paul dirac

PAUL DIRAC
Javier García
¿Qué haré hoy?
PARTE I
¿Quién fue Dirac?
PARTE II
¿Cómo llegó Dirac a su ecuación?
PARTE I
¿Quién fue Dirac?
“En ciencia uno intenta decir a la gente, en una manera en que todos lo puedan entender,
algo que nunca nadie supo antes. La poesía es exactamente lo contrario.”
Paul Dirac
PARTE I:
¿Quién fue Dirac?
PAUL DIRAC
Paul Adrien Maurice Dirac
8 de agosto de 1902 – 20 octubre de 1984.
Físico teórico y matemático británico.
Premio Nobel (1933) ‘Por el descubrimiento de nuevas formas
productivas de la teoría atómica.’
Contribuciones más importantes: Formulación matemática de
la mecánica cuántica, Ecuación de Dirac que describe
a un electrón (fermión) relativista, predijo la antimateria.
PARTE I:
¿Quién fue Dirac?
PAUL DIRAC
Familia: Padre suizo y madre británica. Una hermana (Beatrice) y un Hermano
(Felix) que se suicidó en 1924 a la edad de 26 años. Padre estricto. Infeliz de
pequeño.
Anécdota: Le obligaron a hablar en inglés con su madre y francés con su padre.
PARTE I:
¿Quién fue Dirac?
PAUL DIRAC
Educación: Bishop Primary School. Fue un excelente alumno. Los profesores solo
notaban su presencia cuando cometían algún error en la pizarra. Aquí desarrolló su
visión geométrica (dibujo técnico).
PARTE I:
¿Quién fue Dirac?
PAUL DIRAC
Educación: Merchant Venturers Technical College (Bristol). Los profesores tuvieron
serias dificultades para proporcionar problemas que supusieran un reto para Dirac.
Estudió para ser ingeniero.
PARTE I:
¿Quién fue Dirac?
PAUL DIRAC
Epifanía: Pocos meses después de esta selfie de 1919, Einstein se convirtió en una
celebridad a nivel mundial: Arthur Eddington y su expedición corroboraron
experimentalmente la Teoría General de la Relatividad. Dirac deseó ser físico
teórico a partir de este acontecimiento.
PARTE I:
¿Quién fue Dirac?
PAUL DIRAC
Licenciado en matemáticas (Bristol University, 1923): Según sus propias palabras,
tuvo el mejor profesor de matemáticas: Peter Fraser.
PARTE I:
¿Quién fue Dirac?
PAUL DIRAC
Cambridge University: Aquí desarrolló casi toda su carrera. Quiso hacer el
doctorado en Relatividad pero no le aceptaron. Finalmente su tutor fue Ralph H.
Fowler, que estaba inmerso en las nueva teoría de la Mecánica Cuántica.
PARTE I:
¿Quién fue Dirac?
PAUL DIRAC
PhD: En su trabajo de tesis demostró que las teorías de Heisenberg y Schrödinger
eran matemáticamente equivalentes. Además introdujo la notación bra-ket, que es
usada hoy en día por la comunidad de físicos.
PARTE I:
¿Quién fue Dirac?
PAUL DIRAC
Ecuación de Dirac (1928): En este artículo postula su famosa ecuación y abre el
camino a la antimateria y la electrodinámica cuántica.
PARTE I:
¿Quién fue Dirac?
PAUL DIRAC
Belleza: ‘Una teoría que pretenda describir la Naturaleza ha de poseer belleza
matemática en sus ecuaciones.’ Características: visión geométrica, extremadamente
reservado (1 Dirac), desinterés por las mujeres, extremadamente antifilosófico,
Antireligioso,
PARTE I:
¿Quién fue Dirac?
PARTE II
¿Cómo llegó Dirac a su ecuación?
Problema matemático
Encontrar a y b para que se cumpla:
x 2  y 2  ax  by
Definición de raiz:
9  3  33  9
Debemos pedir:
ax  byax  by  x 2  y 2
ax  byax  by  a 2 x 2  b 2 y 2  2abxy
Pero es imposible porque:
a2  b2  1
y
ab  0

Solución brillante de Dirac
Impuso una condición:
ab  ba
Ahora tendremos:
ax  byax  by  a 2 x 2  b 2 y 2  ba  abxy
a2  1
b2  1
ab  ba  0
¿Existen a y b que cumple estas nuevas ecuaciones?
SÍ
Pero solo sin a y b son MATRICES!
¿Cuáles son?
Solución brillante de Dirac
Dirac probó con matrices 2x2:
a
a 11 a 12
a 21 a 22
b
b 11 b 12
b 21 b 22
No existe solución!

Probó con matrices 3x3:
a 11 a 12 a 13
a
a 21 a 22 a 23
a 31 a 32 a 32
b 11 b 12 b 13
b
b 21 b 22 b 23
b 31 b 32 b 32
Tampoco hay solución!

Solución brillante de Dirac
Y con matrices 4x4?
a
a 11 a 12 a 13 a 14
b 11 b 12 b 13 b 14
a 21 a 22 a 23 a 24
b 21 b 22 b 23 b 24
a 31 a 32 a 32 a 34
a 41 a 42 a 43 a 44
b
b 31 b 32 b 32 b 34
b 41 b 42 b 43 b 44
SÍ QUE HAY SOLUCIÓN!
Solución brillante de Dirac
Esta es la más sencilla:
a
0 0 0 1
1 0
0
0
0 0 1 0
0 1
0
0
0 0 1
0
0 0
1
b
0 1 0 0
1 0 0 0
0
Efectivamente estas matrices cumplen:
1 0 0 0
a2  b2 
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
I
ab  ba 
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
Solución brillante de Dirac
Así que:
ax  by 
0 0 0 1
1 0
0
0
0 0 1 0
0 1
0
0
0 0 1
0
0 0
1
0 1 0 0
x
1 0 0 0
O bien:
ax  by 
y 0
0
x
0 y
x
0
0 x y
0
x 0
y
0
0
y
Solución brillante de Dirac
Precio a pagar: reformulación del problema a 4 dimensiones:
x 2  y 2  ax  by
x2  y2
0
0
0
0
x2  y2
0
0
0
0
x2  y2
0
0
0
0
x2  y2

y 0
0
x
0 y
x
0
0 x y
0
x 0
y
0
Ya que:
2
y 0
0
x
x2  y2
0
0
0
0 y
x
0
0
x2  y2
0
0
0 x y
0
0
0
x2  y2
0
x 0
y
0
0
0
x2  y2
0

De Schrödinger a Dirac
En aquella época había un método para “cuantizar” teorías:
Si se sabe la expresión de la energía de un sistema, podemos
postular la ecuación del movimiento de la función de onda.
Hamilton
E
p2
2m
Schrödinger
 i

t

1
2m
i

x
2

Y resultó que ψ era una función:
 una función escalar (no vectorial)
De Schrödinger a Dirac
En relatividad la energía resulta ser un poco más “complicada”:
E
2 2
2
pc  mc 
Einstein
E
2
Dirac
2 2
pc  mc 
Qué será ψ en esta ocasión?

?
De Schrödinger a Dirac
En relatividad la energía resulta ser un poco más “complicada”:
E
2 2
2
pc  mc 
Einstein/Dirac
Dirac
E  apc  bmc 2 
i t   a ic x   bmc 2 
Qué será ψ en esta ocasión? UN VECTOR!!
u1
u
u2
u3
u4
Espacio de momentos
 Eu  apc  bmc 2 u
Solución brillante de Dirac
Substituyendo el vector u y el resultado de la raiz con el truco de antes:
E
1 0 0 0
0 0 0 1
1 0
0
0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 1
0
0
0 0 1
0
0 0
1

0 0 1 0
0 0 0 1
E
0 1 0 0
pc 
1 0 0 0
0
u1
mc 2
0
0
pc
u1
u2
0
mc 2
pc
0
u2
0
pc
mc 2
0
u3
pc
0
0
mc 2
u4
u3
u4

mc 2
Y esto no es más que un problema de valores propios de Bachillerato 
Recordatorio: Un problema de valor propio consiste en encontrar vectores
que al ser multiplicados por la matriz den proporcionales a ellos mismos.
Solución brillante de Dirac
Solución:
E1 
pc 2  m 2 c 4
pc 2  m 2 c 4  mc 2
0
pc 2  m 2 c 4  mc 2
1
2
Emc 2  p 2 c 2
pc
0
1
2
Emc 2  p 2 c 2
0
pc
0
E 2   pc 2  m 2 c 4
0
1
2
Emc 2  p 2 c 2
 pc 2  m 2 c 4  mc 2
 pc 2  m 2 c 4  mc 2
1
pc
Emc 2  p 2 c 2
0
0
2
0
pc
Solución brillante de Dirac
Solución:
E1 
pc 2  m 2 c 4
pc 2  m 2 c 4  mc 2
0
pc 2  m 2 c 4  mc 2
1
2
Emc 2  p 2 c 2
pc
0
1
2
Emc 2  p 2 c 2
0
pc
0
Dos componentes
SPIN!!!
E 2   pc 2  m 2 c 4
0
1
2
Emc 2  p 2 c 2
 pc 2  m 2 c 4  mc 2
 pc 2  m 2 c 4  mc 2
1
pc
Emc 2  p 2 c 2
0
0
2
0
pc
Antimateria
E
0
Dirac sea
(Principio de exclusión de Pauli)
EL VACÍO ESTÁ LLENO
Antimateria
E
E
Partícula de energía positiva con carga
negativa.
0
Dirac sea
0
Absencia de partícula de energía negativa
produce “partícula” de energía positiva.
Absencia de carga negativa produce carga
Postiva.
Dirac sea
E>0
E>0 “Hole”
Antimateria
E
E
Partícula de energía positiva con carga
negativa.
0
Dirac sea
0
Absencia de partícula de energía negativa
produce “partícula” de energía positiva.
Absencia de carga negativa produce carga
Postiva.
Dirac sea
E>0
E>0 “Hole”
Predicción del
POSITRÓN
(1928)
Descubrimiento (1932)
Conclusiones
-
-
Dirac co-inventó la Mecánica Cuántica.
Fue el comienzo de la Teoría Cuántica de Campos.
(creación y destrucción de partículas) Electrodinámica
Cuántica.
Spin es una consecuencia de la Relatividad. Además
predijo la interacción con el campo magnético.
Inspiró la formulación PATH INTEGRAL de Feynman.
Gracias! 