2. Objetivo del proyecto

Propagación lineal de pulsos en fibra óptica
2.- Objetivo del proyecto
El objetivo del proyecto es desarrollar una herramienta de simulación para estudiar los
fenómenos de propagación de pulsos luminosos y realizar diferentes bancos de pruebas
sobre ellos.
De entre las innumerables herramientas de programación matemática nosotros
escogeremos MATLAB para implementar nuestros algoritmos. Ya que MATLAB ofrece al
usuario:
- Entorno
adecuado,
sencillo
y
amigable
para
simulaciones
matemáticas.
- Paquetes o “toolbox” que simplificarán los algoritmos a utilizar: Symbolic
MathToolbox, Signal ProcessingToolbox, Wavelet Toolbox...
- Gestión optimizada de variables para minimizar el uso de cálculos y memoria en los
algoritmos.
- Potente interfaz de de representación de resultados: gráficas 2D, gráficas 3D, zoom
auto-ajustable…
2.1 Algoritmo caracterización propagación lineal
Para elaborar nuestro algoritmo, partiremos de la base teórica ya estudiada en
apartados anteriores e intentaremos conocer
como afecta al pulso óptico su propagación por
la fibra prestando atención a efectos como:
Dispersión lineal, efectos de tercera derivada,
chirp… y analizando detenidamente los
Figura 9
resultados obtenidos. Haremos para ello, algunas
simplificaciones que descargaran de cálculo al procesador a la hora de ejecutar el programa
y que no aportan información relevante como veremos más tarde.
La mayoría de los sistemas de comunicaciones ópticas modernos emplean fibras de
salto de índice por las que se propaga un único modo. Cuando una señal óptica se introduce
en la fibra monomodo, se excita el modo HE11 en la fibra y la distribución transversal de
campo no cambia durante la propagación por lo que nuestro problema a la hora de calcular
la dispersión se reduce a una sola dimensión: la longitudinal.
Es decir, dejando a un lado la distribución transversal de campo, nos centraremos en
una fibra monomodo de salto de índice por el que se propaga un pulso de luz y estudiaremos
los efectos que se producen sobre él.
Propagación lineal de pulsos en fibra óptica
Como ya explicamos en el aparatado teórico, para calcular la expresión en el
dominio del tiempo, seguiremos uno pasos claros y definidos:
1.- Introducimos un pulso en el dominio temporal
Si recordamos lo visto en el desarrollo teórico el pulso a la entrada de la fibra tendrá
la expresión:
U (0, t ) = A(0, t )e jω 0 t
Y en el caso de un pulso gaussiano la envolvente será entonces:
A(0, t ) = Ao·e
−(
t2
2T 0 2
)
Si representamos gráficamente en matlab el pulso lo
que tendríamos a la entrada de la fibra sería algo
parecido a la grafica de la derecha
A la hora de trabajar en matlab trabajaremos
con señales en banda base y nos quedaremos con la
envolvente ya que la portadora solo introduce un
desplazamiento en frecuencia en el espectro del pulso
Figura 10
de entrada. Cuando obtengamos el pulso de salida nos
bastará con multiplicarlo por la portadora para obtener el pulso real a la salida.
2.- Calculamos su transformada de Fourier
Una vez que tenemos el pulso en el dominio del tiempo lo transformamos al dominio
de la frecuencia. Como veremos en las simulaciones es espectro será mas ancho conforme
mas estrecho sea el pulso con el que estemos trabajando.
3.- Calculamos la respuesta impulsiva en frecuencia de la fibra óptica
Ahora debemos de calcular las contantes de propagación para caracterizar la fibra. Como
vimos anteriormente esto se reduce al cálculo de α y β , pues la expresión que caracteriza la
respuesta impulsiva en la fibra es:
βo'
βo' '
βo' ' '
⎡ − αz ⎤
⎡
⎤
⎡
⎤
⎡
⎤
exp ⎢ − jz
H ( Δω ) ≈ exp ⎢
Δω ⎥ exp ⎢ − jz
Δω 2 ⎥ exp ⎢ − jz
Δω 3 ⎥
⎥
1
2
3!
⎣ 2 ⎦
⎣
⎦
⎣
⎦
⎣
⎦
Llegados a este punto, haremos una de nuestras simplificaciones: supondremos que
α es constante e igual a cero. Esta simplificación no afectará al objeto del estudio de este
banco de pruebas; el ensanchamiento del pulso. Es decir, el pulso no perderá energía al
Propagación lineal de pulsos en fibra óptica
propagarse en vez de decrecer exponencialmente como sucede en la realidad, pero se
ensanchara de la misma manera que si introdujéramos este término
Para calcular β (ω ) la descompondremos en serie de Taylor alrededor del la
frecuencia de portadora y calcularemos cada uno de los 4 primeros términos por separado:
- β o no lo consideraremos ya que trabajaremos con Δω en torno a la portadora ωo ,
que consideraremos nuestro origen del eje de coordenadas.
- βo ' introduce un mero retardo puro que no modifica el ensanchamiento y la
dispersión del pulso. Para nuestras simulaciones no introduciremos tampoco este
término.
- β o ' ' Es el verdadero término dispersivo de la fibra y el responsable del
ensanchamiento temporal del pulso. Si buscamos una forma de relacionar con la
dispersión se puede demostrar que:
D=
2·π ·c
∂ ⎛ 1 ⎞
⎜⎜ ⎟⎟ = − 2 β ' '
λ
∂λ ⎝ Vg ⎠
El parámetro D es el parámetro de dispersión y se expresa en ps/(Km-nm).
Para obtener el valor aproximado de la de una fibra monomodo de salto de índice
también es demostrable que:
D=
So ⎛ λ − λ o 3 ⎞
⎜
⎟
4 ⎜⎝ λ 4 ⎟⎠
Donde la constante So =0.090 [ps/nm^2*Km], λ [nm] es la longitud de onda
de trabajo y λO [nm] la longitu de onda a la que la fibra tiene dispersión 0 (para una
fibra como la que estamos trabajando esto ocurre a los 1310 nm).
Si sustituimos en la primera ecuación el valor de D obtenido de la segunda
podemos obtener sin ningún problema el valor de β o ' ' .
- β o ' ' ' Está relacionada con la dispersión slope. Para calcularla nos valdremos de un
mecanismo similar al anterior:
∂D
⎛ 2·π .Co ⎞
S (λ ) =
=⎜
⎟ β '''
∂λ λ ⎝ λ2 ⎠
2
4.- Multiplicamos ambas expresiones para obtener la respuesta frecuencial
En este aparatado multiplicaremos la transformada de la envolvente del pulso de entrada
por la respuesta frecuencial impulsiva de la fibra tal y como la calculamos en el apartado
anterior.
Propagación lineal de pulsos en fibra óptica
5.- Antitransformamos la expresión anterior para obtener la respuesta en el
tiempo.
Por ultimo utilizaremos los comandos necesarios en matlab para calcular la
antitransformada de la expresión resultante del apartado anterior.
Si quisiéramos obtener la expresión real del pulso a la salida deberíamos multiplicar
el pulso obtenido por la portadora.
2.2 Algoritmo caracterización propagación lineal y no lineal
En este caso veremos la fibra óptica como un conjunto de secciones de pequeña
longitud situadas es cascada de la siguiente manera:
Az
Uo(z,t
Az
Az
…
Az
Az
Un(NxAz,t)
Figura 11
Para cada diferencial:
1.-Tomamos el pulso que de la sección inmediatamente anterior
2.- Agregamos la fase equivalente al efecto Kerr:
Que como dedujimos en el apartado anterior vale:
Afase = ( Az / LNL ) * U (t )
2
3.- Propagamos el pulso resultante de forma similar a la anterior
4.- La salida del diferencial será la entrada del siguiente diferencial
Observaciones: Nótese que para este segundo algoritmo el numero de operaciones y
de memoria RAM se incrementa ostensiblemente ya que cada diferencial requerirá el
cálculo se varias transformadas de Fourier de gran tamaño así como de memoria RAM
para almacenarlas.