Teoría de la señal: Fundamentos de señales óptica

Teoría de la señal: Fundamentos
de señales óptica
Prof. María L. Calvo
Clase del 23 y 24 de abril de 2012
Definición
• ¿Qué entendemos por “Tratamiento de señales” ?
• Operaciones lógicas: suma, resta, multiplicación,
división.
• Se pueden realizar ópticamente.
• Se requieren unas condiciones iniciales para la
generación de la señal óptica.
• Hay etapas subsiguientes de:
• 1) análisis
• 2) tratamiento
• 3) procesado
• 4) detección
• 5) implementación en otros sistemas.
Formalismo matemático
•
•
•
•
•
¿Qué es una señal óptica?
Naturaleza electromagnética
Caracterización
Parámetros espacio-temporales
¿Podemos caracterizar la señal en
espacio y tiempo conjuntamente?
• Si, pero necesitamos un formalismo
particular: La distribución de Wigner
Energía del campo electromagnético:
Intensidad óptica
•
Definimos el vector de Poynting instantáneo (en general complejo):
S  r, t   E  r, t   H  r, t 
•
•
El vector de Poynting físico es la parte real de la ec. anterior.
Supondremos que el campo eléctrico es una onda plana
monocromática, armónica en el tiempo, con frecuencia angular w y
propagándose en un medio homogéneo que es el vacío:
E  r , t   Eo  r  exp i  k r  t  
•
H  r, t  

n  E  r, t 
o
S  r, t  
2

E  r , t  n
o
Obtenemos un valor instantáneo para la energía transportada.
Observable: Campo físico
•
•
Para evaluar la ec. anterior tenemos que considerar el campo físico, es decir:
la parte de la onda que es observable o detectable.
Por tanto tenemos que considerar la parte real del campo:
E
r 
1
  E  E * 
2
E  r   Eo cos  k.r  wt 
S r   r, t  
•

2
Eo cos 2  k.r  wt .n
o
Obtenemos un valor instantáneo para el observable.
Valor promedio
•
Definimos una operación promedio en el tiempo. En general, si f(t) es una
función arbitraria definimos su promedio temporal:
f t 
•

f  t´dt´
T / 2
Obtenemos un valor promedio para el módulo de la parte real del vector de
Poynting:
S
•
1
 lim
T  T
T / 2
r 
 r, t 
1 

Eo
2 o
Esta es la magnitud que detecta un detector clásico
2
Señal espacio-temporal
• U = U(r,t)
•
Supondremos que el comportamiento espacio-temporal de la señal puede
representarse como producto de dos funciones de variables separadas:
• U = Uo(r)f(t)
•
La parte temporal de la señal cumple:
0
•


f t  dt  
2
Decimos que la señal temporal es medible.
Ejemplos de señales espacio-temporales
• 1.- Señal luminosa definida en la región visible del
espectro electromagnético (400-700 nm ) y procesada
por el sistema visual humano.
• 2.- Señal radar generada en frecuencias que
corresponden a longitudes de onda entre 2,5 cm.(micro
ondas, 8 GHz) y 75 cm. (ondas radio, 1 GHz).
• 3.- Señal óptica utilizada en comunicaciones por fibra
óptica y generada en frecuencias asociadas al infrarrojo
próximo y medio (1m-10m).
• 4.- Señales escalares que también pueden ser tratadas
como señales temporales: la voz humana (frecuencia de
emisión: 300-3000 Hz (ems), rango del sistema
auditivo). Esta señal se genera por las vibraciones
mecánicas originadas por las cuerdas vocales como
fuente primaria de emisión acústica.
Ejemplos de señales espacio-temporales:
transducción
• Utilizando un transductor
(o conversor de señal)
una señal no-eléctrica:
acústica, óptica,
temperatura, presión,
se puede convertir en
otra dependiente del
tiempo: señal eléctrica.
• Por ejemplo, se puede
generar una corriente
eléctrica variable: I(t) , o
una señal de voltaje
variable:V(t).
Cantidad física no-eléctrica:
temperatura, sonido, luz
Señal eléctrica
Transducción visual
• Es un proceso por el cual
una señal luminosa
genera un impulso
neuronal.
• Debemos considerar la
estructura de un bastón
de la retina.
• La detección de la luz se
hace en los discos de la
membrana.
• Estos discos contienen
miles de moléculas de
rodopsina (molécula del
fotorreceptor).
Segmento
interno (IS)
cone
rod
Segmento
externo (OS)
disco
Ejemplo de generación de señal
neuronal
Cada estimulo visual genera una respuesta neuronal.
Caracterización de una señal temporal
continua
Para caracterizar una señal temporal necesitamos definir un conjunto de
parámetros temporales, los cuales puede suponerse que describirán de
una forma lo más completa posible las particularidades de cada señal.
Al introducir estas definiciones nos fundamentamos en una teoría de la
señal más general, no necesariamente vinculada a procesos ópticos, que
será convenientemente aplicada y de la cual extraemos unas condiciones
generales.
Al mismo tiempo introduciremos en dichas definiciones los aspectos
relativos a la señal temporal óptica.
• Los parámetros que vamos a estudiar son los siguientes:
•
•
•
•
a) Anchura de banda
b) Duración temporal
c) Intervalo de muestreo
d) Número de muestras
• a) Anchura de banda:
• Supongamos una señal temporal f(t) , continua e
integrable en todo el dominio temporal: . Definimos su
transformada de Fourier directa:
F   


f t e
2 it
dt
• Análogamente definimos la transformada de Fourier
inversa:
f t   
• Simbólicamente:


F  e
2 i t
F   TF f t 
d
Imponemos a f(t) la condición de que sea una función de banda
limitada: su transformada de Fourier, F(), es de soporte compacto.
•F() está definida en un intervalo finito de frecuencias.
Definimos:
F  ;   W 2
F   
0;   W 2
W: Soporte de la función que define su anchura de banda .
La frecuencia para la cual F() se hace cero es la frecuencia de corte.
F(): Función que filtra o elimina todas las frecuencias:
  c
Se dice entonces que es un filtro de paso bajo: Sólo contiene
frecuencias en un intervalo alrededor de la frecuencia cero.
Todas aquellas frecuencias cuyo valor es mayor que la frecuencia de
corte no son procesadas por el sistema. Diremos que hay una pérdida
de información.
Ejemplo de función de banda limitada
f(t)
F()
1.0
TF
TF-1
0
t
c
c
W
W: Anchura de banda

b) Duración temporal
•
•
Una señal temporal está generalmente definida en un intervalo temporal finito,
es decir, está acotada temporalmente.
Ello puede ser debido a que se ha generado con un tiempo finito de duración o
bien, por que se ha limitado la duración temporal por algún procedimiento
físico.
En este caso definimos:
f t ;  T 2  t  T 2
f T  t  
0; t  T 2
•
fT(t) está truncada temporalmente con duración T.
•
La intensidad asociada a la señal truncada es:
IT  f t 
2
c) Intervalo de muestreo
• Muestreamos una señal mediante una operación de multiplicación algebraica a través de la
cual una señal continua f(t) se convierte en una señal discreta.
• La recuperación de la señal original se puede obtener mediante una operación de
interpolación.
• Para que la operación sea óptima se deben de cumplir unas propiedades enunciadas en el
teorema de Whittaker-Shannon:
“Una función f(t) arbitraría es muestreable y recuperble mediante un proceso de
interpolación si su transformada de Fourier es de soporte compacto [ f(t) es de banda
limitada]”.
• La transformada de Fourier de la función muestreada es:
FM     M
p 
    p
M
 * F  p M 
p 
•
M
Es la frecuencia de muestreo. En el límite:  W/2; W: soporte de la TF[f(t)].
d) Número de muestras
•
Si la señal está truncada con intervalo de duración T y su anchura de
banda es W, el número total de muestras que se requiere para presentar
exactamente la señal es:
T
N
 TW
TM
• El producto TW es una medida de la complejidad de la señal o contenido de
información que posee.
• Por ejemplo, una señal definida en una bajo rango de frecuencias y un tiempo
de duración corto contiene baja información con respecto a otra de duración
análoga pero definida en un rango de frecuencias más amplio.
Ejemplo de muestreo en los
conos de la fovea
Imagen proyectada
20/20 letra
Imagen muestreada
5 min arc
Ejemplo de muestreo de los conos de la
fovea
Imagen proyectada
Imagen muestreada
20/5 letra
5 min arc
Teorema de muestreo:
frecuencia de Nyquist
Muestreado >> Frecuencia espacial
1
I
0
1
I
0
casi 100% transmitido
Muestreado = Frecuencia espacial
1
I
0
1
I
0
Transmisión nula
Frecuencia de Nyquist:
Máxima frecuencia espacial que puede
ser detectada= ½ frecuencia de
muestreo.
Espaciado de los conos en la fovea ~
120 muestras/deg
Valor de la frecuencia de Nyquist:
60 ciclos/deg (20/10 o 6/3 agudeza)