algebra cap 2 expresiones algebraias

CAPITULO 2. ELEMENTOS Y OPERACIONES DE LAS EXPRESIONES
ALGEBRAICAS.
Cuando nos encontramos con dos o más términos algebraicos en un
conjunto relacionado, los matemáticos dicen que tratamos con una “expresión
algebraica”. Las expresiones algebraicas son pues un conjunto de términos que
originalmente eran independientes, entre sí.
La forma en que los “términos algebraicos” se unen entre sí para formar
“expresiones algebraicas” es a través de dos operaciones exclusivamente: la
suma y la resta.
Simplificación
De la suma y la resta de términos algebraicos se deriva una importante función
llamada simplificación que consiste un crear un solo término algebraico
cuando dos o más términos asociados por la resta o la suma tienen letras
idénticas, o sea que sus exponentes también son iguales. Ejemplo:
.b+ b - e= ,
x3 – 2x3 +3x3=
-w - 4w - 6w=,
x+2y-3x-6y=
La simplificación consiste en sumar o restar únicamente los números de
aquellos términos algebraicos cuyas letras sean idénticas (idénticas en este caso
significa que las potencias de esas letras SEAN LAS MISMAS). Ejemplo: son
idénticas (b + b) ó estos otros (2d –d); pero no son iguales (b2 + b) ó (d –d3). Otro
caso de simplificación se produce cuando aparecen dos o más números solos: 2 +
5ó4-6
La simplificación entonces opera del siguiente modo: si las letras son
idénticas, entonces se simplifican los números de esas letras.
Ejemplos de letras idénticas (b + b) = (1b +1b) = 2b; (2d + d) = 2d +1d = 3d
Ejemplos de letras iguales (b2 + b) = (b2 + b)
y (d –d3) = (d –d3) Es decir,
para estos términos no opera la simplificación, se quedan como están.
Otro ejemplo de simplificación:
5b + 2c –b – b2 + 3 + c; primero se agrupan los términos idénticos (5b – b)
+ (+2c + c) – b2 +3; luego se simplifica la expresión 4b - b2 + 3c +3
otro ejemplo: a2+1 + a3-1 - a4 -2 + a –2 =
a+ a2 + a3 - a4 como ninguna
letra es idéntica a otra la simplificación sólo operó con los números
Para tener una idea general de cómo opera la simplificación estúdiese el siguiente
cuadro
Regla para ejercer el proceso de simplificación de términos algebraicos cuyas
letras son idénticas.
Operación
Signo
Números
Letras
Unir términos positivos
Más +
Se suman
No cambian
Unir términos negativos
Menos -
Se suman
No cambian
Cuando el término
positivo es mayor
Más +
Se restan
No cambian
Cuando el término
negativo es mayor
Menos -
Se restan
No cambian
Ejemplos
.b+ b= 2b,
-w - 4w - 6w= -11w,
x3 – 2x3 +3x3= 2x3,
2y - 6y= – 4y
La suma de expresiones algebraicas.
La suma algebraica reúne en una sola expresión algebraica dos o más
términos algebraicos que antes eran independientes, sin cambio en sus signos,
números y letras.
. (+ab) más (+ac) =
ab + (+ac)
. (+x) más (–y) =
x + (–y)
(+5g) más (+4r) = 5g + (+4r)
(-n) más (+b)
=
-n + (+b)
(+d) más (-3d)
=
d +(-3d)
La operación de sumar términos algebraicos
Para sumar dos o más términos de una expresión algebraica se escriben unos a
continuación de los otros, con sus propios signos,
ab + (+ac) = ab + ac
x + (–y) = x - y
5g + (+4r) = 5g + 4r
-n + (+b) = -n + b
d +(-3k) = d –3k
la operación de sumar se hace de acuerdo al siguiente cuadro:
Cuadro que muestra la operación de sumar de dos o más términos algebraicos
Operaciones
Suma (+)
Signos (+ y -)
Los términos
algebraicos NO
cambian de signo.
Si el término es +
entonces el signo es +
Si es – entonces es -
Números
Letras
Se simplifican si los
términos tienen
Las letras no cambian
letras idénticas
Lo importante de este caso es que los signos de identificación de los
términos algebraicos (positivos y negativos) NO sufren cambios. los términos
algebraicos simplemente se unen vinculados por los signos de identificación de
cada término. Para hacer más claro este concepto empezaremos con cantidades
negativas:
Decidimos “sumar –2s a –3d”. Esto quiere decir que debemos unir “–2s” a
“–3d” a través de una suma. Si lo expresamos paso a paso,
el primero sería: (-2s) + (-3d)
el segundo y último paso quedaría: –2s –3d.
Advertencia: Como puede notarse, aunque las cantidades son negativas, la
suma (que se identifica con el signo +) los unió sin modificar ninguno de los
elementos de ambos términos. Pero ese conjunto es ahora una expresión
algebraica y no dos términos algebraicos independientes.
Nótese que los números y las letras de los términos tampoco cambiaron
debido a que las letras de los términos NO son idénticos.
Otro ejemplo: súmese los siguientes seis términos: b, -c, -d, v, -x – 3. El
operador lo que debe observar al leer esta orden lógica sería lo siguiente:
(+b), (-c), (-d), (+v), (-x), (-3)
Por tanto la respuesta sería: (+b)+(-c)+(-d)+(+v)+(-x)+(-3) que sería igual a:
+ b - c - d + v - x - 3 una vez operados la ley de signos de la suma.
Puede suceder que exista previamente una expresión algebraica, por
ejemplo +a +b que se desee ser sumada a otra expresión, por ejemplo +c +5. La
forma de escribir algebraicamente esta operación sería la siguiente:
(a+b) + (c+5) = +a +b +c +5.
-c +d sumalo a: x -y = (-c +d) +(x -y) = -c + d + x - y
Ejemplo: La suma de a “y” b es: (+a) +(+b) = a + b
También la suma ac “y” –bd es una suma que se expresa así:
ac +(–bd) = ac – bd
Operación de sumar términos cuyas letras son idénticas a través de la
simplificación. Ejemplo:
(+5ab) + (+10ab) =
primer paso se analizan los signos. Como son positivos ambos términos el
resultado será positivo
segundo paso se suman los números 5 + 10
Tercer paso, se escribe el signo, la suma resultante y se añaden las letras: (5ab) +
(10ab) = 15ab
Caso en que los signos de los términos son negativos. (-10sf) + (-10sf)
Primer paso se identifica el signo del nuevo término que será negativo.
Segundo paso se suman las cantidades 10 + 10 = 20
Tercer paso se escribe el signo, en número de la suma y se añaden las letras.
Éstas sin cambio. (-10sf) + (-10sf) = -20sf
Caso en que la suma agrupa términos con signos contrarios y letras idénticas, por
ejemplo (-6xy) + (+10xy) = el proceso es el siguiente:
Primer paso identificar el signo del número mayor (en este caso 10, positivo)
Segundo paso restar el número mayor al menor. Esto es: 10-6= 4
Tercer paso escribir el signo del número mayor, el nuevo número y añadir las
letras del término = 4xy
Véase el caso donde la cantidad negativa es mayor a la positiva: (-8bn)+ (+4bn)
Primer paso identificar el signo del número mayor. O sea el signo del 8 (-)
Segundo paso restar el número mayor al menor 8-4 =4
Tercer paso escribir el signo del número mayor, el nuevo resultado y añadir las
letras sin cambio: -4bn
Advertencia.
Por acuerdo de los matemáticos si el primer término de una expresión
algebraica es positivo su signo se omite, no así el resto de las cantidades
positivas.
La resta de términos algebraicos.
Reúne en una sola expresión algebraica dos o más términos algebraicos
que antes eran independientes, a través de la orden de restar. Ejemplo: de –4a
reste 7k ; algebraicamente se vería de la siguiente manera: -4a –(+7k) =
Operación para restar.
A continuación del minuendo se escribe el sustrayendo CAMBIANDO DE
SIGNO A TODOS SUS TÉRMINOS.
. (+ab) menos (+ac) =
. (+x) menos (–y) =
ab - (+ac)
x - (–y)
(+5g) menos (+4r) = 5g - (+4r)
(-n) menos (+b)
=
-n - (+b9)
(+d) menos (-3d)
=
d - (-3d)
La operación de restar términos algebraicos
Para restar dos o más términos de una expresión algebraica se escribe el
minuendo sin cambios y al sustrayendo (pueden ser varios términos) se le cambia
el signo. Ejemplo.
ddf - (+df) = ddf - df
v - (-t +r) = v + t - r
5s - (+4r) = 5s - 4r
-m - (+c -y ) = -m - c + y
b - (-3h) = b + 3h
Sintéticamente el comportamiento de las expresiones algebraicas a través de la
resta se muestran en el esquema siguiente:
Cuadro que muestra la operación de restar de dos o más términos algebraicos
Operaciones
Signos (+ y -)
Números
Letras
Los términos del
Se simplifican si los Las letras no cambian en
Resta (-)
sustrayendo cambian
términos tienen
una operación de resta
de signos.
literales idénticas
Si el término es +
entonces es –
Si es – entonces es +
La operación de restar ordena cambiar los signos de aquellos términos que
hacen de sustrayendo.
En nuestro ejemplo la operación de -4a –(+7k), sería la siguiente:
Primer paso. Cambio de signo del sustrayendo -4a –(+7k) =
-4a -7j
Como los términos son diferentes no se requiere mayores operaciones.
Ejemplo con resta de dos términos: de 2c “reste” -4b + 5r, entonces
tenemos
2c - ( -4b +5r) = -2c +4b -5r
Puede suceder que exista previamente una expresión algebraica, por
ejemplo a +b que se le desee restar otra expresión, por ejemplo c +5. La forma de
escribir algebraicamente esta operación sería la siguiente: (a+ b) – (c+5)
Primer paso cambio de signos del sustrayendo sería a+ b – c – 5
No hay necesidad de hacer otra operación
Otros ejemplos diversos de resta
Ejemplo: reste 4a2 de –5a, tenemos que -5a2 - (+4a) = -5a2 -4a
Ejemplo: de 7x restar –4z, tenemos que 7x - (-4z) = 7x +4z
Ejemplo de resta de términos, con letras idénticas: -5h - (+4h) =
Primer paso, se cambian los signos del sustrayendo - 5h - 4h
Como los términos son idénticos se requiere efectuar una simplificación
Segundo paso, se determina el signo del nuevo término. Como se trata de dos
signos negativos, el resultado es negativo
Tercer paso, se suman los números 5 +4 = 9
Cuarto paso se construye el nuevo término empezando por el signo, el nuevo
resultado y al final las letras, éstas sin modificaciones = –9h
Suma y resta combinada de polinomios
Agrupa en una sola expresión algebraica dos o más términos algebraicos
independientes a través de combinar dos operaciones: la suma y la resta.
Ejemplo:
(3d +5g –f)
“suma” (b+h)
“resta” (8u-t)
Operación combinada de suma y resta
Cuando aparece un problema algebraico que combina sumas y restas.
Primero se realizan las sumas de los términos correspondientes. Se identifican los
términos a los que le afecta la resta (sustrayendo). Le sigue el cambio del signo al
sustrayendo.
Algebraicamente el problema anterior se resolvería de la siguiente manera:
[(3d +5g -f) + (b+h)] - (8u-t)
=
3d +5g - f +b +h - 8u +t
RESUMEN DE LA RESTA Y LA SUMA DE UNA EXPRESIÓN
ALGEBRAICA:
Cuando varios términos reciben la orden de unirse por los signos de
identificación (+ -) ellos se comportan a través de leyes lógicas:
Si la orden es sumar el signo de los términos no cambia
Si la orden es restar el signo de los términos del sustrayendo cambian
Si aparecen términos con letras idénticas, éstos se simplifican.
Operación de la simplificación de términos algebraicos
La simplificación empieza
1) ordenando las letras. De la más cercana al inicio del alfabeto a la más lejana,
sin importar su signo.
2) Se deja al final el término donde sólo hay números.
3) Se agrupan a través de paréntesis los términos que tengan letras idénticas, sin
importar su signo (+ -), entonces
4) se procede a simplificar.
Combinado de Suma y simplificación:
Una expresión matemática puede combinar sumas entre diferentes
expresiones algebraicas. Ellas se expresan así: -b suma 2a +3b -c y suma -4a+5b.
Algebraicamente se expresaría así: [- b + (2a +3b -c)] + (- 4a+5b)
Para facilitar la operación se puede recurrir al siguiente procedimiento: Se
escriben los términos con letras idénticas uno abajo del otro. Aquellas que no lo
son se ponen a los lados y resultan independientes. Después se simplifican.
-b
2a +3b -c
-4a +5b___
total
-2a +7b -c
Combinado de resta y simplificación:
Una expresión algebraica puede combinar restas y simplificaciones de
varias expresiones algebraicas y pueden presentarse de la siguiente manera:
4x -3y +z resta 2x +5z -6.
Algebraicamente ese problema se expresa de la siguiente manera:
(4x -3y+z) - (2x+5z-6); que restando queda 4x -3y +z -2x -5z +6 y que
simplificando queda 2x +3y -4z -+6.
O de la otra manera:
4x -3y+ z
-2x
-5z +6
2x -3y -4z +6
Combinado de suma, resta y simplificación
Las
expresiones
algebraicas
puede
simplificaciones y pueden presentarse así:
combinar
sumas,
restas
y
De a2 resta la suma de 3ab -6 con
3a2 -8ab +5.
Que algebraicamente se expresa: a2 - [(3ab-6) + (3a2-8ab+5)]
De acuerdo al procedimiento vertical que hemos practicado puede sumar y
simplificar de la siguiente manera:
3ab-6
3a2-8ab+5
que es igual a
3a2-5ab-1
Ahora aplique la resta y cambie el signo a los términos del sustrayendo
- (3a2 -5ab -1) = -3a2 +5ab +1
Ahora reúna al minuendo con el sustrayendo, o sea: a2 -3a2 +5ab +1
El último paso consiste en simplificar este resultado.
= -2a2 +5ab +1
Operación de sumar, restar y simplificar.
Cuando una expresión algebraica presente alguna combinación de resta,
suma y simplificación, primero realice las sumas que se piden, después identifique
al sustrayendo y cambie de signos a los términos implicados. Por último
simplifique toda la expresión. No olvide presentarlos organizadamente. Principie
con la letra más cercana al inicio del alfabeto y sígase.
Cuadro general de la suma, la resta y la simplificación.
Operaciones
Suma (+)
Resta (-)
Signos (+ y -)
Los términos
algebraicos No
cambian de signo
Si es + entonces es +
Si es – entonces es Los términos
algebraicos del
sustrayendo cambian
de signos.
Si es + entonces es –
Si es – entonces es +
Números
Letras
Se simplifican si los Las literales no
términos tienen
cambian
literales idénticas
Se simplifican si los Las literales no
términos tienen
cambian
literales idénticas
Anexo teórico
Las “expresiones algebraicas” se pueden clasificar en dos grupos (monomios y
polinomios):
1. Los monomios. Una expresión algebraica que tiene uno y sólo un término
algebraico. Recibe el nombre de monomio ejemplos: 3ab,
-5b, x2/4 y3,
abcdfg, √a se puede usar como sinónimo de “término algebraico”
Un monomio es una expresión algebraica con un sólo término algebraico, por
tanto sus vínculos entre sus componentes son los mismos que los del
propio término algebraico (ver capítulo 1).
Sus operaciones son multiplicar, dividir, potenciar y sacar raíz.
2. Polinomio. Tal nombre se le da a una expresión algebraica que combina dos o
más términos algebraicos, es sinónimo de “expresión algebraica” y se rige
por 1. símbolos y 2. signos1.
1 Los símbolos son los mismos que componen a los términos algebraicos
(números y letras).
2 Signos de un polinomio. Existen tres clases de signos para agrupar
polinomios 1. De agrupación 2. De relación (igualdad y diferencia), 3. De
operación (+,-,/,·,^,¬)
Signos de agrupación en un polinomio:
Son los Paréntesis y corcheas () [] {}
1
Nota: Cuando los términos algebraicos dentro de la expresión son dos se le llama
binomio, ejemplo: a + n, 3ab-5b, de tres, entonces es trinomio, 3ab-5b+x2/4y3 etc.
Ellos indican que la operación indicada (+,-,/,·,^,¬) por el paréntesis debe hacerse
primero, antes de proseguir con el resto con las operaciones del resto de la
expresión.
Signos de relación en un polinomio:
Aunque hay varios signos de relación, este curso sólo emplea el signo de
igualdad y se lee: Igual a (=).
Otros signos que pudieran ser: mayor que (>), menor que (<); o su
combinación con la igualdad: mayor o igual que (≥), menor o igual que (≤)
Los signos de operación en los polinomios son sumar, restar, multiplicar, dividir,
potenciar y sacar raíz.