FIS120: FÍSICA GENERAL II GUÍA # 2: Campo eléctrico, Ley

Departamento de Fı́sica, UTFSM
Fı́sica General II / Prof: A. Brunel.
FIS120: FÍSICA GENERAL II
GUÍA # 2: Campo eléctrico, Ley de Gauss
Objetivos de aprendizaje
Esta guı́a es una herramienta que usted debe usar para lograr los siguientes objetivos:
Definir el concepto de flujo de campo eléctrico.
Comprender, calcular y aplicar la ley de Gauss, analizar bajo cuales condiciones es aplicable
para el cálculo de campo eléctrico.
Cálculo de campos eléctricos para diferentes distribuciones continuas de carga mediante el
teorema de Gauss.
Calcular la carga eléctrica de una configuración determinada, a partir de su densidad de
carga.
I. Preguntas Conceptuales
Responda usando argumentos técnicos las siguientes preguntas. Apóyese en gráficos y ecuaciones
según corresponda. Sea preciso y claro en sus respuestas. Ver capı́tulo 29 del libro1
a) Una superficie encierra a un dipolo eléctrico, ¿qué puede usted decir acerca del flujo eléctrico
en esta superficie?
b) Una carga puntual está rodeada por una superficie gaussiana esférica de radio R. Si la esfera
se sustituye por otra superficie gaussiana cubica de arista R, ¿el flujo de campo eléctrico
sobre la segunda superficie es mayor, menor o igual?
c) ¿Es útil la ley de gauss para calcular el campo eléctrico debido a tres cargas puntuales iguales
situadas en los vértices de un triángulo equilátero?
d ) Suponga que un campo eléctrico situado en cierta región tiene una dirección constante pero
está decreciendo en intensidad en esa dirección. ¿qué concluirı́a usted acerca de la carga en
la región? Trace las lı́neas de campo.
e) ¿Qué condiciones se deben dar para que la ley de Gauss sea útil para determinar el campo
eléctrico producido por un sistema de carga sobre un punto cualquiera del espacio?
f ) ¿Cómo se distribuyen los excesos de carga en un cuerpo de material aislante? ¿Qué podemos
concluir sobre el campo eléctrico en dichos cuerpos?
g) Una carga puntual se coloca en el centro de una superficie Gaussiana esférica. Indicar si el
flujo de campo eléctrico, E, cambia en cada uno de los siguientes casos:
i.
ii.
iii.
iv.
v.
Si
Si
Si
Si
Si
la superficie se reemplaza por un cubo del mismo volumen.
la carga no se encuentra en el centro de la esfera (pero sı́ dentro).
la carga se coloca fuera de la esfera original, pero muy cerca.
se coloca una segunda carga afuera y muy cerca de la esfera original.
se coloca una segunda carga adentro de la superficie Gaussiana.
1 Haliday, Resnick and Krane, volumen 2 cuarta edición. Y/O los capı́tulos correspondientes de cualquiera de los otros
libros de consulta.
1
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II. Problemas propuestos
(1) En el espacio tenemos el siguiente campo
eléctrico:
2
b, (−a ≤ x ≤ a)
E0 xa · x
~
E(x, y, z) =
0,
(|x| > a)
Donde E0 = (1/9) · 1010 [N/C] y a = 2[m].
Este campo es producido por cargas
“fuentes” que están en el espacio. Determine la cantidad de carga en la caja
Ω = {(x, y, z); 0 ≤ x, y, z ≤ a}, a = 2[m].
Fuera de los planos que limitan la placa no
hay cargas eléctricas. Un corte transversal
de la placa se muestra en la siguiente figu~
ra. El campo eléctrico E(x,
y, z) dentro de
la placa es
[Sugerencia: ¿Cuál es el campo en x = 0?
Después de responder esto, aplique la ley
de Gauss.]
z
FIG.7
x=0
x=−D/2
(2) Para las bolas de material aislante de la
pregunta 10.a) y 10.b) de la guı́a 1, determine el campo eléctrico en todo el espacio,
es decir para r ≤ R y para r > R.
(3) Se tiene el cilı́ndro Gaussiano de la figura, y
una carga Q0 fuera de él. No hay otras cargas. Las caras del cilı́ndro están rotuladas
como se muestra. Si ΦA = −20[N m2/C] y
ΦC = 5[N m2 /C], el valor de ΦB es:
[ΦA,B,C simboliza el valor del flujo eléctrico
a través de la cara correspondiente.]
x=+D/2
x
ρ
(6) Considere tres láminas delgadas planas largas, con las densidades de carga superficiales mostradas en la figura (+σ0 , +σ0 ,
−σ0 ). La magnitud del campo eléctrico en
los puntos A, B, C y D es, respectivamente
[Sugerencia: aplique el principio de superposición.]
+σ 0
+Qo
+σ 0
−σ 0
FIG.5
A
B
A
B
C
D
C
(4) Un cilindro aislador de altura H y radio
R, tiene una densidad de carga eléctrica,
∂Q
ρ(r) ≡ ∂V
ol . Donde r es la distancia al eje
de simetrı́a del cilindro. Determine, el campo eléctrico generado por el cilindro a una
distancia r de su centro, para r ≤ R.
a) Si ρ(r) = ρ0 .
b) Si ρ(r) = ρ0
(7) La figura muestra un espacio en el
que hay un campo eléctrico, dado por:
~ r ) = αx · x̂ + 3α · ŷ. Calcule la carga
E(~
eléctrica q(Ω) en la caja Ω. Donde:
Ω = {(x, y, z) = 0 ≤ x, y, z ≤ 2[m]}
Datos: α = 5[N/mC] .
r 2
R .
z
(5) Considere una placa vertical hecha de un
material aislante, infinita en sus dimensiones z e y, limitada por los planos infinitos
de ecuaciones x = −D/2 y x = +D/2,
respectivamente. La placa tiene espesor D
y contiene una distribución de carga volumétrica positiva de densidad constante ρ.
2
2[m]
2[m]
x
2[m]
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(8) En la figura se muestran cuatro cargas puntuales, y se considera una superficie gaussiana imaginaria que rodea las cargas q1
y q2 . El punto P está sobre la superficie
gaussiana.
respecto de la situación se afirma que:
Q
P
1
d1
S
2 3
4
d2
I: El campo eléctrico en el punto P ,
(10) Una carga puntual q0 se encuentra ubicada
depende sólo de las cargas q1 y q2 .
en el centro geométrico de un cubo de lado
II: El flujo eléctrico en la superficie
L. Entonces el flujo ΦE del campo eléctrigaussiana, depende sólo de las cargas q1 y
co a través de una de las caras del cubo es
q2 .
igual a:
III: El potencial eléctrico en el punto P ,
Respuesta a ejercicios propuestos:
depende sólo de las cargas q1 y q2 .
(1) Q(Ω) ≈ 4 · 10−2 [C]
q
(2) a) ρ(r) = ρ0 ⇒
q
( ρr
P
0
q
b si : r ≤ R
→
−
3ε0 · r
E (r) =
q
ρ0 R3
Superficie
b si : r > R
3ε0 r 2 · r
gaussiana
¿Cuales son verdaderas?
(9) La figura, muestra tres placas conductoras P , Q y S, donde las placas P y S están
conectadas a tierra.
Nota: Un conductor conectado a tierra, implica dos cosas: 1) que siempre está a un
potencial constante, igual al de la tierra y
2) la tierra es una fuente infinita de carga. Sı́, se cumple que: d2 = 3d1 , entonces
¿Cuál es la relación entre la magnitud de
los campos eléctricos en el espacio entre las
placas?
Donde: E12 : Campo entre placas P y Q y
E34 : Campo entre placas Q y S.
3
b) ρ(r) = ρ0 Rr ⇒
(
ρ0 r 2
b si : r ≤ R
→
−
4ε0 R · r
E (r) =
ρ0 R3
·
b si : r > R
4ε0 r 2 r
(3) ΦB = 15[N m2 /C]
→
−
(4) a) ρ(r) = ρ0 ⇒ E (r) = ρ2ε0 0r · rb
3
→
−
b) ρ(r) = ρ0 Rr ⇒ E (r) = 4ερ00rR2 · rb
(5) (ρx/ǫ0 ) (1, 0, 0)
(6) EA = EB = ED = σ0 /(2ǫ0 ) y
EC = 3σ0 /(2ǫ0 )
(7) 3, 6 · 10−10 [C]
(8) Sólo II.
12
(9) E
E34 = 3
q0
(10) 6ε0
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III. Problemas resueltos
(1) Determine la veracidad2 de cada una de las siguientes aseveraciones. Justifique todas sus
respuesta.
a) Suponga que un campo eléctrico situado en cierta región tiene una dirección constante
pero está creciendo en intensidad en esa dirección. Entonces: “La carga neta en la región
es positiva”.
Respuesta: Verdadero. Como el campo eléctrico tiene una dirección constante podemos
tomar una superficie en forma de cubo con 4 de sus caras paralelas a las lı́neas de campo y
las otras 2 perpendiculares a ellas. Entonces, el flujo eléctrico sobre las 4 primeras caras es
cero, en cambio por las otras 2 tenemos que: por una el campo entra en la superficie (flujo
negativo) y por la otra sale (flujo positivo), pero en este último caso la magnitud del campo
es mayor (es lo que nos dice el enunciado) y por ende el flujo también (el área es la misma).
Luego el flujo neto es positivo, por lo tanto la carga en esa zona también lo es.
Observación: Dibuje las lı́neas de campo, trace la superficie imaginaria y verá fácilmente que
el flujo es positivo debido al aumento de la magnitud del campo en la dirección en que el
vector de campo apunta.
b) Ocho cargas puntuales de magnitud y signo desconocidos (sólo sabemos que la magnitud
es distinta de cero), están fijas en los vértices de un cubo imaginario de lado L. Entonces:
“Si una superficie gaussiana esférica de radio L/2 se inscribe en el cubo, el flujo eléctrico
en la esfera será negativo si todas las cargas también son negativas”.
Respuesta:
Falso. El flujo es proporcional a la carga encerrada, en este caso con la
esfera inscrita en cubo todas las cargas quedan fuera, por lo tanto independiente del signo
y magnitud de las cargas, la carga encerrada es cero y consecuentemente el flujo también lo
es.
c) Suponga una zona del espacio donde sólo existe una carga puntual positiva. Luego, la
carga se rodea primero por una superficie gaussiana esférica de radio R, la cual se sustituye posteriormente por otra superficie gaussiana cúbica de arista R. En ambos casos la
carga está ubicada en el centro de las superficies. Entonces: “El flujo de campo eléctrico
es mayor en la superficie esférica que en la cúbica”.
Respuesta: Falso. A partir de la ley de Gauss sabemos que el flujo de campo eléctrico es
proporcional a la carga encerrada por la superficie gaussiana, más especı́ficamente igual a
1
ε0 Qenc , luego si la carga permanece constante el flujo de campo sobre ambas superficie es
el mismo.
(2) La figura muestra tres cargas eléctricas fijas q1 = +Q, q2 = −Q, q3 = +Q que están situadas
en los puntos T1 , T2 y T3 .
~ 1 = (−a, 0); OT
~ 2 = (a, 0); OT
~ 3 = (0, a)]
Donde: [OT
Además, la figura muestra un cilindro imaginario de altura a y diámetro basal a, centrado
en el origen del plano coordenado.
Datos: Q = (1/9) [C]; a = 2[ m]. Use: ke ≡ 1/(4πǫ0 ) = 9 · 109 [N m2 /C 2 ].
2 Para
cada una diga si es: Verdadera, Falsa o Incierta (Verdadera en algunos casos, falsa en otros).
4
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y
q3 =Q
Figura 1
q1 =Q
q2= -Q
P
x
T2
T1
Para identificar las superficies del cilindro las rotulamos por: A para la tapa superior, B
para la tapa inferior y C para el manto. Si ΦA = −10[N m2/C] y ΦC = 8[N m2 /C], [ΦA,B,C
simboliza el valor del flujo eléctrico a través de la cara correspondiente.]
Determine el valor de ΦB
Respuesta: Sabemos que la ley de Gauss es:
Φneto =
Qenc
ε0
En este caso la carga encerrada es cero, por lo tanto el flujo neto es cero.
Φneto = ΦA + ΦB + ΦC = 0
−10[N m2 /C] + ΦB + 8[N m2 /C] = 0 ⇒ ΦB = 2[N m2 /C]
(3) Una bola esférica de material aislador tiene radio R y densidad de carga eléctrica, ρ(r) ≡
∂Q
∂V ol .
a) Si ρ(r) = ρ0 determine, el campo eléctrico generado por la bola a una distancia r de su
centro, para r ≤ R.
Respuesta: Usamos la ley de Gauss para determinar el campo eléctrico:
I
→ Qenc
→ −
−
E · dS =
ε0
Donde:
Qenc (r) =
Z
r
ρ(r)dV ol =
0
Luego:
I
Z
0
r
4
ρ0 · dV ol = ρ0 πr3
3
→ Qenc
− −
→
4ρ0 3
E · dS =
⇒ E(r) · 4πr2 =
πr
ε0
3ε0
→
−
ρ0 r
ρ0 r
⇒ E(r) =
⇒ E (r) =
· rb
3ε0
3ε0
b) Si ρ(r) = ρ0 (1 − Rr ) determine, la carga total de la bola esférica.
Respuesta: Carga total es:
Z R
Z R
r
Q(R) =
ρ(r)dV ol =
ρ0 (1 − ) · 4πr2 dr
R
0
0
Z R
r3
1
Q(R) = 4πρ0
(r2 − )dr = ρ0 πR3
R
3
0
5