 r1
T0 )
(2.19)
2.6. Ecuación general de conducción
La ecuación general de conducción puede ser determinada a partir de un balance de
energía sobre un volumen determinado, de la distribución geométrica de las temperaturas
y puede ser elaborada en una, dos o tres dimensiones.
A continuación se presentarán los balances de energía por conducción en una y tres
dimensiones.
FLUJO DE CALOR EN ESFERAS HUECAS.
33
2.6.1. Ecuación general de conducción unidimensional.
Con el …n de encontrar la ecuación general de conducción en ‡ujo de calor unidimensional, se realiza un balance de energía sobre una fracción de un bloque de materia, como
se muestra en la siguiente …gura.
FIGURA
Diagrama de ‡ujo de calor en una pared plana.
Partiendo de la ecuación general de balance de energía se tiene:
Entradas
Salidas + Generacion
Consumo = Acumulacion
(2.20)
Si los ‡ujos de calor de entrada y la salida son realizados por conducción entonces: el
dT
jx y
calor que entra esta dado por la ecuación 1-2 evaluado en x Qentra = Qx = KA
dx
dT
jx+ x
el de salida evaluado en x+ x Qsale = Qx+ x = KA
dx
Debido a que el balance está establecido sobre el elemento diferencial de…nido por
el volumen V = yz x y con ‡ujos de energía, se debe considerar la velocidad de calor
generado QG = Q yz x por unidad de volumen el cual será expresado como . Finalmente
dT
el calor “acumulado”2 es Q = mCp
.
d
Remplazando en el balance general se tiene:
Qx
KA
dT
jx
dx
Qx+
KA
x
+ QG = Qacum
dT
jx+
dx
x
+Q
yz x = mCp
dT
d
Expresando la masa en términos de densidad:
KA
dT
jx
dx
KA
dT
jx+
dx
x
+Q
A x = A xCp
dT
d
2
Recuerde que según la termodinámica, el calor no se acumula sino que esa energía almacenada es
un cambio de entalpía denominada calor sensible.
ECUACIÓN GENERAL DE CONDUCCIÓN
34
Reordenando y tomando el límite cuando
KA
dT
jx
dx
KA
x tiende a cero.
dT
jx+
dx
x
+Q
x
8
dT
>
>
< KA dx jx
l m x!0
>
>
:
0
dT
KA
jx+
dx
x
d@KA
1
dT
A
dx
dx
+Q
x
A = ACp
9
>
>
=
>
>
;
A = ACp
+Q
dT
d
A = ACp
dT
d
dT
d
Si la conductividad térmica y el área permanecen constantes se tiene:
KA
d2 T
+Q
dx2
A = ACp
dT
d
(2.21)
Conocida como la ecuación general de conducción en una dimensión.
2.6.2. Ecuación general de conducción en tres dimensiones.
Realizando un análisis similar al anterior pero considerando entradas y salidas de calor
en x; y y z, se puede encontrar que la expresión resultante es
KA
@2T
@2T
@2T
+
+
@x2
@y 2
@z 2
+Q
A = ACp
dT
d
(2.22)
Considerando el área constante y reorganizando la expresión puede ser escrita.
n
@2T
@x2
+
@2T
@y 2
+
ECUACIÓN GENERAL DE CONDUCCIÓN
@2T
@z 2
o
+
Q
=
K
1 dT
K d
ACp
35
Donde
K
se conoce con el nombre de difusividad térmica ( ).
ACp
Según las condiciones bajo las cuales se aplique la ecuación, algunos términos de esta
pueden desaparecer, para el caso en el que la temperatura del alimento no cambia con el
tiempo, es decir cuando el comportamiento es en estado estacionario, el término del
lado derecho de la igualdad desaparece, de tal forma que la expresión es:
KA
@2T
@2T
@2T
+
+
@x2
@y 2
@z 2
+Q
A=0
(2.23)
Conocida con el nombre de Ecuación de Poisson.
Si además de presentarse en estado estacionario, no hay generación de energía, la
ecuación es:
KA
@2T
@2T
@2T
+
+
@x2
@y 2
@z 2
=0
(2.24)
Denominada Ecuación de Laplace.
A continuación se estudiará el ‡ujo de calor por conducción en estado estacionario es
decir cuando la temperatura no cambia con el tiempo.
2.7. Flujo de calor bidimensional en estado estacionario.
o
n 2
2
Para analizar el ‡ujo de calor bidimensional puede ser utilizada la ecuación @@xT2 + @@yT2 ,
sin embargo en la mayoría de las ocasiones resulta complicado resolver la ecuación diferencial. Por esta razón se han desarrollado métodos grá…cos que permiten reducir este
problema a un sistema unidimensional como lo muestra [7] o [6].
Este método se basa en la construcción de una malla que divide el objeto de estudio en
pequeños bloques que se encuentran en arreglo en serie y paralelo, facilitando el cálculo.
Para trazar la malla se seguían las siguientes pautas:
FLUJO DE CALOR BIDIMENSIONAL EN ESTADO ESTACIONARIO.
36
1. Establecer el diagrama que representa el problema indicando las temperaturas del
sistema y el ‡ujo de calor.
2. Se trazan líneas isotérmicas paralelas a las temperaturas.
3. Se trazan líneas de ‡ujo de calor perpendiculares a las isotermas.
4. Las distancias entre las líneas isotérmicas y las de ‡ujo de calor deben ser aproximadamente iguales.
Con el …n de mostrar el análisis grá…co, suponga un horno cuadrado, con un centro
cilíndrico como el que se indica en la …gura 2 19.
Figura 2-18 Diagrama ejemplo para calor bidimensional en estado estacionario
Tomando la cara frontal del horno, se seguirá el protocolo anteriormente descrito para
realizar la malla.
Tomando la cara frontal del horno, se seguirá el protocolo anteriormente descrito para
realizar la malla.
1. Establecer el diagrama que representa el problema indicando las temperaturas del
sistema y el ‡ujo de calor.
2. Se trazan líneas isotérmicas paralelas a las temperaturas. Teniendo en cuenta los
lugares donde se tienen las temperaturas, es de suponer que las líneas de temperatura
constante se formarán de adentro hacia afuera, inicialmente similares a un circulo y
…nalmente formando el cuadro.
FLUJO DE CALOR BIDIMENSIONAL EN ESTADO ESTACIONARIO.
37
Figura 2-19 Determinación del ‡ujo de calor.
Figura 2-20 Líneas de temperatura constante.
3. Se trazan líneas de ‡ujo de calor perpendiculares a las isotermas.
Por simetría se puede tomar una de las seis secciones de todo el horno.
Si en el diagrama se tienen las siguientes convenciones.
Tc es el delta de temperatura para un cuadro.
x
y para cualquier cuadro.
K es la conductividad térmica.
L es el largo del horno.
M número de sendas de ‡ujo de calor.
N número de Tc que cruzan el cuerpo.
Qc es el ‡ujo de calor en un cuadro.
Tomando un solo cuadro de toda la malla, se encuentra que:
FLUJO DE CALOR BIDIMENSIONAL EN ESTADO ESTACIONARIO.
38
Figura 2-21 Representación de las líneas de ‡ujo de calor.
Se puede calcular el ‡ujo de calor para un cuadro a partir de la ecuación 2.1, de tal
Tc
forma que se tiene Qc = K xL
;si el diagrama cumple que x = y entonces
y
Qc =
KL Tc :
T2 T1
Tc =
, luego el ‡ujo de calor para un
N
T2 T1
KL
N
Como se puede ver en el diagrama,
cuadro puede ser escrito como.Qc =
Por otra parte, todas las sendas de calor se encuentran en paralelo, por lo tanto el ‡ujo
T2 T1
total de calor esta dado por Qs = M Qc luego Qs = M
KL
Reorganizando.
N
ML
Qs = K
(T2 T1 )
N
Considerando todos los aspectos geométricos (L; M; N ) y agrupándolos en un solo
término denominado el factor de forma (S), …nalmente se tendrá la ecuación
Qs =
KS (T2
T1 )
(2.25)
Debido a que existen geometrías como las paredes, los …los y las esquinas muy comunes
en la resolución de problemas en dos dimensiones, existen ya tabulados factores de forma
para esas geometrías especí…cas, como se muestra en la Cuadro 2 4.
Tomado de: [7]
Ejemplo 2 5. Realice el cálculo del ejercicio 2-4, considerando ‡ujo de calor en las dos
dimensiones.
FLUJO DE CALOR BIDIMENSIONAL EN ESTADO ESTACIONARIO.
39
Figura 2-22 Selección de la simetría en la elaboración de la malla para ‡ujo de calor en dos
dimensiones.
Figura 2-23 Flujo de calor en un cuadro de a malla.
Respuesta: Retomando la geometría de la Figura 2 15, se tiene un horno de paredes
cuadradas, de longitud 2m y ancho 5cm. El material tiene una conductividad térmica
de 0;81W=m C, con temperatura exterior de 15 C e interior 120 C. Se puede encontrar
entonces que el horno tiene 6 paredes, 12 …los y 4 esquinas.
Paredes: teniendo como base el 2.4 se puede decir que:
El área de la pared esta dada por la longitud del horno, restando el área de los …los y
las esquinas:
A = (Lhorno 4 Espesor)2
A = (2m 4 0;05m)2 = 3;24m2
FLUJO DE CALOR BIDIMENSIONAL EN ESTADO ESTACIONARIO.
40
Cuadro 2.4 Factores de forma de conducción para diferentes geometrías
Sistema físico
Pared plana
Filo
Esquina
Factor de forma
S =A
L
S = 0;54L
L > 15 x
S = 0;15 x
Restricciones
Flujo de calor
unidimensional
Temp. uniformes
en la super…cie
interior y exterior
Esquema
x << L
L es la longd
de la pared
Finalmente el calor de una pared es
Qpared =
KS (T2
T1 ) =
KA
(T2
L
T1 ) =
0;81 mWC
3;24m2
0;05m
(15 C
120 C)
Qpared = 5511;2W
El calor por paredes:Qparedes = 6
Qpared = 6
5511;2W = 33067:W
Filos: por el 2.4 se tiene que el ‡ujo de calor es: Qf ilo =
K
0;54L
(T2
T1 )
El valor de la longitud corresponde a la longitud de la arista del horno menos dos
veces el espesor de una esquina.
L = Lhorno
2
Espesor = 2m
2
0;05m = 1;9m
Luego el calor de un …lo es:
Qf ilo =
0;81 mWC
0;54
1;9m
Para todos los …los: Qf ilos = 12
Esquinas: por el 2.4 se tiene que
(15 C
120 C) = 87;261W
Qf ilo = 12
87;261W = 1047;1W
x = 0.05 m:
FLUJO DE CALOR BIDIMENSIONAL EN ESTADO ESTACIONARIO.
41
Figura 2-24 Esquema de las paredes, …los y esquinas del ejemplo 2-5.
Qesqu ina =
K
0;15 x
(T2
T1 ) =
0;81 mWC
0;15
0;05m
(15 C
120 C)
Qesqu ina = 0;63788W
El total de esquinas es: Qesqu inas = 8
Qesqu ina = 8
0;63788W = 5;103W
El calor total es la suma del calor por paredes, …los y esquinas.
Qtotal = Qparedes + Qf ilos + Qesqu inas = 33067:W + 1047;1W + 5;103W = 34119:W
En comparación con el resultado obtenido del ejemplo 2-4 se tiene:
Dif erencia =
QtotalEj2
5
QtotalEj2
QtotalEj2
Dif erencia =
4
100
5
34119:W 40824:W
34119:W
100 = 19;652 %
El cálculo del ‡ujo de calor en dos dimensiones con respecto a la primera aproximación
discrepa en un 19;6 %
FLUJO DE CALOR BIDIMENSIONAL EN ESTADO ESTACIONARIO.
42
Ejercicios.
1. Calcular el per…l de temperaturas para una pared plana cuya conductividad térmica
varía linealmente con la temperatura.
2. Demostrar que el ‡ujo de calor en una esfera hueca puede ser calculado como 2.19:
3. Si se tiene una semiesfera de radio interior rint = 1 ft y exterior rext = 1.2 ft, en
donde se almacena amoniaco a –15 C. encontrar, el ‡ujo de calor si la conductividad
térmica es de 1.2 Btu/(h ft F) y la temperatura exterior de la pared es de 12 C
4. Calcular el ‡ujo de calor en el siguiente esquema: a = 1 m, espesor 10 cm y K = 1
W/m C. T = 20 C
FLUJO DE CALOR BIDIMENSIONAL EN ESTADO ESTACIONARIO.
43
3. CONVECCIÓN
Como se indicó en el capítulo uno la forma predominante de transferencia de calor a
través de medios ‡uidos es la convección.
Este mecanismo de transferencia consiste en que cuando se tiene una diferencia de
temperatura dentro de un ‡uido, se produce un movimiento de partículas, las cuales
también trans…eren calor de una parte del ‡uido a otra, lo cual se denomina convección.
Existen dos formas de convección la primera según Manuel [11], “una super…cie se pone
en contacto con un ‡uido a distinta temperatura se produce, en los primeros instantes,
una transmisión de calor por conducción, pero una vez que el ‡uido en contacto con la
super…cie modi…ca su temperatura sufre una diferencia de densidad respecto al resto del
‡uido, que hace que sea desplazado por éste al actuar las fuerzas gravitatorias, lo que
incrementa la transferencia del calor en una magnitud muy superior al de la mera conducción.”A este tipo de convección se le conoce con el nombre de Convección natural.
El segundo tipo de convección se diferencia en que el movimiento del ‡uido se debe a
un mecanismo externo como agitadores, a este fenómeno se le conoce como Convección
forzada.
Debido a que la conducción es un mecanismo enteramente aplicado a los ‡uidos, se
tienen algunos problemas para la aplicación de la ley de Fourier como son.
¿Cómo determinar la longitud de transferencia de calor?
Si la velocidad de transferencia de calor esta determinada por el grado de movilidad
de las partículas, ya no es posible aplicar el concepto de conductividad térmica.
Con el …n de superar estos inconvenientes se estableció un coe…ciente de transferencia
de calor (h) denominado coe…ciente convectivo o coe…ciente de película, de forma tal que
la expresión de Fourier es expresada como:
Q = hA T
(3.1)
De tal forma que las dimensiones de h son de energía por unidad de área, tiempo y
temperatura L2E T
Aplicando el concepto de resistencia se puede encontrar para convección su valor esta
determinado por la ecuación:
CONVECCIÓN
44
R=
1
hA
(3.2)
Ejemplo 3 1:Por una tubería de acero (Kacero = 26 hfBtu
) de 2in de diámetro nominal,
t F
circula vapor saturado a una temperatura de 300o F . Si el tubo está recubierto con 0;5in de
aislante para tubería (Kaislante = 0;051 hfBtu
) y la temperatura del ambiente es de 70o F .
t F
Encuentre las pérdidas de calor por pie de tubería y la temperatura sobre el aislante, si
el coe…ciente convectivo del aire tiene la siguiente expresión h = 1;13 (T3 T1 )0;13
Nota: Considere que la temperatura del vapor es igual a la temperatura interna de la
tubería,
Respuesta: Para una tubería de acero de 2inde diámetro nominal se encuentra en la
tabla 11 de la [9] que DI = 2;067in, DE = 2;38in, si el espesor del aislante es de 0;5in
entonces DT = 3;38in:
Analizando el sistema se encuentra que la tubería, el aislante y el aire se encuentren
en serie detal forma que:
QT = Qtuberia = Qaislante = Qaire
QT =
T
T
=
RT
Rtuberia + Raislante + Raire
Qtuberia =
CONVECCIÓN
T2 T1
T3 T2
T1 T3
; Qaislante =
; Qaire =
Rtuberia
Raislante
Raire
45
Rtuberia =
DT
log DE
log DE
1
DI
; Raislante =
; Raire =
2 Ktuberia L
2 Kaislante L
hA
Remplazando los valores dados en el enunciado se encuentra que:
2;38in
log 2;067in
F
= 8;631 2 10 4 hBtu
Rtuberia =
Btu
2
26 hf t F 1f t
log
Rtuberia =
2
3;38in
2;38in
0;051 hfBtu
t F
1f t
F
= 1;094 7 hBtu
Finalmente remplazando en las ecuaciones de transferencia de calor se tiene:
h = 1;13 (T3 T1 )0;13
[1]
1
1
Raire =
=
[2]
hA
h 0;8848f t2
T2 300 F
[3]
Qtuberia =
F
8;631 2 10 4 hBtu
T3 T2
Qaislante =
[4]
F
1;094 7 hBtu
70 F T3
Qaire =
[5]
Raire
QT = Qtuberia = Qaislante = Qaire
[6]
De acuerdo a lo anterior se tiene un sistema 6 ecuaciones con 6 variables, lo que
india que es un sistema que tiene solución, sin embargo debido a la naturaleza de las
ecuaciones, es difícil aplicar los métodos tradicionales de resolución. Cuando se tienen
sistemas de ecuaciones con estas características se pueden aplicar varios métodos dentro
de los cuales están:
Ensayo y error
Grá…co.
Resolución por ensayo y error:
Por este método se puede seguir el siguiente protocolo de cálculo.
1. Suponer T3 .
2. Calcular el coe…ciente convectivo de calor h .
3. Calcular RAire .
4. Encontrar QAire .
5. Encontrar T2
CONVECCIÓN
46
3.1. Determinación del coe…ciente convectivo.
Como se indico anteriormente el coe…ciente convectivo dependerá del tipo de ‡uido,
es decir de sus propiedades como densidad ( ), viscosidad ( ), capacidad calorí…ca (Cp) y
conductividad térmica (K), también será función de la geometría mediante una longitud
característica (L) y la el movimiento del ‡uido con una velocidad (V ).
De tal forma que h = f (V; ; Cp; L; K; ), si se realiza una combinación de estas
variables se puede generar la siguiente expresión.
h=Va
b
Cpd
L
Kf
g
(3.3)
Remplazando las dimenciones de cada variable:
E
L2 T
=
L a
M b
L3
E d
MT
L
E
LT
f
m g
L
Agrupando por dimensiones se tiene:
:
1=
a
f
g
[1]
E :1=d+f
L:
2=a
3b +
M :0=b
T :
1=
[2]
f
d+g
d
g
[3]
[4]
f
[5]
Del anterior sistema de ecuaciones se encuentra que tiene 5 ecuaciones de las cuales 4
son linealmente independientes y 6 incógnitas, luego es necesario establecer dos variables
para poder encontrar una solución.
Tomando a y f como los valores …jos se puede encontrar que:
De [1] g = 1
De [2] d = 1
f
f
a
[6]
[7]
Remplazando [6] y [7] en [4]se tiene: 0 = b
a;luego b = a [8]
DETERMINACIÓN DEL COEFICIENTE CONVECTIVO.
47
De [3] se tiene = a
1
Remplazando los valores en la ecuación 3.3 se tiene:
h=Va
a
Cp1
f
La
1
Kf
1 f a
Agrupando por exponentes se tiene:
hL
=
K
V L
a
Cp
K
1 f
Si la longitud característica es equivalente al diámetro (D)
hL
=
K
V L
a
Cp
K
1 f
(3.4)
En la ecuación 3.4 se pueden reconocer tres números adimensionales
hL
V L
Cp
, Reynolds Re =
; , Prandtl: Pr =
K
K
Partiendo de la ecuación 3 3, varios trabajos han desarrollado expresiones que son
ampliamente referenciada para calcular el número de Nussel, como las citadas en [7] y [6],
a continuación se presentarán algunas.
Nussel: N u =
3.1.1. Modelos para la determinación del coe…ciente convectivo en convección forzada.
Los modelos más usados para el Nu se encuentran para el ‡ujo turbulento dentro de
tubos lisos, algunas correlaciones para el cálculo de Nu con porcentajes de error varían
entre +25 y –40 % son:
Dittus y Boelter. ([6])
N u = 0;023 Re0;8 Pr0;4 para calentamiento.
N u = 0;023 Re0;8 Pr0;3 para enfriamiento.
Debido a que la viscosidad dentro del ‡uido cambia con la temperatura, existen otras
expresiones que introducen un término que permite evaluar dicho efecto.
Colburn. ([6])
DETERMINACIÓN DEL COEFICIENTE CONVECTIVO.
48
1
N u = 0;023 Re0;8 Pr 3
Debido a que la viscosidad dentro del ‡uido cambia con la temperatura, existen otras
expresiones que introducen un término que permite evaluar dicho efecto.
Seider y Tate: ([7])
0;14
1
N u = 0;023 Re0;8 Pr 3
Donde:
w;
w
es la viscosidad a la temperatura de la pared del tubo.
Petukhov: ([7]): se encuentra dentro de las correlaciones con rangos de error más
pequeños de cerca del 5 %
f
Re Pr
8r
Nu =
2
f
1;07 + 12;7
Pr 3
8
f
Re Pr
8r
Nu =
2
f
1;07 + 12;7
Pr 3
8
f
Re Pr
8r
Nu =
2
f
1;07 + 12;7
Pr 3
8
0;14
para calentamiento.
w
1
0;25
para enfriamiento.
w
1
para ‡ujo de calor constante o en gases.
1
Donde:f = (1;82 log10 Re 1;64)
2
Según [7] dicha expresión debe ser trabajada dentro de los siguientes rangos:
0;08
40
w
5
103
Re
2
Pr
140
1;25
105
Para convección en ‡ujo laminar se ha encontrado expresiones como:
Hausen ([6])
DETERMINACIÓN DEL COEFICIENTE CONVECTIVO.
49
N u = 3;66 +
0;0668
1 + 0;04
d
L
Re Pr
d
L
Re Pr
2
3
Seider y Tate: ([7])
N u = 1;86 (Re Pr)
1
3
d
L
0;14
1
3
w
Donde:
L es la longitud de la tubería.
D es el diámetro de la tubería.
Otros modelos se pueden encontrar en:
Calculation of the individual heat transfer coe¢ cient.
http://www.livstek.lth.se/People_list/ulfb/b9_heat.htm
Forced Convection and Natural Convection Equations
http://lyre.mit.edu/3.185/2001/handout-nusselt.doc
3.1.2. Modelos para la determinación del coe…ciente convectivo en convección natural.
A diferencia de la convección forzada el número de Nussel en la convección natural es
función del número de Grashof (Gr) y Prandtl (Pr), de forma tal que la expresión general
es: N u = C (Gr Pr)m
Como lo indica [6], los modelos para el cálculo del número de Nussel dependen en gran
medida de la geometría del sistema, en la tabla 7.1 del mismo libro se indican los valores
de C y m para diferentes geometrías y valores de Gr y Pr.
Ejemplo 3 2: Con el …n de preparar una salmuera, como líquido de gobierno de un
enlatado, se calientan 40kg=s de agua desde 5 C hasta 80 C, haciéndola pasar a través
de un tubo de cobre de 5cm de diámetro interior. Si la temperatura de la pared del tubo
es de 90 C y se mantiene constante ¿Cuál será la longitud del tubo?
Solución:
Organizando la información del ejercicio se tiene que:
DETERMINACIÓN DEL COEFICIENTE CONVECTIVO.
50
M = 4 Kg/s.
D = 5 cm = 0.05 m
Fluido = agua.
Tf in = 80 C
Tini = 5 C
Tw = 90 C
Debido a que el agua cambia de temperatura a lo largo de la tubería, es necesario
calcular la temperatura promedio.
T =
80 C + 5 C
Tini + Tf in
=
= 42;5 C
2
2
Con el …n de determinar los valores de Re y P r se determinan las propiedades físicas
del agua a la temperatura promedio
Densidad: Para encontrar el valor de la densidad del agua se puede acudir a las tablas
de vapor en donde se tabula el volumen especí…co para el agua a diferentes temperaturas.
De Smith, Van Ness, Abbott. 2000. el volumen especí…co es de 1;0085cm3 =gr es decir
= 0;9915gr=cm3 o 991;5Kg=m3 .
Conductividad térmica: El mismo libro indica que el cambio de la conductividad térmica del agua con respecto a la temperatura se puede expresar como:
K=
3;838
10
1
+ 5;254
10
3
T + 6;09
10
6
T2
Donde:
K: es la conductividad térmica W/(m K)
T: es la temperatura en K.
K=
3;838
10
1
+ 5;254
10
3
(42;5 + 273;15) + 6;09
10
6
(42;5 + 273;15)2
W
K = 1;8814 mK
Capacidad calorí…ca: Tomando la expresión de la capacidad calorí…ca de S Smith, Van
Ness, Abbott. 2000 se tiene que:
Cp
= 8;712 + 1;25
J
8;314 molK
10
J
Cp = 8;314 molK
8;712 + 1;25
J
Cp = 75;563 Kmol
1mol
18g
3
T
10
0;18
3
10 6 T 2
(315: 65)
0;18
10
6
(315: 65)2
J
= 4;1979 Kg
DETERMINACIÓN DEL COEFICIENTE CONVECTIVO.
51
Viscosidad: Según Smith, Van Ness, Abbott. 2000, la expresión de la viscosidad para
el agua es:
log ( ) =
24;71 +
4;209 103
+ 4;527
T
10 2 T
log ( ) =
24;71 +
4;209 103
+ 4;527
(315;65) K
10
log ( ) =
0;44981
2
3;376
10 5 T 2
(315;65)
3;376
10
5
(315;65)2
= 0;63775cP = 0;063775 Kg
ms
Para calcular la velocidad de ‡ujo se recurre a la ecuación de continuidad M = A
: Luego V =
V
M
A
40 Kg
s
V =
(0;05m)
4
2
991;5 Kg
m3
Calculando el Re Re =
DV
= 20;546
m
s
0;05m 20;546
=
m
s
991;5Kg=m3
0;063775 Kg
ms
= 15971:
Re > 10000 el ‡ujo es turbulento.
Calculando Pr: Pr =
Cp
K
=
J
4197;9 KgK
0;063775 Kg
ms
J
1;8814 smK
= 142;30
Tomando la expresión de Dittus y Boelter, para calentamiento: N u = 0;023 Re0;8 Pr0;4 ,
se encuentra que:
N u = 0;023 (15971:)0;8 (142;30)0;4 = 385;19
Sabiendo que: N u =
hD
,
K
entonces: h =
K Nu
D
W
385;19
1;8814 mK
W
h=
= 14494
0;05m
Km2
Realizando un balance de energía se encuentra que a perdida de calor sensible del
líquido debe ser igual al calor retirado por convección.
M
Cp
t = hA T
DETERMINACIÓN DEL COEFICIENTE CONVECTIVO.
52
40 Kg
s
4;1979 KgJ C
hA T =
(80 C
J
14494 sKm
2
5 C) = 12594;0 Js
12594;0 Js
((90 + 273;15) K
(42;5 + 273;15) K)
= 1;82287
10 2 m2
Si el área de transferencia de calor se puede determinar como: A = 2 rL , se encuentra
entonces que:
2
0;05m
2
L = 1;82287
10 2 m2
L = 0;116m
DETERMINACIÓN DEL COEFICIENTE CONVECTIVO.
53
4. CONVECCIÓN Y CONDUCCIÓN EN ESTADO ESTACIONARIO
Partiendo de los conceptos de conducción y convección tratados anteriormente, se
presentarán a continuación algunos casos para los cuales se requiere el estudio de los dos
mecanismos de transferencia de calor simultáneamente, cuando el proceso se lleva a cabo
en estado estacionario, en el capitulo 5 se abarcaran los casos para sistemas en los cuales
la temperatura cambia con el tiempo.
4.1. Cálculo del espesor óptimo para un aislante de tubería.
En muchas ocasiones el la practica de ingeniería es necesario calcular el espesor de un
aislante para recubrir una tubería, tal es el caso cuando se necesita llevar vapor desde la
caldera hasta el autoclave por ejemplo.
Para poder realizar este cálculo se hará el siguiente análisis:
Las pérdidas de calor en términos generales puede ser expresada por la ley de Fourier,
la cual indica que el ‡ujo de calor es directamente proporcional a la conductividad termina,
a la diferencia de temperaturas, al área de transferencia pero inversamente al recorrido
del ‡ujo de calor.
Sin embargo para el caso del aislante entre mayor sea el espesor, mayor será el área
expuesta al aire, de tal forma que se puede intuir, que existen valores para el radio externo
del aislante que lejos de disminuir la perdida de calor, logran el efecto totalmente contrario.
Con el …n de realizar un análisis que permita dilucidar algún valor para el radio externo
se tomara el caso mostrado en la …gura.
Donde:
CONVECCIÓN Y CONDUCCIÓN EN ESTADO ESTACIONARIO
54
Figura 4-1 Esquema para el análisis del espesor para una tubería.
T1
T1
rExt
rInt
Q
Es la temperatura del aire.
Es la temperatura del interior de la tubería.
Es el radio externo del aislante.
Es el radio interno del aislante o el radio externo de la tubería.
Es el ‡ujo de calor
Para este caso la pérdida de calor esta dada por dos mecanismos, la conducción en la tu2 KL (T1 T0 )
bería y el aislante, cuyo ‡ujo de calor se puede calcular como: Q =
;para
r1
Ln
r0
la convección el ‡ujo de calor es: Q = hA T .
Como se ve en la …gura el ‡ujo de calor de la tubería esta en serie con la del aislante
térmico y con la del aire luego:
Como se ve en la …gura el ‡ujo de calor de la tubería esta en serie con la del aislante
térmico y con la del aire luego:
CÁLCULO DEL ESPESOR ÓPTIMO PARA UN AISLANTE DE TUBERíA.
55
QT otal = QT ub = QAis = QAire
RT otal = RT ub + RAis + RAire
Finalmente si se compara la conductividad térmica de la tubería con la del aislante,
se pude decir que KT ub >> KAis , luego RT ub << RAis , luego la resistencia total se puede
expresar como: RT otal = RAis + RAire
El problema se reduce entonces a calcular determinar el RExt que reduce al mínimo
las perdidas de calor.
Tradicionalmente este problema se ha analizado desde el punto de vista contrario, es
decir, que radio produce la mayor pérdida de calor, de esta forma se estará estableciendo
un parámetro que indica cual es el peor espesor del aislante que se puede utilizar.
Para hacer este análisis se puede estudiar directamente el valor de la resistencia total
del sistema, ya que el mínimo valor de la resistencia, arrojara el máximo ‡ujo de calor.
El mínimo valor de la resistencia se calcula como sé realiza tradicionalmente en cálculo,
determinando el cambio de la resistencia con respecto al rExt y luego igualándolo acero.
dRT otal
=0
drExt
Luego:
r
1
r0
+
2 KL
2h rL
Ln
RT otal =
0
Derivando
r
B log
B
B
r0
B
dB
B 2 KL
B
@
dr
BUscando el mínimo:
Finalmente : r =
1
C
C
1 C
C
+
C
2h r C
C
A
1
2 KLr
=
1
2 KLr
1
2 hLr2
1
=0
2 hLr2
K
h
Sin embargo hasta el momento se ha acotado el valor del radio de forma tal que se tiene
el criterio sobre cual es el radio que no se debe usar ya que causa las mayores pérdidas de
calor.
CÁLCULO DEL ESPESOR ÓPTIMO PARA UN AISLANTE DE TUBERíA.
56
Pero cual es el criterio para determinar el radio óptimo de aislamiento. Las razones
para su de…nición son principalmente de índole económico. En todos los procesos de producción existen los costos …jos y variables. Los primeros son aquellos que no dependen
del volumen de producción, como la depreciación de quipos, los costos variables si dependen del volumen de producción, como ejemplo se puede indicar los costos dados por el
consumo de combustible para la producción de vapor de esterilización.
En la …gura 4-2 se presenta un esquema del comportamiento de los costos con respecto
al radio exterior del aislante.
Figura 4-2 Comportamiento de los costos con respecto al radio externo del aislante.
De acuerdo con la …gura anterior el radio que se debe elegir para el aislamiento de la
tubería debe ser aquel que produzca los menores costos.
CÁLCULO DEL ESPESOR ÓPTIMO PARA UN AISLANTE DE TUBERíA.
57
4.2. Super…cies extendidas o aletas.
En algunas ocasiones existen equipos de transferencia de calor que necesitan grandes
áreas de transferencia pero que deben ocupar poco espacio. Para poder resolver este tipo de
inconvenientes, se diseñaron dispositivos encargados de aumentar el área de transferencia
de calor los cuales son llamados super…cies extendidas o aletas.
Las aletas que con mayor facilidad se recuerdan son las de los radiadores para calentamiento de ambientes 4-3
Figura 4-3 Radiador para ambientes
Tomado de: http://www.icanpuig.com/calefaccions.htm
Tipos de aletas:
Las aletas se pueden dividir así:
Aletas longitudinales: aquellas que tienen el mismo sentido que la tubería.4-4(A)
Aletas Transversales: aquellas que forman un ángulo de 90 grados con respecto a
la tubería. 4-4(B)
SUPERFICIES EXTENDIDAS O ALETAS.
58
Figura 4-4 Esquema para el tipo de aletas. (A) longitudinales. (B) transversales.
Aletas de área variable: Mantienen tanto el espesor como su longitud constantes
4-4 (A)
Aletas se área variable: O el espesor o la longitud cambian. 4-4 (B)
Para calcular el ‡ujo de calor en una aleta es necesario realizar un balance de energía
diferencial a lo largo de ésta.
Partiendo del balance general y asumiendo estado estacionario, se encuentra que:
Qentrada = Qsalida
Si el calor de entrada es,Qentrada = Qx y el calor de salidaQsalida = Qx+
x
Luego el balance puede ser escrito como:
Qx = Qconveccion + Qx+
x
Si el calor por conducción esta dado por la ecuación 3.1, y el area de transferencia de
calor es A = P
x:se encuentra que
Qconveccion =
h
P
x
(T1
T)
Remplazado en la ecuación de balance:
Qx =
Qx
h
Qx+
P
x
=
x
h
(T1
P
T ) + Qx+
x
(T1
SUPERFICIES EXTENDIDAS O ALETAS.
x
T)
59
Figura 4-5 Balance de energía para una aleta.
Pasando
Qx+
lm
x al lado izquierdo y tomando el límite cuando tiende a cero, se tiene:
Qx
x
=h
x
dQ
=h
dx
P
(T1
P
(T1
T)
T)
Como Q entra y sale por conducción
d
KA dT
dx
=h
dx
P
(T1
T)
La anterior ecuación determinará el per…l de temperaturas para una aleta con cualquier
tipo de geometría.
En el caso de una aleta con área constante como en la4-4 (A), se puede encontrar que:
KA
d2 T
=h
dx2
SUPERFICIES EXTENDIDAS O ALETAS.
P
(T
T1 )
(4.1)
60
Slucionando el per…l de temperaturas para en aleta de area cosntante como en la …gura
4-6, se tiene:
Figura 4-6 Esquema para una aleta con área constante.
La ecuación 4.1 se puede expresar de la siguiente forma:
KA
d2
=h
dx2
Donde:
P
=T
T1
La ecuación tiene la solución general de la siguiente forma:
= C1 exp
1
x
AK
= C1 exp x
q
p
1
x
AK
AKP h + C2 exp
Ph
AK
+ C2 exp
x
q
p
AKP h o
Ph
AK
Y por ser una ecuación de segundo orden las constantes deben estar de…nidas por dos
condiciones, el la literatura normalmente se reconocen tres casos típicos para aletas, los
cuales se explicarán a continuación.
CASO I.
Este caso supone que la longitud de la aleta es in…nita, lo cual implica en la práctica
que el espesor de la aleta es muy pequeño en comparación a su longitud (L1 << L)y que
las temperaturas son: T jx=0 = T0 y T jx=L = T1 :Ver Ejemplo 1.
SUPERFICIES EXTENDIDAS O ALETAS.
61
Con el …n de calcular C1 y C2 es necesario remplazar las condiciones, de la siguiente
forma:
Para x = 1
q
q
Ph
Ph
1 AK
(T1 T1 ) = C1 exp 1 AK + C2 exp
(T1
q
T1 ) = C1 exp 1
Luago C1 = 0
Ph
AK
De la segunda condición se puede encontrar que: x = 0
q
Ph
(T0 T1 ) = C2 exp
0 AK
C2 = T0 T1
Finalmente:
(T
(T0
T1 )
= exp
T1 )
x
r
Ph
AK
!
(4.2)
CASO II.
Este caso supone que la longitud de la aleta es …nita, pero se espera que el área rayada
en la …gura 4-7, no sale ‡ujo de calor por conducción, es decir Q =
lo cual se requiere que dT
j =0
dx x=L
KA dT
j = 0, para
dx x=L
Figura 4-7 Representación del esquema de la aleta para el caso 2.
SUPERFICIES EXTENDIDAS O ALETAS.
62
Partiendo de estas condiciones de frontera se puede establecer por un procedimiento
similar al anterior que la expresión del per…l de temperatura esta determinada por:
p Ph
p Ph
exp x AK
exp x AK
(T T1 )
p Ph +
p Ph
=
1+exp L AK
+1
exp 2 AK
(T0 T1 )
Que puede ser expresada como:
(T
(T0
T1 )
=
T1 )
cosh
q
Ph
AK
(L
q
cosh
x)
(4.3)
Ph
L
AK
CASO III.
El caso tres es el que se aproxima más a la realidad, ya que supone que en la pared
rallada de la …gura 4-7, el ‡ujo de calor por conducción se iguala al ‡ujo de calor por
convección, de tal forma que: Q =
KA dT
j =
dx x=L
hA (T1
T)
El per…l de temperaturas está dado entonces por:
(T
(T0
T1 )
=
T1 )
cosh
q
Ph
AK
cosh
(L
q
x) +
Ph
L
AK
+
p Phh
K
AK
h
p Ph
AK
K
sinh
sinh
q
q
Ph
AK
(L
x)
(4.4)
Ph
L
AK
Partiendo de los tres casos anteriores es posible evaluar el ‡ujo de calor disipado por
una aleta, de dos formas diferentes:
La primera reconoce que el calor que disipa una aleta, entra por conducción en el
extremo donde x = 0, luego el calor total es: Q =
KA dT
j
dx x=0
La segunda forma consiste en indicar que todo el ‡ujo de calor que disipa una aleta
es liberado por convección, luego será la suma de todos los ‡ujos de calor por convección
R x=L
en la super…cie de la aleta: Q = x=0 hP (T1 T ) dx.
A continuación se realiza el procedimiento para el caso I por ambos métodos.
Caso I.
Partiendo de la ecuación4.2 se puede decir que
SUPERFICIES EXTENDIDAS O ALETAS.
63
T = (T0
T1 )
T1
T0 T1
+e
T1
T0 T1
T1 )
p
KA dT
dx
Si se asume que :Q =
d (T0
x
1
Ph
AK
jx=0 y m =
hP
AK
xm
+e
= mT1 e
dx
Evaluado en x = 0 se tiene:
Por tanto: Q =
q
mx
mT0 e
dT
jx=0 = mT1
dx
q
Ph
KA AK
(T1
T0 ) o Q =
mT0
p
KAP h (T1
Mediante el segundo procedimiento se tiene que:
p 1
R1
Q= 0
hP T1 (T0 T1 ) T0T1T1 + e x AK P h
R1
Q= 0
hP T1 (T0 T1 ) T0T1T1 + e xm dx
R1
Q = hP (T0 T1 ) 0 e mx dx
Q = hP (T0
T1 )
Q = hP (T0
T1 )
Q = hP (T0
T1 )
1
m
1
m
(e
m1
m0
e
mx
T0 )
dx
)
( 1)
p1P h
q AK
Q = hP (T0 T1 ) KA
Ph
p
Q = hpKA (T0 T1 )
Finalmente se encuentra que de ambas formas:
p
T1 )
hP KA (T0
T1 ) tanh (mL)
Q=
hpKA (T0
(4.5)
Por cualquiera de los procedimientos anteriores pero para los casos II y III se encuentra
que:
Caso II.
Q=
p
(4.6)
Caso III
SUPERFICIES EXTENDIDAS O ALETAS.
64
Q=
p
hP KA (T0
"
h
sinh (mL) + mK
cosh (mL)
T1 )
h
cosh (mL) + mK sinh (mL)
#
(4.7)
Con el …n de evaluar la e…ciencia de la aleta se establece la siguiente relación:
=
Calor real transferido por la eleta
Máximo calor transferido por la aleta
En donde el calor real es determinado por las ecuaciones 4.5, 4.6 y 4.7, que están
soportadas sobre el per…l de temperaturas y el calor máximo se encontrara cuando la toda
la super…cie de la aleta este a la temperatura T0 , ya que la diferencia de temperaturas en
todos los puntos será la mayor que se puede tener. Qmax = hP L (T0
T1 )
Por tanto para cada caso se tiene:
Caso I.
p
hP KA (T0 T1 ) q KA
=
= hP L2
hP L (T0 T1 )
Caso II
p
hP KA (T0
=
T1 ) tanh
hP L (T0
T1 )
q
hP
L
KA
=
q
AK
L2 P h
tanh L
q
1
Ph
AK
Caso III
p
=
hP KA (T0
T1 )
sinh
cosh
p hP
L
pAK
hP
AK
h
+ mK
cosh
h
L + mK
sinh
p hP
L
p AK
hP
AK
L
3
qhP L (T0 T1 )
q
hP
h
hP
L + mK cosh
L 7
AK
AK
1
6 sinh
q
q
q
5
4
h
hP
hP
hP
L
+
sinh
L
L
cosh
AK
mK
AK
AK
=
2
Para analizar cada uno de los modelos y compararlos entre sí, se pueden realizar los
per…les de temperatura para cada caso, variando la longitud de la aleta, que se encuentra
en la …gura 4-8.
Del análisis de las gra…cas anteriores se puede encontrar que:
SUPERFICIES EXTENDIDAS O ALETAS.
65
Cuadro 4.1 Per…les de temperatura para diferentes relaciones de longitud/espesor para aletas
L1 = 0;002m
Caso I
Caso II
Q =208;7W
= 26;06 Q =76;4W
= 0;95
L = 0;002m
Caso III
Q = 83;2W
= 0;95
L1 = 0;002m
Caso I
Caso II
Q =208;7W
= 26;06 Q =76;4W
= 0;95
L = 0;002m
Caso III
Q = 83;2W
= 0;95
SUPERFICIES EXTENDIDAS O ALETAS.
L1 = 0;002m
Caso I
Caso II
Q =208;7W
= 1;3
Q =134;7W
= 0;84
66
L = 0;02m
Caso III
Q = 139;3W
= 0;984
Figura 4-8 Representación esquematica para la comparación de los per…les de temperatura
en una aleta.
o
De…nición de una aleta in…nita: Como se puede ver en la tabla los per…les de
temperatura para el caso I solo se parece al caso III (El caso más real), cuando la altura
L1 de 0.002 m es 80 veces más pequeño que el largo, con lo cual se puede determinar un
criterio para la de…nición de una aleta in…nita.
o
Flujo de calor para cada caso: Para el caso I el ‡ujo de calor siempre es el
mismo, ya que al considerar longitudes in…nitas, no se tiene realmente encuenta el efecto
de la longitud sobre el calor disipado. Los casos II y III se diferencian en considerar la
transferencia de calor por convección en el área rayada, la cual sera depreciable cuanto
mayor longitud tenga la aleta, por tal razon a longitudes altas, el ‡ujo de calor para estos
dos casos se iguala (…gura E).
o
E…ciencia de la aleta para el caso cero: Se puede ver que para las tres ultimas
…guras el valor de la e…ciencia es máyor de 1, para el caso I, sin embargo al ver los
per…les de temperatura estos distan mucho de los modelos que más se aproximan a la
realidad.
o
Relación de la e…ciencia y la longitud: Comparando los valores de las e…ciencias
con respecto a la longitud de la aleta, se encuentra que al aumentar la longitud, disminuye
el valor de la e…ciencia, esto debido a que se tendrá una mayor área para la aleta que
realmente no está trans…riendo un ‡ujo de calor importante debido la poca diferencia de
temperatura que hay con el ambiente. Esto se puede observar claramente en el per…l E,
donde a partir de una longitud de 0.12 m, la temperatura de la aleta es prácticamente la
del ambiente.
Con los modelos también se puede analizar el efecto del valor de la relación entre la
conductividad térmica y el coe…ciente convectivo, como se muestra en la siguiente tabla.
Figura
SUPERFICIES EXTENDIDAS O ALETAS.
67
Del análisis de las gra…cas anteriores se puede encontrar que:
o
Descenso en la temperatura: en la grá…ca A todos los per…les de temperatura
coinciden, esto debido a que al tener una conductividad térmica muy baja, el calor que
pierde por conducción es mucho mayor que el se puede transmitir al interior de la aleta,
de tal forma que la longitud poco importa.
o
Comparación de los per…les: Se puede observar que a medida que aumenta el valor
de la conductividad térmica, los per…les de cada uno de los casos discrepan más, en especial
el caso I del II y III. Eso se puede explicar debido a que con conductividades térmicas
altas, el calor por conducción es mucho mayor al que se puede disipar por convección.
o
E…ciencia: Al aumentar la conductividad térmica, la e…ciencia aumenta ya las
temperaturas en la super…cie de la aleta serán más cercanas al To y por ende el calor se
acercara al máximo calor que se puede disipar.
SUPERFICIES EXTENDIDAS O ALETAS.
68
5. CONVECCIÓN Y CONDUCCIÓN EN REGIMEN NO ESTACIONARIO
En algunas ocasiones, como se indicó anteriormente la transferencia de calor implica
un cambio en la temperatura de los alimentos o materiales con el tiempo, como es el caso
de la esterilización de alimentos en un autoclave o la evaporación o concentración en una
marmita.
En este capitulo se estudiará básicamente los per…les de temperatura que se pueden
obtener al interior de un alimento durante un tratamiento térmico.
5.1. Determinación del per…l de temperaturas de un alimento.
Con el …n de establecer la variación de la temperatura al interior de un alimento, que
se encuentra en un ambiente cuya temperatura es constante, se debe acudir a la ecuación
general de balance de energía.2.22. Teniedo encuenta que el termino de Q
tiene:
KA
@2T
@2T
@2T
+
+ 2
@x2
@y 2
@z
= ACp
dT
d
A = 0;se
(5.1)
Haciendo el análisis para solo una dimensión espacial y la temporal se encuentra que
dT
=
dx2
d
d2 T
Dicha ecuación diferencial puede ser solucionada para el caso de una placa calentada
o enfriada, como la mostrada en la …gura 5-1, mediante la siguiente expresión 5-3
CONVECCIÓN Y CONDUCCIÓN EN REGIMEN NO ESTACIONARIO
69
Figura 5-1 Esquema para una placa calentada por convección.
T
Ti
Donde:
Los valores de
n
X
T1
=
e
T1
n=1
1
2
nF o
2 sin ( n ) cos n Lx
n + sin ( n ) cos ( n )
están determinados por la expresión. cot (
n)
(5.2)
=
n
hL
K
=
n
Bi
F o es el número de Fourier
T es la temperatura evaluada en cualquier punto al interior del alimento y en cualquier
tiempo.
T1 es la temperatura del medio.
Ti es la temperatura inicial de la placa.
X es la posición al interior del la placa.
Lc es la la distancia del centro a la super…cie de la placa.
Como se presenta en múltiples libros de transferencia de calor, (Karlecar y Manrique)
se pueden determinar los valores de n , encontrando los puntos de corte entre las siguientes
dos funciones, G (
n)
= cot (
n)
yF(
n)
=
n
Bi
, como se muestra en la siguiente …gura:
DETERMINACIÓN DEL PERFIL DE TEMPERATURAS DE UN ALIMENTO.
70
Figura 5-2 Determinación de los valores de
n
para diferentes valores de Bi.
De la …gura se pueden encontrar que:
1.
Los valores de aumentan a medida que aumenta n de tal forma que:
< 3 < 4 < ....
2.
En la medida en que Bi tiende a cero, los valores de 1 tienden a cero.
1
<
2
Para estudiar la forma del per…l de temperaturas con respecto al número de Biot, se
puede establecer la relación , la cual muestra diferencia de temperaturas entre la super…cie
de la placa y el medio, con respecto a la temperatura en el centro de la placa y el medio,
partiendo de la 5.2 se puede establecer que:
TL;
T0;
1
X
T1
= n=1
1
X
T1
n=1
e
e
2
nF o
2
nF o
2 sin ( n ) cos ( n )
n + sin ( n ) cos ( n )
2 sin ( n )
n + sin ( n ) cos (
(5.3)
n)
Para calcular los valores de la ecuación 5.3 para diferentes valores del número de Biot,
DETERMINACIÓN DEL PERFIL DE TEMPERATURAS DE UN ALIMENTO.
71
se puede realizar una aproximación con los primeros cinco valores de la serie, los valores
de se encuentran en la tabla .
De la …gura 5-3 se puede encontrar que el cambio entre la temperatura super…cial y la
del centro para valores de Bi menores a 0.1, son inferiores al 5 %, lo cual demuestra que
no hay un cambio signi…cativo en las temperaturas al interior de la placa, por el contrario
cuando el número de Biot tiende a in…nito la diferencia interna de temperaturas es muy
alta en comparación de la diferencia entre la temperatura super…cial y la del medio.
Figura 5-3 Valores de la ecuación 5.3 para diferentes números de Biot
Del análisis anterior se puede que el parámetro más importante para de…nir el per…l
de temperaturas dentro de un alimento es el número de Biot.
Para interpretar mejor el concepto del número de Biot, se puede estudiar el balance de
energía, sobre la super…cie de un alimento, el cual indica que le calor que entra o sale del
alimento por convección debe ser igual al que se transmite por conducción en la super…cie
del mismo, como lo indica la siguiente ecuación:
hA (T1
T ) = KA
T
L
(5.4)
Donde:
T es le cambio de temperatura al interior del alimento.
DETERMINACIÓN DEL PERFIL DE TEMPERATURAS DE UN ALIMENTO.
72
Cuadro 5.1 Valores de lamda para diferentes números de Biot
Bi
1
2
3
4
5
0,0000125 0,8603 3,4256 6,4373 9,5293 12,6453
0,000025 0,6533 3,2923 6,3616 9,4775 12,6060
0,00005
0,4328 3,2039 6,3148 9,4459 12,5823
0,0001
0,3111 3,1731 6,2991 9,4354 12,5743
0,0025
0,2218 3,1574 6,2911 9,4301 12,5703
0.005
0,1575 3,1495 6,2872 9,4274 12,5684
0.01
0,0998 3,1448 6,2848 9,4258 12,5672
0,025
0,0707 3,1432 6,2840 9,4253 12,5668
0,05
0,0500 3,1424 6,2836 9,4250 12,5666
0,1
0,0100 3,1416 6,2832 9,4248 12,5664
0,2
0,0071 3,1416 6,2832 9,4248 12,5664
0,5
0,0050 3,1416 6,2832 9,4248 12,5664
1
0,0035 3,1416 6,2832 9,4248 12,5664
5
1,3138 4,0336 6,9096 9,8928 12,9352
10
1,4289 4,3058 7,2281 10,2003 13,2142
20
1,4961 4,4915 7,4954 10,5117 13,5420
50
1,5400 4,6202 7,7012 10,7832 13,8666
100
1,5552 4,6658 7,7764 10,8871 13,9981
200
1,5630 4,6889 7,8149 10,9409 14,0669
500
1,5677 4,7030 7,8383 10,9736 14,1090
1000
1,5692 4,7077 7,8461 10,9846 14,1230
2000
1,5700 4,7100 7,8501 10,9901 14,1301
5000
1,5705 4,7114 7,8524 10,9934 14,1343
10000
1,5706 4,7119 7,8532 10,9945 14,1358
50000
1,5708 4,7123 7,8538 10,9954 14,1369
DETERMINACIÓN DEL PERFIL DE TEMPERATURAS DE UN ALIMENTO.
73
A el área super…cial del alimento.
h es el coe…ciente convectivo del medio de calentamiento o enfriamiento.
K la conductividad térmica del alimento.
L el recorrido del ‡ujo de calor dentro del alimento
T es la temperatura del alimento.
T1 es la temperatura del medio.
De la cual se puede encontrar la relación entre el cambio en la temperatura interna
del alimento con respecto a la diferencia de temperaturas entre el medio y la super…cie
Lh
T
(T1 T ); que esta relación puede ser expresada como
=
:El término de la
K
(T1 T )
izquierda es número de Biot.
Retomando lo estudiando hasta el momento, dependiendo del número de Biot, se
tendran procesos en los que el alimento no presente un per…l de temperatura en su interior
y otros en los cuales si se encuentren cambios importantes.
5.1.1. Procesos para números de Biot menores a 0.1
Cuando no existen per…les de temperatura se encuentra que todo el calor que llega
por convección es transformado en calor sensible, como lo indica la siguiente expresión.
dT
= hA (T1 T )
d
La expresión se puede escribir como: mCp dT
+ hA (T
d
(5.5)
mCp
Realizando un cambio de variable de forma tal que (T
hA = 0
Bajo la condición que
= 0;
=
Separando variables se tiene:
plazando la condicion inicial
0
d
=
T1 ) = 0
T1 ) =
0
hA
d cuya solución es:
mCp
:por ende mCp dd +
hA
= C1 e mCp Rem-
= C1 :
hA
= e mCp en terminos de la temperatura.
Finamente se encuentra que
0
(T
(T0
hA
T1 )
= e mCp
T1 )
DETERMINACIÓN DEL PERFIL DE TEMPERATURAS DE UN ALIMENTO.
(5.6)
74
Cuadro 5.2 Ecuaciones diferenciales parciales para calentamiento o enfriamiento en una
dimensión espacial y una temporal, según el sistema de coordenadas
Sistema Coordenado
Ecuación diferencial
n 2 o
Cartesianas
KA @@xT2 = ACp @T
@
Cilíndricas
Esféricas
KA
KA
1 @
r @r
1 @
2
r @r
r @T
@r
r2 @T
@r
= ACp @T
@
= ACp @T
@
Ejemplo 5 1: Para escaldar papa se utiliza vapor a100 C, si la temperatura inicial de
la papa es de 10 C y el diámetro de la papa es de 4cm. Encontrar la temperatura de la
papa transcurridos 7 minutos.
Solución: Tomando las propiedades de la papa en [5]. Cp = 3;43kJ=kg C, K =
1;1W=mK, =
Falta
5.1.2. Procesos para números de Biot mayores a 0.1
Para este tipo de procesos, se debe resolver la ecuación diferencial parcial del sistema,
como se muestra en la tabla
La solución de dichas ecuaciones son:
Tomado [21]
De estas ecuaciones Heissler elaboro las gra…cas que llevan su nombre, las cuales se
presentan en las …guras 5-4 a 5-9
Bibliogra…a
Stiel, L. I., and G. Thodos, AIChE J., 10 (1964): 26.
Stiel, L. I., and G. Thodos, AIChE J., 10 (1964): 275.
Stiel, L. I., and G. Thodos, AIChE J., 7 (1961): 611.
DETERMINACIÓN DEL PERFIL DE TEMPERATURAS DE UN ALIMENTO.
75
Cuadro 5.3 Ecuaciones diferenciales parciales para calentamiento o enfriamiento en una
dimensión espacial y una temporal, según el sistema de coordenadas
Tx;
T1
Coordenado
n
T0;
T1
1
X
2 sin ( n )
2
Cartesianas
cos n Lx e ( n F o)
cot ( n ) = n
+
sin
(
)
cos
(
)
Bi
n
n
n=1 n
1
X
2J1 ( n )
J0 ( n )
2
r
Cilíndricas
J02 n rmax
e ( n F o)
= n
2
2
[J
(
)
+
J
(
)]
J
(
)
Bi
1
n
n
n
0
1
n=1 n
Esféricas
1
X
2 (sin (
n=1
n
n)
sin (
(
n ) cos ( n ))
n ) cos (
n)
cos
n
r
rmax
r
n
e (
)
2Fo
n
tan (
n) =
n
Bi
1
rmax
DETERMINACIÓN DEL PERFIL DE TEMPERATURAS DE UN ALIMENTO.
76
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[21] Hermida B. 2000. Fundamentos de ingeniería de procesos agroalimentarios. MundiPrensa. 320.
BIBLIOGRAFÍA
78
Índice alfabético
Balance de energía, 21
Calor, 6
Flujo de, 8
Tipos de, 7
eléctrico, 7
latente, 7
reacción, 7
sensible, 7
Velocidad de transferencia de, 13
Coe…ciente convectivo, 47
Estimacion
Colburn, 48
Hausen, 49
Petukhov, 49
Seider y Tate, 49, 50
Conducción
bidimencional, 36
en esferas huecas, 33
en tuberias, 32
Factores de forma en 2D, 39
Generalidades, 8
Velocidad de transferencia de, 13
Conductancia, 8
Conductividad térmica, 13, 16
Alimentos, 18, 19
Gases, 18
Líquidos, 17
Sólidos, 16
Convección, 44
Forzada, 8, 44, 48
Generalidades, 8
Natural, 8, 44, 50
Flujo de ‡uidos, 9
Flujo eléctrico, 9
Fourier, 11, 13
Laplace
Ecuación de, 36
Ley
Fourier, 13
Ohm, 10
Número de
Grashof, 50
Nussel, 48, 50
Prendtl, 48
Reynolds, 48
Número de
Biot, 74
Ohm George, 9
Paredes Compuestas, 24
paredes en paralelo, 24, 28
paredes en serie, 24
Poiseuille Jean-Louis Marie , 9
Poisson
Ecuación de, 36
Radiación
Generalidades, 8
Temperatura, 6
Per…l de, 13, 21
Energía, 6
Estado estacionario, 36
79