Matriz de cofactores - Universidad Autónoma de Madrid

Universidad Autónoma de Madrid
Matemáticas
Álgebra Lineal. Curso 2015-16
ÁLGEBRA LINEAL
Anexo Hoja 6: Determinantes: la matriz de cofactores.
Matriz de cofactores
Sea A ∈ Mn×n (K) , donde n ≥ 2 , para 1 ≤ i, j ≤ n , llamamos cofactor ij de A a Aij el determinante
de la matriz cuadrada que queda al suprimir la fila i y la columna j de A multiplicado por (−1)i+j y a la
matriz cof (A) = (Aij ) la llamamos la matriz cofactor de A (es lo que llamamos matriz adjunta de A en el
ejercicio 9 de la hoja 6; en algunos textos se usan los dos nombres indistintamente).
Propiedad fundamental: cof (A)t A = Acof (A)t =| A | I .
Propiedades
1.- r(A) < n − 1 ⇔ cof (A) = 0 .
2.- r(A) = n − 1 ⇔ r(cof (A)) = 1 .
3.- r(A) = n ⇔ r(cof (A)) = n .
4.- cof (At ) = cof (A)t .
5.- cof (λA) = λn−1 cof (A) .
6.- Si r(A) = n , se tiene que A−1 =
cof (A)t
|A|
y cof (A)−1 =
At
|A|
.
7.- Si r(A) = n , si B es tal que B t A = AB t =| A | I , entonces B = cof (A) .
8.- Si r(A) = r(B) = n , se tiene que cof (AB) = cof (A)cof (B) .
9.- Si r(A) = n , se tiene que ∀k ∈ Z cof (Ak ) = cof (A)k .
10.- | cof (A) |=| A |n−1 .
11.- Si r(A) = n , se tiene que cof (cof (A)) =| A |n−2 A .
12.- Si n ≥ 3, se tiene que cof (cof (A)) =| A |n−2 A sea cual sea el rango de A.
13.- Si n = 2 , se tiene que cof (cof (A)) = A .
Supuesta probada la propiedad fundamental, probar las propiedades 1-13.