La Ecuación de Schrodinger

La Ecuación de Schrödinger Dr. Héctor René VEGA‐CARRILLO Notas del curso de Física Moderna Unidad Académica de Ingeniería Eléctrica Universidad Autónoma de Zacatecas Buzón electrónico: [email protected] Portal: http://www.uaz.edu.mx/neutron/fermi.html Documento: FM/Notas/ecsh‐7/04030311 mie/3‐Mzo/2011 Contenido 1. INTRODUCCIÓN. .................................................................................................. 3 2.‐ LA ECUACIÓN DE SCHRODINGER ........................................................................... 5 3.‐ SIGNIFICADO FÍSICO DE LA SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE SCHRODINGER ........... 6 4.‐ LA ECUACIÓN DE SCHRODINGER EN DIFERENTES SISTEMAS COORDENADOS ........ 8 2
1. INTRODUCCIÓN. En 1926, Erwin Schrodinger publicó un artículo donde aparece, por primera vez, su famosa ecuación de onda. Esta ecuación describe la forma en que se propagan las ondas de materia. Unos meses antes de que se publicara este trabajo Werner Heisenberg había publicado un artículo donde planteó una teoría cuyo objetivo era explicar los fenómenos atómicos y se basaba solo en cantidades que se pueden medir. Estas cantidades de energía, posición y momentúm (cantidad de movimiento) se representaban mediante matrices, las cantidades que aparecían en la diagonal de cada matriz representaban los resultados posibles de un proceso de medición. En ese momento pareció que las teorías de Schrodinger y de Heisenberg eran distintas, tiempo después, el mismo Schrodinger, demostró que ambas teorías eran equivalentes y su única diferencia era que utilizaron herramientas matemáticas distintas. Esta teoría se conoce hoy como Mecánica ondulatoria, o más apropiadamente, Mecánica Cuántica. A finales de 1925 Schrodinger encontró una ecuación, cuyo aspecto general era similar a la ecuación de onda de la Física clásica, que permitía describir el comportamiento de partículas con masa, como los electrones, esa ecuación se conoce hoy como la Ecuación de Schrodinger. La Ecuación de Schrodinger contiene derivadas en el tiempo y en espacio de una función de onda. Mas que definir un proceso para derivarla, la ecuación de Schrodinger debe verse como una ley fundamental, tan importante en la Mecánica Cuántica como la segunda Ley de Newton lo es para la Física Clásica. La ecuación de Schrodinger describe el movimiento de partículas con masa a través de analizarlas a partir de sus características ondulatorias y solo funciona cuando las 3
velocidades de las partículas son tales que no alcanzan valores relativistas, esto es que la velocidad de la partícula es muy pequeña en comparación con la velocidad de la luz. En su momento Schrodinger intentó derivar una ecuación que también incluyera los fenómenos relativistas pero fracasó en su empeño y no fue sino hasta 1928 que Paul A. M. Dirac lo logró. 4
2.‐ LA ECUACIÓN DE SCHRODINGER En este curso vamos a definir la Ecuación de Schrodinger como un postulado. Así. la ecuación que describe una partícula de masa m que se mueve en una dimensión esta definida por la ecuación (1). h 2 ∂ 2 Ψ ( x, t )
h ∂ Ψ (x, t )
−
+ V( x, t ) Ψ ( x, t ) = i
2
2
2π
∂t
8π m
∂x
(1) En la ecuación (1), Ψ(x, t) es la función de onda y depende del espacio, representado por la variable x, y por el tiempo, representado por la variable t. En esta ecuación es común expresar h/(2 π) por ħ. A diferencia de la ecuación de onda de la Física Clásica, en la ecuación (1) aparece el número imaginario i (i = (‐1)1/2), por lo que las soluciones que satisface a esta ecuación no pertenecen necesariamente a los reales. También, es indispensable aclarar que la solución de esta ecuación da una función Ψ que no es una cantidad física que se pueda medir, como es el caso de la función de onda de la Física Clásica y si no se puede medir que tipo de experimento se debe realizar para corroborar la veracidad de la teoría que está detrás de esta ecuación. Esta reflexión nos obliga a plantear la siguiente pregunta: ¿cuál es el significado físico de Ψ?.
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3.‐ SIGNIFICADO FÍSICO DE LA SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE SCHRODINGER La función Ψ por si sola no tiene significado físico, sin embargo una cantidad derivada de ésta si lo tiene. Este significado lo encontró Max Born quien, paradójicamente en un principio fue un fuerte opositor a las teorías de Einstein y de Schrodinger. La interpretación de Born se basa es establecer que la probabilidad de encontrar un electrón en un cierto diferencial del espacio, dx, es una cantidad que se puede medir. Esta medición se hace contando el número de veces que encontramos el electrón en dx y dividiendo esa cantidad por el número de electrones arrojados. El cociente resultante representa una probabilidad. Esta probabilidad es similar a la que obtenemos si hacemos el siguiente experimento simple: Si arrojamos un moneda particular, digamos 100 veces, y hacemos el registro del número de veces que cae “águila”, digamos por caso que de las 100 veces que arrojamos la moneda 60 resultaron ser “águila”, luego entonces la probabilidad de que salga “águila” al arrojar es moneda particular es 60/100, es decir p(águila) = 0.6 o bien 60%. En virtud de la naturaleza compleja de Ψ definimos esa función de distribución de probabilidad (P(x,t) dx) de la siguiente forma, 2
P( x , t )dx = Ψ ∗ ( x , t ) Ψ ( x, t ) dx = Ψ ( x , t ) dx
(2) Y significa la probabilidad de encontrar al electrón entre un punto x y x + dx. En la ecuación (2), Ψ*(x,t) es el complejo conjugado de Ψ(x,t) y se obtiene sustituyendo i con – i. La probabilidad de encontrar un electrón en el espacio será siempre 1 y esta aseveración se expresa mediante la ecuación (3). 6
+∞
∫Ψ
∗
Ψ dx = 1
(3) −∞
A la ecuación (3) se le llama condición de normalización y su importancia radica en el hecho de que define restricciones a las posibles soluciones de la ecuación de Schrodinger; una de estas restricciones es que la función Ψ(x, t) debe tender a cero conforme x → ± ∞, con esto aseguramos que la integral de la ecuación (3) siempre será finita. Lo anterior puede expresarse a través de los siguientes límites, lim
x→−∞
Ψ =
lim
Ψ → 0
(4) x→+∞
Habiendo establecido lo anterior solo nos resta definir un procedimiento, exacto (analítico) o aproximado (numérico) que nos permita resolver la ecuación de Schrodinger. 7
4.‐ LA ECUACIÓN DE SCHRODINGER EN DIFERENTES SISTEMAS COORDENADOS En forma general la Ecuación de Schrodinger se puede expresar mediante la ecuación (5). −
h2
h ∂ Ψ (r, t )
∇ 2 Ψ (r, t ) + V(r, t ) Ψ (r, t ) = i
2
2π ∂t
8π m
(5) donde, ∇2 se conoce como el Laplaciano u operador de Laplace, cuya estructura cambia con el sistema de coordenadas. El Laplaciano, algunos también le llaman Laplaciana, en coordenadas rectangulares se expresa como se muestra en la ecuación (6). 2
∇ =
∂2
∂ x2
+
∂2
∂ y2
+
∂2
∂ z2
(6) En coordenadas cilíndricas y esféricas el Laplaciano se expresa mediante la ecuación (7) y (8) respectivamente. ∇2 =
1 ∂2
∂2
∂2 1 ∂
+
+
+
∂ r 2 r ∂ r r 2 ∂ θ2 ∂ z 2
(7) 1 ∂ ⎛ 2 ∂ ⎞
1
1
∂2
∂ ⎛
∂ ⎞
⎜ sen θ
⎟+
⎜r
⎟+
∇ = 2
∂ θ ⎟⎠ r 2 sen 2 θ ∂ φ 2
r ∂ r ⎜⎝ ∂ r ⎟⎠ r 2 sen θ ∂θ ⎜⎝
(8) 2
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Así pues, la ecuación de Schrodinger en tres dimensiones y en coordenadas rectangulares se expresaría sustituyendo el operador laplaciano, tal y como se muestra en la siguiente ecuación. −
h2
8 π2 m
⎛ ∂2
∂2
∂2
⎜⎜ 2 +
+
∂ y2 ∂ z2
⎝∂x
⎞
h ∂ Ψ ( x , y, z , t )
⎟⎟ Ψ ( x, y, z, t ) + V( x , y, z, t ) Ψ ( x , y.z, t ) = i
2π
∂t
⎠
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